1. PAT 1 (มี.ค. 54)
PAT 1 (มี.ค. 54)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ ที 5 มีนาคม 2554 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที 1 ข้ อ 1 - 25 ข้ อละ 5 คะแนน
1. กําหนดให้ ‫ ݍ ,݌‬และ ‫ ݎ‬เป็ นประพจน์โดยที ‫ ݌~ ∨ ݎ , )ݎ ⇒ ݍ( ⇒ ݌‬และ ‫ ݌‬มีคาความจริงเป็ นจริ ง ประพจน์ใน
่
ข้ อใดต่อไปนีมีคาความจริงเป็ นเท็จ
่
1. ሾ‫)ݎ~ ⇒ ݍ( ⇒ ݌‬ሿ ⇔ ~(‫)ݎ ∧ ݍ‬
2. ሾ‫ ⇒ ݎ( ⇒ ݌‬q)ሿ ⇔ ሾ(‫ݍ ⇒ )݌ ⇒ ݎ‬ሿ
3. ሾ‫)ݍ ∧ ݎ(~ ⇒ ݌‬ሿ ⇔ ሾ‫)ݍ ∧ ݌( ⇒ ݎ‬ሿ
4. ሾ‫)ݎ ⇒ ݍ(~ ∨ ݌‬ሿ ⇔ ሾ‫)ݍ ⇒ ݌( ⇒ ݎ‬ሿ
2. กําหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ ช่วงเปิ ด ቀగ , గቁ พิจารณาข้ อความต่อไปนี
ସ ଶ
ก. ค่าความจริ งของ ∀‫ݔ‬ൣ(cos ‫)ݔ‬ୱ୧୬ ௫ < (sin ‫)ݔ‬ୡ୭ୱ ௫ ൧ เป็ นจริ ง
ข. ค่าความจริ งของ ∃‫ݔ‬ሾ(cos ‫)ݔ‬ୡ୭ୱ ௫ < (sin ‫)ݔ‬ୡ୭ୱ ௫ ሿ เป็ นเท็จ
ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
1

2. 2 PAT 1 (มี.ค. 54)
3. กําหนดให้ ‫ = ݎ‬ሼ(‫ ݔ52 | ܴ × ܴ ∈ )ݕ ,ݔ‬ସ + 16‫ ݕ‬ଶ + 2 = 10‫ ݔ‬ଶ + 8‫ݕ‬ሽ เมือ ܴ แทนเซตของจํานวนจริง
พิจารณาข้ อความต่อไปนี
(ก) ‫ ݎ‬ไม่เป็ นฟั งก์ชน
ั
(ข) ‫ܦ‬௥ ≠ ܴ௥
ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
‫ ݕ , ݔ‬และ ‫ݖ‬
เป็ นจํานวนจริ งบวกทีสอดคล้ องกับระบบสมการ
ଵ
ଵ
௣
‫+ ݔ , 2 = ݖݕݔ‬
32 , ‫ + ݕ‬௫ = 81 และ ‫ + ݖ‬௬ = ௤
เมือ ‫ ݌‬และ ‫ ݍ‬เป็ นจํานวนเต็มบวกโดยที ห.ร.ม. ของ ‫ ݌‬และ ‫ ݍ‬เท่ากับ 1 แล้ วค่าของ |‫ |ݍ − ݌‬เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 3,925
2. 4,832
3. 4,951
4. 5,182
4. กําหนดให้
ଵ
=
௭
5. ให้ ܴ แทนเซตของจํานวนจริง และให้ ݂: ܴ → ܴ เป็ นฟั งก์ชนทีมีสมบัติสอดคล้ องกับ
ั
จํานวนจริ ง ‫ 1− ≠ ݔ‬ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. ݂൫݂(‫)ݔ‬൯ = −‫ ݔ‬สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫ݔ‬
2. ݂(−‫ ݂ = )ݔ‬ቀଵା௫ቁ สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫1 ≠ ݔ‬
ଵି௫
ଵ
3. ݂ ቀ௫ቁ = ݂(‫ )ݔ‬สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫0 ≠ ݔ‬
4. ݂(−2 − ‫ )ݔ(݂ − 2− = )ݔ‬สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫ݔ‬
ଵି௫
݂ ቀଵା௫ቁ = ‫ݔ‬
สําหรับทุก

