1. Medidas de Tendencia Central y
Medidas de Dispersión
Compilado por:
ALEXÁNDER GUTIÉRREZ M.ALEXÁNDER GUTIÉRREZ M.
ROBERTO GUTIÉRREZ P.
Programa de Licenciatura en
Biología y Química
Programa de Licenciatura en
Biología y Química
2. Uso Común de medidasUso Común de medidas
Cerca - lejos
Rápido
Lento
Pesado
Liviano
Silencio - Ruido
Frío - caliente
3. PRIMEROSPRIMEROS PATRONES DE MEDIDASPATRONES DE MEDIDAS
Y UNIDADES DE MEDICIÓNY UNIDADES DE MEDICIÓN
PRIMEROSPRIMEROS PATRONES DE MEDIDASPATRONES DE MEDIDAS
Y UNIDADES DE MEDICIÓNY UNIDADES DE MEDICIÓN
4.
5. Es la comparación de una magnitud dada, con otra de su
misma especie y que se ha tomado como unidad de
referencia.
MEDICIÓN
El resultado de toda medida es siempre un número que
es el valor de la magnitud medida y expresa la relación
entre esta magnitud y la que se toma como referencia.
6. MAGNITUD
Es todo aquello que puede ser medido. Las magnitudes
pueden ser de dos tipos:
FUNDAMENTALES: Aquellas que se determinan
directamente con un proceso de medida.
DERIVADAS: Aquellas que se determinan a partir de
otras fundamentales.
8. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Es aquel sistema que se establece como oficial en el
mundo para representar las unidades de medida.
Las medidas para a la hora de presentar proyectos,
investigaciones, patentes, deben de ir expresadas en
el SI para validar su publicación.
10. 0
1
2
3
4
El resultado de toda medida tiene cierta precisión o
incertidumbre
Mayor
precisión
Menor
incertidumbre
Mayor número de
divisiones
INCERTIDUMBRE
11. La incertidumbre se refiere al intervalo dentro del cual es
probable que se encuentre el valor real con respecto al valor
medido.
La incertidumbre puede ser detectada y cuantificada
realizándola varias veces de la misma manera. Los valores
individuales resultantes se usan para calcular el valor medio o
promedio.
INCERTIDUMBRE
La incertidumbre es indicada en el número de cifras
significativas empleadas al expresar una medición.
Ejemplo: Se indica que la precisión de una balanza es de
0,001 g. Esto quiere decir que la medida 2.047 g obtenida
con esta balanza es (2.047 ± 0.001) g
12. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Son cifras significativas todas aquellas que pueden leerse
directamente del aparato de medición utilizado.
Cuando uno hace ciertos cálculos, las cifras significativas se
deben escribir de acuerdo a la incertidumbre del
instrumento de medición.
Por tanto, en cualquier medición, las cifras significativas
son los dígitos que se conocen con certeza más un dígito
que es incierto (estimado). Es decir, que usualmente el
error de un valor medido se indica únicamente por el error
en el ultimo digito.
13. ¿CUÁL ES EL NÚMERO DE CIFRAS
SIGNIFICATIVAS DEL RESULTADO?
14. NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS es el número de
dígitos representativo de una cantidad medida o calculada.
Ejemplo: Longitud de 3,48 m; las cifras significativas son 3,
4 y 8, por lo que el número de cifras significativas es 3.
El último dígito de las cifras significativas es incierto.
Ejemplo: Si una balanza tiene una precisión de 0,001 g, el
resultado de una determinación de masa de 2,483 g
tiene 4 cifras significativas y la última cifra, que es 3,
es incierta. Esto quiere decir que el valor verdadero
debe encontrarse con certeza entre
(2.483 ± 0.001) = 2,482 y 2,484.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
15. 1. Cualquier cifra diferente de 0 es significativo.
842 tiene 3 c.s.
1,258 tiene 4 c.s.
REGLAS PARA EL USO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
2. Los ceros ubicados entre dígitos distintos de 0 son
significativos.
105 tiene 3 c.s.
20108 tiene 5 c.s.
3. Los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de 0
no son significativos.
0,000243 tiene 3 c.s.
0,8 tiene 1 c.s.
16. 4. Si un número es mayor que 1, todos los ceros escritos
a la derecha de la coma cuentan como cifras
significativas y si es menor que 1, solamente los ceros
que están al final del número o entre dígitos diferentes
de cero son significativos.
2,0 tiene 2 c.s.
40,062 tiene 5 c.s.
0,090 tiene 2 c.s.
REGLAS PARA EL USO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
17. 6. En la adición y la sustracción el número de cifras
significativas a la derecha de la coma en la cantidad
resultante está determinado por el número mínimo de
cifras significativas a la derecha de la coma en
cualesquiera de los números originales.
41,842
+ 0,1
41,942
Con una c.s. después de la coma; se redondea a 41,9.
2,094
-0,12
1,974
Con dos c.s. después de la coma; se redondea a 1,97.
