Optimizacion

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a
la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos que transformar sus
enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones.

Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones,
sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de
mucha utilidad.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN.

a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de
encontrar.
b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variables para las cantidades desconocidas.
c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y
expresa resta variable como función de una de las otras variables.
e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.
f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos
valores críticos son máximos o mínimos.
g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se
obtuvo anteriormente.
h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA.
1.) Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el
cuadrado el otro es máximo.

Según el enunciado x + y = 18 y x ⋅ y 2 = Máximo

Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo.

y = 18 − x ; Máximo = x (18 − x ) ⇒ M ( x) = x (18 − x ) , En esta ecuación hallamos el
2 2

valor de x que la hace máxima.

A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante.

304
damasorojas8@gmail.com,    damasorojas8@galeon.com,   joeldama@yahoo.com.


M ´( x) = (18 − x ) − 2 x (18 − x ) ⇒ M ´( x) = 3 ( x − 18 )( x − 6 )
2

si : M ´( x) = 0 ⇒ −3 (18 − x )( x − 6 ) = 0 ⇒ x1 = 18; x2 = 6(v.c.)

B.‐ Calculamos la segunda derivada y hallamos su valor numérico para las raíces
anteriores.

M ′′( x) = 6 ( x − 12 ) ⇒ M ′′( 6) = −36 < 0 ⇒ ∃ máximo; M ′′(18) = 36 > 0 ∃ mínimo

si x = 6 ⇒ y = 12

2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados
iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las
dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.



Volumen de la caja =   v = (12 − 2 x )(12 − 2 x )( x ) ⇒ v = x (12 − 2 x )
2

v( x) = x (12 − 2 x ) ⇒ v′( x) = 12( x − 2)( x − 6)
2

si : v′( x) = 0 ⇒ 12( x − 2)( x − 6) = 0 ⇒ x = 2; x = 6(v.c.)
v′′( x) = 24( x − 4) ⇒ v′′(2) = −48 < 0 ∃ máximo; v′′(6) = 48 ∃ mínimo

NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que x no puede valer 6 cm. Porque el
volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm.

3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a 36 Dm 2 para que
sea cercado por una valla de longitud mínima?

305


Según el enunciado, área = x . y ; x . y = 36

Mínimo = 2 x + 2 y ; Min = 2 x + 2 y

Despejamos y en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del mínimo.

⎛ 36 ⎞ 2 x + 72 2 x 2 + 72
2
36
y= ⇒ Min( x) = 2 x + 2 ⎜ ⎟ = ⇒ Min( x) =
x ⎝ x ⎠ x x

2 x 2 − 72 2 x 2 − 72
Min′( x) = ; si : Min′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = ± 6(v.c.)
x2 x2
144
Min′′( x) = 3 ⇒ Min′′(6) = 3 > 0 ⇒ ∃ mín (nota : no se toma en cuenta x = −6)
2
x
4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado
que está junto al camino cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro, halla el
área del mayor campo que puede cercarse con BF.1.440.

Según el enunciado, área = x. y
8 x + 4 x + 4 x + 4 y = 1.440 ⇒ 12 x + 8 y = 1.440 ⇒ 3 x + 2 y = 360

Despejando y en la segunda y llevando su valor al área, nos queda:

360 − 3x ⎛ 360 − 3x ⎞ 360 x − 3x 2
si : y = ⇒ A = xy ⇒ A( x) = x ⎜ ⎟ ⇒ A( x) =
2 ⎝ 2 ⎠ 2
360 − 6 x 360 − 6 x
A′( x) = ⇒ si : A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 60(v.c.)
2 2
360 − 3x 360 − 3(60)
y= ⇒ y = y= ⇒ y = 90 m. ⇒ A = xy = (60 m)(90m) = 5.400m 2
2 2
NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada.

306


5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.



2
⎛h⎞
En la figura x es el radio de la base del cilindro. Por Pitágoras   62 = ⎜ ⎟ + x 2 .
⎝2⎠
2
h
Volumen = π . x 2 . h pero x 2 = 36 −
4
⎛ h2 ⎞ π (144h − h3 ) π
V (h) = π ⎜ 36 − ⎟ h ⇒ V (h) = ⇒ V ′(h) = (144 − 3h 2 )
⎝ 4⎠ 4 4

π
V ′(h) = 0 ⇒ (144 − 3h 2 ) = 0 ⇒ h =
12
= ±4 3; se toma : h = 4 3
4 3
6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho
papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea
máximo.


9 2 = h 2 + x 2 ⇒ x 2 = 81 − h 2
π x2h π ( 81 − h 2 ) h π
v=
3
⇒ V (h) =
3
⇒ V ( h) =
3
(81 h − h )
3

π
V ′( h) =
3
(81 − 3h ) ; si : V ′(h) = 0 ⇒ π (81 − 3h ) = 0 ⇒ h =
2

3
2 9
3
⇒ h = 3 3cm

307


7) Se dispone de una hoja de papel para un cartel que mide 2m2. Los márgenes superior
e inferior, miden 20 cm. cada uno y los laterales 12 cm. cada uno. Hallar las dimensiones
de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima.



parteimpresa : A = ( x − 40 ) ( y − 24 ) ; además área total : xy = 2 ⇒ x = 2
y

⎛ 2 − 40 y ⎞
A( y ) = ( 2
y )
− 40 ( y − 24 ) ⇒ A( y ) = ( y − 24 ) ⎜ ⎟
⎝ y ⎠
⎛ 2 − 40 y ⎞ ⎛ y ( −40 ) − ( 2 − 40 y ) ⎞ 8(6 − 5 y 2 )
A′( y ) = ⎜ ⎟ + ( y − 24 ) ⎜ ⎟ ⇒ A′( y ) =
⎝ y ⎠ ⎝ y2 ⎠ y2

8(6 − 5 y2 )
si : A′( y) = 0 ⇒ =0⇒ y = ± 30
5 (v.c.); y = 0 ∃A′( y)
y2
xy = 2 ⇒ x = ⇒ x = 2
y
10
30
⇒x= 30
3 ;y= 30
5

8) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar el de área máxima.