3. PAT 1 (มี.ค. 54)
6. ให้ ABC เป็ นรูปสามเหลียม โดยที
1. ଵ଺
2.
଺ହ
7. ค่าของ
1.
ଵଵ
ସ
ଷ
sin ‫ = ܣ‬ହ
ଵ଺
−
଺ହ
และ
ହ
cos ‫ = ܤ‬ଵଷ
3.
ସ଼
଺ହ
ค่าของ
cot(arccot 7 + arccot 13 + arccot 21 + arccot 31)
2.
ଵଷ
ସ
3.
ଽ
ଶ
cos ‫ܥ‬
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
4. − ଷଷ
଺ହ
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
4.
ଶହ
ଶ
8. ให้ เส้ นตรง ‫ 0 = 2 + ݕ − ݔ‬ตัดกับวงกลม ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ + 6‫ 0 = 4 + ݕ4 − ݔ‬ทีจุด ‫ ܣ‬และจุด ‫ ܤ‬ถ้ า (ܽ, ܾ) เป็ น
จุดโฟกัสของพาราโบลาซึงมีเส้ นตรง ‫ 2 = ݕ‬เป็ นแกนของพาราโบลาและพาราโบลานีผ่านจุด ‫ ܣ‬และจุด ‫ ܤ‬แล้ ว
ܽ + ܾ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1.
ଵଵ
ସ
2.
ଽ
ସ
3.
଻
ସ
4.
ହ
ସ
3

4. 4 PAT 1 (มี.ค. 54)
9. พิจารณาข้ อความต่อไปนี
(ก) ไฮเพอร์ โบลา
4‫ ݔ‬ଶ − 25‫ ݕ‬ଶ + 24‫0 = 461 − ݕ001 − ݔ‬
มีจดยอดอยูทีจุดยอดของวงรี
ุ
่
4‫ ݔ‬ଶ + 25‫ ݕ‬ଶ + 24‫ 0 = 63 + ݕ001 + ݔ‬และมีแกนสังยุคยาวเท่ากับแกนโทของวงรี
(ข) วงรี 4‫ ݔ‬ଶ + 25‫ ݕ‬ଶ + 24‫ 0 = 63 + ݕ001 + ݔ‬มีจดยอดจุดหนึงอยูบนพาราโบลา ‫ ݕ‬ଶ + 4‫− ݕ‬
ุ
่
4‫0 = 21 + ݔ‬
ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
10. ถ้ า ‫ ܣ‬แทนเซตคําตอบของ
1.
11. ให้
(0, 3)
ܴ
2.
‫ = ܣ‬ቊ‫ ܴ ∈ ݔ‬ቤ
‫ = ܤ‬ቄ‫ ܴ ∈ ݔ‬ቚ
మ
ଵ ଶ௫ ାଷ௫ା଻
ቀଶ ቁ
௫ మ ି଺௫ାହ
௫ାଵ
เป็ นสับเซตในข้ อใดต่อไปนี
ሼ‫0 < ݔ ≤ 1− | ܴ ∈ ݔ‬ሽ
ሼ‫1 < ݔ ≤ 0 | ܴ ∈ ݔ‬ሽ
య
(1, 4)
แทนเซตของจํานวนจริง
‫ܣ ∩ ܤ‬ᇱ
1.
3.
భ
2(log ଷ ‫)1 − ݔ‬మ + log భ ‫ ݔ‬ଷ + 4 > 0
ଵ ଶ௫ାଵଵ
< ቀସቁ
≥ 0ቅ
3.
แล้ วเซต ‫ ܣ‬เป็ นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี
(2, 5)
4.
ቋ
2.
4.
ሼ‫2 < ݔ ≤ 1− | ܴ ∈ ݔ‬ሽ
ሼ‫3 < ݔ ≤ 0 | ܴ ∈ ݔ‬ሽ
(2, 9)

