Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016

1. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 44 Phương trình lượng giác
91/ sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x); 92/ tanx = cotx + 4cos3
2x
93/ 3 – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 0
94/ 3.cos4x – 8.cos6
x + 2.cos2
x + 3 = 0
95/ cot x –
3 cos2x 1
2 1 tan x 2
= −
+
(sin 2x + cos 2x)
96/ tanx – cot
7
2x
2
π⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= tan 3x
97/ cos4
x + sin4
x – sin 2x +
3
4
sin2
2x = 0
98/ cos3
4x = cos 3x .cos3
x + sin 3x .sin3
x
99/
1 1 7
4sin x
3sin x 4
sin x
2
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟
⎝ ⎠
100/ sin3
x – 3 cos3
x = sinx.cos2
x – 3 sin2
x cosx
101/ 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
102/ (1 + sin2
x).cosx + (1 + cos2
x).sinx = 1 + sin2x
103/ 2.sin2
2x + sin7x – 1 = sinx; 104/
2
sin cos 3.cos
2 2
x x
x
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2
105/
6 6
2.(cos sin ) sin .cos
0
2 2.sin
x x x x
x
+ −
=
−
; 106/ x
cot x sin x.(1 tan x.tan ) 4
2
+ + =
107/ cos3x + cos2x – cosx – 1=0; 108/ cos2
3x.cos2x – cos2
x = 0
109/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
110/ 0
2
3
4
3sin.
4
cossincos 44
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
ππ
xxxx
111/ (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx
112/ 2cos2x 1
cot x 1 sin x .sin 2x
1 tan x 2
− = + −
+
113 / cotx – tanx + 4sin2x =
x2sin
2
; 114/ 2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
x x
x
π⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
115/ sin2
3x – cos2
4x = sin2
5x – cos2
6x
116/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình :
cos3x sin3x
5 sin x cos2x 3
1 2sin2x
+⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
+⎝ ⎠
117/ Tìm nghiệm x∈[0;14] của pt: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
Phương trình lượng giác 1 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/ Các hệ thức cơ bản:
a/
sin
tan
cos
x
x
x
= ; b/
cos
cot
sin
x
x
x
= ;
c/ cos2
x + sin2
x = 1 d/ tanx.cotx = 1
e/ 1 + tan2
x = 2
1
cos x
f/ 1 + cot2
x = 2
1
sin x
CHÚ Ý: sinx = cosx.tanx; cosx = sinx.cotx
2/ Cung (góc) liên kết:
a/ Hai cung đối nhau: b/ Hai cung bù nhau:
cos(− α) = cos α
sin(− α) = − sinα
tan(− α) = − tanα
cot(− α) = − cotα
cos(π − α) = − cosα
sin(π − α) = sinα
tan(π − α) = − tanα
cot(π − α) = − cotα
c/ Hai cung phụ nhau: d/ Hai cung hơn kénh nhau π:
cos(
2
π
− α) = sinα; sin(
2
π
− α) = cosα
tan(
2
π
− α) = cotα; cot(
2
π
− α) = tanα
sin(π + α ) = −sinα
cos(π + α ) = −cosα
tan(π + α ) = tanα
cot(π + α ) = cotα
CHÚ Ý: sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα;
tan(α + kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα
3/ Công thức cộng:
cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinb
sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
tan(a ± b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
±
∓
4/ Công thức nhân:
a/ Công thức nhân đôi: b/ Công thức nhân ba:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2
a − sin2
a = 2cos2
a − 1
= 1 − 2sin2
a
tan2a = 2
2tan
1 tan
a
a−
sin3a = 3sina − 4sin3
a
cos3a = 4cos3
a − 3cosa
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a
−
=
−

2. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 2 Phương trình lượng giác
5/ Công thức hạ bậc: cos2
a =
1 cos2
2
a+
; sin2
a =
1 cos2
2
a−
6/ Công thức tính theo tanx: sin2x = 2
2tan
1 tan
x
x+
; cos2x =
2
2
1 tan
1 tan
x
x
−
+
;
7/ Công thức biến đổi:
a/ tích thành tổng: b/ tổng thành tích:
cosacosb=
1
2
[cos(a+b)+cos(a−b)]
sinasinb= −
1
2
[cos(a+b)−cos(a−b)]
sinacosb=
1
2
[sin(a+b)+sin(a−b)]
cosa+cosb = 2cos
2
a b+
cos
2
a b−
cosa−cosb = −2sin
2
a b+
sin
2
a b−
sina+sinb = 2 sin
2
a b+
cos
2
a b−
sina−sinb = 2 cos
2
a b+
sin
2
a b−
tana ± tanb =
sin( )
cos
a b
acob
±
Phương trình lượng giác 43 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
66/
4 4
sin s 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x co x
x
x x
+
= − ; 67/
sinx 3
tan x 2
cosx 1 2
π⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠
68/ ( )2
cos2x cosx 2tan x 1 2+ − =
69/
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
70/sin3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − = .
71/ (1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2
2x
4
π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
72/ 3 (2cos2
x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
73/ ( )( ) 2
2sin x 1 2cos2x 2sin x 3 4sin x 1.− + + = −
74/
xx
xx
2sin
1
sin2
1
sin2sin −−+ = 2 cot 2x
75/
2
3
cos2
42
cos
42
5
sin
xxx
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
ππ
76/ tan4
x + 1 =
x
xx
4
2
cos
3sin)2sin2( −
; 77/ )
4
cos(22
sin
1
cos
1 π
+=− x
xx
78/ 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx
79/ (2sin2
x – 1).tan2
2x + 3.(2.cos2
x – 1) = 0
80/ 2cos2
x + 2 3 .sinxcosx + 1 = 3( sinx + 3 .cosx )
81/
sin2x cos2x
tan x cot x
cosx sin x
+ = − ; 82/ 1cos.
12
sin.22 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− xx
π
83/ 0sincos3
4
cos.22 3
=−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− xxx
π
84/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )π,0 của pt:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=−
4
3
cos.212cos3
2
sin4 22 π
xx
x
85/ 2
2
cos2x 1
tan x 3.tan x
2 cos x
π −⎛ ⎞
+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
86/ sinx.cos2x + cos2
x.(tan2
x – 1) + 2.sin3
x = 0
87/ sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – 2 = 0
88/
3 sin x
tan x 2
2 1 cosx
π⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
+⎝ ⎠
; 89/ 1 sin 1 cos 1x x− + − =
90/ (sin3
x + cos3
x) = cosx + 3sinx

3. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 42 Phương trình lượng giác
37/ 2sinx + cosx = sin2x + 1 38/
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
+ −
− =
.39/ 2 1 s inx 1
sin sin2 osx
osx 2
x x c
c
+
+ − =
40/
7 3 5
sin cos sin cos sin 2 cos7 0
2 2 2 2
x x x x
x x+ + =
41/ cos4
x + sin4
x = cos2x; 42/ 4cos3
x − cos2x − 4cosx + 1 = 0
43/ sin2x + 2 2 cosx + 2sin(x +
4
π
) + 3 = 0 ; 44/ 2
cos sin 2
3
2cos sin 1
x x
x x
−
=
− −
45/ 2 2 2
cos cos 2 cos 3 3 cos
2 2 2 6
x x x
π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
46/ 4(sin4
x + cos4
x) + sin4x − 2 = 0 ; 47/ cosx.cos2x.sin3x =
1
4
sin2x
48/
xx
xgxxtgx
sin
3
cos
2
5)cos(cot3)sin(2 +=+−+−
49/ Định m để pt sau có nghiệm
2
4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 0
4 4 4
c c m
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
50/
( )2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
; 51/ ( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
52/( )( )2cos x 1 sin x cos x 1− + =
53/ 3 3 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + =
54/
x
cotx sin x 1 tan x.tan 4
2
⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
55/ 2 2 2 11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ; 56/
( )3 sin x tan x
2cos x 2
tan x sin x
+
− =
−
57/ ( )2
2sin3x 1 4 sin x 1− = 58/ ( )( )1 tan x 1 sin2x 1 tan x− + = +
59/cos7x.cos5x 3 sin2x=1 sin7x s in5x− −
60/
1
2 tan x cot2x 2sin2x+
sin2x
+ = 61/ 4 4 1
sin x cos x
4 4
π⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
62/ 9sin x 6cos x 3s in2x+cos2x 8+ − =
63/ 3 3 3
1 sin x cos x s in2x
2
+ + = 64/ xxx tansin2)
4
(sin2 22
−=−
π
.
