1. Tópicos de
Métodos Numéricos em
Zeros de funções
Rodolfo Maduro Almeida

2. Função
Definição: Uma função consta de três partes:
o um conjunto A chamado de domínio de f
o um conjunto B chamado de imagem ou contra-domínio
o uma regra que permite associar, de modo bem
determinado, a cada elemento a A, um único
elemento b=f(a) B.

3. Raízes ou Zeros de Funções
Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se
f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma função
f(x), basta resolver a equação: f(x) = 0
f ( x) x2 4x 3
Raízes:
X1 = 1
X2 = 3
Interseção com o eixo-x

4. Raízes ou Zeros de Funções
Formas de obter zeros de uma função:
o Método gráfico
o Métodos numéricos

5. Método gráfico
Método gráfico
• Interpretação visual: f ( x) ex 3x
XR1 [0,5; 1]
XR2 [1,5; 2]
• Estimativa grosseira:
XR1 0,6
XR2 1,5
f(0,6) = 0,0221
f(1,5) =-0,0183

6. Raízes de funções
Métodos numéricos para encontrar raízes de funções
Tratam-se de procedimentos numéricos para resolução
de equações.
Como resolver??
Métodos iterativos:
• Conjunto de operações aplicadas sucessivas vezes
até que um critério de solução seja estabelecido.
• Sucessivas soluções do problema são encontradas

7. Métodos Iterativos
1. Método da bisseção
2. Método da falsa posição
3. Método de Newton
4. Método da Secante
5. Método do ponto fixo

8. Método da Bissecção
Teorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda de
sinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, então existe
pelo menos um ponto x* [a,b] tal que f(x*)=0. Além
disso, se f’(x) não muda de sinal em *a,b+ então x* é a
única raiz de f(x) nesse intervalo.
y y =f(x)
f(b)
a
0 x
b
f(a)

9. Método da Bissecção
• Passo 1: forneça um intervalo inicial
y y =f(x)
f(b)
a
0 x
b
f(a)

10. Método da Bissecção
• Passo 2: Calcula o Xm
y y =f(x)
f(b)
a c
0 x
b
f(a)
a b
c
2

11. Método da Bissecção
• Passo 2: Testa onde se encontra a raiz:
y y =f(x)
f(b)
a c
0 x
b
f(a)
Se f(c)f(a) < 0 então a raiz está entre a e c.
Caso contrário, está entre b e c.

12. Algoritmo
Dados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol.
1: Para n = 0:NMAX, faça
2: c = (a+b)/2
3: Se f(a)f(c)<0 entao
4: b = c
5: Caso Contrario
6: a = c
7: FimSe
8: Se |f(c)| < tol entao
9: solucao = (b+a)/2
10: pare
11: FimSe
12: Se n = KMAX entao
13: pare: metodo não convergiu.
14: FimSe
15: FimPara

13. Método da Falsa Posição
Teorema: É um método semelhante ao método da
bisseção, porém o cálculo do valor intermediário é mais
elaborado.
y y =f(x)
f(b)
a c
0 x
b
f(a)

14. Algoritmo

15. Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes
y y =f(x)
0 x

16. Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes
y y =f(x)
0 x

17. Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes
y y =f(x)
0 x

18. Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes
y y =f(x)
0 x
Este procedimento é repetido várias vezes...

19. Método de Newton
• Também chamado de Método das Tangentes
y y =f(x)
0 x

20. Algoritmo

21. Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
y y =f(x)
x

22. Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
y y =f(x)
x

23. Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
y y =f(x)
x

24. Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
y y =f(x)
x

25. Método da Secante
• Método de Newton modificado
• Aproximação para a reta tangente: reta secante
y y =f(x)
x

26. Algoritmo

27. Método do ponto fixo

28. Método do ponto fixo

29. Método do ponto fixo

30. Algoritmo