2
y.h 2 2 2 ⎛ y⎞
En la figura: área = por Pitágoras   BC = DC + BD ; x 2 = ⎜ ⎟ + h 2
2 ⎝2⎠

308


Perímetro: 2 x + y = 12 → y = 12 − 2 x
y2
y . x2 −
y2 y.h 4
h = x2 − ; Area = ⇒ Area =
4 2 2
(12 − 2x )
2
4 x2 − 144 + 48x − 4x2
(12 − 2x ) x 2
− 2 ( 6 − x)
si : y = 12 − 2x ; A( x) = 4 = 4
2 2
48x − 144 48x ( x − 3) 4 3 ( x − 3)
A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒
2 2 2
⎡ ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ( 3) ⎤
A( x) = 2 ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ⇒ A′( x) = 2 ⎢− 2 3 ( x − 3) + ⎥
⎢ 3 ( x − 3) ⎥
⎣ ⎦
3 3(4 − x) 3 3(4 − x)
A′( x) = ⇒ A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 4(v.c.); x = 3 ∃A′( x)
x −3 x −3
para x = 4 ⇒ y = 4
El triángulo de área máxima es equilátero de lado igual a 4cm.

NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que para x = 3, el triangulo se transformaría
en una recta, por lo tanto x = 4, es la solución.

9) En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm. cada uno. Hallar la longitud
de la base para que el área sea máxima.

309


x2
en la figura : BC = BD + DC ; (20) 2 = h 2 + ( 2 ) ⇒ h = 400 −
2 2 2 2
x
4
x 400 − x4 x 1600 − x 2
2
xh
Area : A = ⇒ A( x ) = ⇒ A( x ) =
2 2 4
x ( −2 x )
1600 − x 2 −
2 1600 − x 2 800 − x 2
A′( x ) = ⇒ A′( x ) =
4 2 1600 − x 2

A′( x ) = 0 ⇒
800 − x 2
=0
(800 − x ) 2
1600 − x 2
=
2 1600 − x 2 2 (1600 − x 2 )

Por lo tan to : 800 − x 2 = 0 y 1600 − x 2 = 0 ; 800 − x 2 = 0 → x = 20 2
1600 − x 2 = 0 → x = 40

NOTA: Para la naturaleza del problema, para x = 40 el triángulo se transformarías en una
recta, por lo tanto x = 20 2 m.

10) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y
semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de
los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la
capacidad deseada es de 10 π . Pies?

a) Tenemos que : A. esfera = 4π R2 ; A. cilindro sin tapa = 2π R
b)La función a optimizar es el cos to: C = 2 ( 4π R2 ) + 2π R

310


4 4 30 − 4 R3
c) V . esfera = π R3 ; V . cilindro = π R2 ⇒Vtotal = π R3 + π R2 ⇒ =
3 3 3 R2
⎛ 30 − 4R3 ⎞ 60 π − 8π R3
C ( R) = 8 π R 2 + 2 π R ⎜ 2 ⎟ ⇒ C ( R) = 8 π R 2 +
⎝ 3R ⎠ 3R
24 π R + 60 π − 8 π R
3 3
16 π R + 60 π
3
C ( R) = ⇒ C ( R) =
3R 3R
48π R3 ( 3 R ) − 3 (16 π R3 + 60 π ) 144 π R3 − 48π R3 − 180 π
d ) C′( R) = ⇒ C′( R) =
(3 R) (3 R)
2 2

96 π R3 −180 π 96 π R3 −180 π 180 π
C′( R) = ; si : C′( R) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 96 π R3 −180 π = 0 ⇒ R3 =
(3 R) (3 R) 96 π
2 2

180 22 . 32 . 5 3 3.5 3 15 3
15
R= 3 = 3
5
= 3
= ⇒R= ft
96 2 .3 2 2 2
3
15
e) Si : R = ft ⇒ = 2 3 15 ft
2

11) Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo
de radio “a” de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro.

Rectángulo tiene como:

Base = 2 x ; Altura = a 2 − x 2 ⇒ Aret = bh ⇒ Aret = ( 2 x ) a 2 − x 2
2 x ( −2 x )
/ 2 a2 − 2x2 − 2x2 2 a2 − 4x2
A ′( x ) = 2 a 2 − x 2 + ⇒ A ′( x ) = ⇒ A ′( x ) =
/
2 a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2
2 a2 − 4x2 2 a2 a 2
Si A ′( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 a2 − 4x2 = 0 ⇒ x = ⇒x =
a2 − x2 4 2

a 2 4a 2 − 2a 2 a 2
b = 2x ⇒ b = a 2 ; h = a2 − x2 ⇒ h = a2 − ⇒ h= ⇒ h=
2 4 2

311


12) Encuentre el punto de la gráfica y = x 2 + 1 más cercano al punto (3, 1).

La distancia entre los puntos ( x, y ) y (3,1) es : d = ( x − 3) + ( y −1)
2 2

( x − 3) + ( x 2 + 1 − 1) ⇒ d = x 4 + x 2 − 6 x + 9
2
pero : y = x 2 + 1⇒ d =
2

2 x3 + x − 3 2 x3 + x − 3
d ′( x) = ; Si : d ′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 x3 + x − 3 = 0
x + x − 6x + 9
4 2
x + x − 6x + 9
4 2

por Ruffini : ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 3) = 0 ⇒ x = 1(v.c.); 2x2 + 2x + 3 ≠ 0
Si : x = 1⇒ y = 2. Punto (1, 2)

13) Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.
Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima,
si el perímetro de la misma debe ser 12 pies.

Cálculo de h : h = x2 − ( 2 )2 ⇒ h =
x 3 x2
4 ⇒ h = ( x 23 )
xh x( x 2 3 ) x2 3
Área del triángulo : A = ⇒ A= ⇒ A=
2 2 4
Área del rectángulo : A = xy
Para : y en función de x, usamos el perímetro de la ventana:
12 − 3x 12 x − 3x 2
P = 2 y + 3x ⇒ 12 = 2 y + 3x ⇒ y = ⇒ A( x) =
2 2
x 3 12 x − 3x
2 2
Área total de la figura : AT ( x) = +
4 2
x 3 12 − 6 x x 3 + 12 − 6 x
′
AT ( x) =
2
+
2
′
⇒ AT ( x) =
2
= 0 ⇒ x 3 − 6 + 12 = 0 ( )

312


12 − 3x 12 − 3( 6−123 )
x= ⇒x=
−12
3−6
Base del rectángulo ⇒ si : y =
12
6− 3
⇒y= ⇒
2 2
72 − 12 3 − 36 36 − 12 3 18 − 6 3
y= y= ⇒y = Altura del rectángulo
2 6− 3( ) 2 6− 3 ( ) 6 − 3

14) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su
longitud y el perímetro de su base no exceda de 108 pulgadas. Encuentre las
dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por
correo.