65/ ( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .
Phương trình lượng giác 3 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Vấn đề 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1: Tính: cos ,sin 2 ,cos2 ,tan
4
a a a a
π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
biết
1 3
sin ,
3 2 2
a a
π π
= − < <
Giải
Ta có: cos2
a = 1 − sin2
a = 1 −
2
1
3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
8
9
⇒ cosa =
2 2
3
±
Vì
2
π
<a <
3
2
π
nên cosa = −
2 2
3
sin2a = 2sina.cosa = −
1
3
.(−
2 2
3
) =
2 2
9
cos2a = 2cos2
a − 1 = 2
2
2 2
3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
− 1 =
7
9
tan(a +
4
π
) =
tan tan
4
1 tan tan
4
a
a
π
π
+
−
=
1
1
9 4 22 2
1 71
2 2
+
+
=
−
với tana =
1
2 2
Ví dụ 2: Cho
3
sin
5
α = và
2
π
α π< < . Tính 2
tan
1 tan
A
α
α
=
+
.
Giải
Ta có: cos2
α = 1 − sin2
α = 1 −
2
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
16
25
⇒ cosα =
4
5
±
Vì
2
π
<α <
3
2
π
nên cos α = −
4
5
⇒ tanα =
sin 3
cos 4
α
α
= − ⇒ A = 2
3
124
253
1
4
−
= −
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức: A =
os2a-cos4a
sin 4 sin 2
c
a a+
,
B =
2sin 2 sin 4
2sin 2 sin 4
a a
a a
−
+
, C =
sin os
4 4
sin os
4 4
a c a
a c a
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;

4. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 4 Phương trình lượng giác
Giải
Ta có:
A =
cos2a - cos4a 2sin3asina sina
sin 4 sin 2 2sin3 cos cosa a a a a
= =
+
= tana
B =
2sin 2 sin 4
2sin 2 sin 4
a a
a a
−
+
=
2sin 2 2sin 2 cos2
2sin 2 2sin 2 cos2
a a a
a a a
−
+
=
2sin 2 (1 cos2 )
2sin 2 (1 cos2 )
a a
a a
−
+
=
1 cos2
1 cos2
a
a
−
+
=
2
2
2sin
2cos
a
a
= tan2
a
C =
sin os
4 4
sin os
4 4
a c a
a c a
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
2 sin
4 4
2 sin
4 4
a
a
π π
π π
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
sin
cos
a
a
−
= − tana
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/
2 2
2
2
sin 2cos 1
sin
cot
α α
α
α
+ −
= ,
b/
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
α α
α
α α
−
=
−
, c/
2 2
sin cos tan 1
1 2sin cos tan 1
α α α
α α α
− −
=
+ +
Giải
a/ Ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2
sin 2cos 1 1 cos 2cos 1 cos
cot cot cot
α α α α α
α α α
+ − − + −
= = = sin2
α
b/ Ta có:
2
2 2 22
2
2 2 2
2
2
1
sin 1
sin tan tancos
tan .
1cos cot cot
cos 1
sin
α
α α αα
α
α α α
α
α
⎛ ⎞
−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= =
− −⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
= tan6
α
c/
2 2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos tan 1
1 2sin cos (sin cos ) (tan 1)
α α α α α
α α α α α
− − −
= =
+ + +
=
tan 1
tan 1
α
α
−
+
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/
1 cos sin
cot
1 cos sin 2
α α α
α α
+ −
= −
− −
,
b/
3 3
sin cos
1 sin cos
sin cos
α α
α α
α α
+
= −
+
; c/
sin 2 sin
tan
1 cos2 cos
α α
α
α α
+
=
+ +
Giải
a/ Ta có:
2
2
2cos cos sin2cos 2sin cos
1 cos sin 2 2 22 2 2
1 cos sin 2sin 2sin cos 2sin sin cos
2 2 2 2 2 2
α α αα α α
α α
α α α α α αα α
⎛ ⎞
−− ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠= =
− − ⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
=−cot
2
α
Phương trình lượng giác 41 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
15/
sin3 cos3
5 cos 3 cos2
1 2sin 2
x x
x x
x
+⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
16/ 2
2sin 2 cos7 1 cosx x x− − = 17/ ( )2cos 1 cos2 sin 2 1 2sinx x x x− + = +
18/ 2
2cos 3sin 2 1 3(sin 3cos )x x x x+ + = +
19/ Cho phương trình: 2
(1 )sin cos 1 2cosm x x m x− − = + . Tìm m để pt có
nghiệm trên đoạn ;
2 2
π π⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
20/ 2
2cos 6 cos 2 sin 2
4
x x x
π⎛ ⎞
+ − = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
21/ ( )2
sin (2 cos ) (1 cos ) 1 cosx x x x− = − + .
22/
cos3 1 sin .cos
4cos2 .sin 2sin3
sin2
x x x
x x x
x
+ +
= − .
23/
7
(sin 1)(1 tan ) 2cos2 2 cos
4
x x x x
π⎛ ⎞
− + + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
24/ 6 cos 2 sin 1 3sin 2 cos2x x x x− + = +
25/
2 2
4
4
(2 sin 2 )(2cos cos )
cot 1
2sin
x x x
x
x
− −
+ =
26/ 2tancot)
4
2(cos2 2
−−=+ xxx
π
27/ 1
5
6
cos
10
9
cos2 2
−=
xx
28/ 6 6 2 1
sin cos cos 2
16
x x x+ = +
29/
15
(sin 1)(1 tan ) 2cos2 2 cos
4
x x x x
π⎛ ⎞⎟⎜− + + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
30/ 3. 1.(sin 2cos ) 5(sin 3cos )tgx x x x x+ + = +
31/ 2sin3x –
1 1
2cos 3
sin cos
x
x x
= +
32/ 2cos2 3
4
x
π⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ - 4cos4x – 15sin2x = 21
33/ 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 34/tan2
x + cot2
x +
1
3
sin2x
=
35/ cos2
2x – cos2x = 4 sin2
2x.cos2
x
36/ 2
4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 1 0
4 4 4
c c
π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 40 Phương trình lượng giác
40/ x 4 x 2 xsin cos sin2+ = + (A−14) 41/ ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = −
1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : 3 3 2cos x sin x 2sin x 1+ + = .
2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( ) ( )x x x x4 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + + − + − + = .
3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : ( )( )cos2x 1 2cosx sinx cosx 0+ + − = .
4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 3 24sin x 4sin x 3sin2x 6cosx 0+ + + = .
5/ (Dự bị 1 khối B 2006) :( ) ( )2 2 22sin x 1 tan 2x 3 cos x 1 0− + − = .
6/ (Dự bị 2 khối A 2006) :2sin 2x 4sinx 1 0
6
π⎛ ⎞
− + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
7/ (Dự bị 1 khối A 2006) :
2 3 23 3cos3x.cos x sin3x.sin x
8
+
− = .
8/ (Dự bị 1_A05): Tìm nghiệm trên khoảng ( )0;π của pt:
x 32 24sin 3 cos2x 1 2cos x
2 4
π⎛ ⎞
− = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 32 2 cos x 3cosx sinx 0
4
π⎛ ⎞
− − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
ĐỀ THI THỬ
1/ cos3
x + sin3
x = cosx 2/ sin5x + sin9x + 2sin2
x − 1 = 0
3/ sin 3 s .sin
4 4
in2x x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4/ 3 (2cos2
x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx =
05/2sin 2 4cos 1 0
6
x x
π⎛ ⎞
+ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
; 6/( ) ( )3 3
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
7/ 2cos3
x + cos2x + sinx = 0 8/
3(sin2 sin )
2cos 3
cos 1
x x
x
x
−
= +
−
.
9/ 2 2 1
cos sin 2sin
3 6 2
x x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
; 10/
2
tan cot 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
11/
3
tan 2 sin 2 cot
2
x x x+ = 12/
1
cos cos2 cos3 sin sin 2 sin3
2
x x x x x x− =
13/ 2 sin 2 2 3cos sin
4
x x x
π⎛ ⎞
+ + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
14/
1 1
sin 2 cos 2cot 2 0
2cos sin 2
x x x
x x
+ − − + = .
Phương trình lượng giác 5 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
b/
3 3 2 2
sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )
sin cos sin cos
α α α α α α α α
α α α α
+ + − +
=
+ +
=1−sinαcosα
c/ 2
sin 2 sin 2sin cos sin sin (2cos 1)
1 cos2 cos 2cos cos cos (2cos 1)
α α α α α α α
α α α α α α
+ + +
= =
+ + + +
= tanα
BÀI TẬ ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
3
tan sin ,
3 5 2
π π
α α α π
⎛ ⎞
+ = < <⎜ ⎟
⎝ ⎠
ĐS:
38 25 3
11
−
b) khi
12 3
cos sin , 2
3 13 2
π π
α α α π
⎛ ⎞
− = − < <⎜ ⎟
⎝ ⎠
ĐS:
(5 12 3)
26
−
Bài 2: Tính: cos ,tan ,sin ,tan 2
4
a a a a
π⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
biết
5 3
sin , 2
3 2
a a
π
π= − < <
Bài 3: Tính P 1 3 2 2 3 2( cos )( cos )= − α + α biết
2
3
sinα = (TNQG15)
Bài 4: Tính 4 4
sin cosP α α= + , biết
2
sin 2
3
α = (DB QG15)
Bài 5: Cho sinα =
5
3
và πα
π
<<
2
.Cho Tính cosα, tanα, cotα.
Bài 6: Cho tanα = 2 và
2
3π
απ << . Tính sinα, cosα.
Bài 7: Cho cosα =
12
13
− , πα
π
<<
2
. Tính: sin 2 , cos2 , tan 2 , cot 2α α α α
Bài 8: Cho cotα = 2 và 0
4
π
α< < . Tính sin 2 , cos2 , tan 2 , cot 2α α α α .
Bài 9: Cho
1
sin cos
5
α α− = . Tính sin 2 , cos2α α .
Bài 10: Chứng minh rằng: a/
sin sin3 sin5
tan3
cos cos3 cos5
α α α
α
α α α
+ +
=
+ +
,
b/ 43 4cos2 cos4
tan
3 4cos2 cos4
α α
α
α α
− +
=
+ +
b/
− +
=
−
1 cos os2
cotx
sin2 sinx
x c x
x
c/
+
=
+ +
sin2x sin
tan
1 cos2 cos
x
x
x x
d/
π⎛ ⎞−
= −⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠
22 os2 sin4
tan
2 os2 sin4 4
c x x
x
c x x

6. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 6 Phương trình lượng giác
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Công thức nghiệm của các pt lượng giác cơ bản:
2
1/ cos cos 2 ; 2 / sin sin
2
3/ ; 4 / cot cot
u v k
u v u v k u v
u v k
tgu tgv u v k gu gv u v k
π
π
π π
π π
= +⎡
= ⇔ = ± + = ⇔ ⎢ = − +⎣
= ⇔ = + = ⇔ = +
Các pt lượng giác đặc biệt:
a/ sinu = 1 ⇔ u =
2
π
+ k2π b/ sinu = −1 ⇔ u = −
2
π
+ k2π
c/ sinu = 0 ⇔ u = kπ d/ cosu = 1 ⇔ u = k2π
e/ cosu = −1 ⇔ u = π + k2π f/ cosu = 0 ⇔ u =
2
π
+ kπ
g/ sinu = ±1 ⇔ cosu = 0 h/ cosu = ±1 ⇔ sinu = 0
i/ tanu = ±1 ⇔ u = ±
4
π
+ kπ k/ cotu = ±1 ⇔ u = ±
4
π
+ kπ
Ví dụ 1: Giải phương trình: a/
1
sin
4
x = ; b/
3
sin(3 )
4 2
x
π
+ =
Giải
a/ Ta có: sinx =
1
4
⇔ sinx = sinα (với sinα =
1
4
)
⇔
2
,
2
x k
k
x k
α π
π α π
= +⎡
∈⎢ = − +⎣
Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 2 ,x k x k kα π π α π= + = − + ∈
Cách khác:
1
sin
4
x =
1
arcsin 2
4
1
arcsin 2
4
x k
x k
π
π π
⎡
= +⎢
⇔ ⎢
⎢ = − +
⎢⎣
, k∈Z
b/ Ta có:
3
sin(3 ) sin(3 ) sin
4 2 4 3
x x
π π π
+ = ⇔ + =
2
3 2 3 2
4 3 4 3 24 3
,
5 2
3 2 3 2
4 3 3 4 24 3
x k x k x k
k
x k x k x k
π π π π π π
π π
π π π π π π
π π π π
⎡ ⎡ ⎡
+ = + = − + + = +⎢ ⎢ ⎢
⇔ ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢+ = − + = − − + = +
⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
Vậy phương trình có nghiệm là:
2 5 2
, ,
24 3 24 3
x k x k k
π π π π
= + = + ∈
Phương trình lượng giác 39 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
14/ ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (D-04)
15/ 2cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
16/
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = (B-03)
17/ 2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(D-03)
18/ 2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (B-02)
19/cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = (D2);20/
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x
−
=
+ −
(A09)
21/ 3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − (B−09)
22/ 3 os5x 2sin3x os2x sin 0c c x− − = (D−09)
23/ 2
(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + (CĐ−09)
24/
(1 sin cos2 )sin
14
cos
1 tan 2
x x x
x
x
π⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
+
( A - 10)
25/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10)
26/ sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (D−10)
27/ 4cos
5
2
x
cos
3
2
x
+ 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)
28/ 2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(A−11);
29/ cos4x+12sin2
x−1=0 (CĐ11)
30/ sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + + (B−11)
31/
s n2 2cos sin 1
0
tan 3
i x x x
x
+ − −
=
+
(D11); 32/ 3sin2x+cos2x=2cosx-1 (A−12)
33/ 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1.x x x x x+ = − + (B−12)
34/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12)
35/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)
36/ 1 tan x 2 2 sin x
4
π⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(A-13); 37/ 2
sin5 2cos 1x x+ = (B-13)
