Operasi hitung vektor mencakup penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar vektor. Dokumen ini menjelaskan konsep-konsep tersebut beserta contoh soalnya.

1. Assalamualaikum
wr.wb

2. OPERASI HITUNG PADA VEKTOR
OLEH :
ADELIA AFISSA
06081381520045
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2016/2017
v E K T O R
1

3. 2
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI DASAR
&
INDIKATOR
EVALUASI
LATIHAN SOAL
MATERI
DAFTAR SLIDE

4. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan konsep vektor dalam
pemecahan masalah
3

5. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
KOMPETENSI DASAR & INDIKATOR
1. Menggunakan sifat-sifat dan
operasi aljabar vektor dalam
pemecahan masalah
1.1 Menjelaskan vektor sebagai besaran yang
memiliki besar dan arah
1.2 Mengenal vektor satuan
1.3 Menentukan operasi aljabar vektor :
jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan
skalar, dan lawan suatu vektor
4

6. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
1. Pengertian Vektor
2. Panjang Vektor
MATERI
3. Penjumlahan Vektor
4. Pengurangan Vektor
5. Perkalian Skalar dua Vektor
5
1. Sifat² Operasi Hitung Pada Vektor
2. Sifat² Perkalian Dua Skalar
5a. Perkalian Skalar Secara Geometris
5b. Perkalian Skalar Secara Aljabar
Harus Selalu Di
Ingat!!!!

7. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
6
PENGERTIAN VEKTOR
Vektor adalah suatu besaran
yang memiliki nilai dan arah.
Suatu vektor biasanya
digambarkan dengan sebuah
garis yang salah satu
ujungnya memiliki ujung
panah sebagai arahnya.
Sedangkan nilainya diwakili
oleh panjang anak panah
tersebut.
Contoh Vektor :
𝐴𝐵 = 2,5
𝐶𝐷 = 2,-3

8. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
7
PANJANG VEKTOR
• Panjang Vektor 𝒂 pada R²
Jika 𝑎 =
𝑎1
𝑎2
=𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗,
Maka Panjang 𝑎 adalah 𝑎 = 𝑎1² + 𝑎2²
• Panjang Vektor 𝒂 pada R³
Jika 𝑎 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
=𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 ,
Maka Panjang 𝑎 adalah 𝑎 = 𝑎1
2
+ 𝑎2
2
+ 𝑎3²

9. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
8
PENJUMLAHAN VEKTOR
Jika 𝒂 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
dan 𝒃 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
.
Maka 𝒂 + 𝒃 didefinisikan :
𝒂 + 𝒃 =
𝑎1 +
𝑎2 +
𝑎3 +
𝑏1
𝑏2
𝑏3
CONTOH

10. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
CONTOH PENJUMLAHAN VEKTOR
Diketahui 𝑎 =
1
3
5
dan 𝑏 =
2
4
6
. Hasil 𝑎 + 𝑏 adalah…
Pembahasan :
𝑎 + 𝑏 =
𝑎1 +
𝑎2 +
𝑎3 +
𝑏1
𝑏2
𝑏3
=
1 +
3 +
5 +
2
4
6
=
3
7
11
9

11. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
10
PENGURANGAN VEKTOR
Jika 𝒂 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
dan 𝒃 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
.
Maka 𝒂 - 𝒃 didefinisikan :
𝒂 - 𝒃 =
𝑎1 −
𝑎2 −
𝑎3 −
𝑏1
𝑏2
𝑏3
CONTOH

12. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
CONTOH PENGURANGAN VEKTOR
Diketahui 𝑎 =
5
7
9
dan 𝑏 =
2
4
6
. Hasil 𝑎 - 𝑏 adalah…
Pembahasan :
𝑎 + 𝑏 =
𝑎1 −
𝑎2 −
𝑎3 −
𝑏1
𝑏2
𝑏3
=
5 −
7 −
9 −
2
4
6
=
3
3
3
11

13. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Secara geometris perkalian skalar antara dua vektor
adalah hasil kali antara besar vektor pertama dengan
proyeksi vektor kedua.
Secara matematis perkalian scalar antara dua vektor
dapat ditentukan dengan rumus:
𝒂 . 𝒃 = 𝒂 . 𝒃 cos 𝜶
• Dengan 𝛼 adalah sudut antara vektor 𝒂 dan 𝒃
CONTOH
PERKALIAN SKALAR SECARA GEOMETRIS
12

14. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Jika 𝒂 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
dan 𝒃 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
.
Maka 𝒂 . 𝒃 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
CONTOH
PERKALIAN SKALAR SECARA ALJABAR
13

15. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
CONTOH SOAL
PERKALIAN SKALAR SECARA GEOMETRIS
Diketahui 𝑎 = 2i + 5j + 4k dan 𝑏 = i + 2j – 3k. Sudut antara 𝑎 dan 𝑏
adalah....
Pembahasan :
Berdasarkan rumus perkalian skalar :
𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
(2i + 5j + 4k ) (i + 2j – 3k) = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
2(1) + 5(2) + 4(-3) = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
2 + 10 – 12 = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
0 = cos 𝛼
𝛼 = 90°
14

16. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
CONTOH SOAL
PERKALIAN SKALAR SECARA ALJABAR
Diketahui 𝑎 =
2
−1
−3
dan 𝑏 =
4
2
−1
. Hasil perkalian antara 𝑎 dan 𝑏
adalah…..
Pembahasan :
Berdasarkan rumus perkalian skalar :
𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
(2i + 5j + 4k ) (i + 2j – 3k) = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
2(1) + 5(2) + 4(-3) = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
2 + 10 – 12 = 𝑎 . 𝑏 cos 𝛼
0 = cos 𝛼
𝛼 = 90°
15

17. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
SIFAT² OPERASI HITUNG PADA VEKTOR
1. a + b = b + a
2. ( a + b)+ c = a + + ( b+ c )
3. a +0 = 0 + a = a
4. a + (-a) = 0
5. 1a = a
16

18. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
SIFAT² PERKALIAN DUA SKALAR
1. a . b = b . a
2. a . ( b + c )= a . b + a . c
3. a . a = 𝑎 ²
17

19. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
LATIHAN SOAL
1
NOMOR :
2 3 4 5
18

20. 1
Diketahui a = t i - 8 j + h k dan b = (t +2) i + 4 j + 2 k. Jika a = - b
maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. i + 8j + 2 k
B. i + 8 j - 2k
C. i - 8j + 2k
D. - i - 8j + 2k
E. - i - 8j - 2k
PEMBAHASAN

21. 2
Jika vektor a = 10i + 6 j - 3k dan b = 8 i + 3 j + 3k serta c = a - b,
maka vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k
D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k
E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k
PEMBAHASAN

22. 3
Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V
maka besar W =...
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
E. 14
PEMBAHASAN

23. 4
Sudut antara dua vektor 3i – 6j + 3k dan -5j + 5k adalah…
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 0°
PEMBAHASAN

24. 5
Diketahui 𝑎 dan 𝑏 di R². Jika 𝑎 =5 , 𝑏 = 7, dan 𝑎 + 𝑏 = 105,
tentukan 𝑎 − 𝑏 = …
A. 40
B. 43
C. 46
D. 8
E. 7
PEMBAHASAN

25. BACK TO SOAL

26. BACK TO SOAL

27. 1
BACK TO SOAL

28. 2
BACK TO SOAL

29. 3
BACK TO SOAL

30. 4
BACK TO SOAL

31. 5
BACK TO SOAL

32. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
EVALUASI
19
MULAI

33. Diketahui a = t i - 8 j + h k dan b = (t +2) i + 4 j + 2 k. Jika a = - b
maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. i + 8j + 2 k
B. i + 8 j - 2k
C. i - 8j + 2k
D. - i - 8j + 2k
E. - i - 8j - 2k
1

34. 2
Jika vektor a = 10i + 6 j - 3k dan b = 8 i + 3 j + 3k serta c = a - b,
maka vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k
D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k
E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k

35. 3
Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V
maka besar W =...
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
E. 14

36. 4
Sudut antara dua vektor 3i – 6j + 3k dan -5j + 5k adalah…
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 0°

37. 5
Diketahui 𝑎 dan 𝑏 di R². Jika 𝑎 =5 , 𝑏 = 7, dan 𝑎 + 𝑏 = 105,
tentukan 𝑎 − 𝑏 =
A. 40
B. 43
C. 46
D. 8
E. 7

