5. Теорема 1. Правильний опуклий
многокутник є вписаним у коло і
описаним навколо кола.
Нехай А і В – дві сусідні
вершини многокутника. З
вершин А і В проведемо
Бісектриси кутів
многокутника. Нехай О –
точка їх перетину.
Трикутник АОВ
рівнобедрений з основою
АВ і кутами при основі /2,
де -кут многокутника.
Доведення:
6. Сполучимо точку О із сусідньою з В
вершиною С. ∆АВО=∆СВО за
першою ознакою рівності
трикутників (ОВ - спільна; АВ=ВС,
як сторони многокутника; кути
при вершині В дорівнюють /2. З
цього випливає, що ∆ОВС -
рівнобедрений з кутом при
вершині С=/2, тобто
СО – бісектриса кута С. Тепер
сполучаємо точку О із сусідньою з С
вершиною D і доводимо, що
∆СОD - рівнобедрений і
DО – бісектриса кута D
многокутника. І так далі.
7. У результаті дістанемо, що кожний
трикутник, у якого однією стороною
є сторона многокутника, а
протилежною вершиною – точка О,
рівнобедрений. Усі ці трикутники
мають рівні бічні сторони і рівні
висоти, опущені на їх основи. Звідси
випливає, що всі вершини
многокутника лежать на колі з
центром О і радіусом, що дорівнює
бічним сторонам трикутників, а всі
сторони многокутника дотикаються
до кола з центром О і радіусом, що
дорівнює висотам трикутників,
опущеним з вершини О.
Теорему доведено.
8. Вписане і описане кола правильного
многокутника мають один і той самий центр,
який називають центром многокутника.
Кут, під яким видно сторону правильного
многокутника з його центра, називається
центральним кутом многокутника.
9. Теорема 2: Сторона правильного
шестикутника, вписаного в коло, дорівнює
радіусу цього кола.
Оскільки всі сторони вписаного
шестикутника рівні, то рівні і
стягувані ними дуги, і відповідні їм
центральні кути. Сума всіх шести
центральних кутів (при їх спільній
вершині О) дорівнює 360º, тому кожен
з них дорівнює 360º:6=60º. ∆ОА1А2 –
рівнобедрений, бо ОА1=ОА2, як радіуси
кола. Якщо ж кут при вершині
рівнобедреного трикутника дорівнює
60º, то цей трикутник рівносторонній,
А2А1=ОА1.
Теорема доведена.
Доведення:
10. Побудова правильного трикутника.
Виконується за побудовою
трикутника за трьома
сторонами – треба сполучити
дві довільні точки площини і
взяти утворений відрізок за
сторону правильного
трикутника.
Також правильний трикутник,
вписаний у задане коло, можна
побудувати, скориставшись
співвідношенням
r3=R3/2.
O
A
C
B
D
K
γ
O
A C
B
R
r
1) OD→OK=KD;
2) AC ⊥ OD y т. К
3) (OD) ∩ γ = B.
11. Аналіз
Діагоналі квадрата є взаємно
перпендикулярними діаметрами
описаними навколо нього кола.
План побудови.
1.Креслимо коло з центром О,
проводимо діаметр АВ.
2.Будуємо пряму,
перпендикулярну до АВ у точці
О, - маємо діаметр СD.
Чотирикутник АВСD – шуканий.
Побудова правильного чотирикутника.
B
O
A
C
a4
r4
D
12. Доведення.
За побудовою маємо: АВ і СD
– діаметри, АВСD.
Довести: АВСD – квадрат.
1)Кути чотирикутника прямі,
бо спираються на діаметри.
Тоді АВСD – прямокутник.
2)Градусні міри дуг АС і СВ
рівні (становлять по 90).
Тоді хорди АС і СВ рівні і
АВСD – квадрат. Щ.т.д.
Побудова правильного чотирикутника.
B
OA
C
γ
D
13. Нагадайте, що:
навколо кожного трикутника можна
описати коло і тільки одне;
в будь-який трикутник можна вписати
коло і тільки одне;
коло можна вписати тільки в такий
чотирикутник, сума двох протилежних
сторін якого дорівнює сумі двох інших
його сторін;
коло можна описати тільки навколо
такого чотирикутника, сума двох
протилежних кутів якого дорівнює 180º.