El perímetro de la base es : P = 4 a
Condición : + 4 a ≤ 108 pu lg , tomaremos el extremo máximo
+ 4 a = 108 , de donde = 108 − 4 a
El Volumen : V = aa ⇒ V = a 2 ⇒ V = a 2 (108 − 4 a ) ⇒ V ( a ) = 108 a 2 − 4 a 3
V ′( a ) = 215 a − 12 a 2 ; Si : V ′( a ) = 0 ⇒ 4 a ( 54 − 3 a ) = 0 ⇒ a = 0 no es solución ,
54 − 3 a = 0 ⇒ a = 18 pu lg ⇒ = 108 − 4 (18) ⇒ = 36 Pu lg

15) La distancia R = OA (en el vacío) que cubre un proyectil, lanzando con velocidad
inicia, V0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ respecto al
V02 Sen 2 φ
horizonte, se determina según la fórmula: R = Determinar el ángulo φ con
g
el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial V0.

313


0 ≤ φ ≤ π (condición)
2

dR 2V02 cos(2φ) dR 2V 2 cos(2φ ) π
= ⇒ = 0 ⇒ ´0 = 0 ⇒ cos(2φ) = 0⇒φ = (v.c.)
dφ g dφ g 4
d2 R (4V02 )sen(2φ) d2 R d2 R (4V02 )sen2( π ) d 2 R (4V 2 )
=− ⇒ sust. v.c.en ⇒ 2 =− 4
⇒ 2 = − 0 <0
d φ2 g d φ2 dφ g dφ g
π V02 Sen (2φ) V2
⇒ en φ = ∃ máximo ⇒ sust en R(φ) = ⇒ R(φ) = 0
4 g g

16) ¿Qué dimensiones debe tener un cilindro para que sea mínima su área total, dado el
volumen V?

V
r = radio; h = altura ⇒ S = 2 π r 2 + 2π rh; Vcilindro = π r 2 h ⇒ h =
π r2
(
S = 2π r 2 + 2 π r ( πVr 2 ) ⇒ S (r ) = 2π r 2 + ( 2r ) ⇒ S (r ) = 2 π r 2 + V
V
r )
ds ⎡ V ⎤ ds ⎡ 2π r 3 − V ⎤
= 2 ⎢2π r − 2 ⎥ ⇒ = 0 ⇒ 2 ⎢ ⎥ = 0 ⇒ 2 π r −V = 0 ⇒ r = 2π (v.c.); r = 0 ∃
3 3 v

⎣ r ⎦ dr 2
dr ⎣ r ⎦
d 2S ⎡ 2V⎤ d 2S ⎡ 2 V ⎤ d 2S
= 2 ⎢2π + 3 ⎥ ⇒ sust v.c. ⇒ 2 = 2 ⎢2π + v ⎥ ⇒ 2 = 2 [ 2 π + 4π ] = 12 π > 0
dr 2 ⎣ r ⎦ dr ⎢
⎣ 2π ⎥
⎦ dr
V V
r 3 = 2vπ ⇒ r = 3 2vπ ⇒ si : h = 2 ⇒ h =
πr π 3 ( 2vπ )2

314


17) Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados,
ya que el lado que da al río no requiere cerca. Si se dispone de 100 m de cerca,
encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima.

0 < x < 50(condición); A = b h ⇒ A = x (100 − 2 x ) ⇒ A( x) = 100 x − 2 x 2
dA dA
= 100 − 4 x ⇒ = 0 ⇒ 100 − 4 x = 0 ⇒ x = 25(v.c.)
dx dx
d 2A d 2A
= − 4 ⇒ 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ x = h = 25 m ⇒ b = 50m ⇒ A = 1250 m 2
dx 2 dx
18) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una
semicircunferencia de radio r.

Arectángulo = x y ⇒ ABC : r 2 = y 2 + ( 2 )2 ⇒ ( 2 )2 = r 2 − y 2 ⇒ x = 2 r 2 − y 2
x x

⎡1 ⎤
= 2 r 2 − y 2 + 2 y ⎢ ( r 2 − y 2 ) ( −2 y ) ⎥
da −1/ 2
A( y) = 2 y r 2 − y 2 ⇒ /
dy /
⎣2 ⎦
da 2 ⎡r − 2 y ⎤ ⎦ ⇒ si : da = 0 ⇒ 2 ⎡r − 2 y ⎤ = 0 ⇒ r 2 − 2 y 2 = 0 ⇒ y = r ⇒ y = r 2
2 2 2 2

= ⎣ ⎣ ⎦
1 1 2
dy r −y
2 2 dy r −y
2 2
2

r 2 − y2 ⇒ r = y ∃
/

d A 2 [ −4 y ] r − y − 2 ⎣r − 2 y ⎦ ⎢ 2 ( r − y )
2 ⎡1
( −2 y )⎤
−1/ 2
2 2
⎡ 2 ⎤ 2 2
2
⎣ ⎥
⎦
=
dy 2 (r − y )
2 2

315


d2 A 2 y( r − y ) ⎡−4( r2 − y2 ) + ( r2 − y2 ) ⎤
2 2 −1/2

= ⎣ ⎦
dy2 (r − y )
2 2

d 2 A 2 y ⎡−4 r + 4y + r − 2y ⎤ d 2 A 2 y ⎡ 2y − 3r ⎤
2 2 2 2 2 2

= ⎣ ⎦⇒ = ⎣ ⎦
( r2 − y2 ) ( r2 − y2 )
2 2
dy 3 dy 3

d 2 A 2(
r 2
) ⎡2( r 22 )2 − 3r2 ⎤ d 2 A r 2 ⎡− r2 ⎤ d 2 A −r3 2
=
2 ⎣ ⎦⇒ = ⎣ ⎦⇒ =
dy2
( ) dy2 dy2
3 3 3
r −( 2 ) ⎡r − 2 ⎦
r2 ⎤ ⎡ 2r 2− r ⎤
2 2 2
2 r 2 2
⎣ ⎣ ⎦
/
d 2 A −r3 2 d 2 A −r3 2 d 2 A −r3 2 d 2 A −8
= ⇒ 2= ⇒ 2= ⇒ 2 = < 0
dy2 2
( r2 )3 dy r6 dy 3 1 dy r
8 r 3
2
r 2r
y = ; x = 2 r2 − r2 ⇒ x = 2 r2 ⇒ x = ⇒x = 2y
2 2

2 2

19) Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. del punto más próximo de la costa.
Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. del punto de
la costa más próximo al buque, medido a lo largo de la costa; el mensajero andando a
pie hace 5 km/h y remando 4 km/h; ¿En qué punto de la costa debe desembarcar el
mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible?