5. PAT 1 (มี.ค. 54)
1
12. กําหนดให้ ‫ ݔ‬เป็ นจํานวนเต็มและ ‫ = ܣ‬ቂ2‫ݔ ݔ‬ቃ เป็ นเมทริ กซ์ทมี det ‫ 3 = ܣ‬ถ้ า ‫ ܤ‬เป็ นเมทริ กซ์มีมิติ 2 × 2
ี
‫ݔ‬
โดยที ‫ିܣܤ + ܣܤ‬ଵ = 2‫ ܫ‬เมือ ‫ ܫ‬เป็ นเมทริ กซ์เอกลักษณ์การคูณมิติ 2 × 2 แล้ วค่าของ det ‫ ܤ‬อยูในช่วงใด
่
ต่อไปนี
2. ሾ−1, 0ሿ
3. ሾ0, 1ሿ
4. ሾ−2, −1ሿ
1. ሾ1, 2ሿ
13. กําหนดให้ ܽ, ܾ และ ‫ ݖ‬เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน โดยที |ܽ| ≠ |ܾ| ,
ത
ถ้ า |ܽ‫ = |ܾ + ݖ‬หܾ‫ ܽ + ݖ‬แล้ ว |‫ |ݖ‬เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
തห
1. 1
2. 2
3.
14. ถ้ า ‫ ݅ + 1 − ݔ‬เป็ นตัวประกอบของพหุนาม
แล้ วค่าของ ܽଶ + ܾଶ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 17
2. 13
|ܽ| ≠ 1
และ
3
ܲ(‫ ݔ = )ݔ‬ଷ + ܽ‫ ݔ‬ଶ + 4‫ܾ + ݔ‬
3.
8
|ܾ| ≠ 1
4.
4
เมือ ܽ และ ܾ เป็ นจํานวนจริ ง
4.
5
5

6. 6 PAT 1 (มี.ค. 54)
15. กําหนดให้
ค่าของ
1.
ට
‫ ݑ‬และ ‫̅ݒ‬
ത
|௨ା௩|
ഥ ത
|ଶ௨ି௩|
ഥ ത
ଵଷ
ଵଽ
เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ โดยที |‫, 1 = |ݑ‬
ത
|‫3 = | ̅ݒ‬
ଵଷ
଻
3.
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2.
ට
และ
‫ ݑ‬ทํามุม 60° กับ ‫̅ݒ‬
ത
1
4.
଻
ටଵଽ
16. กําหนดให้ ሼܽ௡ ሽ เป็ นลําดับของจํานวนจริ ง โดยที ܽ௡ାଵ = ݊ଶ − ܽ௡ สําหรับ ݊ = 1, 2, 3, …
ค่าของ ܽଵ ทีทําให้ ܽଵ଴ଵ = 5100 เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 50
2. 25
3. 1
4. 0
17. กําหนดให้ 4 พจน์แรกของลําดับเลขคณิต คือ 2ܽ + 1 , 2ܾ − 1 , 3ܾ − ܽ และ
จํานวนจริ ง พจน์ที 1000 ของลําดับเลขคณิตนีเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 3,997
2. 3,999
3. 4,001
ܽ + 3ܾ
4.
เมือ ܽ และ ܾ เป็ น
4,003