18. 7. Para redondear se usa el siguiente procedimiento:
a) Si el dígito que sigue a la derecha de la última cifra significativa es menor que
cinco, simplemente se suprime éste y todos los demás que le siga. E. g., si
se trata de redondear a décimas:
7.83 redondeado, da 7.8
12.5438 redondeado, da 12.5
b) Si el numero que sigue a la derecha de la última cifra significativa es mayor que
cinco, la última cifra significativa crece una unidad. E. g., si se trata de
redondear a milésimas:
3.4857 redondeado, da 3.486
6.1997 redondeado, da 6.200
c) Si la cifra que sigue a la que se quiere redondear es precisamente cinco, la
cifra redondeada sube una unidad si es impar, y se conserva suprimiendo el
cinco, si es par. E. g., si la última cifra significativa es la de las centésimas.
1.485 redondeado, da 1.48
45.335 redondeado, da 45.34
19. 8. En la multiplicación y en la división, el número de cifras
significativas del producto o del cociente es igual al menor
número de cifras significativas de las cifras originales.
2,8 x 4,5039 = 12,61092 se redondea para 13
6,85/112,04 = 0,0611388789 se redondea para 0,0611
9. Los números exactos obtenidos por definición o al contar un
número de objetos se deben considerar constituidos por un
número infinito de cifras significativas.
el Nº = 3,1415... tiene infinitas c.s.
el Nº 1000 o 1 x 103 tiene infinitas c.s.
En cálculos complejos que constan de varias operaciones, el
redondeo debe ser hecho sobre el resultado final
20. SITUACIONES PARTICULARES
Cuando las cifras no tienen sentido: La medida 2.04763 kg
obtenida con una balanza con resolución de 0.0001 kg, tiene
cinco cifras significativas: 2,0,4 7 y 6. El 3, no puede leerse
en esta balanza y por consiguiente no tiene sentido.
El punto decimal. Cuando tenemos que 3.714 m= 37.14 dm =
371.4 cm = 3714 mm, en todos los casos hay 4 cifras
significativas. La posición del punto decimal es independiente
de ellas.
El cero como cifra significativa. tomando el ejemplo anterior:
3.714 m = 0.003714 km = 3.714 x10 km
Tomando en cuenta la segunda igualdad se ve que el número de
cifras significativas es 4 y los ceros agregados no cuentan como
cifras significativas.
-3
21. A nivel científico se requieren declaraciones de
certidumbre de tipo mas cuantitativo y para ello se
emplean pruebas estadísticas.
Estadística es la ciencia que nos permite tomar
decisiones bajo cierta incertidumbre.
Para la evaluación de los resultados experimentales los
métodos estadísticos plantean dos principales
interrogantes:
•¿Cómo estar seguro que el valor obtenido
experimentalmente es cercano al verdadero?
•¿Cuánta certidumbre se tiene de que el valor obtenido
es el mismo (o distinto) del valor obtenido con la misma
muestra en un momento distinto o por otra persona?
estadísticas
22. Error de medición
Medir una propiedad supone admitir que la misma
posee un valor definido, el cual llamaremos valor real
Error de medición: diferencia del resultado frente al
valor verdadero. Esta relacionado con la
incertidumbre no con equivocación.
Los errores son propios de cualquier proceso de
medición.
estadísticas
23. ¿Cómo determinar si se ha cometido algún error?
Al aumentar el numero de análisis, aumenta la certeza
de que el siguiente resultado va estar dentro del mismo
intervalo que los anteriores (la reproducibilidad).
Medición de errores
¿Qué valor se reportará como resultado de un ensayo?
estadísticas
24. Es el resultado numérico representativo de una serie de
pruebas y se considera la mejor estimación del valor
verdadero.
Media aritmética, media o promedio
Donde: Xi : Corresponde a las Observaciones
n : Tamaño de la Muestra
nn
nx...xxx
x 21i +++
==
∑
x
Suma de los datos
número de datos
ix
x
n
∑
= =
estadísticas
25. Ejemplo
Encuentra la media aritmética del conjunto de datos
a. 71, 75, 60, 84, 71, 63, 66
71 75 60 84 71 63 66
7
ix
x
n
+ + + + + +∑
= =
70
7
490
==
estadísticas
26. ¿Qué tan separados están nuestros datos?
Medidas de Dispersión
Permiten conocer la variabilidad o dispersión de los
valores analizados.
estadísticas
27. Es la medida más empleada de la reproducibilidad de un
conjunto de mediciones (y la de mayor significado
estadístico)
Desviación estándar (s)
Relaciona cuan dispersos están los datos en relación con la
media.
( )
( )
( ) ( ) ( )
)1(
...