316


2 2 2
por pítagoras : AD = AB + BD
Remando: AD = 92 + x 2 ; A pie: DC = 15 − x
x x 81 + x 2 15 − x
M .R.U . ⇒ V = ⇒ t = ⇒ t. remando : tR = km
; t. a pie : tP =
t V 4h 5 km
h

81 + x 2 15 − x 81 + x 2 x
tt = t R + t P ⇒ tt ( x ) = + ⇒ tt ( x ) = − +3
4 5 4 5
dt 5 x − 4 81 + x
2
dt 1 ⎡ 1
=
dx 4 ⎢ 2
⎣
(81 + x ) ( 2 x )⎥ 5 dx
2 −1/ 2 ⎤ − 1 ⇒ dt =
⎦
x 1
− ⇒ =
4 81 + x 2 5 dx 20 81 + x 2

( )
2
dt
= 0 ⇒ 5 x − 81 + x 2 = 0 ⇒ ( 5 x ) = 4 81 + x 2 ⇒ 25 x 2 = 16 x 2 + 1296 ⇒ x = 12 (v.c.)
2

dx
81 + x 2 − ( 81 + x 2 ) ( 2 x )
x −1/ 2
2
d t 1 2 d2 t 81
= ⇒ 2=
dx 2
4 (81 + x )
2
dx 4 81 + x 2 (
3
)
d2 t 81
2
= > 0 ∴ x = 12 Km ∃ mínimo tiempo empleado
dx 4 81 + (12) 2

20) De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección rectangular.
¿Qué ancho (x) y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga tenga resistencia
máxima posible. A) A la compresión, B) A la flexión?
Nota: La resistencia de la viga a la compresión es proporcional al área de su sección
transversal mientras que la flexión es proporcional al producto del ancho de esta
sección por el cuadrado de su altura.

317


Arectángulo : A = bh ⇒b = x ; h = y; Por pitágoras :d 2 = x2 + y2 ⇒ y = d 2 − x2

⎤ ⇒ dRc = k ( d − x )
( (d − x ) )
2 2

Rc (x) = kx d − x ⇒ c = k ⎡ d 2 − x2 + x
dR 2 −1/2
2
⎢
2 1 2
( −2x)⎥
dx ⎣ 2
⎦ dx d 2 − x2
dRc k ( d 2 − x2 ) dRc
= 0⇒ = 0 ⇒ k ≠ 0; d 2 − 2x2 = 0⇒ x = d
(v.c.); Si : x = d ∃
/
d −x
2
dx 2 2 dx

2
d Rc
⎡ −4x
=k ⎢
( )
d 2 − x2 − ( d 2 − 2x2 ) 1 ( d 2 − x2 )
/
2
−1/2
( −2x) ⎤
/
⎥⇒
d 2 Rc kx ( 2x − 3d )
=
2 2

dx2 ⎢
⎢
⎣
(d 2
− x2 ) ⎥
⎥
⎦
dx2
( d 2 − x2 )
3

d 2 Rc d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d
sust. v.c. en 2 ⇒ 2 =
d d 2 2

⇒ 2 =
(
d d
)
d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d
2
( 2
)
dx dx dx
( ) ( )
3 3
d − ( 2)
2 d 2 2d 2 − d 2
2

d 2 Rc k( 2 ) ( − d ) d 2 Rc −k d 3 4 2 d 2 Rc
d 2
d2
= ⇒ 2 = ⇒ 2 = − 4k < 0 ⇒ en x = ∃ máximo
( )
2
dx2 d2
3 dx 2 d3 dx
2

d d
si : x = (ancho) ⇒ y = d 2 − x2 ⇒ y = d 2 − ( d2 ) 2 ⇒ y = (altura)
2 2
V − 4 π3r 3V − 4π r3
3

4 π r3 4 π r3
Vt =π r h +2
⇒V − = π r h⇒ h =
2
⇒h =
3 3
π r2 3π r 2
⎡ 3V − 4π r3 ⎤ ⎡ 3V − 4π r3 ⎤
At = 2π r h + 4 π r 2 ⇒ At (r) = 2π r ⎢ ⎥ + 4 π r 2 ⇒ At (r) = 2 ⎢ ⎥+4 π r
2

⎣ 3π r ⎦
2
⎣ 3r ⎦
dA 2 ⎡ ( −12π r ) ( r ) − ( 3V − 4π r ) ⎤ dA −2 ⎡8π r3 + 3V ⎤
2 3

= ⎢ ⎥ + 8π r ⇒ = ⎥ + 8π r
dr 3 ⎢ r2 ⎥ dr 3 ⎢ ⎣ r2 ⎦
⎣ ⎦
dA −16π r3 − 6V + 24π r3 dA −6V + 68π r3 dA −6V + 68π r3
= ⇒ = ; si : = 0⇒ =0
dr 3r2 dr 3r 2 dr 3r2
6V
−6V + 68π r3 = 0⇒r3 = ⇒r = 3 3V (v.c.); r = 0 ∃
4π
8π

318


dA −6V + 68π r 3 dA 2V 8π r d 2 A 4V 8π
= 2
⇒ =− 2 + ⇒ 2 =− 3 +
dr r dr r 3 dr r 3
2
d A d A2
4V 8π d A 16V π 8π
2
d2A
sust. v.c. en 2 ⇒ 2 = − + ⇒ 2 = + ⇒ 2 = 6π > 0
dr dr ( 3 3V )3
4π
3 dr 3V 3 dr

3V − 4π r 3 3V − 4π ( 3V )
4π
en r = 3 3V
4π ∃ mínimo ⇒ h = ⇒h= ⇒h = 0
3π r 2
3π 3 ( 3V )
2
4π

b) RF = Kxy 2 ⇒ d 2 = x2 + y 2 ⇒ y 2 = d 2 − x 2 ⇒ RF = Kx ( d 2 − x2 ) ⇒ R f ( x) = K ( xd 2 − x3 )

= K ( d 2 − x2 ) ⇒ = 0 ⇒ K ( d 2 − x 2 ) = 0 ⇒ K ≠ 0; d 2 − 3x2 = 0 ⇒ x =
dR f dR f d
3
(v.c.)
dx dx
d 2Rf 2
d Rf d 2Rf d 2 Rf
2
= K ( −6 x ) ⇒ 2
= − 6Kx; ⇒ sust. v.c. en 2
⇒ 2
= − 6K ( d3 ) < 0 ∃ máximo.
dx dx dx dx
d d 3d − d 2
2 2
Ancho : x = ; altura : y = d 2 − ⇒y= ⇒y = 2
3 d
3 3 3

21) Un trozo de alambre de 10 m. de longitud se va a cortar en dos partes. Una parte
será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado. ¿Cómo deberá
cortarse el alambre para que el área combinada de las dos figuras sean tan pequeñas
como sea posible.