38. Kompetensi Dasar
& Indikator
Materi
Latihan
Soal
Evaluasi
Standar
Kompetensi
EVALUASI
PENYELESAIAN
1 2 3 4 5
19
CEK SKOR

39. 1
Pembahasan :
a = - b Maka, t i - 8 j + h k = - (t +2) i - 4 j - 2 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1 dan h = -2
sehingga, a = - i - 8 j - 2 k
Jawaban: E
2 3 4 5

40. 2
Pembahasan :
c = a - b = (10 i + 6 j - 3k) - (8i + 3 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Sehingga,
𝑐 = 22 + 32 + −62 = 4 + 9 + 36 = 49 = 7
Maka vektor yang searah dengan c adalah
c =
2,3,−6
7
atau c =
𝟐
𝟕
i +
𝟑
𝟕
j -
−𝟔
𝟕
k
Jawaban: B
3 4 5

41. 3
Pembahasan :
W = 3 (U) - 4 (V)
= 3 (3 i + 2 j + k ) – 4 (2i + j)
= (9i + 6j +3k) – (8i + 4j)
= ((9-8)I + (6-4)j + (3-0)k)
= i + 2j + 3k
Maka 𝑊 = 12 + 22 + 32 = 𝟏𝟒
Jawaban: E
4 5

42. Pembahasan :
Misalkan : 𝑝 = 3i + 6j + 3k
𝑞 = -5j + 5k
Maka : 𝑝 = 32 + (−6)2 + 32 = 54 = 3 6
𝑞 = 02 + (−5)2 + 52 = 50 = 5 2
𝑝 . 𝑞 = (3.0) + ((-6).(-5)) + (3.5) = 45
4

43. Jadi, 𝑝 . 𝑞 = 𝑝 . 𝑞 cos 𝛼
45 = 3 𝟔 . 5 𝟐 cos 𝛼
45 = 15 𝟏𝟐 cos 𝛼
45 = 15 𝟒. 𝟑 cos 𝛼
45 = 15. 𝟐 𝟑 cos 𝛼
45 = 30 𝟑 cos 𝛼
cos 𝛼 =
45
𝟑𝟎 𝟑
=
3
𝟐 𝟑
=
1
2
3
𝜶 = 30°
Jawaban: A
4
5

44. 5
Pembahasan :
Dari 𝑎 =5, di dapat 𝑎1² + 𝑎2² = 5 , Maka, 𝑎1² + 𝑎2² = 25 …… (i)
Dari 𝑏 =5, di dapat 𝑏1² + 𝑏2² = 7 , Maka, 𝑏1² + 𝑏2² = 49 …… (ii)
Dari 𝑎 + 𝑏 = 105, di dapat (𝑎1+𝑏1)² + (𝑎2+𝑏2)² = 105
Sehingga di peroleh (𝑎1+𝑏1)² + (𝑎2+𝑏2)² = 105
Jadi, 𝑎1²+2𝑎1 𝑏1 + 𝑏1²+𝑎2²+2𝑎2 𝑏2+𝑏2²=105
𝑎1²+𝑎2²+𝑏1²+𝑏2²+2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2=105 ..... (iii)

45. 5
Subsitusi (i) dab (ii) ke (iii)
𝑎1²+𝑎2²+𝑏1²+𝑏2²+2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2=105
25 + 49 +2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2=105
2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2=105 – 25 – 49
2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2= 31 …… (iv)
𝑎 − 𝑏 = (𝑎1+𝑏1)² − (𝑎2+𝑏2)² = 𝑎1²−2𝑎1 𝑏1 + 𝑏1²+𝑎2²−2𝑎2 𝑏2+𝑏2²
= 𝑎1²+𝑎2²+𝑏1²+𝑏2²− (2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2) … . .(v)
5

46. 5
Subsitusi (i) , (ii) , dan (iv) ke (v)
𝑎 − 𝑏 = (𝑎1+𝑏1)² − (𝑎2+𝑏2)²
= 𝑎1²+𝑎2²+𝑏1²+𝑏2²− (2𝑎1 𝑏1+2𝑎2 𝑏2)
= 25 + 49 − 31
= 43
Jadi, 𝒂 − 𝒃 = 𝟒𝟑
Jawaban: B

47. 20
SELESAI