analisis sistem kendali 2

Bab 4: Analisis Sistem Kendali EL303: Sistem Kendali

 Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi
 Sistem Orde-3 :
C(s) n P
2
 (0    1)
R (s) (s 2  2 n s   n )(s  p)
2

Respons unit stepnya:

c( t )  1 
e  n t
 (   2)  1
2

 2 (   2) cos 1   2  n t


 [ 2 (   2)  1]
1 2
2

sin 1    n t 
e  pt
 2 (   2)  1
( t  0)

dengan:
p

 n
Mengingat:
 2 (   2)  1   2 (   1) 2  (1   2 )  0
maka suku yang mengandung e-pt selalu negatif .

___________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 24


Respons Transient Sistem Orde Tinggi:
Fungsi alih loop tertutup:
C(s) G (s)

R (s) 1  G (s)H(s)
Secara umum:
p(s) n (s)
G(s)  ; H(s) 
q(s) d(s)

Diperoleh:
C(s) p(s)d(s)

R (s) q(s)d(s)  p(s)n (s)
b 0 s m  b1s m1    b m1s  b m
 (m  n )
a 0 s n  a 1s n 1    a n 1s  a n

Dengan menghitung pole-pole dan zero-zero nya, diperoleh:
C(s) K (s  z1 )(s  z 2 )(s  z m )

R (s) (s  p1 )(s  p 2 )(s  p n )

Untuk pole-pole yang berbeda, diperoleh tanggapan unit stepnya:
a n ai
C(s)  
s i1 s  p i

 Pole dan zero yang berdekatan akan saling melemahkan
pengaruhnya.
 Pole yang sangat jauh dikiri bidang s memiliki pengaruh yang
kecil pada tanggapan waktu alih.
Bila sistem memiliki pole nyata dan kompleks sekawan, maka :

___________________________________________________________________________


m
K (s  z i )
i 1
C(s)  q r
s (s  p j )  (s 2  2 k k s   k )
2

j1 k 1

___________________________________________________________________________


Bila semua pole-polenya berbeda, maka:

a q aj r
b k (s   k k )  c k k 1   k
2
C(s)    
s j1 s  p j k 1 s 2  2 k k s   k
2

Dalam domain waktu :
q r
c( t )  a   a je  pjt   b k e kkt cos k 1   k t
2

j1 k 1
r
  c k e kkt sin  k 1   k t
2
( t  0)
k 1

Kurva tanggapan orde tinggi : gabungan dari sejumlah kurva
eksponensial dan kurva sinusoidal teredam:

 Pole-pole loop tertutup menentukan tipe tanggapan waktu alih.
 Zero-zero loop tertutup menentukan bentuk tanggapannya.

___________________________________________________________________________


 Pole-pole Loop Tertutup Dominan:

 Orde tinggi seringkali didekati dengan orde-2 untuk
memudahkan analisis.
 Pendekatan ini dapat dilakukan bila ada sepasang pole
dominan terhadap pole-ple lainnya.
 Suatu pole A disebut dominan terhadap pole B bila
perbandingan bagian real nya minimal 1 : 5 dan tak ada zero
didekatnya.
 Pole loop tertutup dominan seringkali muncul dalam bentuk
pasangan kompleks sekawan.

Pole P2 dominan terhadap P2 bila :
1 1

2 5

___________________________________________________________________________


 Kestabilan Sistem

 Semua pole loop tertutup harus berada disebelah kiri sumbu
imajiner.
 Pole-pole pada sumbu imajiner membuat sistem berosilasi
dengan amplitudo tetap, sehingga harus dihindari.
 Kestabilan sistem tak dipengaruhi oleh input, tetapi oleh
sifatnya sendiri.
 Semua pole loop tertutup berada disebelah kiri bidang s belum
menjamin karakteristik transient yang memuaskan.
 Bila pole dominan terlalu dekat dengan sumbu imajiner,
timbul osilasi berlebihan atau tanggapannya menjadi lambat.

___________________________________________________________________________


 ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK

 Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak
untuk jenis input tertentu..
 Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step,
mungkin memiliki galat untuk input ramp.
 Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka)
sistem ybs.

 Klasifikasi Sistem Kendali

 Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap
kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola,
dst.
 Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan
kombinasi input-input tersebut.

 Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut
merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.

