Exercícios resolvidos na disciplina de Sinais e Sistemas

1. ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS
DE INFORMAÇÃO
Licenciatura em Engenharia Informática
Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas
Colectânea de Exercícios Resolvidos
Prof. Doutor João Canto(
1)
Prof. Doutor Marko Beko(
1)
Janeiro de 2012

3. 3
Prefácio
1
Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de
Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais
concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de
Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e
no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são
retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos
como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML;
(ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão
também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das
aulas teóricas (doravante definidos como AT).
Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos,
da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa
por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação
 x n representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao
conjunto dos números inteiros), e  x t um sinal definido no tempo contínuo (onde t
pertence ao conjunto dos números reais).
Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns
exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca
substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem
como o estudo dos livros referenciados na bibliografia.
1
Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior
Técnico

4. 4

5. 5
Índice
Prefácio .......................................................................................................................... 3
Índice............................................................................................................................... 5
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos............................. 11
(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.Problema 1.1.
.................................................................................................................................... 11
(HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintesProblema 1.2.
sinais........................................................................................................................... 14
(IML 1.16) Considere dois sinais discretos,  x n e  y n , tais que... 17Problema 1.3.
(HSU 1.23) O sinal discreto  x n está desenhado na Figura 1.5.Problema 1.4.
Represente cada um dos seguintes sinais. .................................................................. 21
(HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos.Problema 1.5.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 24
(HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos.Problema 1.6.
Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 25
(IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos.Problema 1.7.
Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ......................................... 26
(IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundoProblema 1.8.
as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4)
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade......................................................... 29
Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejamProblema 1.9.
calcule o seu período. ................................................................................................. 34
(IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo asProblema 1.10.
seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4)
Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade......................................................... 36
Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39
(HSU 2.30) Avalie      y n h n x n  , onde  x n e  h n estãoProblema 2.1.
representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b)
A expressão para a soma de convolução. ................................................................... 39
(HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsionalProblema 2.2.
   n
h n u n para 0 1  e o sinal de entrada    x n u n . Determine a
resposta do sistema através de: (a)      y n x n h n  ; (b)      y n h n x n  ..... 45
(HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistemaProblema 2.3.
LIT é dada por:    n
uy n u n para 0 1  . Determine a resposta impulsional do
sistema. ....................................................................................................................... 50
(HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte respostaProblema 2.4.
impulsional:    n
h n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b)
Estabilidade. ............................................................................................................... 51

6. 6
(HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por:Problema 2.5.
     1 2
n
h n u n . Calcule  1y e  4y para o sinal de entrada
     2 3x n n n    ............................................................................................ 53
(IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte respostaProblema 2.6.
impulsional:    2 4n
h n u n  . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b)
Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada
     2 4 1x n n n    . ......................................................................................... 54
(IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitárioProblema 2.7.
é dada por: .................................................................................................................. 56
Capítulo 3. Transformada Z........................................................................................ 59
(HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a)    x n u n  ;Problema 3.1.
b)    x n n . ......................................................................................................... 59
(AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinalProblema 3.2.
   0j n
x n e u n
 . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência...... 63
(AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinteProblema 3.3.
sinal   n
x n  ........................................................................................................... 65
(AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 66Problema 3.4.
(AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 71Problema 3.5.
(HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de................................. 75Problema 3.6.
(HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ............................. 77Problema 3.7.
(HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 81Problema 3.8.
(HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 84Problema 3.9.
(HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por........... 86Problema 3.10.
(HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por......... 88Problema 3.11.
(HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por......... 90Problema 3.12.
(HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de  x n paraProblema 3.13.
cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema:...................... 93
(AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação àsProblema 3.14.
diferenças.................................................................................................................... 95
Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos........................... 97
Seja...................................................................................................... 97Problema 4.1.
Seja...................................................................................................... 98Problema 4.2.
Seja...................................................................................................... 99Problema 4.3.
Sejam................................................................................................. 100Problema 4.4.
Sabe-se que........................................................................................ 103Problema 4.5.
(IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ............... 104Problema 4.6.

7. 7
(IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7.Problema 4.7.
Escreva a expressão que os relaciona....................................................................... 105
(IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinalProblema 4.8.
representado na Figura 4.8. ...................................................................................... 106
(IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por.................. 108Problema 4.9.
(IML 1.9) Seja  x t um sinal contínuo considere-se..................... 109Problema 4.10.
(IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos.Problema 4.11.
Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ................................... 111
(IML 1.12) Determine o período fundamental de........................... 112Problema 4.12.
(IML 1.13) Seja............................................................................... 113Problema 4.13.
(IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ..................................... 114Problema 4.14.
(IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117Problema 4.15.
(IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120Problema 4.16.
(IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ..... 123Problema 4.17.
Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos... 127
(IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dadaProblema 5.1.
por............................................................................................................................. 127
(AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC .................... 130Problema 5.2.
(HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dadaProblema 5.3.
por............................................................................................................................. 133
(IML 2.13) Considere o seguinte sistema ......................................... 136Problema 5.4.
(IML 2.19) Seja................................................................................. 139Problema 5.5.
Capítulo 6. Transformada de Laplace...................................................................... 141
(AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.1.
   eat
x t u t   ....................................................................................................... 141
Determine a transformada de Laplace do sinal ................................. 147Problema 6.2.
(AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.3.
   0j t
x t e u t
 ......................................................................................................... 148
(HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal:Problema 6.4.
     2 3t t
x t e u t e u t
   ......................................................................................... 149
(IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo,  x t , cuja transformadaProblema 6.5.
de Laplace é:............................................................................................................. 150
(IML 3.3a,d) Seja .............................................................................. 154Problema 6.6.
(IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função deProblema 6.7.
transferência de um SLIT. ........................................................................................ 155
(IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros seProblema 6.8.
representa na Figura 6.5 . ......................................................................................... 158

8. 8
(IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITsProblema 6.9.
cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta............. 162
(HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordemProblema 6.10.
.................................................................................................................................. 164
(IML 3.10) Seja............................................................................... 166Problema 6.11.
(IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equaçãoProblema 6.12.
diferencial de coeficientes constantes....................................................................... 170
Capítulo 7. Transformada de Fourier ...................................................................... 177
(IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma dasProblema 7.1.
seguintes funções no tempo:..................................................................................... 177
Encontre  x t , sabendo que.............................................................. 183Problema 7.2.
Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintesProblema 7.3.
sinais......................................................................................................................... 185
Calcular  x t sabendo que ............................................................... 189Problema 7.4.
(IML 3.31) Considere o sinal  x t cujo espectro de frequência estáProblema 7.5.
representado na Figura 7.3 ....................................................................................... 191
(IML 3.32) Sejam  x t e  y t , respectivamente, os sinais de entradaProblema 7.6.
e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela
seguinte equação:...................................................................................................... 193
(IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ........ 194Problema 7.7.
(IML 3.34) Seja................................................................................. 195Problema 7.8.
Anexo A. Fundamentos Matemáticos....................................................................... 197
A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ........................................................ 197
A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ............................................ 199
A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ......................................... 202
A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas................................................................. 203
A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu
módulo, inverso e conjugado.................................................................................... 205
A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu
módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo............................ 208
A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana...................... 211
A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ............................................... 213
A.9. Calcule as seguintes expressões........................................................................ 215
A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras...................................... 218
Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2......................................................... 219
B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ....................... 219
B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais.......................... 223
Anexo C. Testes Resolvidos ....................................................................................... 227

9. 9
C.1. Processamento de Sinal: Teste 1....................................................................... 227
C.2. Processamento de Sinal: Teste 2....................................................................... 237
C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1................................................................................. 243
C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2................................................................................. 250
Anexo D. Formulários................................................................................................ 259
D.1. Formulário para processamento de sinal. ......................................................... 259
D.2. Formulário para sinais e sistemas..................................................................... 263

10. 10

11. 11
Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais
Discretos
(IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintesProblema 1.1.
sinais discretos.
Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições
respectivas dos sinais pares e ímpares
   x n x n  , (1.1)
   x n x n   . (1.2)
a)  
1
; 0
0 ; 0
n
x n n
n


 
 
Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2)
, ou seja, é necessário calcular  x n e verificar se este se relaciona com  x n , através
de uma relação de paridade. Directamente da definição de  x n e (1.2) obtém-se
   
1
; 0
0 ; 0
n
x n x nn
n

 
   
 
. (1.3)
O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura
1.1a.
b)  
2
1 ; 02
3
; 0
0
n
n
x n
n
         

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se

12. 12
 
 
 
2 2
11 ; 0 ; 022
33
; 0 ; 0
00
nn
n n
x n x n
n n
                    

. (1.4)
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b.
c)  
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se
 
 3 1 ; 0
; 00
n n
x n
n
  
  

. (1.5)
O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade,
como pode ser observado pela Figura 1.1c.
d)  
  ; 04 1
; 00
n
n
x n
n
 
 

Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se
 
     
 
1
4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1
1
; 0 ; 0 ; 00 0
0
n n
nn n n
x n x n
n n n
 
      
      
    

. (1.6)
O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d.

