3. 通常の積分
b
a
S f x dx
面積Sをxの関数とすると
積分と微分の関係は下記の通り
S x x S x f x x
S x x S x
f x
x
S
x
Omake
4. 通常の積分-具体例
2
f x x のときの定積分
2
3
3 3
1
3
1 1
3 3
b b
a a
b
a
f x dx x dx
x
b a
というように、f(x)が積分可能な関数の場合は直接計算できる。
但し、 f(x)の原始関数を求めることが困難な（or 出来ない）ことがある。
5. 通常の積分-困難な例
2
f x x のときの定積分
2
3
3 3
1
3
1 1
3 3
b b
a a
b
a
f x dx x dx
x
b a
というように、f(x)が積分可能な関数の場合は直接計算できる。
但し、 f(x)の原始関数を求めることが困難な（or 出来ない）ことがある。
例）
1 x
f x x e
の積分は・・・・！？！？
1
0
t
t e dt
※
ムリ
10. 一般的な表記をする
・関数f(x)の、区間(a,b)における積分値を知りたい。
・区間(a,b)で一様分布に従う乱数がN個得られたとする。
(1)下記のような乱数が得られたと仮定する。
5.56, 4.72, 4.28, 5.59, 5.77,
4.39, 4.84, 4.20, 5.75, 4.81
(1)一様分布U(a,b)に従う乱数N個の実現値
1 2, , , Nx x x
(2)これらの乱数をそれぞれ2乗する。
30.9136, 22.2784, 18.3184, 31.2481, 33.2929,
19.2721, 23.4256, 17.6400, 33.0625, 23.1361
(2)乱数を独立変数として、対応する関数を求める
1 2, , , Nf x f x f x
(3)(2)で得られた数の平均を取る
25.25877
(3)(2)で得られた数の平均を取る
1
N
i
i
f x
N
(4)積分範囲は4～6であるため、(3)で得られた
数字に2を掛ける
(4)区間(a,b)を掛ける
1
N
i
i
f x
b a
N
一般的に書く
一般的に書く
一般的に書く
一般的に書く
11. もっと一般的に考える(アバウトなイメージ)
1
N
i
i
f x
b a
N
一様分布に従う乱数が得られるときの面積は下記の通り。
下記URLの(1)式
https://rayspace.xyz/CG/contents/montecarlo/
一様分布の確率密度関数
1
x
b a
を用いた表記に変更する
1
1 N
i
i i
f x
N x
この考えを取り入れると「別に一様分布に従う乱数でなくても」面積を求められる
http://slpr.sakura.ne.jp/qp/monte-carlo-integration/
※ひとつめの式
https://rayspace.xyz/CG/contents/montecarlo/
※(2)式
一様分布なので、確率密度はxに依存しないが、式が一般化される
※厳密な議論ではありません
12. 期待値から導出してみる※アバウトなアナロジーです
1
N
i
i
f x
N
は f x の期待値になる。つまり
1
N
i
b
i
a
f x
f x x dx
N
となると、次のように変形できる。
1
1 N b
i
ia
i i
f x
f x dx
N x
乱数が一様分布でなくても面積を求められる！