Cuadrado de lado x ⇒ longitud del alambre = 4x
10 − 2π r
Circunferencia de radio r ⇒ longitud del alambre = 2π r ⇒10 = 4x + 2 π r ⇒ x =
4
Acuadrado = x2 ; Acircunferencia = π r 2 ⇒ Área combinada : A = x2 + π r 2 ⇒

⎡10 − 2π r ⎤ ⎡10 − 2π r ⎤⎛ −2π ⎞
/ dA ⎛ −10 + 2π 2 r ⎞
2
dA
A(r) = ⎢ +π r ⇒
2
/
= 2⎢ ⎜ ⎟ + 2π r ⇒ =⎜ ⎟ + 2π r
⎣ 4 ⎥ ⎦ dr ⎣ 4 ⎥ 4 ⎠
/ ⎦⎝ / dr ⎝ 4 ⎠

319


dA −5π + π 2 r dA π (−5 + r (π + 4)) dA 5
= + 2π r ⇒ = ; si : =0⇒r = (v.c.)
dr 2 dr 2 dr (π + 4)
d 2 A π (π + 4) d2A
= ⇒ 2 = > 0 ⇒ en r = π 5 4 ∃ mínimo
+
dr 2 2 dr
⎡5 − π r ⎤ ⎡ 5 − π [ π 5 4 ]2 ⎤
+
⎡ 5π + 20 − 5π ⎤ 10
x= ⎢ ⎥ ⇒ x= ⎢ ⎥⇒ x =⎢ ⎥⇒ x = ⇒ x 1.4
⎣ 2 ⎦ ⎢
⎣ 2 ⎥
⎦ ⎣ 2 (π + 4) ⎦ (π + 4)
22) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto, que se puede inscribir en el
cono de 12 cm de altura y 4 cm en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono
coincidan.

La figura representa una sección transversal del cono y del cilindro que pasa por el eje de
ambos.
por relación de triágulos semejntes
h 12 h
= ⇒ = 3⇒ h = 3( 4 − r )
4 −r 4 4−r
Volumen del cilindro : V =π r 2h ⇒ V (r) =π r 2 ⎡3( 4 − r ) ⎤ ⇒V (r) = 3π r 2 ( 4 − r )
⎣ ⎦
si : r = 0 ó r = 4 (volumen máximo no se alcanza en la frontera)
dv dv
V (r) = 3π ⎡4r 2 − r 3 ⎤ ⇒ = 3π ⎡8 r − 3 r 2 ⎤ ; si :
⎣ ⎦ dr ⎣ ⎦ = 0 ⇒ 3π ⎡8 r − 3 r 2 ⎤ = 0
⎣ ⎦
dr
8
3π ≠ 0; 8 r − 3 r 2 = 0 ⇒ r [8 − 3 r ] = 0 ⇒ r = 0; r = (v.c.)
3

320


d2V d2V
= 3 π [8 − 6 r ] ⇒ 2 = 3 π ⎡8 − 6 ( 8 ) r ⎤< 0 ⇒ ∃ máximo
⎣ 3 ⎦
dr 2 dr
Calculamos la altura : h = 3 ( 4 − 8 ) ⇒ h = 4
3
El volumen máximo del cilindro inscrito es : V = π ( 8 ) 2 4 ⇒ V = 89.4 cm3
3

23) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.

                                                    X = radio del cilindro
Volumen del cilindro: V = π r 2 h; por pitágoras : 62 = ( h ) + x 2
2
2

h2 144 − h 2 ⎡144 − h 2 ⎤ π
x 2 = 36 − ⇒ x2 = ⇒ V ( h) = π ⎢ ⎥ h ⇒ V = 4 ⎡144h − h ⎤
⎣
3
⎦
4 4 ⎣ 4 ⎦
dv π dv 144
= ⎡144 − 3h 2 ⎤ si :
⎣ ⎦ = 0 ⇒ 144 − 3h 2 = 0 ⇒ h = ⇒h=4 3
dh 4 dh 3
d 2v π d 2v π
= (−6h) ⇒ 2 = (−6)(4 3) < 0 ⇒ h = 4 3 ∃ máximo
dh 2 4 dh 4

24) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 c, de ancho
y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados hacia
arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen
máximo.

Sean: x = longitud en cm de los cuadrados que van a cortarse,  V = Volumen en cm3
El volumen de una caja es el producto de sus dimensiones.
321


NOTA: x no puede ser negativa debido a que el ancho del cartón mide 16 cm no puede
cortarse cuadrado cuyos lados midan 8 cm de largo.

V = lah ⇒ v( x) = (21− 2x)(16 − 2x) x ⇒ V ( x) = 4x3 − 74x2 + 336
dv dv dv
=12x2 −148x + 336 ⇒ = 4 ( 3x − 28)( x − 3) ; si : = 0 ⇒ 4(3x − 28)( x − 3) = 0
dx dx dx
x = 9; x = 3(v.c.)
d 2v d 2v
= ( 24x −148) ⇒ sustituimos : 2 = 24(3) − 148 < 0 ∃ máximocuando x = 3
dx2 dx

25) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa, que tenga un volumen
de 24 π cm3, el material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se
emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia
material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de
fabricación.