13. 13
Figura 1.1. Representação de  x n .
 a  b
 c  d

14. 14
(HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dosProblema 1.2.
seguintes sinais.
Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário
considerar as seguintes definições
     
1
2
px n x n x n     , (1.7)
     
1
2
ix n x n x n     , (1.8)
que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas
relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos
           
1 1
2 2
p px n x n x n x n x n x n              , (1.9)
               
1 1 1
2 2 2
i ix n x n x n x n x n x n x n x n                        . (1.10)
c)    0 2j n
x n e  

O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em
   0 2
0 0cos sin
2 2
j n
x n e n j n
       
         
   
. (1.11)
Através do círculo trigonométrico é possível identificar
 cos sin
2
x x
 
   
 
,  sin cos
2
x x
 
  
 
, (1.12)
que aplicado em (A.67) permite obter
     0 0sin cosx n n j n     . (1.13)
A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas:
i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é
possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma

15. 15
     i px n x n x n  , (1.14)
onde
   0sinix n n   , (1.15)
   0cospx n j n  , (1.16)
são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal.
ii) Pela definição (1.7) podemos então obter
       0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
px n j n n j n             . (1.17)
Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno
   cos cosx x  ,    sin sinx x   , (1.18)
facilmente se chega a
         0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos cos
2
px n j n n j n j n             . (1.19)
Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega-
se a
       
         
0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
sin cos sin cos
2
1
sin cos sin cos sin
2
ix n j n n j n
n j n n j n n
             
             
. (1.20)
A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2

16. 16
Figura 1.2. Representação de  x n .

17. 17
(IML 1.16) Considere dois sinais discretos,  x n e  y n ,Problema 1.3.
tais que
   2 3y n x n  . (1.21)
Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 0N  , tal que respeita a
condição
   x n x n N  , n  . (1.22)
O período fundamental 0N define-se como o menor inteiro positivo que verifica (1.22).
Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 0N é também um período de  x n .
Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo  0sin n ,  0cos n
ou  0j n
e

, onde 0 é a frequência fundamental, e 2M  , seja periódico, é
necessário que se verifique
0
M

 , (1.23)
onde é o conjunto dos números racionais.
a) Se  x n é par logo  y n é par?
Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma
vez que
     2 3y n x n y n     , (1.24)
e sendo que  x n é par vem ainda
       2 3 2 3 2 3x n x n y n x n       , (1.25)
pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do
sinal. No entanto, se  x n for periódico, de período 0 1,2,3,6N  , tem-se que

18. 18
     2 3 2 3x n x n y n    , ou seja, a paridade do sinal seria mantida e  y n seria
par.
b) Se  x n é periódico logo  y n também o é? Se sim calcule o período de  y n .
(i) Resolução intuitiva
Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma
mudança de escala temporal, correspondente ao termo 2n ; (b) Um deslocamento
temporal, correspondente ao termo 3 . Note-se que, uma mudança de escala altera o
período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal
periódico  x n , de período 0N , na forma
  0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 0
0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2
... ...k k
n N N N N N
x n
x x x x x x x x
   
 . (1.26)
Torna-se então necessário separar os casos em que 0N é par ou ímpar. Quando 0N é
par tem-se que
         
0
0
0 2 4 0
0 1 2 ... 2
2 0 2 4 ...
...
n N
x n x x x x N
x x x x

 , (1.27)
logo o período de  2x n é dado por 0 2N N . Uma vez que a próxima operação, o
deslocamento, não altera a periodicidade, o período de  y n é 0 2yN N . Para o caso
em que 0N é ímpar, 0 2N N não é inteiro, pelo que não pode ser um período de
 y n . Para este caso, tem-se que
               
0 0 0
0
0 0 0 0
0 2 4 1 3 0
1 1 3
0 1 2 ... ...
2 2 2
2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2
... ...k
N N N
n N
x n x x x x N x N x N x N
x x x x x x x
  

    ,(1.28)

19. 19
logo o período de  2x n é dado por 0N N . Novamente, o deslocamento não altera a
periodicidade, e o período de  y n é 0yN N . Ambas as componentes e a sua
periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4.
(ii) Resolução pela definição
Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que
n  ,    yy n N y n  . (1.29)
Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como
n  ,       2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n       . (1.30)
Para que esta tenha solução, é necessário que
0
02
2
y y
N
N mN N m   , m  , (1.31)
onde 0N é o período fundamental de  x n . O período fundamental de  y n é então o
menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a
0
0
0 0
1 , par
2
2 , ímpar
y
N
m N
N
m N N

 
 
  
. (1.32)
Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em
que 0N é par é que 0 2yN N é inteiro. Para o caso em que 0N é ímpar apenas se
poderá ter 0yN N .

20. 20
Figura 1.3. Representação do caso 0N par.
Figura 1.4. Representação do caso 0N ímpar.

21. 21
(HSU 1.23) O sinal discreto  x n está desenhado naProblema 1.4.
Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais.
A representação de  x n e  u n pode ser observada na Figura 1.5.
Figura 1.5. Representação de  x n .
a)    1x n u n
Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se
aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da
definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações
referidas, é possível chegar a
     ( ) ( )
1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii
n n n
u n u n u n
n n n
    
        
    
. (1.33)
Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto
por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6.
Figura 1.6. Representação de    1x n u n .

22. 22
b)      2x n u n u n   
Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de
deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que
   
1 ; 0 1 ; 2
2
0 ; 0 0 ; 2
n n
u n u n
n n
   
    
   
. (1.34)
Efectuando a operação de subtracção vem que
   
1 ; 2 1
2
0 ; outros
n
u n u n
   
   

. (1.35)
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7.
Figura 1.7. Representação de    1x n u n .
c)    1x n n 
Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se
obtém a partir da definição de impulso unitário que
   
1 ; 0 1 ; 1
1
0 ; 0 0 ; 1
n n
n n
n n
 
  
    
  
. (1.36)
Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8.

23. 23
Figura 1.8. Representação de    1x n u n .

24. 24
(HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou nãoProblema 1.5.
periódicos. Caso sejam calcule o período.
a)    4j n
x n e 

Para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo
substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação
 
4 4
j n N j n
e e
    
   
   
 . (1.37)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a
4 4 4
j n N j n
e e
     
   
   
 . (1.38)
Para que  x n seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a
seguinte condição:
2 8
4
N m N m

   , m  . (1.39)
Atribuindo valores a m , obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39),
01 8m N   . (1.40)
onde 0 8N  é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e  x n é uma
função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada
0 14
2 8 8
1
M


 

    . (1.41)

25. 25
(HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ouProblema 1.6.
não periódicos. Caso sejam calcule o período.
a)   4
n
j
x n e
 
 
 

Novamente, para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22).
Substituindo substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação
4 4
n N n
j j
e e
 
   
    
   
 (1.42)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a
4 4 4
n N n
j j
e e
    
     
   
 (1.43)
Para que  x n seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a
condição:
2 8
4
N
m N m    , m  . (1.44)
Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo
impossível obter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e
 x n é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada
0
1
14
2 8
1
M  

   . (1.45)

26. 26
(IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes sãoProblema 1.7.
periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental.
b)   sin 5 2
4
x n n
 
  
 
Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma
mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 2M 
, verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para
calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em b), e aplique-se (1.22) à
definição do sinal obtendo a equação
 sin 5 2 sin 5 2
4 4
n N n
    
      
   
. (1.46)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a
sin 5 2 5 sin 5 2
4 4 4
n N n
     
      
   
. (1.47)
Para que  x n seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das
funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental
da função seno ( 2M  ):
8
5 5 2
4 4 5
N mM N m N m
 
     , m  . (1.48)
O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste
caso, corresponde a 5m  que resulta em 0 8N  . Novamente, uma vez que (1.39) tem
solução, e  x n é uma função seno, a condição (1.23) é verificada
0
5 5 54
2 8 8
1
M


 

    . (1.49)
c)  
1
cos
2
x n n
 
  
 

27. 27
Para calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em c), e aplique-se
(1.22) à definição do sinal, obtendo a equação
 
1 1
cos cos
2 2
n N n
   
    
   