7. PAT 1 (มี.ค. 54)
18. ค่าของ lim− √௫
1.
x →0
ଵ
−
ଶ
య ା௫ మ ା௫
௫మ
เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
2.
ଵ
ଶ
3.
−1
4.
1
19. กําหนดให้ ݂ เป็ นฟั งก์ชนพหุนามทีมี ݂ ᇱᇱ(‫ ܾ + ݔܽ = )ݔ‬เมือ ܽ และ ܾ เป็ นจํานวนจริ ง ถ้ า ݂(0) = 2 และกราฟ
ั
ของ ݂ มีจดตําสุดสัมพัทธ์ที (1, −5) แล้ ว 2ܽ + 3ܾ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
ุ
1. −12
2. 20
3. 42
4. 48
ଵ
20. กําหนดให้ ܴ แทนเซตของจํานวนจริ ง ให้ ݃: ܴ → ܴ เป็ นฟั งก์ชนกําหนดโดย ݃(‫ = )ݔ‬ଶ௫ାଷ เมือ ‫ − ≠ ݔ‬ଷ
ั
ଶ
ᇱᇱ ଵ
ถ้ า ݂: ܴ → ܴ เป็ นฟั งก์ชนที (݂ ∘ ݃)(‫ ݔ = )ݔ‬สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫ ݔ‬แล้ ว ݂ ቀଶቁ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี
ั
ଵ
1. − ଶ
2. ଵ
3. −8
4. 8
ଶ
7

8. 8 PAT 1 (มี.ค. 54)
21. โยนเหรี ยญบาท(เทียงตรง)หนึงเหรี ยญ จํานวน 10 ครัง ความน่าจะเป็ นทีได้ หวอย่างน้ อย 2 ครังติดกันเท่ากับข้ อใด
ั
ต่อไปนี
ଵଽଷ
ଽ
1. ହଵଶ
2. ଷଵସ
3. ଺ସ
4. ହହ
ହଵଶ
଺ସ
22. มีถงยังชีพ 5 ถุง ต้ องการแจกให้ ครอบครัวทีถูกนําท่วม 4 ครอบครัว ครอบครัวละไม่เกิน 2 ถุง ความน่าจะเป็ นที
ุ
ครอบครัวของสมชายซึงเป็ นหนึงในสีครอบครัวนันไม่ได้ รับของแจกเลยเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 0.15
2. 0.2
3. 0.4
4. 0.6
23. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ คะแนนเต็ม 60 คะแนน มีนกเรียนเข้ าสอบ 30 คน นาย ก. เป็ นนักเรียนคนหนึงทีเข้ าสอบ
ั
ในครังนี นาย ก. สอบได้ 53 คะแนนและมีจํานวนนักเรียนทีมีคะแนนสอบน้ อยกว่า 53 คะแนนอยู่ 27 คน ถ้ ามีการ
จัดกลุมคะแนนสอบเป็ นช่วงคะแนนโดยมีอนตรภาคชันกว้ างเท่าๆกัน คะแนนสอบของนาย ก. อยูในช่วงคะแนน
่
ั
่
51 - 60 จํานวนนักเรี ยนทีสอบได้ คะแนนในช่วงคะแนน 51 - 60 นี มีทงหมดกีคน
ั
1. 3
2. 4
3. 5
4. 9

9. PAT 1 (มี.ค. 54)
24. กําหนดตารางแสดงพืนทีใต้ โค้ งปกติมาตรฐาน ทีอยูระหว่าง 0 ถึง ‫ݖ‬
่
‫ݖ‬
1.14
1.24
0.373
พืนที
0.392
1.34
1.44
0.410
0.425
ความสูงของนักเรียน 2 กลุม มีการแจกแจงปกติ ดังนี
่
กลุม
่
นักเรี ยนหญิง
นักเรี ยนชาย
ค่าเฉลียเลขคณิต
ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน
169.06 เซนติเมตร
5 เซนติเมตร
158 เซนติเมตร
4 เซนติเมตร
ถ้ านักเรี ยนหญิงคนหนึงมีความสูงตรงกับเปอร์ เซ็นไทล์ที 91 ของกลุมนักเรี ยนหญิงนี แล้ วจํานวนนักเรี ยนชายทีมี
่
ความสูงน้ อยกว่าความสูงของนักเรี ยนหญิงคนนี คิดเป็ นร้ อยละเท่ากับข้ อใดต่อไปนี
1. 12.7
2. 11.4
3. 10.7
4. 9.4
25. บริ ษัทผลิตหลอดไฟต้ องการรับประกันคุณภาพผลิตภัณฑ์ของบริษัท โดยจะเปลียนเป็ นหลอดใหม่ถ้าหลอดเดิมชํารุด
ั
บริ ษัทจะรับประกันไม่เกิน 4.1% ของจํานวนทีผลิต หลอดไฟมีอายุใช้ งานเฉลีย 2500 ชัวโมง มีสมประสิทธิของ
ความแปรผันเท่ากับ 0.20 ถ้ าคาดว่าตามปกติคนจะใช้ หลอดไฟวันละ 5 ชัวโมง บริ ษัทนีควรกําหนดเวลาประกันมาก
ทีสุดกีวัน
กําหนดตารางแสดงพืนทีใต้ โค้ งปกติมาตรฐน ทีอยูระหว่าง 0 ถึง ‫ݖ‬
่
‫ݖ‬
พืนที
1.
362 วัน
1.34
1.44
0.410
0.425
2.
352 วัน
1.54
0.438
1.74
0.459
3.
1.84
0.467
346 วัน
4.
326 วัน
9

