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Comprensión de la estructura de las fracciones, decimales y porcentajes,[object Object],Elena Escribano Picazo,[object Object],Mª Dolores Navarrete Pérez,[object Object],Celia Utiel García,[object Object],Llanos Cifuentes Lavara,[object Object]
    Equivalencia de fracciones,[object Object]
CONOCEMOS LA EQUIVALENCIA,[object Object],Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, es decir, representan lo mismo.,[object Object],                        =                    =,[object Object],1/2     =       2/4         =     4/8,[object Object],Se forma una fracción equivalente al multiplicar o dividir el numerador y denominador por un mismo número.,[object Object],1/2 = 2/4 =4/8                   18/36 = 6/12 = 1/2 ,[object Object],x2x2÷3        ÷6,[object Object]
Todos los números racionales se pueden representar por fracciones equivalentes:,[object Object],     3==         -6= =,[object Object],               2.2=     =,[object Object],Se define la equivalencia: ,[object Object],=    ⇒ad=bc,[object Object]
PARA QUÉ CONOCER LA EQUIVALENCIA DE FRACCIONES:,[object Object],Para comparar tamaños de fracciones o decimales:,[object Object],-¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15?,[object Object],Para realizar operaciones con fracciones,[object Object],   (sumas, restas…),[object Object]
Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes,[object Object],X25,[object Object],        ¾     75/100  = 0.75 =75%,[object Object],X25,[object Object], X333,[object Object],          1/3       333/999 = 0.333 = 33.3%,[object Object],X333,[object Object]
CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA,[object Object],Se introduce a partir de aspectos como el área y los conjuntos. Por ejemplo:,[object Object]
                           HART,[object Object],  Se les pedía a los niños de 12 y 13 años que: -Coloreasen una cantidad dada en fracción (2/3) sobre figuras geométricas (un hexágono). ,[object Object],   -Rodeasen un número determinado de bolas (3/5), de un conjunto de éstas (15).,[object Object],Se observó que era más fácil introducir la equivalencia a través de los conjuntos. ,[object Object]
PAYNE,[object Object],La equivalencia causaba dificultades al simplificar a fracción irreducible:      ,[object Object],3/9 =1/3,[object Object]
                           BOHAN,[object Object],Comparó con niños de 11 años qué método era más eficaz:,[object Object],-Diagramas de área,[object Object],-Multiplicación por 1,[object Object],   3/4 = ¾ x 1=3/4 x 3/3= 9/12,[object Object],-Plegado de papel,[object Object]
   Aun así, más de la mitad de los niños fallaron al simplificar una fracción a su irreducible, mientras que el 75% sí que formaba fracciones equivalentes cuando se trataba de formar una fracción mayor.,[object Object]
             COBURN, STEFFE Y PARR,[object Object],Trataron si era más sencillo introducir la equivalencia por medio de la razón (relacionada con los conjuntos) o por medio del área.,[object Object],Las pruebas no son concluyentes, no se sabe cuál es el mejor método.,[object Object]
Selección de resultados sobre equivalencia de fracciones (De Hart, 1980),[object Object],Es difícil saber si los niños que obtuvieron resultados correctos en estas cuestiones están demostrando auténtica comprensión de la equivalencia y no limitándose a detectar pautas o regularidades. Por ejemplo, Hart cita respuestas del tipo:,[object Object],«2/7 = 10/15 porque 2 son menos que 7 y queremos un número que sea 5 menos que 15. (Hart, 1981).»,[object Object]
Respuestas a una pregunta sobre equivalencia (NAEP, 1980),[object Object],Sugiere que la confusión subyacente a la noción de equivalencia es seguramente considerable.,[object Object]
En una situación más estricta, en la que no bastaba con la mera detección de problemas numéricos sencillos, el porcentaje de niños capaces de resolverla muestra un abrupto descenso. Por ejemplo, en la última parte de la cuestión de CSMS.,[object Object],2/7=   /14 = 10/,[object Object],La tasa de éxito varió desde sólo el 24% de los niños de 12 años al 31% de los chicos de 15 (Hart, 1980).,[object Object]