. (1.50)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a
1 1 1
cos cos
2 2 2
n N n
   
    
   
. (1.51)
Para que  x n seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das
funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período
fundamental da função co-seno ( 2M  ):
1
2 4
2
N m N m    , m  . (1.52)
Uma vez que  é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo
impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e  x n é uma
função co-seno, a condição (1.23) não é verificada
0
1
12
2 4
1
M  

   . (1.53)
d)    2
cos 5x n n
Novamente, substituindo n por n N em d) e aplicando (1.22), chega-se a
   2 2
cos 5 cos 5n N n   
 
. (1.54)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter
   2 2 2
cos 5 10 5 cos 5n nN N n      . (1.55)
Novamente, de (1.55) obtém-se a condição

28. 28
2 25
10 5 2 5
2
nN N m m nN N       , m  . (1.56)
Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser
inteiro. Desta forma, uma vez que 5nN já é um inteiro ( n e N são inteiros) é
necessário que
2
0
5
2
2
N N   . (1.57)
Tendo (1.57) solução, e sendo  x n uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada
0
5
5 51
2 2 2
1
M


 

    . (1.58)

29. 29
(IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode serProblema 1.8.
classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2)
Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade;
6) Invertibilidade.
Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais
dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma:
1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída
apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e.,
   1 1 1n y n f x n       . (1.59)
e.g.,    3y n x n não tem memória, enquanto que    3 1y n x n  tem.
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos
até ao instante 0n , as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e.,
       1 2 0 1 2 0x n x n n n y n y n n n       . (1.60)
Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g.,
   3y n x n e    3 1y n x n  são causais, enquanto que    3 1y n x n  não.
3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma
deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e.,
       0 0x n y n x n n y n n     , 0n . (1.61)
4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à
entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para
cada sinal de entrada, i.e.,
   
   
       1 1
1 2 1 2
2 2
x n y n
ax n bx n ay n by n
x n y n

   

. (1.62)

30. 30
5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
   0: 0:x x y yA x n A n A y n A n           . (1.63)
6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam
em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e.,
       1 2 1 2x n x n y n y n   . (1.64)
a)    n
y n x n
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade
(1.60) verifica-se que o sistema é causal.
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61).
Considerando um sinal auxiliar    1 0x n x n n  resulta que
     1 1 0
n n
y n x n x n n   . (1.65)
No entanto, uma vez que,
   0
0 0
n n
y n n x n n
   , (1.66)
é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo.
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que    1 1
n
y n x n ,
   2 2
n
y n x n pelo que
           1 2 1 2 1 2
n
ax n bx n ax n bx n ay n by n       , (1.67)
logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo 1a b  no ponto 2n  , vem
para quaisquer dois sinais de entrada  1x n e  2x n
           
2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2x x x x y y       . (1.68)

31. 31
Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo.
Considere-se o sinal de entrada limitado   2x n  , n , pelo que vem
   2 limn
n
y n y n

   , (1.69)
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável.
Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo.
Definam-se dois sinais diferentes tais que
   
   
1 1
2 2
1, 1 1,
1, 0 1 , 0
1,
2, 0 2 , 0
n
n
n
x n n y n n
n n
x n y n n
n n
     
  
     
  
. (1.70)
A partir de (1.70) verifica-se que,
       1 2 1 2x n x n y n y n   , (1.71)
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde
a informação do sinal de entrada no instante 0n  ).
b) Esta alínea corresponde à resolução em paralelo dos problemas IML 1.23h, i,
representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os
dois sistemas semelhantes,
 
 
 
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n
y n n
x n n


 
   
,  
 
 
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n
y n n
x n n


 
  
. (1.72)
Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que  hy n tem
memória enquanto que  iy n não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode
observar-se que  hy n é não causal enquanto que  iy n é causal. Quanto à
invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas  0y n n são dadas por
 
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
1 , 1
h
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
    
,  
 
 
0 0
0 0
0 0
, 1
0 ,
, 1
i
x n n n n
y n n n n
x n n n n
  

  
   
. (1.73)

32. 32
Considerando novamente sinais auxiliares do tipo    0x n x n n   resulta que,
 
 
 
0
0
, 1
0 , 0
1 , 1
h
x n n n
y n n
x n n n
 

  
    
,  
 
 
0
0
, 1
0 , 0
, 1
i
x n n n
y n n
x n n n
 

  
   
. (1.74)
Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os
sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas
lineares verifica-se que, o sistema  hy n ,
     
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
1 1 , 1
h h h
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
     
, (1.75)
bem como o sistema  iy n
     
   
   
   
1 2
1 2 ,1 ,2
1 2
, 1
0 , 0
, 1
i i i
ax n bx n n
ax n bx n y n n ay n by n
ax n bx n n
 

     
   
, (1.76)
são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é
sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que
estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema  iy n perde a
informação da entrada no instante 0n  enquanto que o sistema  hy n não. Desta
forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais
     
     
1 ,1
2 ,2
0
2 0
i
i
x n n y n
x n n y n


  
  
, (1.77)
ou seja,
       1 2 ,1 ,2i ix n x n y n y n   , (1.78)
logo o sistema  iy n é não invertível. Pelo contrário,  hy n é invertível, e o seu
sistema inverso é dado por
   
 
 
1
, 0
1 , 0
h
h h
h
y n n
y n z n
y n n


  
 
. (1.79)

33. 33
d)    y n n x n
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda
(1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal.
Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61),
considerando    1 0x n x n n  , pelo que se tem
     1 1 0y n n x n n x n n   . (1.80)
No entanto, uma vez que
     0 0 0y n n n n x n n    , (1.81)
tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo.
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que    1 1y n n x n e
   2 2y n n x n , pelo que
                1 2 1 2 1 2 1 2ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n       , (1.82)
logo o sistema é linear.
A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se
  3x n  , n , verifica-se que,
   3 lim
n
y n n y n

    , (1.83)
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável.
Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 0n  .
Considerando os dois sinais seguintes,
         
         
1 1
2 2
2 2 2 0 0 0
3 3 3 0 0 0
x n n y n n n
x n n y n n n
  
  
      
      
. (1.84)
A partir de (1.84), verifica-se que,
       1 2 1 2x n x n y n y n   , (1.85)
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível.

34. 34
Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos.Problema 1.9.
Caso sejam calcule o seu período.
a)  
2
tan
3
x n n
 
  
 
Novamente, para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22).
Substituindo n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação
 
2 2
tan tan
3 3
n N n 
   
       
, (1.86)
Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a
2 2 2
tan tan
3 3 3
n N n  
   
    
   
, (1.87)
Para que  x n seja periódico, (1.87) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a
seguinte condição:
2 2 3
3 3 2
N Mm N m N m       , m  . (1.88)
O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste
caso, corresponde a 2m  que resulta em 0 3N  . Note-se que, o período fundamental
da função tangente é M  .
b)  
3 2
sin tan
2 3
x n n n 
   
    
   
Novamente, para que  x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22).
No entanto, uma vez que  x n é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário
primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo
n por n N em b), e aplicando (1.22) obtêm-se as equações

35. 35
 
 
1
2
3 3
sin sin
2 2
2 2
tan tan
3 3
n N n
n N n
 
 
   
       
   
       
. (1.89)
Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições:
1 1
1
2
2 2
3 4
2
42 3
2 33
3 2
N m N m
N
N
N m N m
 
 
 
    
   
  
  
, m  . (1.90)
O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos
fundamentais 1N e 2N das duas componentes, i.e., 0 12N  .