10. 10 PAT 1 (มี.ค. 54)
ตอนที 2 ข้ อ 26 - 50 ข้ อละ 7 คะแนน
26. โรงเรี ยนแห่งหนึงมีนกเรี ยนจํานวน 750 คน พบว่ามีนกเรียนจํานวน 30 คน ไม่เล่นกีฬาเลย นอกนันเล่นกีฬาอย่าง
ั
ั
น้ อยหนึงประเภทคือ ปิ งปอง แบดมินตัน เทนนิส จากการสํารวจเฉพาะกลุมนักเรี ยนทีเล่นกีฬา พบว่ามีนกเรี ยน
่
ั
จํานวน 630 คน เล่นกีฬาเพียงประเภทเดียวเท่านัน มีนกเรียนจํานวน 30 คน เล่นเทนนิสและปิ งปอง มีนกเรียน 50
ั
ั
คน เล่นปิ งปองและแบดมินตัน มีนกเรี ยน 40 คน เล่นเทนนิสและแบดมินตัน มีนกเรี ยนไม่เล่นเทนนิสจํานวน 250
ั
ั
คน จงหาว่ามีนกเรี ยนกีคนทีเล่นเทสนิสเพียงอย่างเดียว
ั
୪୭୥ ଶହ଺
เป็ นเซตจํากัด โดยที ݊൫ܲ(‫)ܣ‬൯ = log √ଶ 4 , ݊൫ܲ(‫)ܤ‬൯ = ൫√5൯ ఱ
และ
݊൫ܲ(‫)ܤ ∪ ܣ‬൯ = 3ଶ ୪୭୥వ ଷଶ เมือ ܲ(ܵ) แทนเพาเวอร์ เซตของเซต ܵ จงหาค่าของ ݊൫ܲ(‫)ܤ(ܲ ∪ )ܣ‬൯
27. กําหนดให้
‫ ܤ ,ܣ‬และ ‫ܥ‬
ర
మ
మ
ିଶ௫
28. กําหนดให้ ‫ ܫ‬แทนเซตของจํานวนเต็ม และให้ ݂(‫ = )ݔ‬௫ ௫ఱା௕మା௔ ௫ି଻ହ เมือ ܽ, ܾ ∈ ‫ܫ‬
௫ିଶ଻଴
ถ้ า ‫ = ܣ‬ሼ(ܽ, ܾ) ∈ ‫0 = )3(݂ | ܫ × ܫ‬ሽ และ ‫ = ܤ‬൛(ܽ, ܾ) ∈ ‫ ܫ × ܫ‬ห √ܽଶ − 2ܾܽ + ܾଶ < 3ൟ
แล้ ว จํานวนสมาชิกของเซต ‫ ܤ ∩ ܣ‬เท่ากับเท่าใด