38/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 39/cos sin 2 0
2
x x
π⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(CĐ-13)

7. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 38 Phương trình lượng giác
a/ 2 3
2sin 4 os 3sinxx c x+ = b/ 2sin3
x = cos3x
c/ 3
sin 2 sinx
4
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
d/ 2sin3
x = cosx
e/ 3 3
sin cos sin cosx x x x+ = − g/
1 t anx
1 sin 2
1+tanx
x
−
= +
Bài 23: Giải pt: a/ cos5xcos3x = cosxcos7x; b/ sin2x − cos5x = cosx
− sin6x
c/ cosx + cos11x = cos6x; d/ sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x +
cos3x
e/ tanx + tan2x = tan3x ; g/ 2sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
=
Bài 24: Giải pt: a/ 2 2 2
sin sin 5 2sin 3x x x+ = ; b/ 8cos4
x = 1 + cos4x
c/ 2 2 2 3
os 3 os 4 os 5
2
c x c x c x+ + = ; d/ sin4
x + cos4
x = cos4x
e/ 3cos2
2x - 3sin2
x + cos2
x g/ sin3
xcosx - sinxcos3
x =
2
8
h/ (1 − tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx; i/ tanx + tan2x = sin3xcosx
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1/
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(A-08)
2/ 3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin .cosx x x x x x− = − (B-08)
3/ ( )2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (D-08)
4/ ( ) ( )2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (A-07)
5/ 2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (B-07); 6/
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(D-07)
7/
( )6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x
x
+ −
=
−
(A06);8/cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
9/ cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = 10/ 2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− = (A-05)
11/ 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x+ + + + = (B-05)
12/ 4 4 3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(D-05)
13/ ( ) 2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (B-04)
Phương trình lượng giác 7 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a/
1
cos
2
x = − , b/ 3cos(2 ) 1
6
x
π
+ =
Giải
a/ Ta có
1 2
cos cos cos 2 ( )
2 3 3
x x x k k
π π
π= − ⇔ = ⇔ = ± + ∈
Vậy phương trình có nghiệm là: 2 ( )
3
x k k
π
π= ± + ∈
b/
1
3cos(2 ) 1 cos(2 )
6 6 3
x x
π π
+ = ⇔ + = ⇔cos(2 )
6
x
π
+ = cosα (với cosα=
1
3
)
⇔ 2 2
6
x k
π
α π+ = ± + 2 2 ( )
6 12 2
x k x k k
π π α
α π π⇔ = − ± + ⇔ = − ± + ∈
Vậy phương trình có nghiệm là:
12 2
x k
π α
π= − ± + .
Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ tan 3x = ; b/ tan( ) 2
5
x
π
− =
Giải
a/ Ta có: tan 3 tan tan
3 3
x x x k
π π
π= ⇔ = ⇔ = + ,k∈
Vậy phương trình có nghiệm là:
3
x k
π
π= + ,k∈
b/ Ta có: tan( ) 2 tan( ) tan
5 5
x x
π π
α− = ⇔ − = (với tanα = 2)
( )
5 5
x k x k k
π π
α π α π⇔ − = + ⇔ = − − ∈
Vậy phương trình có nghiệm là: ( )
5
x k k
π
α π= − − ∈
Cách khác: tan( ) 2
5
x
π
− = ⇔ tan 2
5
x arc k
π
π− = + ⇔ x =
5
π
−arctan2−kπ
Ví dụ 4: Giải pt sau: a/
1
cot( )
4 3
x
π
− = ; b/ cot(4 35 ) 1o
x + = −
c/ tan5x – cotx = 0 d/ tan3x − tanx = 0
Giải
a/ Ta có:
1
cot( )
4 3
x
π
− = ⇔ cot( ) cot
4 3
x
π π
− =

8. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 8 Phương trình lượng giác
⇔ ,
4 3 12
x k x k k
π π π
π π− = + ⇔ = − − ∈
Vậy phương trình có nghiệm là: ,
12
x k k
π
π= − − ∈
b/ Ta có cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 )o o o
x x+ = − ⇔ + = −
⇔ 4 35 45 180 4 80 180 20 45 ,( )o o o o o o o
x k x k x k k+ = − + ⇔ = − + ⇔ = − + ∈
Vậy phương trình có nghiệm là: 20 45 ,( )o o
x k k= − + ∈
c/ Đk: cos5x ≠ 0, sinx ≠ 0
Khi đó: tan5x − cotx = 0 ⇔ tan5x = cotx ⇔ tan5x = cot(
2
π
− x)
⇔ 5x =
2
π
− x + kπ ⇔ x =
12 6
k
π π
+ (thỏa điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
12 6
k
π π
+ , k∈Z
d/ Đk: cos3x ≠ 0, cosx ≠ 0
Ta có: tan3x − tanx = 0 ⇔
sin 2
0
cos3 cos
x
x x
= ⇔
2sin cos
0
cos3 cos
x x
x x
=
⇔
2sin
0
cos3
x
x
= ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ (thỏa điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là: x = kπ, k∈Z
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a/ sin3x = cos2x; b/ 1 − cos4x = sin2x c/ 2cos2
2x =1
d/ sinx − 3 cosx = 2sin2x; e/ 3 sin4x − cos4x = 2cos3x
Giải
a/ Ta có: sin3x = cos2x ⇔ sin3x = sin(
2
π
− 2x)
⇔
3 2 2
2
3 2 2
2
x x k
x x k
π
π
π
π
⎡
= − +⎢
⎢
⎢ = + +
⎢⎣
⇔
2
10 5
2
2
x k
x k
π π
π
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
Vậy phương trình có nghiệm là:
2
, 2
10 5 2
x k x k
π π π
π= + = + , k∈Z
b/ Ta có: 1 − cos4x = sin2x ⇔ 2sin2
2x − sin2x = 0
⇔ sin2x(2sin2x − 1) = 0 ⇔ sin2x = 0 ∨ sin2x =
1
2
Phương trình lượng giác 37 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Bài 12: Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a/ 0
tan(2 15 ) 1x − = , x ∈(-1800
,900
); b/ sinx = 3 osxc , với
2
;
3
x
π
π
⎡ ⎞
∈ − ⎟⎢⎣ ⎠
Bài 13: Giải các pt: a/
2
os os x-
2 4 2
c c
π π⎡ ⎤⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
; b/ ( )tan osx+sinx 1
4
c
π⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎣ ⎦
c./ sin(πcos2x) = 1 d/ 3sinx + 4cosx = 5
Bài 14: Giải các pt: a/ 3 tan3 3 0x − = ; b/ ( )( )sinx+1 2 os2x - 2 0c =
c/ 2
3sin 2 7 os2x - 3 = 0x c+ d/ 2
3 cot 4cot 3 0x x− + =
Bài 15: Giải các pt: a/ os2x - sinx +2 =0c ; b/ 2tan 2 cot 2 3x x+ =
c/ 2
os2x + sin 2 osx +1 = 0c x c+ ; d/ 2 2
4sin 2 8 os 9 0x c x+ − =
Bài 16: Tìm các nghiệm của pt 2
sin 3 sin3 0x x+ = thỏa
2 4
;
3 3
x
π π⎡ ⎤
∈⎢ ⎥⎣ ⎦
Bài 17: Giải pt sau: a/ 3cosx + 4sinx = −5 b/ 2
5sin 2 6 os 13x c x− =
c/ 3 os2x - 2sinxcosx = 2sin7xc ; d/ sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = +
e/ (3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − = ; g/ 2cos cos( ) 4sin 2 1
3
x x x
π
+ + =
Bài 18: Giải pt: a/ 2 2
cos 2 3sin cos 3sin 1x x x x+ + = .
b/ 3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3x x x x x+ + = . c/ 2
4sin ( ) sin 2 1
6
x x
π
+ + =
d/ cos7 sin5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − ; e/ 2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bai 19: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a/
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +
=
+ +
. b/
sin
cos 3
x
y
x
=
+
c/
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y
x
π
=
+ +
.