36. 36
(IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificadoProblema 1.10.
segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3)
Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6)
Invertibilidade.
b)    x n
y n ne
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade
(1.60) verifica-se que o sistema é causal.
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61).
Considerando um sinal auxiliar    1 0x n x n n  resulta que
     1 0
1
x n x n n
y n ne ne 
  . (1.91)
No entanto, uma vez que,
     0
0 0
x n n
y n n n n e 
   , (1.92)
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo.
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas
elementares    1
1
x n
y n ne e    2
2
x n
y n ne tem-se que
           
   1 2 1 2
1 2 1 2
ax n bx n ax n bx n
ax n bx n ne ne e a y n b y n
     , (1.93)
logo o sistema é não linear.
A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se   2x n  , n ,
verifica-se que,
   2
lim
n
y n ne y n

   , (1.94)
ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável.
Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 0n  . Considerando
os dois sinais seguintes,

37. 37
     
 
     
 
1
2
1 1
2
3
2 2
, 01
0, 02
, 02
0, 03
n
n
n n
x n n y n ne
n
n n
x n n y n ne
n





    


    

, (1.95)
a partir de (1.95), verifica-se que,
       1 2 1 2x n x n y n y n   , (1.96)
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível.
k)    5 4y n x n 
Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60)
verifica-se que o sistema é não causal.
Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61).
Considerando um sinal auxiliar    1 0x n x n n  resulta que
     1 1 05 4 5 4y n x n x n n     . (1.97)
No entanto, uma vez que,
   0 05 4y n n x n n      , (1.98)
é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo.
Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas
elementares    1 1 5 4y n x n  e    2 2 5 4y n x n  tem-se que
           1 2 1 2 1 25 5 4ax n bx n ax n bx n a y n b y n      , (1.99)
logo o sistema é não linear.
A estabilidade, pode ser comprovada considerando que   xx n A , n , é
possível obter
     5 4 5 4 4x yy n x n x n A A       , (1.100)

38. 38
ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para
provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes:
     
     
1 1
2 2
1, 5 4 5
1, múltiplode5
5 4 5
0, c.c.
x n n y n x n
n
x n y n x n
n
     

    

. (1.101)
Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 5 resulta necessariamente num múltiplo
de 5. A partir de (1.101), verifica-se que,
       1 2 1 2x n x n y n y n   , (1.102)
logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível.

39. 39
Capítulo 2.Representação no Domínio do Tempo para Sistemas
LIT Discretos
(HSU 2.30) Avalie      y n h n x n  , onde  x n e  h nProblema 2.1.
estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de
impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução.
Figura 2.1. Representação de  x n e de  h n .
Para um dado sistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta
impulsional  h n , designe-se por  x n o sinal de entrada e por  y n o sinal de saída
(Figura 2.2).
Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional  h n , entrada  x n e saída  y n .
Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser
obtida através da soma de convolução da seguinte forma
         
k
y n x k h n k x n h n


    . (2.1)
Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada
instante n :
 h n
 y n x n

40. 40
1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional  h k do
SLIT, obtendo:    z k h k  .
2. Atrasar o sinal  z k de n unidades (correspondentes ao instante n ) obtendo
a sequência:      w k z k n h n k   
3. Multiplicar ponto a ponto a sequência  w k pela entrada:    x k h n k .
4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de
convolução correspondente ao instante n .
Este processo é então repetido para todos os instantes n . A soma de convolução goza
ainda das seguintes propriedades:
1) Comutatividade:
       x n h n h n x n   . (2.2)
2) Associatividade:
           1 2 1 2x n h n h n x n h n h n           . (2.3)
3) Distributividade:
             1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n        . (2.4)
Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em
série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da
mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma
das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na
Figura 2.3.
Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo.
   1 2h n h n
 1h n  2h n

 a
   1 2h n h n
 1h n
 2h n

 b
 a  b

41. 41
Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á
convolução,
     0 0x n n n x n n    . (2.5)
a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é
necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma
         1 2 3x n n n n n          , (2.6)
       1 2h n n n n       . (2.7)
Torna-se então possível obter a convolução    x n h n através da aplicação das
propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução
           1 2x n h n x n n n n           , (2.8)
e aplicando (2.4) é possível escrever
               1 2x n h n x n n x n n x n n           . (2.9)
Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter
         1 2x n h n x n x n x n      . (2.10)
Substituindo  x n em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se
             2 1 3 2 3 3 2 4 5y n n n n n n n                . (2.11)
A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7.
b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos
os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular
explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à
origem da resposta impulsional    z k h k  do sistema. Em seguida, é necessário
atrasar  z k de n unidades e multiplicá-lo por  x k . Através da Figura 2.4 e Figura 2.5

42. 42
verifica-se que  h n k não se sobrepõe com  x k para 0n  e 5n  . Assim,
   x k h n k e consequentemente a resposta  y n são nulos neste intervalo.
Figura 2.4. Representação de  x k ,  h k ,    x k h n k e  h n k para 2n   .
Figura 2.5. Representação de    x k h n k e  h n k para 6n  .
Para o intervalo 0 5n  , onde    x k h n k não é nulo, o seu valor é representado
na Figura 2.6.

43. 43

44. 44
Figura 2.6. Representação de    x k h n k e  h n k para 0 5n  .
Finalmente, para obter a resposta  y n , é necessário, para cada instante n , somar as
contribuições de    x k h n k , o que resulta na resposta representada na Figura 2.7.
Figura 2.7. Representação da saída  y n .

45. 45
(HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsionalProblema 2.2.
   n
h n u n para 0 1  e o sinal de entrada    x n u n . Determine a
resposta do sistema através de: (a)      y n x n h n  ; (b)
     y n h n x n  .
a)      y n x n h n 
Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a
reflexão em relação à origem da resposta impulsional    z k h k  . Em seguida, é
necessário deslocar  z k de n unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada  x k .
Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém  h n k ocorrem
duas situações possíveis para a multiplicação    x k h n k : (i) Para 0n  não existe
sobreposição entre  x k e  h n k ; (ii) Para 0n  ,  x k e  h n k encontram-se
sobrepostos entre 0 k n  .
Figura 2.8. Representação de  x k ,  h k e  h n k para 0n  e 0n  .

46. 46
Uma vez que, para 0n  , as componentes  x k e  h n k não se sobrepõem, temos
que     0x k h n k  , e por conseguinte
      0, 0
k
y n x k h n k n


    . (2.12)
Para o caso em que 0n  , as componentes  x k e  h n k estão sobrepostas no
intervalo 0 k n  . Neste intervalo tem-se que   1x k  e   n k
h n k  
  , pelo que
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por
     
0
, 0
n
n k
k k
y n x k h n k n


 
     . (2.13)
Efectuando uma mudança de variável,  m k n k  , segundo (A.100) vem que
 
0
0
, 0
n
m m
m n m
y n n 
 
    . (2.14)
É então possível identificar (2.14) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde
  , 1N n  e 0k  . Uma vez que 0 1  a soma de (2.14) é dada por
 
1 1
0 1 1
, 0
1 1
n n
y n n
 

 
 
 
  
 
. (2.15)
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de n é possível escrever
   
1
11
, 0 1
1
1
0, 0
n
n
n
y n u n
n





 
 
 
 
, (2.16)
uma vez que   0u n  para 0n  . Para representar o gráfico de  y n é útil obter o
valor de
 
1
1 1
lim lim
1 1
n
n n
y n

 

 

 
 
. (2.17)
A resposta final do sistema pode ser observada na Figura 2.9.

47. 47
Figura 2.9. Representação de  x k ,  h k e  h n k para 0n  e 0n  .
b)      y n h n x n 
Note-se que, uma vez que a convolução é comutativa, o resultado final será o mesmo do
obtido na alínea anterior. Note-se que,
         
k
y n h n x n h k x n k


    . (2.18)
Como representado na Figura 2.10, quando se obtém  x n k ocorrem duas situações
possíveis para a multiplicação de    h k x n k : (i) Para 0n  não existe sobreposição
entre  h k e  x n k ; (ii) Para 0n  ,  h k e  x n k encontram-se sobrepostos
entre 0 k n  .

48. 48
Figura 2.10. Representação de  x k ,  h k e  x n k para 0n  e 0n  .
Novamente, para 0n  , as componentes  h k e  x n k não se sobrepõem, então
    0h k x n k  , e por conseguinte
      0, 0
k
y n h k x n k n


    . (2.19)
Para o caso em que 0n  , as componentes  h k e  x n k estão sobrepostas no
intervalo 0 k n  . Neste intervalo tem-se que,   1x n k  e   k
h k  , pelo que,
atendendo à definição (2.1) a saída é dada por
     
0
, 0
n
k
k k
y n h k x n k n

 
     . (2.20)
É então possível identificar (2.20) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde
  , 1N n  e 0k  . Uma vez que 0 1  a soma de (2.14) é dada por
 
1 1
0 1 1
, 0
1 1
n n
y n n
 

 
 
 
  
 
. (2.21)

49. 49
Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de n é possível escrever
   
1
11
, 0 1
1
1
0, 0
n
n
n
y n u n
n





 
 
 
 
, (2.22)
uma vez que   0u n  para 0n  . Como esperado, a resposta final do sistema é a
mesma que a obtida em (2.16).