Donde: r  = Radio de la base en (cm),  h = la altura en (cm),  V = 24 π cm3
Sustituyendo: 24 π  =  π r2h
24 π 24
h= → h=
π r2 r2

322


Para obtener la ecuación de Costo de Fabricación.
A = costo por cm2 para la parte curva
El costo para la base CB = 3 a (π r h)
CC = a (2π r h)
El costo para la parte cilíndrica:
CC = a (área del cilindro)
El cos to total C = CB + CC
C = 3 a (π r 2 ) + a(2 π rh) ⇒ C = aπ (3r 2 + 2rh) ⇒ Como h = 24 ⇒ C (r ) = aπ ⎡3 r 2 + 2r
r2 ⎣ ( )⎤
24
r2⎦
⎛ r3 −8 ⎞
C (r ) = aπ ⎡3 r 2 + ( 48 ) ⎤ ⇒
⎣ r ⎦
dc
dr
(
= aπ 6 r − ( ))
48
r2
⇒
dc
dr
= 6aπ ⎜ 2 ⎟
⎝ r ⎠
dc
si : = 0 ⇒ r 3 − 8 = 0 ⇒ r = 2(v.c.); si r = 0(no tiene sentido)
dr

( ( )) ( ( ))
2
d c d 2c
2
= aπ 6 + 96 ⇒ sust. v.c. en : 2 = aπ 6 + (2)3 > 0 ⇒ en r = 2 ∃ mínimo
r3
96
dr dr
24
como h = 2 ⇒ h = 6
r

26) Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el
segundo, si el producto de los dos números es 288.

Sea: (x) El primer número, (y) el segundo número,  S la suma de ellos.

Del enunciado : S = 2x + y; xy = 288 ⇒ y = 288 ⇒ S ( x) = 2x + 288
x x

ds ds 2x2 − 288 ds 2x2 − 288
= 2 − x2 ⇒ =
288
2
⇒ =0⇒ 2
= 0 ⇒ 2x2 − 288 = 0 ⇒ x = ± 12
dx dx x dx x
2 2
d s 288 d s 288
= 3 ⇒ sust v.c. en 2 = > 0 ⇒ en x = 12 ∃ mínimo
dx2 x dx (12)3
si : x = 12 ⇒ y = 24

323


27) Un granjero dispone de 100 metros de valla, con los que desea construir un corral
rectangular de la máxima superficie posible.


(superficie del corral): S = xy; del enunciado 2 x + 2 y = 100 ⇒ y = 50 − x ⇒ S ( x ) = x (50 − x )
ds ds
= 50 − 2 x ⇒ = 0 ⇒ 50 − 2 x = 0 ⇒ x = 25(v.c.)
dx dx
d 2s
2
= − 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ y = 25 ∴ S . máxima es de : S = 625m 2
dx

28) Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.
1 1
Sea x un número ⇒ su inversoes : ⇒ S ( x) = x +
x x
ds 1 ds x − 1 2
ds
= 1 − 2 ⇒ = 2 ⇒ si : = 0 ⇒ x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1(v.c.), peroel valor debe ser (+)
dx x dx x dx
2 2
d s 2 d s 2
2
= 3 ⇒ sust. v.c. ⇒ 2 = 3 > 0 ⇒ en x = 1∃mínimo
dx x dx (1)

29) Dado un círculo de radio 4 dm, inscribe en él un rectángulo de área máxima.



S = xy (área del rectágulo) ⇒ ABC ⇒ x 2 + y 2 = 82 ⇒ y = 64 − x 2 ⇒ S ( x) = x 64 − x 2

324


2(32 − x2 )
S´( x) = ⇒ si : S´( x) = 0 ⇒ ( 32 − x2 ) = 0 ⇒ x = ±4 2(v.c.) pero : x ni y pueden ser (−)
64 − x 2

2x( x2 − 96) 2(4 2)((4 2)2 − 96)
S ′′( x) = ⇒ sust.v.c. x = 4 2 ⇒ S ′′( x) = = −4 < 0 ⇒ ∃máximo
(64 − x2 )3 (64 − (4 2)2 )3

( )
2
si : x = 4 2 ⇒ y = 64 − 4 2 = 4 2
30) Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4 x , tales que sus
distancias al punto A (4,0) sean mínimas.

d ( A, P) = ( x − 4) + y 2 y la parábola : y 2 = 4 x ⇒ sust. en d porq el punto ∈ a la parábola
2

x−2
d ( x) = ( x − 4) + (4 x) 2 ⇒ d ′( x) = ⇒ d ′( x) = 0 ⇒ x = 2(v.c.)
2

x 2 − 4 x + 16
12 12
d ′′( x) = ⇒ sust. v.c. d ′′( x) = > 0 ⇒ x = 2 ∃ mínimo
( x 2 − 4 x + 16)3 ((2) 2 − 4(2) + 16)3
si x = 2 ⇒ y = ± 2 2. ⇒ p 2, 2 2 ; p´ 2, − 2 2 ( ) ( )

31) De todas las parejas de números reales cuyas componentes tiene suma S dada
encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo. Aplica lo anterior
al caso S = 40.
a) sea : x e y las componentes ⇒ x + y = S ⇒ y = S − x; además P = xy
dP dP
Sust. ⇒ P( x) = x( S − x) ⇒ P( x) = − x2 + xS ⇒ = − 2 x + S ⇒ = 0 ⇒ x = S
2
dx dx
2
d P
= − 2 < 0 ⇒ en x = S ∃ máximo ⇒ si x = S ⇒ y = S ⇒ ( S , S )
2 2 2 2 2
dx2

325


de Pmáx = xy ⇒ Pmáx = ( S )( S ) ⇒ Pmáx =
2 2
S2
4

b ) Si : S = 40 ⇒ x = 20, y = 20 ⇒ Pmáx = 400.
32) De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen
producto dado, encontrar aquella para la cual la sume de esas componentes es mínima.
Aplica lo anterior al caso P = 100.

a.) Sea ( x, y ) la pareja ⇒ S = x + y; además P = xy ⇒ y = P
x ⇒ S ( x) = x + P
x

dS dS x 2 − P dS
= 1 − xP2 ⇒ = 2
; si : = 0 ⇒ x 2 − P = 0 ⇒ x = P (v.c.); condición x > 0
dx dx x dx
2 2
d S 2p d S 2p
2
= 3 ⇒ sust. v.c. ⇒ 2 = > 0 ⇒ en x = P ∃mínimo ∴
dx x dx ( P )3
p
si : y = ⇒ y = p ⇒ la pareja es ( p , p ) y su suma : S = 2 p
x
b) Siendo P = 100 la pareja será (10,10) y su suma S = 20.

33) Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 2000 pulg3. El material
del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 0.03 dólares por pulg2 y el material de
los laterales cuesta 0.015 dólares por pulg2. Determine las dimensiones de la caja para
que el costo total sea mínimo.

Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y C (x) dólares el costo total
del material. El área de la base es x 2 pu lg 2 . Sea y pulgadas la profundidad de la caja. Ver
figura. Puesto que el volumen de la caja es el producto del área de la base por la
profundidad.