Problemas de enunciado para examinar la noción de equivalencia (Hart, Ward).,[object Object]
APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA A LA ORDENACIÓN DE FRACCIONES Y A LA CONVERSIÓN DE FRACCIONES, EN DECIMALES Y PORCENTAJES,[object Object]
La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones y razones.,[object Object],Los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica. ,[object Object]
Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el mismo número, o uno de ellos representa un número mayor que la otra. ,[object Object],En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones. ,[object Object]
La dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar grandemente dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores.,[object Object],Hart(1980) observó que el 66% de los chicos de 15 años se daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.,[object Object]
Noelting diseñó un concienzudo experimento destinado a examinar  la dificultad a examinar la dificultad relativa de la comparación de diferentes razones. ,[object Object],La situación concreta de que se valió consistió en la preparación de naranjada, preguntando a los niños cuál de las combinaciones del dibujo producirá a mezcla más fuerte:,[object Object],                               Ó,[object Object]
Halló que los alumnos resolvían el problema valiéndose de diversos métodos informales.,[object Object],Las cuestiones como la ilustrada, en la que el número de unidades de zumo de naranja (o agua) situados en uno de los miembros es un múltiplo sencillo de número de unidades de zumo/agua del otro, fueron las primeras en ser respondidas por el niño medio de 12,5 años.,[object Object],Sin embargo, algunos niños de las muestra supieron resolver esta cuestión en  la edad de ocho años, mientras otros no habían  alcanzado a este nivel a los dieciséis (esta tarea equivale a la de comparar las fracciones 1/3 y 2/5).,[object Object]
Noelting cita ejemplos de niños que utilizaron con éxito tanto fracciones como porcentajes para resolver estos problemas:,[object Object],Sylvie(14 años): “A la  derecha hay 3/7 de zumo por 4/7 de agua, o sea, 15/35 de zumo; a la izquierda hay solamente 14/35 de zumo”.,[object Object],                                  Ó,[object Object],Réjean(13 años): “A= 71  3/7% porque tiene 5/7 de zumo de naranja;  B= 70%, porque tiene 7/10 de zumo de naranja”.,[object Object]
La causa más frecuente de fallo en los niños que no acertaron en la tarea consistió en comparar el número total de vasos de agua (o de zumo de naranja); por ejemplo:,[object Object],Diane (8 años) “Es que hay menos vasos de agua”; o en fijarse en las diferencias entre el número de vasos de agua y el de zumo,  en lugar de atender a su razón:,[object Object],Louise(11 años): “Porque el lado izquierdo tiene un vaso más de agua, mientras que el derecho tiene dos más de ellos”. ( Noelting, 1978).,[object Object]
Noelting: la dificultad de comparar fracciones varia mucho dependiendo de las relaciones de los números.,[object Object],Equivalencia: Una forma de usar la equivalencia, consiste en hallar una fracción comprendida entre otras dos; por ejemplo entre ½ y 2/3. ,[object Object],Lo peor es que los alumnos no se,[object Object],dan cuenta que entre dos fracciones ,[object Object],cualesquiera SIEMPRE hay una recta ,[object Object],numérica de fracciones intermedias. ,[object Object],Por ejemplo:,[object Object]
¿Cuántas fracciones se encuentran entre ½ y ¼?,[object Object],En chicos de 15 años las respuestas fueron las siguientes:,[object Object]
¿Cuántos números podrías escribir, correspondidos entre 0.41 y 0.42?,[object Object],Brown obtuvo porcentajes similares a los del experimento anterior.,[object Object],Son muy pocos los alumnos de 15 años los que se imaginan una recta atestada de números racionales.,[object Object]