11. PAT 1 (มี.ค. 54)
29. ให้ ܴ แทนเซตของจํานวนจริ ง และ ถ้ า
భ
ೣ
‫ = ܣ‬ሼ‫3 | ܴ ∈ ݔ‬ଶ௫ − 34(15௫ିଵ ) + 5ଶ௫ = 0ሽ
‫ = ܤ‬ቄ‫ ܴ ∈ ݔ‬ቚ log ହ ቀ5 + 125ቁ = log ହ 6 + 1 +
30. ค่าของ
ଵ
ቅ
ଶ௫
แล้ ว จํานวนสมาชิกของเซต
log ଶ (1 + tan 1°) + log ଶ (1 + tan 2°) + ⋯ + log ଶ(1 + tan 44°)
และ
‫ܤ∪ܣ‬
เท่ากับเท่าใด
เท่ากับเท่าใด
31. ถ้ า ݀ เป็ นจํานวนเต็มบวกทีมากกว่า 1 และจํานวน 3456 , 2561 และ 1308 หารด้ วย ݀ มีเศษเหลือเท่ากัน คือ ‫ݎ‬
แล้ ว ݀ + ‫ ݎ‬เท่ากับเท่าใด
11

12. 12 PAT 1 (มี.ค. 54)
32. กําหนดให้ ‫ ܥܤܣ‬เป็ นรูปสามเหลียมใดๆ มีความยาวตรงข้ ามมุม ‫ ܤ , ܣ‬และ ‫ ܥ‬เป็ น ܽ , ܾ และ ܿ หน่วยตามลําดับ
ถ้ า ܽଶ + ܾଶ = 31ܿ ଶ แล้ วค่าของ 3 tan ‫( ܥ‬cot ‫ + ܣ‬cot ‫ )ܤ‬เท่ากับเท่าใด
33. ให้ ‫ ܣ‬เป็ นเซตคําตอบของ
௫
cos ‫ = ݔ‬cos ቀସቁ
จํานวนสมาชิกในเซต
‫)ߨ42 ,0( ∩ ܣ‬
เท่ากับเท่าใด
34. กําหนดให้ ܽ > tan 60° และ ‫ )8,7(ܤ , )3 ,ܽ(ܣ‬และ ‫ )9,4−(ܥ‬เป็ นจุดยอดของรูปสามเหลียมทีมีมม ‫ ܣ‬เป็ น
ุ
มุมฉาก ให้ ‫ ܮ‬เป็ นสมการเส้ นตรงทีผ่านจุด ‫ ܣ‬และจุด ‫ܤ‬
จงหาจํานวนเต็มบวก ݇ ทีน้ อยทีสุดทีทําให้ พาราโบลา ݇‫ ݔ = ݕ‬ଶ + 2݇ มีจดร่วมกับเส้ นตรง ‫ ܮ‬เพียงจุดเดียว
ุ

13. PAT 1 (มี.ค. 54)
35. กําหนดให้
‫ݖ‬ଵ และ ‫ݖ‬ଶ
|ଵଵ௭̅భ |ି|ହ௭మ |
ค่าของ |௭
భ ௭̅మ ା௭̅భ ௭మ |
เป็ นจํานวนเชิงซ้ อน โดยที
|‫ݖ‬ଵ | = |‫ݖ‬ଵ + ‫ݖ‬ଶ | = 3
เท่ากับเท่าใด (‫ ̅ݖ‬แทนสังยุค (conjugate) ของ ‫)ݖ‬
และ
|‫ݖ‬ଵ − ‫ݖ‬ଶ | = 3√3
36. กําหนดให้ A(ܽ, ܾ) , B(4, −6) และ C(1, −4) เป็ นจุดยอดของรูปสามเหลียม ABC ถ้ า P เป็ นจุดบนด้ าน AB
ሬሬሬሬԦ
ซึงอยูหางจากจุด A เท่ากับ ଷ ของระยะระหว่าง A และ B และเวกเตอร์ CP = ଓ̅ + 2ଔ̅ แล้ ว ܽ + ܾ เท่ากับเท่าใด
่ ่
ହ
ଶ
‫ = ܣ‬൤cosec 10° √3൨ , ‫ = ܤ‬൤cos 70° sinଶ40° ൨
0
cos 50°
sec 10°
1
detሾ‫)ܥ + ܤ(ܣ‬ሿ เท่ากับเท่าใด
37. กําหนดให้
ค่าของ
และ
ଶ
0
‫ = ܥ‬൤cos 20°
൨
sin 80° cos ଶ 10°
13