Bài 20: Giải các phương trình:
a/ 2 2
6sin sinxcosx - cos 2x x+ = b/ 2 2
2sin 2 3sin2xcos2x + cos 2 2x x− =
c/ 2
2 3 os 6sinxcosx = 3 + 3c x + d/ 2 2
4sin 3 3sin 2 2 os 4x x c x+ − =
e/ ( ) ( )
3
4sinxcos x - 4sin osx + 2sin os x + 1
2 2
x c x c
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 21: Giải các phương trình
a/ ( )2 2
3sin 8sinxcosx + 8 3 9 os 0x c x+ − = b/ 2 2 1
sin sin2x - 2 os
2
x c x+ =
Bài 22: Giải các phương trình

9. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 36 Phương trình lượng giác
⇔ 2cos4xcosx = 2cos4xsin2x ⇔ 2cos4x(sin2x − cosx) = 0
⇔ 2cos4x(2sinxcosx − cosx) = 0 ⇔ 2cos4xcosx(2sinx − 1) = 0
Bài 7: Giải phương trình:
1 tan
1 tan
x
x
+
−
= 1 + sin2x (1)
HD: Điều kiện: cosx ≠ 0, tanx ≠ 1
Khi đó:
1 tan
1 tan
x
x
+
−
= 1 + sin2x ⇔
1 tan
1 tan
x
x
+
−
= 1 + 2
2tan
1 tan
x
x+
Bài 8: Giải phương trình: tan2
x =
1 cos
1 sin
x
x
+
−
(1)
HD: Ta có tan2
x =
2 2
2 2
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
cos 1 sin (1 sin )(1 sin )
x x x x
x x x x
− + −
= =
− + −
Đk: sinx ≠ ±1 ⇔ cosx ≠ 0 ⇔ x ≠
2
π
+ kπ
Khi đó (1) ⇔
(1 cos )(1 cos ) 1 cos
(1 sin )(1 sin ) 1 sin
x x x
x x x
+ − +
=
+ − −
⇔ (1 + cosx)(1 − cosx) = (1 + cosx)(1 + sinx)
⇔ (1+cosx)(1+sinx −1 + cosx) = 0 ⇔ (1+cosx)(sinx + cosx) = 0
Bài 9: Giải phương trình: sin2
2x − cos2
8x = sin(
17
2
π
+ 10x) (1)
HD: (1) ⇔ −
1
2
(cos16x + cos4x) = cos10x ⇔ −cos10xcos6x = cos10x
⇔ cos10x(cos6x + 1) = 0
Bài 10: Giải phương trình: 2tanx + tan2x = tan4x (1)
HD: Đk: cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0, cos4x ≠ 0
Khi đó (1) ⇔tan2x+tanx=tan4x−tanx ⇔
sin3 sin3
cos2 cos cos4 cos
x x
x x x x
=
⇔ sin3x(cos4x − cos2x) = 0 ⇔ −2sin2
3x.sinx = 0
Bài 11: Giải các pt sau:
1
osx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
c
HD: x = kπ (sinx = 0) không là nghiệm của pt nên
PT ⇔ sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16
sinx
⇔
1
2
sin2x.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16
sinx
⇔
1
2
.
1
2
sin4x.cos4x.cos8x =
1
16
sinx ⇔
1
8
sin8x.cos8x =
1
16
sinx
Phương trình lượng giác 9 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
sin2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = k
2
π
, k∈Z
sin2x =
1
2
⇔
2 2
6
5
2 2
6
x k
x k
π
π
π
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
⇔ 12
5
12
x k
x k
π
π
π
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
c/ Ta có: 2cos2
2x =1 ⇔ 2cos2
2x − 1 = 0 ⇔ cos4x = 0
⇔ 4x =
2
π
+ kπ ⇔ x =
8
π
+ k
4
π
, k∈Z
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
8
π
+ k
4
π
, k∈Z
d/ Ta có: sinx − 3 cosx = 2sin2x ⇔
1
2
sinx −
3
2
cosx = sin2x
⇔ sinxcos
3
π
−sin
3
π
cosx = sin2x ⇔ sin(x −
3
π
) = sin2x
⇔
2 2
3
2 2
3
x x k
x x k
π
π
π
π π
⎡
− = +⎢
⎢
⎢ − = − +
⎢⎣
⇔
2
3
4 2
9 3
x k
x k
π
π
π π
⎡
= − −⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
e/ Ta có: 3 sin4x − cos4x = 2cos3x ⇔
3
2
sin4x −
1
2
cos4x = cos3x
⇔ sin4xcos
6
π
− sin
6
π
cos4x = cos3x ⇔ sin(4x −
6
π
) = sin(
6
π
− 3x)
⇔
4 3 2
6 2
4 3 2
6 2
x x k
x x k
π π
π
π π
π
⎡
− = − +⎢
⎢
⎢ − = + +
⎢⎣
⇔
2 2
21 7
2
2
3
x k
x k
π π
π
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a/ cos4
x + sin4
x = cos4x; b/ cos7x + sin2
2x = cos2
2x
c/ sin6
x + cos6
x = 2(sin8
x + cos8
x); d/ 2sin2
x – sin2x = 0
Giải
a/ Ta có: cos4
x + sin4
x = cos4x ⇔
3 1
cos4
4 4
x+ = cos4x

10. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 10 Phương trình lượng giác
⇔ cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k
2
π
, k∈Z
b/ Ta có: cos7x + sin2
2x = cos2
2x ⇔ cos7x = cos2
2x − sin2
2x
⇔ cos7x = cos4x ⇔
7 4 2
7 4 2
x x k
x x k
π
π
= +⎡
⎢ = − +⎣
⇔
2
3
2
11
x k
x k
π
π
⎡
=⎢
⎢
⎢ =
⎢⎣
, k∈Z
c/ Ta có: sin6
x + cos6
x = 2(sin8
x + cos8
x)
⇔ sin6
x − 2sin8
x = 2cos8
x − cos6
x
⇔ sin6
x(1 − 2sin2
x) = cos6
x(2cos2
x − 1)
⇔ sin6
xcos2x − cos6
xcos2x = 0 ⇔ cos2x(sin6
x − cos6
x) = 0
⇔ cos2x = 0 ∨ sin6
x − cos6
x = 0
cos2x = 0 ⇔ 2x =
2
π
+ kπ ⇔ x =
4
π
+ k
2
π
, k∈Z
sin6
x − cos6
x = 0 ⇔ sin6
x = cos6
x
⇔ tan6
x = 1 ⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ±
4
π
+ kπ, k∈Z
d/ Ta có: 2sin2
x – sin2x = 0 ⇔ 2sin2
x – 2sinx.cosx = 0
⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0 ⇔ sinx = 0 ∨ sinx − cosx = 0
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z
sinx − cosx = 0 ⇔ sinx = cosx ⇔ tanx = 1 ⇔ x =
4
π
+ kπ, k∈Z
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a/ sin2
3x = cos2
2x (1); b/ cos(πsinx) = cos(3πsinx) (2).