Aplicación de equivalencia de fracciones.,[object Object],Se basa en la conversión de fracciones a decimales a porcentajes, especialmente en casos sencillos como ¼ y 3/5. ,[object Object],APU en un experimento con niños de 11 años halló que:,[object Object],50% de los niños escribió bien la fracción ¼ mediante un porcentaje.,[object Object],25% conocía su equivalencia decimal,[object Object],Más del 40% supo hacer la conversión de décimas partes en decimales.,[object Object],Ejemplo: Pon en número decimal 15 décimas  0.15,[object Object],El 30% hizo bien la conversión de centésimas a decimales.,[object Object],Ejemplo: ¿Cuántas décimas son 20 centésimas?  2 décimas,[object Object]
Equivalencia de decimales y porcentajes.,[object Object]
La representación decimal de un número se basa en la noción de fracción.,[object Object],Por ejemplo:,[object Object],0,21 puede ser considerado como “dos décimas y una centésima”.,[object Object],O como 21 centésimas.,[object Object],Que podemos elegir hacerlo de una manera u otra según nos convenga.,[object Object]
Brown nos cita un ejemplo de una niña de 11 años que va a aprender la noción de equivalencia.,[object Object],Catherine había respondido a:,[object Object],¿Existe diferencia entre 4,90 y 4,9?  “Sí, 4,90 es más”.,[object Object],¿Qué es mayor, 0,8 o 0,75?  “Oh, es ocho décimas, que es igual a 80 centésimas”. ,[object Object]
Brown da otro ejemplo de un niño de 14 años que es capaz de recurrir a esta idea para razonar la respuesta a la siguiente multiplicación, que se le planteó me manera distinta a la habitual:,[object Object],                           5,13  ______,[object Object],- Niño: “no se puede poner un cero ahí, al final, porque es un decimal”.,[object Object],- Entrevistador: ¿Cómo de grande, aproximadamente…?,[object Object],- Niño: 50… 51,3,[object Object],- Entrevistador: ¿Cómo…?,[object Object],- Niño: multipliqué ése 5 primero por 10, y después ese otro 1… diez décimas hacen uno… y entonces multipliqué ese 3 por diez y lo puse en tres décimas.,[object Object],Brown dijo que el niño y la niña parecían encontrarse en un estadio transitorio dedesarrolloconceptual, aparentemente común entre los niños de escuela secundaria.,[object Object]
Encuesta:,[object Object],  Resultados obtenidos por Brown en 1981 que requieren la noción de equivalencia decimal:,[object Object]
Fracciones, decimales y porcentajes
RESULTADOS QUE HE ,[object Object],OBTENIDO COMPARADOS ,[object Object],CON LOS DE BROWN ,[object Object],30 AÑOS DESPUÉS ,[object Object],(1981-2011),[object Object]
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NIÑOS DE 12 AÑOS,[object Object]
NIÑOS DE 13 AÑOS,[object Object]
Estudio APU,[object Object],23% niños 11 años  ordenó decimales en orden creciente de magnitud,[object Object],35% jóvenes de 15 años  ordenó decimales en orden decreciente de magnitud.,[object Object],-Aproximación,[object Object],-Lectura de escalas graduadas,[object Object],-Comparación de magnitudes en decimales.,[object Object],Comprender decimales equivalentes  no es espontáneo,[object Object]
Estudio de porcentajes en adultos:,[object Object],50 adultos  calcular 15% de 60. Respondieron correctamente 32 pero usando métodos muy diferentes.,[object Object],¿Se obtendrían resultados parecidos con cantidades no tan sencillas?,[object Object]
Estudio APU,[object Object],-Calcular el precio de un traje dado el precio original y un descuento del 30%.,[object Object],-Da un número y qué porcentaje era de un número total, y pedía que se calculase el total,[object Object],[object Object]
11 años después: alrededor de un 15% de los jóvenes supo calcular qué porcentaje de 250 es 50
En la pregunta sobre la equivalencia 50/250 = X/100, parece que resulta mucho más difícil en  contexto de porcentajes que de fracciones .,[object Object]

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