1. Математическа логика
Математическа логика
Съждение. Операции със съждения –
конюнкция, дизюнкция, импликация,
равнозначност, отрицание и др.
Съждителен израз. Релации между
съждения.

2. Математическа логика
1. Съждение
Дефиниция 1.1 Съждение или твърдение
е всяко изречение, за което може ясно и
недвусмислено да се каже дали е вярно
или не.
Пример:
Следните изречения са примери за твърдения:
Мария е българка.
Мечката е бозайник.
Числото 6 е нечетно число.
Изречения, които не са твърдения, макар че в част от тях се утвърждава
нещо:
Колко е часът?
Утре ще бъда в София.
Затвори вратата!
Числото 0,0001 е много малко.
Времето днес е чудесно!
Милена е най-красивото момиче в нашия клас.
Трудно е да се решат задачите по физика от новия урок.

3. Математическа логика
1. Съждение
Дефиниция 1.2
Ако съждението p e вярно, казваме, че има
верностна стойност единица: v(p)=1.
Ако съждението p не е вярно, то неговата
верностна стойност е нула: v(p)=0 , т.е.
ИСТИНА ≡ 1, ЛЪЖА ≡ 0.
Пример:
p: Бургас е на брега на Черно море.
q: 17-2=5
v(p)=1, v(q)=0.

4. Математическа логика
2. Операции със съждения
Когато едно, две или повече съждения се свържат с
помощта на съюзи или словосъчетания, както и с
помощта на отрицателната частица „не” се получават
нови съждения. По този начин извършваме логически
операции със съждения.
Логически са операциите:
• конюнкция;
• дизюнкция;
• импликация;
• отрицание;
• равнозначност и др.

5. Математическа логика
2.1. Конюнкция
Дефиниция 2.1 Ако две съждения p и
q съединим със съюза „И”,
получаваме ново съждение, което се
нарича конюнкция на p и q.
v ( p ∧ q ) = 1 ⇔ v ( p) = 1 ∧ v (q ) = 1
p q p∧q
0 0 0
p∧q
0 1 0
pq 1 0 0
1 1 1

6. Математическа логика
2.2. Дизюнкция
Дефиниция 2.2 Ако две съждения p и q
съединим със съюза „ИЛИ”, получаваме
ново съждение, което се нарича
дизюнкция на p и q.
v ( p ∨ q ) = 1 ⇔ v ( p) = 1 ∨ v (q ) = 1
p q p∨q
0 0 0
p∨q 0 1 1
p+q 1 0 1
1 1 1

7. Математическа логика
2.3. Отрицание
Дефиниция 2.3 Ако p е съждение,
твърдението „не е вярно, че p”
изразява ново съждение, което се
нарича отрицание на p.
1, ako v ( p ) = 0,
v ( p) = 
0, ako v ( p ) = 1.
p p p
0 1
¬p
1 0

8. Математическа логика
2.4. Изключващо “или”
Дефиниция 2.4 Ако p и q са две
съждения, твърдението „или p, или q”
изразява съждение, което се нарича
изключващо или.
или
v ( p ⊕ q ) = 1 ⇔ v ( p) + v (q ) = 1
p q p⊕q
0 0 0
p⊕q 0 1 1
1 0 1
1 1 0

9. Математическа логика
2.5. Импликация
Дефиниция 2.5 Ако p и q са две
съждения, твърдението „ако p, то q”
изразява съждение, което се нарича
импликация на p и q .
 0, ako v ( p ) = 1 и v (q ) = 0
v( p → q) = 
1, иначе
p q p→q
0 0 1
p→q 0 1 1
1 0 0
1 1 1

10. Математическа логика
2.6. Равнозначност
Дефиниция 2.6 Ако p и q са две съждения,
твърдението „p, тогава и само тогава,
когато q” изразява съждение, което се
нарича равнозначност на p и q .
1, ako v ( p) = v (q )
v( p ↔ q) = 
0, ako v ( p) ≠ v (q )
p q p↔q
0 0 1
p↔q 0 1 0
1 0 0
1 1 1

11. Математическа логика
3. Съждителен израз
Дефиниция 3.1 Ако едно или повече съждения
запишем с помощта на логически променливи,
логически константи и операции между тях
получаваме съждителен (логически) израз.
израз

12. Математическа логика
3. Съждителен израз
Пример: Да се построи таблица на вярност на израза A= p→q
p q .
q p→q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0

13. Математическа логика
3. Съждителен израз
Пример:
Да се построи таблица на вярност на израза B ( )
= p∧q ↔ s
p q s p p∧q ( p ∧ q) ↔ s
0 0 0 1 0 1
0 0 1 . 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0

14. Математическа логика
3. Съждителен израз
Дефиниция 3.2 Ако един съждителен израз е
винаги верен, независимо от верностната стойност
на съжденията, участващи в него, той се нарича
общовалиден. Ако един израз е винаги неверен –
общовалиден
той се нарича невалиден или неизпълним. Във
неизпълним
всички останали случаи изразът е неутрален.
неутрален
.
p p p∨ p p p p∧ p
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0

15. Математическа логика
4. Еквивалентност
Дефиниция 4.1 Две съждения p и q наричаме
еквивалентни, ако имат еднакви верностни
стойности.
Записваме: p q. Четем: „p е еквивалентно на
q”.
.
Дефиниция 4.2 Два съждителни израза P и Q
са еквивалентни, точно тогава, когато изразът
P↔Q е общовалиден израз.
Записваме: P Q или P=Q.