50. 50
(HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de umProblema 2.3.
determinado sistema LIT é dada por:    n
uy n u n para 0 1  .
Determine a resposta impulsional do sistema.
Note-se que, como é descrito nos apontamentos teóricos (Capítulo 2), é possível
calcular a resposta ao escalão unitário, de um sistema LIT, a partir da resposta ao
impulso
       
1,
n
u
k k
k n
y n u n k h k h k

 
  
    . (2.23)
Consequentemente, a resposta ao impulso, pode ser obtida em função da resposta ao
escalão através de
         
1
1
n n
u u
k k
h n y n y n h k h k

 
      . (2.24)
a) Considerando a definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema
         1
1 1n n
u uh n y n y n u n u n  
      . (2.25)
Após alguma álgebra, obtém-se o resultado final
            
     
     
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
n n n n
n n
n
h n u n u n n u n u n
n u n
n u n
    
  
  
 


        
    
   
. (2.26)

51. 51
(HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinteProblema 2.4.
resposta impulsional:    n
h n u n . Classifique este sistema quanto à:
a) causalidade; b) Estabilidade.
A classificação de um sistema LIT, face às suas propriedades pode ser efectuada
através do estudo da resposta impulsional:
1) Memória: Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de
tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. A resposta impulsional de
um sistema discreto sem memória é dada por um impulso na origem de amplitude K
   h n K n , (2.27)
e.g.,    2h n n não tem memória, enquanto que    2 1h n n  tem.
2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de
um sistema causal é dada por
  0 0h n n   , (2.28)
e.g.,    h n u n é causal, enquanto que    1h n u n  não.
3) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de
um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e.,
 
k
h k


  . (2.29)
4) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam
sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva). A convolução
entre a resposta impulsional de um sistema invertível e do seu inverso é um impulso
unitário, i.e.,
     Ih n h n n  . (2.30)

52. 52
Note-se que, esta condição é necessária, mas não suficiente.
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que   0h n  para 0n  verifica-se que o
sistema é causal.
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável obtendo
   
0
k k
k k k
h k u k 
  
  
    . (2.31)
Note-se que, (2.31) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88)
0
1
, 1
1
k
k
 



 

 . (2.32)
Ou seja, (2.32) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável, quando 1  e
não verifica a condição (2.29), pelo que é instável, quando 1  .

53. 53
(HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT éProblema 2.5.
dada por:      1 2
n
h n u n . Calcule  1y e  4y para o sinal de entrada
     2 3x n n n    .
Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT.
Note-se que, o sinal de entrada já está escrito sob a forma de uma soma ponderada de
impulsos unitários. Porque o sistema é LIT, a resposta ao sinal de entrada é uma soma
ponderada de respostas impulsionais. Uma vez que,
   3 3n h n    , (2.33)
o cálculo da saída é imediato
               1 1 1 12 3 2 3 2 3x n x n x n y n y n y n h n h n          . (2.34)
Método 2. Resolução através da definição de convolução.
A resposta do sistema pode ser obtida pela definição de convolução (2.1)
           
       
2 3
2 3
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.35)
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se
     2 3y n h n h n   . (2.36)
Substituindo a definição de  h n em (2.34) resulta que
     
3
1 1
2 3
2 2
n n
y n u n u n

   
     
   
. (2.37)
Por substituição directa de 1n  e 4n  em (2.37) vem finalmente
     
1 1 3 2
1 1 1 1
1 2 1 1 3 2 0 1
2 2 2 2
y u u
 
       
             
       
. (2.38)
     
4 4 3 4
1 1 1 1 1 1 5
4 2 4 4 3 2
2 2 2 2 8 2 8
y u u

       
              
       
. (2.39)

54. 54
(IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinteProblema 2.6.
resposta impulsional:    2 4n
h n u n  . Classifique este sistema quanto
à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o
sinal de entrada      2 4 1x n n n    .
a) Considerando a definição (2.28), uma vez que   0h n  para 0n  verifica-se que o
sistema é não causal.
b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável:
   
4
2 4 2k k
k k k
h k u k
  
  
     . (2.40)
Note-se que, (2.40) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88)
4
2k
k


  . (2.41)
Ou seja, (2.41) não verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é instável.
c) Esta alínea pode ser resolvida pode dois métodos. Método 1. Resolução através das
propriedades de um sistema LIT.
Novamente, uma vez que o sistema em causa é LIT, e a entrada já está escrita como
uma soma ponderada de impulsos unitários, é possível dizer que
               1 1 1 12 4 1 2 4 1 2 4 1x n x n x n y n y n y n h n h n          . (2.42)
Método 2. Resolução através da definição de convolução.
A saída para o sinal de entrada  x n pode ser obtida pela definição (2.1)

55. 55
           
       
2 4 1
2 4 1
y n x n h n h n n n
h n n h n n
 
 
        
    
. (2.43)
Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se
     2 4 1y n h n h n   . (2.44)
Substituindo a definição de  h n em (2.42) resulta que
         1 1 1
2 4 3 2 4 4
8
n n
y n u n u n n n  
          . (2.45)

56. 56
(IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta aoProblema 2.7.
escalão unitário é dada por:
 
0 , 2, 2, 5
3 , 1
2 , 0
4 , 1
3 , 3
1 , 4
u
n n n
n
n
y n
n
n
n
   
  


 

 

 
. (2.46)
Determine: a) A resposta impulsional do sistema; b) Se o sistema é causal; c) Se o
sistema é estável; d) A saída do sistema para o sinal de entrada
     2 1x n u n u n   .
a) Através da definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema, a
partir da resposta ao escalão unitário
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1 2, 1 2, 1 5
3 , 1 3 , 1 1
2 , 0 2 , 1 0
1
4 , 1 4 , 1 1
3 , 3 3 , 1 3
1 , 4 1 , 1 4
u u
n n n n n n
n n
n n
h n y n y n
n n
n n
n n
          
     
 
   
     
   
     
 
     
. (2.47)
Após alguns passos algébricos obtém-se
 
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
n n n n n n
n n
n n
h n
n n
n n
n n
        
   
 
  
  
  
    
 
    
, (2.48)

57. 57
 
0 , 2
3 , 1
1 , 0
2 , 1
4 , 2
3 , 3
2 , 4
1 , 5
0 , 6
n
n
n
n
h n n
n
n
n
n
 
  

 


  
 


 


. (2.49)
b) Considerando a definição (2.28), uma vez que   0h n  para 0n  verifica-se que o
sistema é não causal.
c) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável:
  16
k
h k


 . (2.50)
Ou seja, (2.50) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável.
d) Novamente, o sistema em questão é LIT. O sinal de entrada já está escrito como uma
soma ponderada de escalões unitários. Mais ainda, a resposta a  1u n  já foi calculada
na alínea a). Aplicando então os resultados obtidos em (2.48), tem-se que a resposta ao
sinal  x n é dada por
     
0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6
3 , 1 3 , 0
2 , 0 2 , 1
2 1 2
4 , 1 4 , 2
3 , 3 3 , 4
1 , 4 1 , 5
u u
n n n n n n
n n
n n
y n y n y n
n n
n n
n n
        
    
  
     
  
    
 
    
, (2.51)
que após alguma álgebra, permite obter

58. 58
     
0 , 2
3 , 1
4 , 0
0 , 1
2 1 8 , 2
3 , 3
5 , 4
6 , 5
0 , 6
u u
n
n
n
n
y n y n y n n
n
n
n
n
 
  

 


     
 


 


. (2.52)

59. 59
Capítulo 3.Transformada Z
(HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a)Problema 3.1.
   x n u n  ; b)    x n n .
A transformada Z, bilateral, e a sua inversa são dadas pelas seguintes expressões:
    n
n
X z x n z



  , (3.1)
    11
2
n
x n X z z dz
j

  . (3.2)
Note-se que, para que exista transformada, é necessário que se verifique
    n
n
I z x n z



   . (3.3)
A transformada Z observa então as seguintes propriedades:
1) Linearidade: Se,
   
   
1 1 1
2 2 2
, . .
, . .
x n X z R C R
x n X z R C R
 
 
, (3.4)
onde . .R C é a região de convergência, então,
       1 2 1 2ax n bx n aX z bX z   , 1 2. .R C R R  . (3.5)
2) Translação no tempo: Se
   x n X z , . .R C R (3.6)
então,
   0
0
n
x n n z X z
  , . .R C R , (3.7)
excepto para a possível inclusão/exclusão de 0z  ou z   .