c/ sin2
3x − cos2
4x = sin2
5x − cos2
6x;
Giải
a) Ta có (1) ⇔
1 cos6 1 cos4
2 2
x x− +
= ⇔ cos6x = −cos4x
⇔ cos6x = cos(π − 4x)⇔
6 4 2 10 5
6 ( 4 ) 2
2
x k
x x k
x x k
x k
π π
π π
π π π
π
⎡
= +⎢= − +⎡
⇔ ⎢⎢ = − − +⎣ ⎢ = − +
⎢⎣
Vậy phương trình có nghiệm là: ,
10 5 2
x k x k
π π π
π= + = − + , k∈Z.
b) Ta có: cos(πsinx) = cos(3πsinx) ⇔ πsinx=±3πsinx+k2π
Phương trình lượng giác 35 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Ví dụ 5: Giải phương trình: sin3
x + cos3
x = 2 - sin4
x (1)
HD: Ta có sin3
x + cos3
x ≤ sin2
x + cos2
x = 1; 2 - sin4
x ≥ 1. Do đó:
(1)⇔
3 3 3 3
4
sin cos 1 sin cos 1
2 sin 1 sin 1
x x x x
x x
⎧ ⎧+ = + =⎪
⇔⎨ ⎨
− = = ±⎪ ⎩⎩
⇔ sinx =1 ⇔ x=
2
π
+k2π
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) sin4
x + cos17
x = 1; b) cos3x + x3cos2 2
− = 2(1 + sin2
2x)
c) x2sin5 2
+ = sinx + 2cosx; d)
xcos
1
+ cosx = 2cosx
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Giải phương trình: cos3x − 2cos2x + cosx = 0 (1)
HD: (1)⇔ 2cos2xcosx − 2cos2x = 0 ⇔ 2cos2x(cosx − 1) = 0
Bài 2: Giải pt: cos3xcos4x + sin2xsin5x =
1
2
(cos2x + cos4x) (2)
HD: (2) ⇔
1
2
(cos7x + cosx) −
1
2
(cos7x − cos3x) =
1
2
(cos2x + cos4x)
⇔ cos3x + cosx = cos2x + cos4x ⇔ 2cos2xcosx = 2cos3xcosx
⇔ 2cosx(cos3x − cos2x) = 0
Bài 3: Giải pt: 4 3 sinxcosxcos2x = sin8x (3) (ĐHCT-D-2000)
HD: (3) ⇔2 3 sin2xcos2x = sin8x ⇔ 3 sin4x =2sin4xcos4x
⇔ sin4x(2cos4x − 3 ) = 0
Bài 4: Giải phương trình sin2
x + sin2
2x + sin2
3x =
3
2
(4)
HD: (4) ⇔
1
2
(1 − cos2x) +
1
2
(1 − cos4x) +
1
2
(1 − cos6x) =
3
2
⇔ cos6x + cos2x + cos4x = 0 ⇔ 2cos4xcosx + cos4x = 0
⇔ cos4x(2cosx + 1) = 0
Bài 5: Giải pt: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1) (ĐHNT-00)
HD:(1) ⇔ (1 −cos2x) + sinx = (cosx − cos3x) + sin2x
⇔ 2sin2
x + sinx = 2sin2xsinx + sin2x
⇔ sinx(2sinx+1) = sin2x(2sinx+1) ⇔ (2sinx+1)(sin2x −sinx) = 0
Bài 6: Giải pt: 2cos2
x + 2cos2
2x+2cos2
3x−3 = cos4x(2sin2x +1) (*)
HD: (*) ⇔ 1 + cos2x + 1 + cos4x + 1 + cos6x − 3 = cos4x(2sin2x + 1)
⇔ cos6x + cos2x = cos4x(2sin2x + 1) − cos4x

11. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 34 Phương trình lượng giác
Vấn đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT:
1/ Phương pháp tổng bình phương: Ta có A2
+ B2
= 0 ⇔
0
0
A
B
=⎧
⎨
=⎩
;
2/ Phương pháp đối lập: Ta có
A B
A M
B M
=⎧
⎪
≤⎨
⎪ ≥⎩
⇔
A M
B M
=⎧
⎨
=⎩
Ví dụ 1: Giải phương trình: x2
+ 2xsinxy + 1 = 0 (1)
HD: (1) ⇔ (x + sinxy)2
+ 1 - sin2
xy = 0 ⇔ (x + sinxy)2
+ cos2
xy = 0
⇔
⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
−=
=
∨
−=
−=
⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⇔
±=
−=
⇔
=
=+
1sin
1
1sin
1
1sin
sin
0cos
0sin
y
x
y
x
xy
xyx
xy
xyx
Ví dụ 2: Giải pt: 4cos2
x + 3tg2
x - 4 3 cosx + 2 3 tgx + 4 = 0 (2)
HD: (2) ⇔ (2cosx − 3 )2
+ ( 3 tgx + 1)2
= 0
Ví dụ 3: Giải phương trình: sin2
x + sin2
y + sin2
(x + y) =
4
9
(3)
HD: (3) ⇔
2
1
−
2
1
cos2x +
2
1
−
2
1
cos2y + 1−cos2
(x + y) =
4
9
⇔ 2 −
2
1
(cos2x + cos2y)− cos2
(x + y) =
4
9
⇔
4
1
+ cos(x + y)cos(x − y) + cos2
( x + y) = 0
⇔
4
1
cos2
(x−y) + cos(x−y)cos(x + y) + cos2
(x + y) +
4
1
sin2
(x−y) = 0
⇔ [cos(x + y) +
2
1
cos(x − y)]2
+
4
1
sin2
(x − y) = 0
Ví dụ 4: Giải phương trình: (cos4x − cos2x)2
= 5 + sin3x (1)
HD: Ta có: ⎜cos4x −cos2x⎜≤ ⎜cos4x⎜+⎜cos2x⎜≤ 2
⇒ (cos4x − cos2x)2
≤ 4
Ta lại có 5 + sin3x ≥ 4
Do đó (1) ⇔
⎩
⎨
⎧
−=
±=
⇔
⎩
⎨
⎧
=+
±=−
13sin
1sin3sin
43sin5
22cos4cos
x
xx
x
xx
⇔
sin 1
sin3 1
x
x
= ±⎧
⎨
= −⎩
⇔
2
2
sin3 1
x k
x
π
π
⎧
= ± +⎪
⎨
⎪ = −⎩
⇔ x =
2
π
+ k2π
Phương trình lượng giác 11 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
⇔
sin (3)
sin 3sin 2
sin 3sin 2 sin (4)
2
x k
x x k
k
x x k x
⎡ = −⎡
= +⎢ ⎢⇔
⎢ ⎢= − + =
⎢ ⎣⎣
Xét pt (3): sinx = −k. Do k∈Z nên (3) ⇔
sin 0
sin 1
x
x
=⎡
⎢ = ±⎣
Xét pt (4): sinx=−
2
k
. Do k nguyên nên (4) ⇔
sin 0 sin 1
1
sin
2
x x
x
= ∨ = ±⎡
⎢
⎢ = ±
⎣
• sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z
• sinx = ±1 ⇔ cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ, k ∈Z
• Pt sinx = ±
1
2
⇔ sin2
x =
1
4
⇔
1 cos2 1
2 4
x−
= ⇔ cos2x =
1
2
⇔ 2x = ±
3
π
+ k2π ⇔ x = ±
6
π
+ kπ, k ∈Z
Vậy pt đã cho có nghiệm x = kπ, x =
2
π
+ kπ, x = ±
6
π
+ kπ, (k∈ Z)
c/ Ta có: sin2
3x − cos2
4x = sin2
5x − cos2
6x
⇔
1 cos6
2
x−
−
1 cos8
2
x+
=
1 cos10
2
x−
−
1 cos12
2
x+
⇔ 1 − cos6x − 1 − cos8x = 1 − cos10x − 1 − cos12x
⇔ cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
⇔ 2cos7xcosx = 2cos11xcosx
⇔ 2osx(cos11x − cos7x) = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ cos11x − cos7x = 0
• cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ, k ∈Z
• cos11x − cos7x = 0 ⇔ cos11x = cos7x
⇔ 11x = ±7x + k2π ⇔ x = k
2
π
∨ x = k
9
π
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
a/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
b/ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2
x = 3
Giải
a/ Ta có: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
⇔ (1 − cos2x) + (cos3x − cosx) = sin2x − sinx

12. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 12 Phương trình lượng giác
⇔ 2sin2
x − 2sin2xsinx = 2sinxcosx − sinx
⇔ 2sin2
x(1 − 2cosx) = sinx(2cosx − 1)
⇔ 2sin2
x(1 − 2cosx) − sinx(1 − 2cosx) = 0
⇔ (1 − 2cosx)(2sin2
x − sinx) = 0
⇔ cosx =
1
2
∨ sinx = 0 ∨ sinx =
1
2
cosx =
1
2
⇔ x = ±
3
π
+ k2π, k∈Z
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z
sinx =
1
2
⇔ x =
6
π
+ k2π ∨ x =
5
6
π
+ k2π, k∈Z
b/ Ta có: (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2
x = 3
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4(1 − sin2
x) = 3
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = 4sin2
x − 1
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = (2sinx + 1)(2sinx − 1)
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4 − 2sinx + 1) = 0
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x − 3) = 0 ⇔ sinx =
1
2
∨ cos4x = 1
sinx =
1
2
⇔ x =
6
π
+ k2π ∨ x =
5
6
π
+ k2π, k∈Z
cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k
2
π
, k∈Z
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a/ cos(3x −
6
π
)= −
2
2
b/ cos(x − 2) =
2
5
c/ cos(2x + 500
) =
1
2
d/ (1+ 2sinx)(3−cosx)= 0 e/ tan2x = tan
5
6
π
f/ tan(3x−300
) = −
3
3
g/ cot(4x −
6
π
)= 3 h/ sin(3x− 450
) =
1
2
i/ sin(2x +100
)= sinx
k/ (cot
3
x
−1)(cot
2
x
+1)= 0 l/ cos2x.cotx = 0 m/ cot(
2
3 5
x π
+ )= −1
n/ cos3x – sin2x = 0 p/ sin3x + sin5x = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a/ sin(2x−1) = sin(x+3); b/ sin3x = cos2x; c/ sin4x + cos5x = 0
Phương trình lượng giác 33 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
8.
6 6
2(sin cos ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
[ĐH-khối A-2006]
9.
2
cot tan 4 sin2
sin2
x x x
x
− + = [ĐH-khối B-2003]
10. cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − [ĐH Hàng Hải-1999]
11.
(1 sin cos2 )sin
14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
+
[ĐH-khối A-2010]
Bài 9: Giải các phương trình sau:
1. 2 2
4sin 4sin cos 2cos 1x x x x− + =
2. 2 2
2sin sin x cos os 1x x c x+ − =
3. 2 2
2cos 3sin 2 sin 1x x x− + =
4. 2 2
3cos 2sin 5sin cos 0x x x x+ − =
5. 2 2
4cos 3sin cos sin 3x x x x+ − =
6. 2 2
3sin 3sin cos 4cos 2x x x x− + =
7. 2 2
2sin 3sin cos 7cos 1x x x x− − = −
8. 2 2
sin 3sin 2 os 1x x c x+ − =
9. 2
4sin sin 2 4 0x x− − =
10. 2 2
4sin 3 3sin 2 2 os 4x x c x+ − =
11. 2 2
3sin 4sin cos os 0x x x c x− + =
12. 2 2
2sin (3 3)sin cos ( 3 1) os 1x x x c x+ + + − = −
13. 2 2
2sin 4sin cos 4cos 1 0x x x x+ − − =
14. 2 2
sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − =
15. 2 2 5
2sin 4 3sin cos 4cos 0
2
x x x x− − + =
16. 2
5sin sin x cos os2 2 0x x c x+ − − =
17. 2
sin 3sin cos 1 0x x x− + =
18. 2 2
3sin 3sin x cos os 3 0x x c x− + − =
19. 2
os 2 sin 2 1 0c x x+ + =
20. 2 2
2sin (1 3)sin x cos (1 3) os 1x x c x+ − + − =

13. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 32 Phương trình lượng giác
1. 2
cos2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 2. 2 2
4sin 2 6sin 3cos2 9 0x x x+ − − =
3. 2
cos2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 4. 2 2
4sin 2 8cos 3 0x x− + =
5. 2 2
6sin 2sin 2 5x x+ = 6. 2
4cos2 4sin 4sin 1x x x+ + =
7. 2 2 1
sin 2 sin
2
x x− = 8. 2 2 3
sin 2 2cos 0
4
x x− + =
9. 4
8sin 1 cos4x x= + 10. 2 2 2
cos 2 cos2 4sin 2 .cosx x x x− =
11. 2
2cos3 cos 4 4sin 2 0x x x+ − = 12. 2
10cos 3cos4 4 0x x− − =
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1. 2sin 2 8tan 9 3x x+ = 2.
4
2cos6 tan3
5
x x+ =
3. (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + 4. 2
2cos2 tan 5x x+ =
5. 2
6cos2 tan 1 0x x− − = 6. sin 2 2tan 3x x+ =
7.
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
Bài 7: Giải các phương trình sau:
1. 2
(3 cot ) 5(3 cot )x x+ = + 2. 2 2
1 3
4
sin cos sin cosx x x x
+ =
3. 2 2
tan cot 2(1 tan cot ) 0x x x x+ + + + =
4. 2 3
tan 9
cos
x
x
+ = 5. 2 5
tan 7 0
cos
x
x
− + = 6. 2 3
2tan 3
cos
x
x
+ =
Bài 8: Giải các phương trình sau:
1.
cos2 3cot2 sin 4
2
cot2 cos2
x x x
x x
+ +
=
−
[ĐHKT TP.HCM-1990]
2.
2 2
4 sin 2 6sin 3cos2 9
0
cos
x x x
x
+ − −
= [ĐHBK Hà Nội-1994]
3.