326


x 2 y = 2000 ⇒ y = 2000
x2

Del enunciado : Ctotal = área(tapa y fondo) + área(laterales ) ⇒ Ctotal =3 ( 2 x 2 ) + 3
2 ( 4 xy )
C ( x ) = 6 x2 + 6 x ( ) ⇒ C ( x) = 6x
2000
x2
2
+ 12000
x ; Dom : (0, ∞)
12 x3 − 12000
C ′ ( x ) = 12 x − ( 12000
x2 ) ⇒ si : C ′ ( x ) = 0 ⇒
x 2
= 0 ⇒ x 3 = 1000 ⇒ x = 10(v.c.)

24000 24000
C´´ ( x ) = 12 + 3
⇒ sust. v.c. C´´ (10 ) = 12 + > 0 ⇒ en x = 10 ∃ mínimo
x (10)3
⇒ Cmín : x = 10 pu lg; y = 20 pu lg y el área de la base será de 100 p lg 2

34) Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado, el de máxima área es
el cuadrado.
p−2 x
perímetro del rectángulo : p = 2( x + y) ⇒ 2 x + 2 y = p ⇒ y = 2 ; y su área : A = xy
px − 2 x 2 dA p − 4 x dA p
sust. A = x( p −22 x ) ⇒ A( x) = ⇒ = ; si = 0 ⇒ p − 4 x = 0 ⇒ x = (v.c.)
2 dx 2 dx 4
2
d A p p − 2( p ) p p2
= −2 < 0 ⇒ en x = ∃ máximo ⇒ y = 2 4 ⇒ y = ∴ es un cuadrado : Am á x =
dx 2 4 4 16

35) Si una letra cerrada de estaño con un volumen de 16π.pulg3 debe tener la forma de
un cilindro circular recto, determinar la altura y el radio de dicha lata para utilizar la
mínima cantidad de material en su manufactura.

área superficial lateral: 2π rh ( pu lg) 2 área de la parte superior:π r 2 pu lg 2

área de la base : π r 2 ( pu lg) 2 ⇒ St = 2π rh + 2π r 2

327


16
El volumen del cilindro circular recto : V = π r 2 h ⇒ 16 π = π r 2 h ⇒ h =
r2
⎛ 16 ⎞ 32π
S ( r ) = 2π r ⎜ 2 ⎟ + 2π r 2 ⇒ S ( r ) = + 2π r 2 ; DomS (r ) : ( 0, + ∞ )
⎝r ⎠ r
−32 π −32 π + 4π r 3
S′( r ) = + 4π r ⇒ S ′ ( r ) = ; si : S ′ ( r ) = 0 ⇒ 4π r 3 = 32π ⇒ r 3 = 8 ⇒ r = 2(v.c.)
r2 r2
64 π 64 π
S ′′ ( r ) = 3 + 4 π ⇒ sust. v.c. ⇒ S ′′ ( 2) = + 4 π > 0 ⇒ r = 2 ∃ mínimo ⇒ h = 4
r (2)3
36) Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm.
a los que se les recortan las esquinas como indica la figura y doblando a lo largo de las
líneas punteadas.
a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea máximo.
b) Determina el volumen máximo



Base un cuadrado de lado : (40 − 2x) y la altura ( x) ⇒ V ( x) = (40 − 2x)2 x; dom :[0,20]
dV dV dV 20
= 2 ( 40 − 2x)( −2) x + ( 40 − 2x) ⇒ = ( 40 − 2 x)( − 6 x + 40) ⇒ = 0 ⇒ x = 20; x = (v.c.)
2

dx dx dx 3
2 2
dV dV
= 8(3x − 40) ⇒ sust. v.c. 2 = 8(3( 3 ) − 40) = −160 < 0 ∃ máximo
20
dx2 dx
vmá x = ( 40 − 2( 20 )) ( 20 ) ≅ 4,74.103 cm3
2
3 3

37) La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su
ancho a por el cuadrado de su altura h.

a) Calcula las dimensiones de la viga de máxima resistencia que puede aserrarse
de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro Ø dado.
b) Aplícalo al caso Ø = 15” (pulgadas)
c) Si el tronco tiene largo L expresa en porcentaje del volumen total de madera el

328


d) volumen de la viga.





a ) Sea : R la resistencia de la viga y k > 0 una cte ⇒ R = kah 2
ABC ⇒ Φ 2 − a 2 = h 2 ⇒ R ( a ) = ka (Φ 2 − a 2 ); 0 ≤ a ≤ Φ
dR dR φ 3
= k ( Φ 2 − 3a 2 ) ⇒ =0⇒ a = = φ ≅ 0.577φ ( v.c.)
da da 3 3
d 2R d 2R φ φ
2
= − 6 ka ⇒ sust . v.c. 2
= − 6 k ( ) < 0 ⇒ en x = ∃ máximo
da da 3 3
φ 2
si x = φ ≅ 0.816φ
⇒h=
3 3
b ) Si Φ = 15" ≅ 38cm ⇒ a ≅ 8.65" ≅ 22cm; h ≅ 12, 24" ≅ 31cm
φ2
c ) El volumen del trono cilíndrico de londitud L será : V = π L
4
V1 ahL 4 ah
El volumen de la viga de longitud L será :V1 = ahL ⇒ = = ≅ 0.6
V φ 2
πφ 2
π( )L
4
% de madera utilizada en la viga es 60% de la madera total .

38) Dos postes de 20 y 28 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de
distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los

329


extremos de los puntos. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable
a emplear sea mínima?

Sea W longitud del cable : W = y + z
Del Triangulo 1: y 2 = x 2 + 400 ⇒ y = x 2 + 400 Ec1

Del Triángulo 2 : z 2 = ( 30 − x ) + ( 28 ) ⇒ z = ( 30 − x ) + 784 ⇒ z = x 2 − 60 x + 1684 Ec2
2 2 2

⇒ w( x) = x 2 + 400 + x 2 − 60 x + 1684 ; Siempre que :0 ≤ x ≤ 30

dw
=
/
2x
+
2 x − 60
⇒
dw
=
x
+
( x − 30 )
/
dx 2 x 2 + 400 2 x 2 − 60 x + 1684 dx x 2 + 400 x 2 − 60 x + 1684

dw x x − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x + 400
2 2

=
dx
(
x 2 + 400 )(
x 2 − 60 x + 1684 )
dw
= 0 ⇒ x x 2 − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x 2 + 400 =0
dx
⎡ x x 2 − 60 x + 1684 ⎤ = ⎡ ( x − 30 ) x 2 + 400 ⎤ ⇒ x 2 ( x 2 − 60 x + 1684 ) = ( x − 30 )2 ( x 2 + 400 )
2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = ⎡ 900 − 60 x + x 2 ⎤ ( x 2 + 400 )
⎣ ⎦
x − 60 x + 1684 x = 900 x − 60 x + x 4 + 360.000 − 24000 x + 400 x 2
4 3 2 2 3

x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = 1300 x 2 − 60 x 3 + x 4 − 24000 x + 360.000
1684 x 2 = 1300 x 2 − 24000 x + 360000
(384 x 2 + 24.000 x − 360.000 = 0) / 192 ⇒ 2 x 2 + 125 x − 1875 = 0
( x + 75 )( 2 x − 25 ) = 0 ⇒ x = − 75 ó x = 12.5
Como x = − 75 ∉ en [ 0, 30 ] y los extremos son soluciones factibles x = (12.5 v.c.)