60. 60
3) Multiplicação por exponencial complexa: Se,
   x n X z , . .R C R (3.8)
então,
 0
0
n z
z x n X
z
 
  
 
, 0. .R C z R . (3.9)
4) Mudança de escala: Seja
 
  ; múltiplo
0 ; . .
x n n
x n
c c

 

, (3.10)
Se,
   x n X z , . .R C R (3.11)
então,
   1
x n X z , . .R C R . (3.12)
4.1) Inversão temporal: Para o caso particular em que 1  , dá-se uma inversão
temporal, sem perda de informação, pelo que
 
1
x n X
z
 
   
 
,
1
. .R C
R
 (3.13)
5) Convolução: Se,
   
   
1 1 1
2 2 2
, . .
, . .
x n X z R C R
x n X z R C R
 
 
. (3.14)
então,
       1 2 1 2x n x n X z X z  , 1 2. .R C R R  . (3.15)

61. 61
6) Diferenciação no domínio da transformada: Se,
   x n X z , . .R C R (3.16)
então,
 
 dX z
nx n z
dz
 , . .R C R . (3.17)
7) Soma no domínio do tempo: Se,
   x n X z , . .R C R (3.18)
então,.
   1
1
1
n
k
x k X z
z



 ,  . . 1R C R z   . (3.19)
a) Método 1. Resolução através da definição.
Aplicando a definição (3.1) ao sinal definido no enunciado, tem-se que
   
0
0
n n n
n n n
X z u n z z z
 
 
  
      . (3.20)
Utilizando o resultado conhecido, para a soma de séries geométricas (A.36), vem
finalmente,
0
1
, 1
1
n
n
z z
z


 

 . (3.21)
Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Note-se que, (3.21) converge,
i.e.,  I z   sempre que 1z  , ou seja, a região de convergência da transformada é
dada por 1z  . O resultado final pode então ser escrito na forma
 
1
1
X z
z


, . .: 1R C z  . (3.22)

62. 62
Método 2. Resolução utilizando as tabelas das transformadas.
Pelas tabelas das transformadas, sabe-se que
      1
1
1
x n u n X z
z
  

, . .: 1R C z  . (3.23)
Aplicando a propriedade (3.13), obtém-se directamente
  1
1 1 1
11
1
u n X
z z
z

 
    
   
  
 
, . .: 1R C z  . (3.24)
b) Recorrendo à definição da transformada (3.1), tem-se que
    n
n
X z n z



  . (3.25)
Note-se que, o delta de Dirac verifica a seguinte propriedade
       0n f n n f  . (3.26)
Assim, aplicando (3.26) a (3.25) pode facilmente escrever-se que
     0
1
n n
X z n z n 
 
 
    , (3.27)
tal como vem indicado nas tabelas das transformadas.

63. 63
(AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinalProblema 3.2.
   0j n
x n e u n
 . Encontre também os pólos, zeros e a região de
convergência
A propriedades da região de convergência da transformada Z são as seguintes
1. A . .R C de  X z consiste numa coroa circular centrada na origem do plano z .
2. A . .R C não contém pólos.
3. Se  x n for de duração finita, então a . .R C é o próprio plano z , exceptuando
eventualmente 0z  e/ou z   . Quando,
   
2
1
n
n
n n
X z x n z

  , (3.28)
3.1. Se o sinal possui componentes causais, ou seja, 2 0n  , logo  X z possui o
termo 1
z
e por isso 0 . .z R C 
3.2. Se o sinal possui componentes não-causais, ou seja, 1 0n  , logo  X z
possui o termo z e por isso . .z R C  
3.3. O único sinal cuja . .R C é todo o plano z é    x n a n .
4. Se  x n for um sinal direito, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à
. .R C , então todos os valores finitos de z tais que 0z r também pertencem à . .R C .
5. Se  x n for um sinal esquerdo, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à
. .R C , então todos os valores finitos de z tais que 00 z r  também pertencem à . .R C

64. 64
6. Se  x n for um sinal bilateral, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à
. .R C , então a . .R C é uma coroa circular do plano z que contém a circunferência
0z r .
a) Pela definição tem-se que
   0j n n
n
X z e u n z

 

  . (3.29)
É ainda possível reescrever (3.29) na forma
 
0
0
0 0
nj
j n n
n n
e
X z e z
z
 
 
 
 
   
 
  . (3.30)
Novamente, para que exista transformada, é necessário verificar (3.3), pelo que,
aplicando o resultado das séries geométricas (A.36), surge a condição
0
1 1
j
e
z
z

   . (3.31)
Desta forma, a transformada é dada por,
  0 0
1
1
j j
z
X z
e z e
z
 
 


, . .: 1R C z  . (3.32)
Sendo iz as raízes do numerador (zeros), e ip as raízes do denominador (pólos), tem-se
 0iz  ,  0j
ip e 
 . (3.33)

65. 65
(AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada ZProblema 3.3.
do seguinte sinal   n
x n  .
Utilizando a definição (3.1), tem-se que
 
1
0
n n n n n n
n n n
X z z z z  
  
   
  
     . (3.34)
Ainda é possível reescrever (3.34) na forma
 
1
0
1
n n
n n
X z
z z


 
 
   
    
   
  . (3.35)
Efectuando uma mudança de variável m n  (A.100), obtém-se finalmente
     
1 0 0 0
1
n n
m m
m n m n
X z z z
z z
 
 
   
   
   
        
   
    . (3.36)
Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Considerando a soma de uma
série geométrica, (A.88), obtém-se as seguintes condições,
1z  , 1
z

 . (3.37)
Substituindo uma condição na outra, obtém-se que,
1
z

  . (3.38)
Esta condição implica que as séries de (3.36) apenas convergem quando 1  , e desta
forma existe uma região de convergência para a transformada do sinal. Assim,
aplicando (A.88) vem para a transformada do sinal
 
1 1
1
1 1
X z
z
z

   
 
,
1
. .:R C z

  , 1  . (3.39)

66. 66
(AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa deProblema 3.4.
a)  
  
1 2
1 1 1
1
1
1 1 2 1
2
z z
X z
z z z
 
  
 

 
   
 
, . .: 1 2 1R C z  (3.40)
b)  
  
21 1
1
1 2 1
X z
z z 

 
, . .: 2R C z  (3.41)
Considere-se o problema de decompor em fracções simples  X z , escrita na forma,
 
    
1
1 1 0
1 2
m m
m m
n n
b z b z b z b
X z
a z p z p z p

   

  
. (3.42)
Para decompor (3.42) em fracções simples é necessário efectuar os seguintes passos:
(i) Verificar se a fracção é própria, i.e., m n (o número de zeros não é superior ao
número de pólos); (ii) Caso a fracção não verifique (i) é necessário efectuar uma
sucessão de divisões polinomiais até obter uma fracção própria; (iii) Efectuar a
separação em fracções simples. Sendo  X z uma fracção própria, com k pólos
distintos tais que o pólo ip tem multiplicidade ir , com 1,2, ,i k e 1 2 kr r r n   
, esta pode ser decomposta em
 
 
   
1 1 21
0 21 1 1
1
1 1
1 1 1
1 1
r r
i k
i i
i i
i k
r r
i k
c c c
X z c
p z p z p z
c c
p z p z
  
 
     
  
  
 
, (3.43)
onde  0 0z
c X z 
 e os coeficientes ic , que representam a contribuição de cada pólo
ip , são calculados da seguinte forma

67. 67
   
   
 
   
   
   
   
1
1
2
2
1
1
11
1
21
11 1
1
21 1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
r
i
r
r
i
r r
r
i
r
i
r
i i
z p
r i
i i r
i
z p
r i i
i i r r
i i
z p
i i
i i r
i i
z p
c p z X z
c
c p z X z
p z
c c
c p z X z
p z p z
c c
c p z X z
p z p z









 


 

 
 
   
  
 
    
   
 
     
   
. (3.44)
Para calcular a transformada inversa de uma função descrita por fracções simples, é
necessário relembrar os seguintes pares transformada: Para um sinal direito, com um
pólo de multiplicidade 1
    1
, . .:
1
n k
k k k
k
A
A d u n R C z d
d z
 

. (3.45)
Para um sinal esquerdo com um pólo de multiplicidade 1
    1
1 , . .:
1
n k
k k k
k
A
A d u n R C z d
d z
    

. (3.46)
Para um sinal direito com um pólo de multiplicidade r
   
 
   
 1
1 1
, . .:
1 ! 1
n k
k k km
k
n n m A
A d u n R C z d
m d z
  
 
 
. (3.47)
Para um sinal esquerdo com um pólo de multiplicidade r
   
 
   
 1
1 1
1 , . .:
1 ! 1
n k
k k km
k
n n m A
A d u n R C z d
m d z
  
    
 
. (3.48)
a) Considerando agora a função definida em (3.40), verifica-se que esta é uma fracção
própria, onde todos os pólos têm multiplicidade 1. Pode então ser decomposta em

68. 68
  1 2 3
0 1 1
11 1 2 11
2
c c c
X z c
z zz
 

   
 