16. Математическа логика
4. Еквивалентност
Пример:
Да се докаже, че p → q ⇔ p∨q
p q p→q p q p p∨q
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0. 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 1
p q p→q p p∨q ( p → q) ↔ ( p ∨ q)
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1 1

17. Математическа логика
4. Еквивалентност
1. Комутативност на конюнкцията и дизюнкцията
За всеки две съждения p и q е в сила:
p ∧ q ⇔ q ∧ p;
p ∨ q ⇔ q ∨ p.
2. Асоциативност на конюнкцията и дизюнкцията
За всеки три съждения p, q и r е в сила:
( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ p ∧ q ∧ r;
( p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ p ∨ q ∨ r .

18. Математическа логика
4. Еквивалентност
3. Закон за повторението
За всяко съждение p имаме:
p∧ p⇔ p
p∨ p⇔ p
4. Закони, свързани със съждителните константи
За всяко съждение p са в сила следните еквивалентности:
p∧0⇔0 p∧1⇔ p p→1⇔1 p→0⇔ p
p∨ 0⇔ p p∨1⇔1 1→ p ⇔ p 0→ p⇔1

19. Математическа логика
4. Еквивалентност
5. Дистрибутивност
За всеки три съждения p, q и r е в сила:
( p ∨ q ) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r );
( p ∧ q) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ).
6. Закон за поглъщането
За всеки две съждения p и q е изпълнено:
( p ∨ q) ∧ p ⇔ p
( p ∧ q) ∨ p ⇔ p

20. Математическа логика
4. Еквивалентност
7. Закон за двойното отрицание
За всяко съждение p имаме:
p⇔ p
8. Закон за противоречивостта
За всяко съждение p е в сила:
p∧ p ⇔ 0

21. Математическа логика
4. Еквивалентност
9. Закон за изключеното трето
За всяко съждение p е изпълнено:
p∨ p ⇔1
10. Закони на де Морган
За всеки две съждения p и q е изпълнено:
p∧q ⇔ p∨ q
p∨q ⇔ p∧q

22. 5. Релацията следване и правило за извод
Дефиниция 5.1 Казваме, че от съждението p
следва съждението q, ако винаги когато е
вярно p, е вярно и q.
p⇒q
Ако p ⇒ q , то импликацията p → q е вярно
съждение и обратно, ако импликацията p → q е
вярно съждение, то p ⇒ q .

23. Математическа логика
5. Релацията следване и правило за извод
Дефиниция 5.2 Ще казваме, че от съжденията
p1, p2, p3, …, pn следва съждението q, ако винаги
когато е вярно съждението p1 ٨ p2٨p3٨ … ٨ pn е
вярно и съждението q.
От казаното следва, че от p1, p2, p3, …, pn следва q точно
тогава, когато изразът p1٨ p2٨ p3٨ … ٨ pn→ q е общовалиден.
( p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ) ⇒ q
правило за извод
p1 ∧ p 2 ∧ p 3 ∧ ... ∧ p n
правило за
q логическо
заключение.

24. Математическа логика
5. Релацията следване и правило за извод
1. Модус поненс (категорически силогизъм)
p → q, p
q
2. Модус толенс (отрицателен модус)
p → q, q
p
3. Правило за условния силогизъм
p → p1 , p1 → p 2 ,..., p k → q
p→q

25. Математическа логика
6. Квантори
Дефиниция 6.1 Изразът „За всяко p” се нарича
квантор за общност и се означава със знака
Ұp. Съждения, съдържащи израза „За всяко p” се
наричат съждения за общност.
общност
Дефиниция 6.2 Изразът „Съществува a,
такова че” се нарича квантор за
съществуване и се означава със знака ∃a .
Съждения, съдържащи този израз се наричат
съждения за съществуване.

26. Задачи
1. Aко са дадени съжденията
p=,,Х е по-голямо от 2" и
q=,,Х е по-малко от 4"
да се представи чрез p и q съждението
А=,,Х принадлежи на интервала (2;4)",
както и неговото отрицание.
2. Дадено е съждението А=,,Мирослав е българин от Своге".
Представете А чрез две прости съждения и запишете как
изглежда отрицанието на А.
3. Съставете отрицанията на съжденията:
а) А=,,Ангел слуша техно или рап"
б) А=,,Иван е взел книжка и си е купил кола"

27. Кой е мъжът от
картината? Ад или рай
• Един мъж гледа портрет • Две врати. Едната води
и го питат „Кой е мъжът към ада, а другата към
на картината“ рая. Пазят ги двама
• Човекът отговорил: „Аз пазачи. Единият винаги
нямам братя и сестри. казва истината, а
This man’s father is my другият винаги лъже.
father’s son“ • Човек има право да
зададе само един
въпрос.
• Какво да попита, за да
разбере коя врата към
какво води?