Ketaksamaan Markov dan Chebyshev membantu menentukan rentang peluang (batas atas dan bawah) suatu variabel acak jika hanya diketahui rata-rata dan variansnya, bukan fungsi distribusinya. Teorema Chebyshev menyatakan batas atas dan bawah peluang suatu variabel berada di luar k kali simpangan baku dari rata-rata.

1. KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV
Variansi suatu variabel acak memberi gambaran
mengenai keragaman pengamatan di sekitar rataan.
Variansi kecil menunjukkan pengamatan mengelompok
di dekat rataan. Akibatnya peluang suatu variabel acak
mendapat nilai dalam suatu selang tertentu di sekitar
rataan akan lebih besar dari variabel acak serupa yang
lebih besar simpangan bakunya.
1

2. Ketaksamaan Markov dan Chebyshev
membantu kita dalam menentukan rentang
peluang (batas atas dan batas bawah suatu
peluang) jika distribusi peluang ataupun
fungsi distribusi tidak diketahui, tapi melalui
rata-rata dan variansi dari variabel acak
tersebut.
2

3. Teorema : Ketaksamaan CHEBYSHEV
Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi
2
Peluang ( asumsikan hanya diketahui varians
dan rata-rata , ) maka k>0
2
P X k 2
k
3

4. Bukti :
2
Karena X 0,
maka dengan ketaksamaan Markov,
E( X )
P X k
k
2
2
E X
2
P X k
k2
4

5. 2 2
X k X k
Jadi 2
P X k 2
k
Selanjutnya apabila k diganti dengan k , maka :
1
P X k 2
k
5

6. Jadi, teorema Chebyshev mengatakan,
Misalkan X variabel acak dengan mean
2
, variansi . Untuk suatu konstanta c dan
k, pernyataan berikut ekivalen :
1 Batas atas
1. P X k 2
k
1
2. P X k 1 2 Batas bawah
k
2
3. P X c
c2
6

7. Contoh:
1. Jika X adalah variabel acak dengan
2
E( X ) 3, E ( X ) 13, dengan menggunakan
ketaksamaan Chebyshev,
tentukan batas bawah untuk P 2 X 8
7

8. Jawab:
1. E( X ) 3
2 2 2
E( X ) E( X ) 13 32 4
2
Dengan ketaksamaan Chebyshev,
1
P X k 1 2
k
1
P X 2k 1 2
k
1
P 2k ( X 3) 2k 1 2
k 8

9. 1
P 2k ( X 3) 2k 1 2
k
1
P 2k 3 X 2k 3 1 2
k
Batas untuk P 2 X 8 :
5 5
2k 3 2 k dan 2k 3 8 k
2 2
Maka batas bawahnya adalah:
1 4 21
1 2 1 0,84.
k 25 25
9

10. 2. Jika A adalah variabel acak dimana P( X 0) 0
dan E ( X ) ada. Perlihatkan bahwa
1
P( X 2 ) .
2
Jawab: Misalkan u( X ) X E(u( X )) E( X )
Dengan ketaksamaan Markov,
E( X )
P X c P X c
c c
1
P X 2 c 2
c 2
1
Maka P( X c) P( X 2 ) .
2 10

11. 3. Sebuah kantor pos rata-rata dapat mengirim
10.000 surat perhari. Tentukan peluang kantor
pos tersebut dapat mengirim
a) paling sedikit 15.000 surat
b) kurang dari 15.000 surat.
Jawab:
Dengan ketaksaman Markov,
E( X ) 10.000 2
a) P X 15.000 .
15.000 15.000 3
2 1
b) P X 15.000 1 P( X 15.000) 1 .
3 3
11

12. 3. Lebar gordyn jendela kamar Mira berkisar
antara 42,5 dan 42,5 inci. Mira membeli gordyn
di toko yang mempunyai 30 gordyn.
Berapa peluang Mira mendapatkan gordyn
sesuai keinginannya, jika rata-rata lebar gordyn
di toko adalah 42 inci dan simpangan baku 0,25?
Jawab:
Misalkan lebar gordyn yang dibeli Mira: X
Dengan ketaksamaan Chebyshev,
12

13. 1
P X k 1 2
k
P 41,5 X 42,5 P 0,5 X 42 0,5
P X 42 0,5
P X 42 2 (0, 25)
1 k
1 0, 75.
4
Jadi peluang Mira mendapatkan gordyn sesuai
keiinginannya minimal 75 %.
13

14. SOAL:
1. Jika X adalah variabel acak yang mempunyai
8 dan 2 9 ,dengan menggunakan
ketaksamaan Chebyshev tentukan:
a. P( 4 X 20)
b. P( X 8 6)
14

15. 2. Misalkan X mempunyai pdf
1
, 3 x 3
f ( x) 2 3
0, x yang lain
Tentukan P X k jika
3
a. k
2
b. k 2
Hitung secara eksak, bandingkan dengan nilai
di atas 15

16. 3. Misalkan X mempunyai peluang 1 , 6 , 1
di titik x= -1,0,1 berturut-turut. 8 8 8
a) Dengan Ketaksamaan Chebyshev, tentukan
P X k jika k 2
b) Hitung secara eksak (peluang biasa),
kemudian bandingkan dengan hasil a).
4. Rata-rata IQ siswa suatu sekolah adalah 110.
Jika variansnya 15, apa yang dapat kita katakan
tentang prosentase siswa yang ber IQ tidak
kurang dari 140?
16