14. 14 PAT 1 (มี.ค. 54)
38. จงหาผลคูณของค่าสูงสุดและค่าตําสุดของฟั งก์ชน
ั
(1) ‫8 ≥ ݕ2 + ݔ‬
(2) 5‫02 ≥ ݕ2 + ݔ‬
(3) ‫22 ≤ ݕ4 + ݔ‬
(4) ‫1 ≥ ݔ‬
(5) 1 ≤ ‫8 ≤ ݕ‬
39. ให้
௔
௖
ܽ,ܾ,ܿ
௖
+௔
เป็ นจํานวนจริง โดยที
เท่ากับเท่าใด
40. กําหนดให้
สําหรับ
ሼ ܽ௡ ሽ
݂(‫2 + ݕ + ݔ = )ݕ ,ݔ‬
2ܽ , 3ܾ , 4ܿ
เป็ นลําดับเรขาคณิต และ
เป็ นลําดับของจํานวนจริง โดยที ܽଵ = 1 และ
݊ = 1, 2, 3, …
ภายใต้ เงือนไขข้ อจํากัดต่อไปนี
ଵ ଵ ଵ
, ,
௔ ௕ ௖
ܽ௡ + 1 ≤ ܽ௡ାଵ
ଵ
แล้ วค่าของ lim ௡  ∑ (ak + 6 − k )  เท่ากับเท่าใด


n
n →∞
 k =1

เป็ นลําดับเลขคณิต ค่าของ
และ
ܽ௡ାହ ≤ ܽ௡ + 5

15. PAT 1 (มี.ค. 54)
41. กําหนดให้
โดยที
ܴ
แทนเซตของจํานวนจริ ง ถ้ า ݂: ܴ → ܴ เป็ นฟั งก์ชน
ั
‫ ݔ − ݔ2 = )ݔ − 1(݂ + )ݔ(݂ݔ‬ଶ
เมือ
‫ܴ∈ݔ‬
แล้ ว ค่าของ
∑ ൫‫)ݔ(݂ + ݔ‬൯
54
x = 25
เท่ากับเท่าใด
42. กําหนดให้ ܴ แทนเซตของจํานวนจริ ง ถ้ า ݂: ܴ → ܴ และ ݃: ܴ → ܴ เป็ นฟั งก์ชนทีหาอนุพนธ์ได้ ทก ‫ܴ ∈ ݔ‬
ั
ั
ุ
โดยที ݃(‫ ݔ = )ݔ‬ଶ − 2‫ ݔ2 + ଺ ݔ = )ݔ()݂ ∘ ݃( , 5 + ݔ‬ସ − 2‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ − 2‫ 5 + ݔ‬และ ݂(0) = 0
ค่าของ (݂ ᇱ ∘ ݃ᇱ )(1) + (݃ᇱ ∘ ݂ ᇱ)(0) เท่ากับเท่าใด
43. กําหนดให้ เส้ นโค้ ง
ถ้ า
‫)ݔ(݂ = ݕ‬
݃(‫)ݔ(݂ 2 + ݔ√ = )ݔ‬
สัมผัสกับเส้ นตรง
และ
݃
ᇱ (2)
=0
2‫ 0 = 3 + ݕ − ݔ‬ทีจุด (0, 3)
แล้ ว ݂(2) เท่ากับเท่าใด
และ
ᇱᇱ
∫ ݂ (‫ )ݔ‬d‫3− = ݔ‬
2
0
15