330


39) Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de 45 m3 de
volumen, con la parte superior abierta según indica la figura. El largo del rectángulo
$
base debe ser doble del ancho. El material de la base tiene un costo de 100 y el de las
$
paredes de 80 . Determina las dimensiones del recipiente para que el costo de los

materiales sea mínimo, así como el correspondiente precio del tanque.

El cos to del tan que : CT = Cbase + Csup.lat .
El cos to del material de la base será : Cbase = 100.Supbase = 100(2)a 2 ⇒ Cbase = 200 a 2
Costo de la sup erficie lateral : Clat = 80 Slat = 80(6ah) ⇒ Clat = 480ah
45
CT = 200a 2 + 480ah; como :VT = 45m3 ⇒ VT = a 2ah ⇒ VT = 2a 2 h ⇒ 2a 2 h = 45 ⇒ h =
2a 2

10800 dC 10800
CT ( a ) = 200a 2 + ; donde : a > 0 ⇒ T = 400a −
a da a2
dCT 10800
= 0 ⇒ 400a 3 − 10800 = 0 ⇒ a = 3 ⇒ a = 3 27 = 3(v.c.)
da 400
2 2
d CT 21600 d CT 21600
2
= 400 + 3
⇒ sust v.c. 2
= 400 + > 0 ⇒ a = 3∃ un mínimo
da a da (3)3
si: a = 3 ⇒ h = 2.5 m ⇒ Las dim ensiones : a = 3m, h = 2.5m, L = 6m.; CT (3) = $5400.

40) Los Puntos A y B están opuestos uno al otro y separados por el mar 3 Km. El punto C
está en la misma orilla que B y 6 Km a su derecha. Una compañía de teléfonos desea

331


tender un cable de A a C. Si el costo por km de cable es 25% más caro bajo el agua que
en tierra. ¿Qué línea de cable sería menos costosa para la compañía?

AP = Cantidad de cable bajo el agua.; ⇒ ABP ⇒ AP = x 2 + 9
PC = Cantidad de cable por tierra. ⇒ PC = 6 − x
P = Punto cualquiera entre BC.; donde 0 ≤ x ≤ 6
Si a = cos to en . De cada km de cable bajo tierra
b = cos to en Bs. De cada km de cable por tierra.
25 b b 5b 4a
a=b+ ⇒ a =b+ ⇒ a = ⇒b =
100 4 4 5
El cos to de cable bajo el agua : a x 2 + 9; El cos to de cable por tierra : b ( 6 − x )
4a
El cos to total : C ( x) = a x 2 + 9 + b ( 6 − x ) ⇒ C ( x) = a x 2 + 9 + (6 − x)
5
⎡ 2x/ 4 ⎤ ⎡ 5x − 4 x2 + 9 ⎤
C´( x) = a ⎢ − ⎥ ⇒ C´( x) = a ⎢ ⎥
⎢ 2 x2 + 9
⎣/
5 ⎥
⎦ ⎢ 5 x2 + 9
⎣ ⎥
⎦

C´( x ) = 0 ⇒ 5 x − 4 x 2 + 9 = 0 ⇒ [5 x ] = ⎡ 4 x 2 + 9 ⎤ ⇒ 25 x 2 = 16 ( x 2 + 9 )
2
2

⎣ ⎦
25 x = 16 x + 144 ⇒ 9 x = 144 ⇒ x = 16 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = 4 (v.c.) ∈ [ 0, 6 ]
2 2 2 2

39 33
C (0) = a ; C (6) = 3a 5 ; C (4) = ( a ) ⇒ El valor menor es cuando x = 4
5 5
⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 − x ( x 2 + 9 )−1/ 2 (2 x ) ⎤ ⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 ⎤
O también C´´( x ) = a ⎢ ⎥ ⇒ C´´( x ) = 9 a ⎢ ⎥
⎢
⎣
( x2 + 9) ⎥
⎦
⎢ ( x2 + 9) ⎥
⎣ ⎦
9a
C´´( x ) = ⇒ C´´(4) > 0 ∃ mínimo
( x2 + 9)
332


41) Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematado por una bóveda
semiesférica. El costo de construcción por m2 es doble en la bóveda que en la parte
cilíndrica. Encuentra las dimensiones h y Ø del silo de volumen V dado, de forma que el
costo de construcción sea mínimo.



Sea : R radio de la base; h la altura de la parte cilindrica.
Sup. lateral = 2π Rh; Sup. boveda = 2π R2
Costo de Sup lateral : A ( m2 ); Costo de boveda : 2 A( m2 ) ⇒
$ $

CT = 2π RhA + 2π R2 (2 A) ⇒ CT = 2π AR(2R + h)
2π R3
V−
4π R3 3 ⇒ h = 3v − 2π R
3
si V es volumen dado : V = π R2h + ⇒h =
6 π R2 3π R2
4π R3 + 3V dCT ⎛ 8π R3 − 3v ⎞ dCT 3V
CT (R) = 2 A( )⇒ = 2 A⎜ ⎟⇒ = 0 ⇒ −3V + 8π R3 = 0 ⇒ R = 3 (v.c.)
3R dR ⎝ 3R
2
⎠ dR 8π
d 2CT ⎛ 4 A(4π R3 + 3v) ⎞ d 2CT
=⎜ ⎟ ⇒ sust. v.c. > 0 ∃(mínimo)
dR2 ⎝ 3R3 ⎠ dR2
2 2 3V
V − π R3 V− π
Como φ = 2R ⇒ φ = 3
3V
⇒ h= 3 ⇒h= 3 8π
π π R2 9V 2
π3
64π 2

42) Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto
con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata; si el cobre

333

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