1
22
2
2
1
2
−
−++−+−
=
−
−
=
∑
n
xxxxxx
n
xx
S ni
estadísticas
28. se tomaron las siguientes mediciones:
L
Longitud (cm) masa (g)
1,035 10,3
1,03 10,2
1,04 10,2
1,035 10,3
1,03 10,2
1,035 10,3
1,03 10,3
1,04 10,3
1,04 10,3
1,03 10,2
estadísticas
29. Para la longitud L
L promedio se calculará como:
L
L L ... L
10
1 2 10
=
+ + +
L = 1.0345 cm
L
1.035 1.03 1.04 1.035 1.03 1.035 1.03 1.04 1.04 1.03
10
=
+ + + + + + + + +
cm1.034=L
estadísticas
30. Para la longitud L
La desviación estándar de L se calculará como:
L tomará el valor de: L=(1.034±0.001) cm
( ) ( ) ( ) ( )SL
=
− + − + − + + −
−
10345 1035 10345 103 10345 104 10345 103
10 1
2 2 2 2
. . . . . . ... . .
( )
cm0.001384
9
0.0043779
mL
S ==
estadísticas
31. Para la masa m
m promedio se calculará como:
m
m m ... m
10
1 2 10
=
+ + +
m = 10.26 g
m
10.3 10.2 10.2 ... 10.2
10
=
+ + + +
g10.3=m
estadísticas
32. Para la masa m
La desviación estándar de m se calculará como:
m tomará el valor de: m=(10.3±0.02) g
( ) ( ) ( ) ( )Sm
=
− + − + − + + −
−
10 26 10 3 10 26 103 10 26 10 2 10 26 10 2
10 1
2 2 2 2
. . . . . . ... . . .
( )
S 0.05164 gm
=
S
0.05164
10
0.01633 gmm
= =
estadísticas
33. Los resultados numéricos siempre son objeto de un
análisis estadístico, que tiene por objeto evaluar la
calidad del análisis en términos de precisión y exactitud
del análisis.
Buena
precisión
Poca exactitud
Poca precisión
aceptable
exactitud
Buena
precisión
Buena
exactitud
Poca precisión
Poca exactitud
Precisión y exactitud
34. Precisión Exactitud
Definición Grado en que tiene el
mismo valor cuando se
mide varias veces
Grado en que representa
realmente lo que se supone
que representa (valor
verdadero)
Valoración Comparación entre
medidas repetidas
Comparación con patrón de
referencia
Valor Incrementa la potencia
de detección de errores
Incrementa la validez de
conclusiones
Amenazado por Error aleatorio Error sistemático
Precisión y exactitud
35. Rara vez los resultados se refieren a un solo análisis de
una sola toma de muestra
Lo habitual es que se analicen de 3 a 5 réplicas de la muestra,
al obtenerse rara vez los mismos valores, el resultado
final es el promedio de los resultados hallados (media).
Cuando la dispersión de los valores determinados
experimentalmente es pequeña se dice que la precisión es
alta.
Una medida cuantitativa de la dispersión es la desviación
estándar de un conjunto de mediciones.
La desviación estándar es baja cuando la precisión del
experimento es alta.
Precisión y exactitud
36. Causas de errores
Errores sistemáticos (determinados): se originan a partir de
una causa fija. Prácticamente no varían durante un ensayo pero
se desvían con respecto al valor real. Conducen a pérdida de
exactitud. Puede ser debido al aparato de medida.
• Errores sistemáticos → defectos intrínsecos
• Errores aleatorios → causas fortuitas, tratamiento
estadístico
Valor verdadero
Valor verdadero
38. 1. Errores instrumentales
2. Errores de procedimiento
3. Errores personales
1. Error de instrumento: calibración, límite de precisión,
perturbaciones del sistema.
Falta de control sobre variables.
Errores de operador.
Los errores sistemáticos presentan tres causas posibles:
39. Los errores de procedimiento (utilización de una técnica de
forma inadecuada.) se estiman analizando muestras estándar
Contaminación de la muestra.
Pérdida de analito por volatilización, oxidación,
adsorción, etc.
40. µ µ µ
No exacto
Preciso
Exacto
No preciso
Exacto
Preciso
41. Fig. 1. La zona delimitada con la línea blanca muestras los límites
de la localización verdadera y el punto rojo muestra el centro
de dicha localización. Los puntos verdes representan las
localizaciones tal cual fueron reportadas por el colector.
a. Alta precisión, baja exactitud (mostrando un error sistemático.)
b. Baja precisión, baja exactitud (mostrando un error aleatorio)
c. Precisión media (los puntos muestran una cercanía media),
exactitud media (todos los puntos están registrados dentro de la
zona verde)
d. Alta precisión y Alta exactitud.
42. Referencias
-Chang, Raimond. Química. 7ª ed. McGraw-Hill. México. 2003.
-Petrucci, R. H.; Harwood, W. S. y Herring, F. G. Química General.
8ª ed. Prentice Hall. Madrid. 2003.
-Ebbing , Darrell D. Química general. 5a
ed. McGraw-Hill.
México.1997.
-Daub, Willian; Seese, Willian. Química. 7a
ed. Pearson. México.
1996.