. (3.49)
Note-se que, para calcular o coeficiente 0c , é necessário reescrever (3.40) na forma
 
  
 
  
3 2 3 1 2
3
1 1 1
1
1 1
2 1 1 1 2 1
2 2
z z z z z z
X z X z
z
z z z z z z
  

  
   
  
   
        
   
, (3.50)
de onde se retira facilmente que  0 0
0z
c X z 
  . Uma vez que, todos os pólos têm
multiplicidade 1, (3.44) reduz-se a
   1
1
i
i i z p
c p z X z

  , (3.51)
onde
1
1, ,2
2
ip
 
  
 
. (3.52)
Aplicando (3.51) para calcular os coeficientes ic vem
 
     
1
1 1 2
1
1 1 1
1 2
2
1
1 1
1 2 42
1
1 1 4 1 2
1 1 2 1
2 z
z
z z z
c
z z z

  
  


 
        
  
   
 
, (3.53)
  
  
1
1 1 2
2
1 1 1
2
1 2
1 1
11 2 1 2 4 2
1 1 1
1 1 2 1 1 1
2 4 2z
z
z z z
c
z z z

  
  


   
  
    
        
    
, (3.54)
  
    
1
1 1 2
3
1 1 1
1
1
1 1 1 1 1
2
1 1
1 1 2 1 1 1 2
2 2z
z
z z z
c
z z z

  
  


    
   
   
       
   
. (3.55)
Substituindo o valor dos coeficientes ic em (3.49) obtém-se
  1 1
1
1 2 2
1 1 2 11
2
X z
z zz
 


  
 
,
1
. .:
2
R C z  . (3.56)

69. 69
Note-se que, a região de convergência se encontra á esquerda dos pólos  1,2 , e à
direita do pólo  1 2 . Assim, será utilizado o par (3.45) para a componente direita do
sinal e (3.46) para as componentes esquerdas. Finalmente, o sinal no domínio do tempo
é dado por
         
1
2 2 1 2 1
2
n
n
x n u n u n u n
 
       
 
. (3.57)
b) Considerando agora a função definida em (3.40), verifica-se que esta é uma fracção
própria, onde o pólo 1z  tem multiplicidade 2 e o pólo 2z  tem multiplicidade 1.
Esta pode ser decomposta na forma
 
 
2 11 12
0 21 1 11 2 1 1
c c c
X z c
z z z
  
   
  
. (3.58)
Seguindo a decomposição apresentada em (3.43)–(3.44), os coeficientes ijc têm as
seguintes expressões
 0 0
0z
c X z 
  , (3.59)
   
 
   1
1
1
2 2 21 12
2
1 2
1 2 1
1 2 4
11 2 1 1
2
z
z
z
z
c z X z
z z



 



    
    
 
, (3.60)
   
 
    
1
21
21
12 21 11
1
1
1 1
1 1
1 21 2 1z
z
z
z
c z X z
z z



 



     
 
, (3.61)
   
 
 
   
  
 
 
    
1
1
1 1
1
11 2 2 21 1 1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
1 1 1 2 1
1 2
2 2
1 21 2 1
ri
z
z
z
z
z
z zc
c z X z
z z z z
z
z z


 

   




 


    
      
     

   
 
, (3.62)
Substituindo os valores dos coeficientes em (3.58) permite obter

70. 70
 
 
21 1 1
4 2 1
1 2 1 1
X z
z z z
  
 
  
  
. (3.63)
Note-se que, a região de convergência se encontra à direita dos pólos  1,2 . Assim,
serão utilizados os pares (3.45) e (3.47) para efectuar a transformada inversa.
Finalmente, o sinal no domínio do tempo é dado por
     
 
 
11
4 2
2 3!
n
n
x n u n u n u n
 
   
 
. (3.64)

71. 71
(AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa deProblema 3.5.
a)  
2
2
16 4 1
8 2 1
z z
X z
z z
 

 
, (3.65)
b)  
3
2
16
8 2 1
z
X z
z z

 
, (3.66)
considerando a . .: 1 2R C z  .
Quando uma fracção, escrita na forma apresentada em (3.42) não é própria, i.e., o
número de zeros é superior ao número de pólos, não pode ser imediatamente
decomposta em fracções simples. É necessário efectuar uma sucessão de divisões
polinomiais, até que se obtenha uma fracção própria. Uma fracção polinomial pode ser
decomposta da seguinte forma:
 
 
 
   
 
 
N z R z
X z X z Q z
D z D z
    , (3.67)
onde  Q z representa o quociente da divisão de  N z por  D z , e  R z o resto da
mesma divisão.
a) Note-se que (3.65) é uma fracção própria (o número de pólos é superior ao número
de zeros), podendo então decompor-se em fracções simples. Multiplicando  X z por
2 2
z z 
é possível escrever
 
1 2
1 2
16 4
8 2
z z
X z
z z
 
 
 

 
, (3.68)
Os seus zeros e pólos, são respectivamente dados por,
 2
2 2 4 8 1 1 1
,
2 8 4 2
ip
       
   
  
. (3.69)
Note-se que resolver 1 2
8 2 0z z 
   corresponde a resolver 2
8 2 1 0z z   . Assim, a
 X z apresenta dois pólos de multiplicidade 1, e pode ser decomposta da seguinte
forma

72. 72
 
1 2
1 2
0
1 11 1
16 4
1 11 1
1 18 1 1
4 24 2
z z c c
X z c
z zz z
 
  
 
   
       
  
, (3.70)
onde, por aplicação de (3.51), se obtém que
 0 0
1z
c X z 
   , (3.71)
   
1
1 1 2
1
1 1
1
4
4
1
1 16 4
16 4 4 16 24
1 1 1 3
8 1 1 8 1 4
4 2 2z
z
z z z
c
z z

  
 


 
         
    
      
    
, (3.72)
    
 
1
1 1 2
2
1 1
1
2
2
1
1 16 4
16 4 2 4 72
1 1 1 3
8 1 1 8 1 2
4 2 4z
z
z z z
c
z z

  
 


 
         
    
       
    
. (3.73)
Substituindo o valor dos coeficientes em (3.70) permite obter
 
1 1
2 1 7 1
1
1 13 31 1
4 2
X z
z z 
   
 
, (3.74)
Para obter a expressão do sinal do tempo é necessário utilizar as tabelas da transformada
Z . Finalmente, uma vez que a região de convergência se localiza à direita de ambos os
pólos, é utilizada a expressão (3.45) (para sinais direitos), e também que
  , . .: planoA n A R C z  , (3.75)
o que permite obter finalmente
       
2 1 7 1
3 4 3 2
n n
x n n u n u n    
       
   
. (3.76)
b) Uma vez que (3.66) não é própria, é necessário efectuar uma divisão polinomial
3 2
3 2
2
16 8 2 1
16 4 2 2
4 2
z z z
z z z z
z z
 
  
 
, (3.77)

73. 73
onde   2Q z z e   2
4 2R z z z   . Reescrevendo (3.66) na forma (3.67) vem que
 
2
2
4 2
2
8 2 1
z z
X z z
z z
 
 
 
. (3.78)
Uma vez que    R z D z já é uma fracção própria, não é necessário efectuar nova
divisão polinomial. Multiplicando    R z D z por 2 2
z z 
é possível reescrever (3.78)
como
 
1
1 2
4 2
2
8 2
z
X z z
z z

 
 
 
 
. (3.79)
Os pólos de (3.79) são os mesmos da alínea anterior, pelo que, pode escrever-se que
   12X z z X z  , (3.80)
onde
 
1
1 2
1 0
1 11 1
4 2
1 11 1
1 18 1 1
4 24 2
z c c
X z c
z zz z

  
 
   
       
  
, (3.81)
Aplicar (3.51) dá então origem aos coeficientes
 1 1 0
0z
c X z 
  , (3.82)
 
1
1 1
1
1 1
1
4
4
1
1 4 2
4 2 4 14
1 1 1 6
8 1 1 8 1 4
4 2 2z
z
z z
c
z z

 
 


 
         
    
      
    
, (3.83)
   
 
1
1 1
2
1 1
1
2
2
1
1 4 2
4 2 2 22
1 1 1 3
8 1 1 8 1 2
4 2 4z
z
z z
c
z z

 
 


 
          
    
       
    
. (3.84)
Substituindo o valor dos coeficientes em (3.81) permite obter
 
1 1
1 1 2 1
2
1 16 31 1
4 2
X z z
z z 
  
 
. (3.85)

