ベイズ推定の一般論。

1. 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成
第3回
上田隆一

2. 本日の内容
• 前回の補遺
– ジャイロを使ったデッドレコニングの修正の計算
– bel
– 乱数の話
• センサ情報の扱い
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 2

3. ジャイロを使ったデッドレコニングの修正
の計算
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 3

4. パーティクルによるbelの表現
• belというのは形の定まらない関数
– belの値の大きいところに
パーティクルが集まるようにして
belを近似表現する
• パーティクルからの確率の求め方
– 右の例: 空間X中にロボットが
存在する確率は、10個のうちの3個が
X内にあるので30%
– 実際のパーティクルは重みをパラメータ
に持つので実際は重み付き平均
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 4

5. 乱数の実装
• かなりの個数の乱数を使うので、乱数が
一巡しないように気をつける
– Linuxやその他UNIXベースのOSなら
/dev/urandomを使って生成（一巡しない）
• 標準正規分布は0〜1までの乱数を12個足して6を
引くと得られる（あくまで近似だけど）
• 高速処理が必要な時は、ロボットを動かす前に
必要な個数の乱数を配列に入れて使う
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 5

6. センサ値の扱い
• センサ（外界センサ）: 環境の情報を
内界に取り込むためのもの
• 取り込んだ情報を位置推定に反映すると
推定の不確かさが減る
– どうやって？
– 情報ってなんだろう？
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 6

7. 情報を位置情報へ反映する例
（人間の場合）
• 問題
– 国内を放浪している兄から夜中に電話。居酒屋にいるら
しく、酔っぱらいの関西訛りの声が聞こえる。
– 翌午前中、また電話。始発から普通列車で移動してきて、
着いた先でケンカに巻き込まれて拳銃で撃たれたが
軽傷とのこと。
– さて、お兄さんは何県にいるでしょうか？
いくつか候補をあげてみましょう。
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 7

8. この例のポイント
• 位置情報とは直接関係ない情報から、
位置がなんとなく推定できる/推定してしまう
– 正しい時もあるし、間違いの時もある
• 我々はなぜ位置情報を推定できるのか
– 「言葉の訛り」、「拳銃」という言葉に対する
イメージ（ある種の偏見）から特定の県への変換を行っている
• 本日の内容: （同じかどうかは分からないが）このような
変換をロボットに実装
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 8

9. ベイズ推定
• 先ほどの例と関連していそうな枠組みの一つ
• ベイズの公式（離散）
– A: 推定したい物事
– B: 入ってきた情報
– L(A|B): 尤度
• Bが観測された場合にAがどれだけ尤もらしいか表す値
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 9

10. 尤度関数 L
• 例えばこういうもの
– L(大阪府 | 関西訛り) = a
– L(千葉県 | 関西訛り) = 0.1a
– 確率ではない。比が大切
– P(千葉県) = P(大阪府) = 0.5としてベイズの公式で
P(千葉県|関西訛り)とP(大阪府|関西訛り)を
求めてみましょう
• aは消えるはず
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 10

11. センサと尤度関数
• 距離センサの値から尤度関数を作る
– 尤度 L(x|d) の値を決める
• 条件
– センサの値には標準偏差 s/x で
正規分布に従うばらつき
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 11

12. • 答え
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 12

13. 尤度を使った信念の更新
• これまでの信念と尤度の掛け算となる
– 信念分布は狭くなる（より確信した状態）
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 13

14. パーティクルを用いた計算
• 尤度 L(パーティクルの姿勢|センサ値) を
各パーティクルの重みにかけて正規化
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 14

15. 計算してみましょう
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 15
• 全方向移動ロボットの位置推定
– 状態変数: x, y
– パーティクルを右図のように100mm間隔で置く
– 重みの初期値は1/16
• ロボットは距離センサを所持
– 最大100mmの誤差がランダムに発生
– それ以上は絶対に間違えない
• このロボットが壁を計測したら、
ロボットの中心から260mmでした。
パーティクルの重みの重心はどこ？
• 他、センサの誤差の統計的性質が異なる
場合についても計算してみましょう
– 誤差が正規分布に従う場合等

16. 実世界でのセンサ値の扱い
• センサ値の取り扱う際には厄介な
問題がいくつか存在
• 距離センサで起こる問題の例
– センサ固有の値の揺らぎ以外にも誤差要因
• 人が横切る
• 他、なんでしょう？
– センサ値が互いに独立していない
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 16

17. 「距離センサの前を人が横切る問題」
• 距離センサの先に動く障害物が横切ったり、
留まったりすることが想定される環境
– 計測値には（壁を計測していると仮定するなら）
大きな誤差
– 誤差の統計的な性質はほとんどの場合、不明
– どんな対策があるでしょうか？
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 17

18. 考えられる対策
• 別のセンサで移動体を認識して壁と区別
– 移動体がいるときは計測値を位置推定に使わない
• 尤度関数に移動体の存在を盛り込む
• 他
– リセット等（後日）
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 18

19. 移動体を考慮した尤度関数の例
• d（距離）の値は、移動体で異常に小さくなり得る
– dが小さくても壁から遠いかもしれない
– dが大きければ壁から遠い
– 面倒な時は正規分布の側を垂線にすることも
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 19

20. • 利点
– どれだけ移動体がいても悪影響はない
• 欠点
– 尤度関数を広くとると信念の更新が緩やかにな
る
– 計測対象の多くない環境では
信念が収束しないかもしれない
– 逆にセンサ値が実際より遠い値を出すことが
ある場合には使えないかもしれない
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 20

21. センサ値の独立性
• 続けて得られたセンサ値の誤差は、
独立していない場合がほとんど
– 例
• 距離センサで同じところを二回計測したら、
どちらの計測値にも壁の傷の影響で同じ誤差が
• Aさんが明日雨だと言った。Aさんと仲の良いBさんも
明日雨だと言った。Bさんの情報に価値はあるか？
• 互いに独立していない情報をbelに反映すること
は、同じ尤度を二回かけるのと同じこと
• 対策はあるか？
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 21

22. 考えられる対策
• 続けて入ってくるセンサ情報を適度に間引く
– 時間が遠いセンサ情報ほど独立性が高いという仮定
• 何度ベイズの公式を適用してもbelが
収束しないように尤度関数を設定
– さっきの「計算してみましょう」の例は、収束しない例
– 尤度が正規分布だと収束
• どちらの対策も有効な場合とそうでない場合
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 22

23. まとめ
• 尤度の実装は雑音の統計的な性質を
考慮しつつも、最終的には実装者の判断
– ロボットの信念は実装によって異なってくる
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 23

24. 次回
• 具体的な実装例
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 24

25. 早く終わった場合の問題
• 想定
– A室、B室二つの部屋がある閉鎖空間
– 中にいる人は自分がA,Bどっちにいるか分からない
– 猫が住んでいて、
A室には1/3、B室には2/3
の確率でいる
• 乱数で猫をAとBの間で
移動させて、ずっとA室に
いる人がA室に自分がいると
いう確信を持っていく過程を
計算してみましょう
Oct. 7, 2015 確率ロボティクスと移動ロボットの行動生成 25