___________________________________________________________________________


Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:

K(Ta s  1)(Tb s  1)(Tm s  1)
G(s)H(s) 
s N (T1s  1)(T2 s  1)(T p s  1)

 Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s.

 Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ).

 Tipe sistem berbeda dengan orde sistem !

 Bila tipe sistem bertambah, maka ketelitiannya

meningkat pula.

 Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah

kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan

dan ketelitian keadaan tunak.

 Tipe maksimum sistem umumnya 2.

___________________________________________________________________________


Galat Keadaan Tunak

Fungsi alih loop tertutup :

C(s) G (s)

R (s) 1  G (s)H(s)

dan :

E(s) C(s)H(s) 1
1 
R (s) R (s) 1  G (s)H(s)

Diperoleh :
1
E(s)  R (s)
1  G (s)H(s)

Galat keadaan tunak:

sR(s)
e ss  lim e( t )  lim sE(s)  lim
t  s0 s0 1  G(s)H(s)

 Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat
statik.
 Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya.
 Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan,
percepatan, dst.
 Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu,
dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap
waktu.

___________________________________________________________________________


 Konstanta Galat Statik

s 1
e ss  lim
s0 1  G (s) H (s) s

1

1  G (0)H(0)

Konstanta galat posisi statik:

K p  lim G(s)H(s)  G(0)H(0)
s0

Sehingga galat keadaan tunak :

1
e ss 
1 Kp

Untuk sistem tipe 0:

K(Ta s  1)(Tb s  1) 
K p  lim K
s0 (T1s  1) (T2 s  1) 

Untuk sistem tipe 1 atau lebih:

K(Ta s  1)(Tb s  1) 
K p  lim  ( N  1)
s0 s N (T1s  1) (T2 s  1) 

Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Step:

1
e ss  untuk sistem tipe 0
1 K

e ss  0 untuk sistem tipe 1

___________________________________________________________________________


Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Ramp:

s 1
e ss  lim
s 0 1  G (s) H (s) s 2

1
 lim
s 0 sG(s) H (s)

Konstanta galat kecepatan statik :

k  lim sG(s)H(s)
s0


1
e ss 
K

Untuk sistem tipe 0 :

sK(Ta s  1)(Tb s  1
k v  lim 0
s 0 (T1s  1)(T2 s  1) 

Untuk sistem tipe 1 :

sK(Ta s  1)(Tb s  1
k v  lim K
s 0 (T1s  1)(T2 s  1) 

Untuk sistem tipe 2 atau lebih :

sK(Ta s  1)(Tb s  1
k v  lim  ( N  2)
s 0 s N (T1s  1)(T2 s  1) 

1
e ss   for type 0 systems
K
1 1
e ss   for type 1 systems
K K

___________________________________________________________________________


1
e ss  0 for type 2 or higher systems
K

___________________________________________________________________________


 Pengertian galat kecepatan pada Kv menunjukkan galat

posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan.

 Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada

keadaan tunak.

 Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun

memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

 Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp

tanpa menimbulkan galat pada keadaan tunak.

___________________________________________________________________________


Input unit parabola/akselerasi:

t2
r(t)  for t0
2
0 for t0

Galat keadaan tunaknya:
s 1
e ss  lim
s 0 1  G (s) H (s) s 3

1
 2
lim s G (s)H(s)
s 0

Konstanta galat percepatan statik:
K a  lim s 2 G(s)H(s)
s0

1
e ss 
Ka

___________________________________________________________________________


Konstanta Galat Percepatan Statik :
For a type 0 system,
s 2 K(Ta s  1)(Tb s  1)
K a  lim 0
s0 (T1s  1)(T2 s  1)

s 2 K(Ta s  1)(Tb s  1) 
K a  lim 0
s 0 s(T1s  1)(T2 s  1) 

s 2 K(Ta s  1)(Tb s  1) 
K a  lim K
s 0 s 2 (T1s  1)(T2 s  1) 

For a type 3 or higher system,
s 2 K(Ta s  1)(Tb s  1) 
K a  lim  ( N  3)
s 0 s N (T1s  1)(T2 s  1) 

Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola:

e ss   for type 0 and type 1 systems
1
e ss  for type 2 systems
K
e ss  0 for type 3 or higher systems

___________________________________________________________________________


 Pengertian galat percepatan pada Ka menunjukkan galat
posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan.

 Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola
pada keadaan tunak.

 Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun
memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

___________________________________________________________________________


 Hubungan antara Integral Galat pada Input Step
dan Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp.
Definisikan:

L[e( t )]   st e( t ) dt  E(s)
0

Maka:
 
0  e( t ) dt   e( t )dt  lim E(s)
st
lim
s 0 0 s0

Ingat:
E(s) H(s)C(s) 1
 1 
R (s) R (s) 1  G(s)H(s)

Sehingga:
  R (s) 
0 e( t ) dt  lim  
s 0 1  G (s)H(s) 

Untuk input unit step :
  1 1
0 e(t ) dt  lim0 1  G(s)H(s) s 
s
 
1
 lim
s 0 sG(s)H(s)
1

K
= steady-state actuating error in unit-ramp response

Dengan demikian :

 0
e( t ) dt  e ssr

dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step
essr = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit
ramp

___________________________________________________________________________


 Bila essr = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali.
Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan K v   akan muncul
minimal sekali overshoot bila diberi input step.

___________________________________________________________________________


 ANALISIS KEPEKAAN

 Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen
penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan
karakteristiknya terhadap komponen tersebut.
0 change in T(s)
d In T(s)
S (s) 
T
K  0 ,
d In K (s) 0 change in K (s)
0

dengan:
T(s)  C(s) / R (s)

Definisi kepekaan lain:

dT(s) / T(s)
ST (s) 
K
dK(s) / K (s)

 Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan
dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s)
yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s).

 Definisi diatas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil.

 Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi.

 Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter.

___________________________________________________________________________


Pandang sistem kendali sbb:

Fungsi alih loop tertutup:
C(s) K1G (s)
T(s)  
R (s) 1  K 2 G(s)

dengan: K1 : fungsi alih transducer input
K2 : fungsi alih tranducer balikan
G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian
stabilisator, motor dan roda gigi pada lintasan maju.

___________________________________________________________________________


 Kepekaan Sistem terhadap K1:

dT(s) / T(s) K1 dT(s)
ST 1 
K 
dK1 / K1 T(s) dK1

dengan:

dT(s) G (s) T(s)
 
dK 1 1  K 1G (s) K 1

Sehingga:

K 1 T(s)
ST 1 (s) 
K 1
T(s) K 1

 Setiap perubahan karakteristik pada K1 langsung berpengaruh
pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.
 Elemen yang digunakan untuk K1 harus memiliki karakteristik
presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

 Kepekaan Sistem terhadap K2:
dT(s) / T(s) K 2 dT(s)
ST 2 (s) 
K 
dK 2 / K 2 T(s) dK 2
dengan:
dT(s) 0  K 1G 2 (s)  K 1 G 2 (s)
2

 
dK 2 [1  K 2 G (s)] 2 K 1 [1  K 2 G (s)] 2
Sehingga:

___________________________________________________________________________


 K 1 G 2 (s)  K 2 G (s)
2
K2
S (s) 
T

T(s) K 1 [1  K 2 G (s)] 2 1  K 2 G (s)
K2

___________________________________________________________________________


Untuk nilai frekuensi dengan K2G(s)>>1, maka:
ST 2 (s)  1
K

 Setiap perubahan karaktersitik pada K2 langsung berpengaruh
pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan.
 Elemen yang digunakan untuk K2 harus memiliki karakteristik
presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.
 Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik
komponen dan sistem berlawanan.

 Kepekaan Sistem terhadap G(s):

dT(s) / T(s) G (s) dT(s)
ST ( s ) (s) 
G 
dG (s) / G (s) T(s) dG (s)
dengan:
dT(s) (1  K 2 G (s)) K1  K1G (s)K 2 K1
 
dG (s) [1  K 2 G (s)]2 [1  K 2 G (s)]2
Sehingga:
G (s)  K1 1
ST ( s ) (s)  
T(s) [1  K 2 G (s)] 1  K 2 G (s)
G 2

 Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu
dirancang agar K2G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu
presisi.

___________________________________________________________________________


 Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem
peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi
tertentu saja.

___________________________________________________________________________

analisis sistem kendali 2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to analisis sistem kendali 2

Similar to analisis sistem kendali 2 (20)

More from Rumah Belajar

More from Rumah Belajar (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

analisis sistem kendali 2