74. 74
Finalmente, uma vez que a região de convergência se localiza à direita de ambos os
pólos, é utilizada a expressão (3.45) (para sinais direitos). Mais ainda, o termo 2z
corresponde a uma deslocação no tempo tal que
   0
0 , . .n
x n n z X z R C R
   , (3.86)
do espectro de um delta de Dirac. Assim, tem-se que
  1
1 2 , . .:planon z R C z   . (3.87)
Finalmente, aplicando estes resultados a (3.85) obtém-se que
       
1 1 2 1
2 1
6 4 3 2
n n
x n n u n u n    
       
   
. (3.88)

75. 75
(HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa deProblema 3.6.
  2
2 3 1
z
X z
z z

 
. (3.89)
considerando a . .: 1 2R C z  .
a) Note-se que (3.89) é uma fracção própria (o número de pólos é superior ao número
de zeros), podendo então decompor-se em fracções simples. Os seus zeros e pólos, são
respectivamente dados por,
 0iz  ,
1
1,
2
ip
 
  
 
. (3.90)
Logo, (3.89) pode ser reescrita como
 
   
1
1 11 1
2 1 2 1 1
2 2
z z
X z
z z z z

 
 
   
      
   
. (3.91)
Dado que os pólos de (3.91) têm multiplicidade 1, esta pode ser decomposta em
  1 2
0 1
111 1
2
c c
X z c
z z


  
 
, (3.92)
onde  0 0
0z
c X z 
  e se pode aplicar (3.51) para o cálculo dos coeficientes ic
 
 
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
2 1 1 2 1
2 2z
z
z z
c
z z

 
 



  
   
     
   
, (3.93)
 
1
1 1
2
1 1
1 2
2
1
1
2
1
1
2 1 1
2 z
z
z z
c
z z

 
 


 
 
   
 
  
 
. (3.94)
Tem-se então
  1
1
1 1
11 1
2
X z
z z


 
 
. (3.95)

76. 76
A região de convergência encontra-se à esquerda de ambos os pólos, pelo que,
utilizando a tabela para sinais esquerdos (3.46), obtém-se finalmente
       
1 1
1 1 1 1
2 2
n n
x n u n u n u n
    
              
     
. (3.96)

77. 77
(HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito porProblema 3.7.
       
3 1
1 2
4 8
y n y n y n x n     . (3.97)
Calcule: A) A função de transferência      H z Y z X z ; B) A resposta impulsiva
 h n ; C) A resposta ao escalão unitário.
Os sistemas LIT podem ser classificados pela região de convergência da transformada
Z da sua função de transferência  H z :
1) Causalidade: Um sistema é causal, se e só se a região de convergência da função de
transferência for, no plano z, o exterior de uma circunferência (incluindo z   ).
Note-se que, o número de zeros da função de transferência não pode ser superior ao
número de pólos.
2) Estabilidade: Um sistema é estável, quando a região de convergência da função de
transferência contém a circunferência de raio unitário. Esta condição é válida
independentemente do número de zeros e pólos da função de transferência.
Recorde-se que, no domínio do tempo, os sistemas LIT podem ser classificados da
seguinte forma:
1) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída
depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de
um sistema causal é dada por
  0 0h n n   , (3.98)
i.e.,  h n é um sinal direito.
2) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando
qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de
um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e.,

78. 78
 
k
h k


  . (3.99)
a) Como nada é dito no enunciado, serão consideradas condições iniciais nulas, i.e.,
   1 2 0y y    . Aplicando a transformada z bilateral, bem como a propriedade do
deslocamento temporal (3.7) a ambos os membros de (3.97) obtém-se
       1 23 1
4 8
Y z z Y z z Y z X z 
   . (3.100)
Então, (3.100) reduz-se facilmente a
     
 
 
1 2
1 2
3 1 1
1
3 14 8 1
4 8
Y z
z z Y z X z H z
X z z z
 
 
 
         
. (3.101)
Para obter os pólos, é necessário resolver   0D z 
1 2 23 1 3 1 1 1
1 0 0 ,
4 8 4 8 4 2
iz z z z p   
          
 
. (3.102)
Desta forma, ainda é possível reescrever (3.101) na forma
 
1 1
1
1 1
1 1
4 2
H z
z z 

  
   
  
. (3.103)
Uma vez que o sistema é estável, a sua . .R C tem de conter z   . Assim, como uma
região de convergência não pode conter pólos, tem-se que . .: 1 2R C z  .
b) Obter a resposta impulsional no tempo, corresponde a calcular a transformada inversa
da função de transferência (3.103). Como (3.103) é própria, com pólos de
multiplicidade 1, pode ser decomposta em
  1 2
0
1 11 1
1 1
4 2
c c
H z c
z z 
  
 
, (3.104)

79. 79
onde, novamente  0 0
0z
c H z 
  e os coeficientes ic podem ser calculados através de
(3.51)
 
1
1
1
1 1
1 4
4
1
1
14
1
1 1 1 2
1 1
4 2 z
z
z
c
z z


 


 
 
    
  
   
  
, (3.105)
1
1
2
1 1
1 2
2
1
1
12
2
1 1 1
1 1 1
4 2 2z
z
z
c
z z


 


 
 
   
    
      
    
. (3.106)
A função de transferência pode então ser reescrita como
 
1 1
1 2
1 1
1 1
4 2
H z
z z 

 
 
. (3.107)
Uma vez que a região de convergência se encontra à direita dos pólos, utilizar-se-á a
tabela dos sinais direitos (3.45), pelo que, vem finalmente
       
1 1 1 1
2 2
4 2 2 4
n n n n
h n u n u n u n
        
            
         
. (3.108)
c) Para obter a resposta ao escalão unitário, pode simplesmente efectuar-se
     
 1 1 1
1
1 1
1 1 1
4 2
Y z H z X z
z z z  
 
  
    
  
. (3.109)
onde a transformada de  X z foi obtido através das tabelas. Pela propriedade da
convolução (3.15), a região de convergência do sinal de saída será a intersecção das
regiões de convergência do sinal de entrada e da função de transferência, i.e.,
1
. .: 1 1
2
R C z z z     . (3.110)

80. 80
Uma vez que  Y z é uma fracção própria (e todos os pólos têm multiplicidade 1), pode
ser decomposta na forma
  1 2 3
0 1
1 11 1 11 1
4 2
c c c
Y z c
zz z

 
   
 
, (3.111)
onde, novamente  0 0
0z
c Y z 
  , e os coeficientes ic podem ser obtidos através de
(3.51)
    
1
1
1
1 1 1
1 4
4
1
1
1 14
1 1 1 2 1 4 3
1 1 1
4 2 z
z
z
c
z z z


  


 
 
   
   
    
  
, (3.112)
   
1
1
2
1 1 1
1 2
2
1
1
12
2
1 1 1
1 1 1 1 1 2
4 2 2z
z
z
c
z z z


  


 
 
    
    
        
    
, (3.113)
 
 
1
1
3
1 1 1
1
1
1 1 8
1 1 1 1 3
1 1 1 1 1
4 2 4 2z
z
z
c
z z z


  



  
     
         
     
. (3.114)
Pode então escrever-se
  1
1 1
1 1 2 8 1
1 13 311 1
4 2
Y z
zz z

 

  
 
. (3.115)
Uma vez que, a . .R C está à direita de todos os pólos, o sinal apenas tem componentes
direitas. Utilizando (3.45), obtém-se finalmente
       
1 1 1 8
2
3 4 2 3
n n
y n u n u n u n
   
     
   
. (3.116)

81. 81
(HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descritoProblema 3.8.
por
     
1
1
2
y n y n x n   , (3.117)
calcule a saída correspondente ao sinal de entrada:      1 3
n
x n u n , sabendo
que  1 1y   .
A transformada z unilateral, permite calcular a resposta de sistemas causais a
entradas causais, quando as condições iniciais são diferentes de zero, i.e., o sistema
não se encontrava em repouso quando o sinal causal se apresentou na entrada. Note-se
que, uma função causal respeita a condição:   0x n  , 0n  . A transformada z
unilateral define-se então como
   
0
n
n
X z x n z



  . (3.118)
Esta transformada é, em quase tudo, semelhante à transformada z bilateral. No
entanto, são de notar as seguintes propriedades
1) Deslocamento temporal:
     
   
   1 2
1 2 ...
u
m mm
x n m z X z z x z x x m   
         . (3.119)
2) Soma no domínio do tempo:
   
     
1
0
1
1 1
1
1
1 1
1 1
u
u
n
k
n
k k
x k X z
z
x k X z x k
z z



 
 


 
 

 
. (3.120)
3) Teorema do valor inicial:
   0 lim
z
x X z

 . (3.121)