16. 16 PAT 1 (มี.ค. 54)
44. กําหนดให้
݂(‫= )ݔ‬
௫ିଷ
൝√ଶ௫ାଵ଴ି√௫ାଵଷ
ܽ
เมือ ‫3 ≠ ݔ‬
เมือ ‫3 = ݔ‬
โดยที ܽ เป็ นจํานวนจริ ง
ถ้ า ݂ เป็ นฟั งก์ชนต่อเนืองทีจุด ‫ 3 = ݔ‬แล้ ว ܽ เท่ากับเท่าใด
ั
45. จงหาว่าจํานวนสับเซต
ܽଷ − ܽଶ ≥ 3
ሼ ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሽ
ของเซต
ሼ 1, 2, 3, … , 14 ሽ
ทังหมดทีสอดคล้ องกับ
ܽଶ − ܽଵ ≥ 3
และ
46. ถ้ า ܵ เป็ นผลบวกของจํานวนเต็มบวกทังหมดทีสร้ างมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรื อ 4 โดยทีตัวเลขในแต่ละหลักไม่ซํา
กัน แล้ วเศษเหลือจากการหาร ܵ ด้ วย 9 เท่ากับเท่าใด

17. PAT 1 (มี.ค. 54)
47. ข้ อมูลความสูง (เซนดิเมตร) และนําหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรี ยนหญิง 4 คน ดังนี
นักเรี ยนหญิง
ความสูง
(เซนติเมตร)
นําหนัก
(กิโลกรัม)
คนที 1
คนที 2
คนที 3
คนที 4
150
152
154
156
45
45
48
50
ถ้ าส่วนสูงและนําหนักของนักเรียนมีความสัมพันธ์เชิงฟั งก์ชนเป็ นเส้ นตรง ‫ ݔ9.0 + ܽ = ݕ‬เมือ ‫ ݔ‬เป็ นส่วนสูง และ
ั
‫ ݕ‬เป็ นนําหนัก แล้ ว นักเรี ยนทีมีสวนสูง 155 เซนติเมตร จะมีนาหนักกีกิโลกรัม
่
ํ
48. กําหนดให้ ‫ ܫ‬แทนเซตของจํานวนเต็ม ถ้ า ݂: ‫ ܫ → ܫ‬เป็ นฟั งก์ชนทีมีสมบัติดงนี
ั
ั
(1) ݂(1) = 1
(2) ݂(2‫6 + )ݔ(݂4 = )ݔ‬
(3) ݂(‫21 + ݔ21 + )ݔ(݂ = )2 + ݔ‬
แล้ วค่าของ ݂(7) + ݂(16) เท่ากับเท่าใด
17

18. 18 PAT 1 (มี.ค. 54)
49. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ เป็ นจํานวนจริ ง
นิยาม ‫ ݔܽ = ݕ ∗ ݔ‬ଶ + ܾ‫ ݕ‬ଶ + ܿ‫ ݕݔ‬สําหรับจํานวนจริ ง ‫ ݕ ,ݔ‬ใดๆ ถ้ า
และมีจํานวนจริง ݀ > 0 โดยที ‫ ݔ = ݀ ∗ ݔ‬สําหรับทุกจํานวนจริ ง ‫ݔ‬
แล้ วค่าของ ܽ + 2ܾ + 3ܿ + 4݀ เท่ากับเท่าใด
1∗2=3 , 2∗3=4
50. กําหนดให้ ܽ, ܾ ∈ ሼ 0, 1, 2, … , 9 ሽ และ 1ܽ5 , 6ܾ9 เป็ นจํานวนสามหลัก
ถ้ า 6ܾ9 − 1ܽ5 = 454 และ 6ܾ9 หารด้ วย 9 ลงตัว แล้ ว ܽ + ܾ เท่ากับเท่าใด

19. PAT 1 (มี.ค. 54)
เฉลย
1. 3
2. 2
3. 3
4. 3
5. 4
6. 1
7. 2
8. 4
9. 1
10. 4
แนวคิด
50. 11
6ܾ9 หารด้ วย 9
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2
3
1
2
2
1
3
1
3
4
→ ܾ=3 → ܽ=8 →
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
4
1
2
1
4
415
18
8
4
22
ตอบ 11
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
234
0.2
20
4
2
3
3
157.5
2.5
6
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
30
1
8
8
120
4
48.8
911
11
19