2. Пригадайте, як ви
збільшували малюнок.
Аналогічно можна виконати
і зменшення малюнка.
А якщо оригінал занадто
великий або тривимірний?
У таких випадках існує
досить простий спосіб
копіювання. Візьміть
прозору пластину і,
дивлячись крізь неї на
предмет, обведіть лінії
оригіналу.
3. Геометрично маємо, що
кожна точка предмета
зображається точкою
перетину площини картини з
променем зору, який іде від
вашого ока до точки, що
зображається. Таке
копіювання називається
центральним проектуванням.
Ваше око є центром проекції,
малюнок – проекцією, а
пластинка, на яку ви
проектуєте, - площиною
проекції.
4. На рисунку зображено
проектування квадрата і кола,
накреслених у площині , на
другу площину ’. малюнок
який утворюється на ’,
схожий з оригіналом, але є
відмінність. Пряма лінія
зображається прямою лінією,
точка – точкою, круг(коло)
перетворюється на овал
(еліпс), довжини відрізків
змінюються. Таким чином,
одні властивості фігури
зберігаються, а інші ні.
5. Проектуючи, ми не
відтворюємо оригінал, а
перетворюємо його.
Властивості, які
встановлюються
вимірюванням,
називають метричними;
властивості, які не
змінюються при
проектуванні, називають
проективними. Ось ними
і займається проективна
геометрія.
6. Назвемо прості властивості
центрального проектування фігур:
точка перетворюється на точку;
пряма перетворюється на пряму ;
точка, що належить деякому
відрізку, перетворюється на точку,
яка лежить на зображені цього
відрізка;
точки розміщені на одній прямій,
перетворюється на точки, які також
лежать на одній прямій.
7. До речі, при проектуванні
паралельні прямі можуть
перетворюватися на
непаралельні. Спробуйте
самостійно знайти
відповідь, чому на
рисунку 1 паралельні
прямі спроектувалися в
паралельні прямі, а на
рисунках 2 і 3 паралельні
прямі на непаралельні?
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
8. Розглянемо центральне
проектування одного
прямолінійного ряду точок
(сукупності точок, що лежать на
одній прямій) на другий. Зрозуміло,
що за таких умов і оригінал, і центр
проекції, і зображення лежать в
одній площині. Таке проектування
має важливу властивість.
Якщо з якого-небудь центра
спроектувати один
прямолінійний ряд на другий, то
складні відношення будь-якої
четвірки точок не змінюються.
Тоді гармонічні четвірки точок
завжди проектуються в гармонічні
четвірки.
9. Проектування гармонічної
четвірки точок має ще одну
цікаву властивість. Нехай на
прямій маємо гармонічну
четвірку точок M, R, N, Q. З
точки P спроектуємо цю
четвірку на пряму AQ –
дістанемо також гармонічну
четвірку точок A, B, L, Q.
Якщо продовжити відрізки
RB і AR до перетину з
прямими PA і PB у точках Fі
E відповідно, то
точка перетину діагоналей
чотирикутника AFEB
збіжиться з точкою R.
10. Для допитливих
Художники користуються
тільки методом центральних
проекцій
Проте існує ще й метод
паралельних проекцій. Він
відрізняється від методу
центральних проекцій тільки
тим, що проектуючи прямі
не проходять через фіксовану
точку, а паралельні
фіксованому напряму.