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin2 1
x x x x x
x
+ + +
=
−
[TS Nha Trang-01]
4.
cos 3 sin 3
5 sin 3 cos2
1 2sin2
x x
x x
x
⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+
[ĐH-khối A-2002]
5. 2 2
cos 3 .cos2 cos 0x x x− = [ĐH-khối A-2005]
6. 4 4 3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ + − − − =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[ĐH-khối D-05]
7. 2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x− = − [ĐH-khối B-2004]
Phương trình lượng giác 13 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
d/ 2sinx + 2 sin2x = 0; e/ sin2
2x + cos2
3x = 1; f/ sin3x + sin5x = 0
g/ sin(2x+500
) = cos(x +1200
) h/ cos3x – sin4x = 0
i/ tan(x−
5
π
) + cotx = 0 j/ tan5x = tan3x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) ( ) ( )sin 3 1 sin 2x x+ = − 2) ( )0
sin 120 cos2 0x x− + =
3) cos3 sin 2x x= 4) cos cos 2
3 6
x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5) cos 2 cos 0
3 3
x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6) sin3 sin 0
4 2
x
x
π⎛ ⎞
+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
7) tan 3 tan
4 6
x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8) cot 2 cot
4 3
x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9) ( )tan 2 1 cot 0x x+ + = 10) ( )2
cos 0x x+ =
11) ( )2
sin 2 0x x− = 12) ( )2
tan 2 3 tan 2x x+ + =
13) 2
cot 1x = 14) 2 1
sin
2
x =
15)
1
cos
2
x = 16) 2 2
sin cos
4
x x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1. 2 2 17
sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
2. 3 3 3
cos cos 3 sin sin 3 cos 4x x x x x+ =
3. 2 3
cos10 2cos 4 6cos 3 cos cos 8 cos cos 3x x x x x x x+ + = +
4. 2 2 2
2cos 2cos 2 2cos 3 3 cos 4 (2sin2 1)x x x x x+ + − = +
5. sin 4 3sin2 tanx x x+ = 6.
3 1
sin 3 sin5 cos5 0
2 2
x x x+ + =
7. sin2 3 sinx x= 8. 2
sin sin 0x x− =
9. 2
(2sin 1)(2sin2 1) 3 4 cosx x x− + = −
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1/ (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x− + = − [ĐH-khối D-2004]
2/ 2
2sin 2 sin7 1 sinx x x+ − = [ĐH-khối B-2007]
3/ 2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − [ĐH-khối B-2002]

14. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 14 Phương trình lượng giác
4/ sin cos 1 sin2 cos2 0x x x x+ + + + = [ĐH-khối B-2005]
5/ 2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
[ĐH-khối D-2003]
6/ cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
[ĐH-khối D-2005]
7/
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ +
[DBĐH-khối D-2005]
8/ cos 3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = [ĐH-khối D-2006]
9/ cos 3 4 cos2 3cos 4 0x x x− + − = [ĐH-khối D-2002]
10/ cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
[ĐH-khối B-2006]
11/
1 1 7
4 sin
sin 43
sin
2
x
x
x
π
π
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ = −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
[ĐH-khối A-2008]
12/ 2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x+ + = + [ĐH-khối D-2008]
13/ 2
(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + [CĐ-khối A,B,D-2009]
14/ 2
(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + (CĐ−09)
15/
(1 sin cos2 )sin
14
cos
1 tan 2
x x x
x
x
π⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
+
( A - 10)
16/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10)
17/ sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (D−10)
18/ 4cos
5
2
x
cos
3
2
x
+ 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)
19/ 2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(A−11);
20/ cos4x + 12sin2
x − 1 = 0 (CĐ11)
21/ sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + + (B−11)
22/
s n2 2cos sin 1
0
tan 3
i x x x
x
+ − −
=
+
(D11);
23/ 3sin2x+cos2x=2cosx-1 (A−12)
24/ 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1.x x x x x+ = − + (B−12)
25/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12)
26/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)
Phương trình lượng giác 31 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Ví dụ 12: Giải phương trình sin2
x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Giải
Điều kiện: cosx ≠ 0. Chia hai vế của phương trình cho cos2
x ta được:
tan2
x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2
x)
⇔ tan3
x – tan2
x = 5tanx – 3 – 2 tan2
x
⇔ tan3
x + tan2
x – 5tanx + 3 = 0 ⇔ tanx = 1 ∨ tanx = −3
tanx = −3 ⇔ tanx = tanα (với tanα = −3) ⇔ x = α + kπ, k∈Z
tanx = 1 ⇔ x =
4
π
+ kπ, k∈Z
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ 2
2sin sinx 1=0x − − 2/ 2
cos 4cos 5 0x x+ − =
3/ 2
2tan 5tan 3 0x x− + = 4/ 2
sin 4sin 3 0x x− + =
5/ 2
cos 2 cos2 2 0x x+ − = 6/ 2
cot 3cot 2 0x x+ + =
7/ 2
3tan 3 t anx 0x + = 8/ 2
2sin 7sin 3 0
2 2
x x
− + =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1/ 2
6cos 5sin 2 0x x+ − = 2/ 2
2cos 3sin 3 0x x+ − =
3/ 2
2cos 5sin 4 0x x+ − = 4/ cos2
x + sinx + 1= 0
5/ 6 − 4cos2
x −9sinx = 0 6/ 2sin2
x+cos2
x+sinx-1=0
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1/ cos2x = cosx 2/ cos2x = sinx
3/ cos2 2sin 3 0x x− + = 4/ sin2
x + cos2x + cosx = 0
5/ sin2
x – 2cos2
x+cos2x=0 6/ 2
2sin 4sin cos2 1x x x+ − = −
7/ cos2 3cos 2 0x x− + = 8/ 3cos2 8sin 5 0x x+ − =
9/ 2
5cos 7sin 7 0x x+ − = 10/ cos2 9cos 8 0x x+ + =
11/ cos2 3sin 2x x− = 12/ cos2 cos 2 0x x+ − =
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1. 2cos2 cos 1x x+ = 2. 2
4cos2 4sin 4sin 1x x x+ + =
3. cos2 3sin 2 0x x+ − = 4. cos 2 sin 1
2
x
x + =
5. cos2 2cos 3 0x x− − = 6.cos2 sin 0x x− =
7.cos2 5sin 2 0x x+ + = 8.cos2 9cos 5 0x x+ + =
Bài 5: Giải các phương trình sau:

15. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 30 Phương trình lượng giác
⇔ tan4
x + tan3
x − 2tan2
x − 3tanx − 3 = 0
Đặt t = tanx, ta được pt: t4
+ t3
− 2t2
− 3t − 3 = 0
⇔ (t − 3 )(t + 3 )(t2
+ t + 1) = 0 ⇔ t =± 3 (do t2
+ t + 1 > 0 ∀t)
⇔ tanx =± 3 ⇔ x = ±
3
π
+ kπ, k ∈Z
Ví dụ 9: Giải phươg trình: 2sin3
x = cosx (1)
Giải
Vì cosx = 0 không thỏa (1) nên (1) ⇔ 2
3
3 2
sin 1
cos cos
x
x x
=
⇔ 2tan3
x = 1 + tan2
x ⇔ 2tan3
x − tan2
x − 1 = 0
⇔ (tanx−1)(2tan2
x +2tanx +1) = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x =
4
π
+ kπ, k∈Z
Ví dụ 10: Giải phươg trình: 3tan2x − 3tanx −
5
2
= 0
Giải
Đk: cos2x ≠ 0, cosx ≠ 0
Ta có: 3tan2x − 3tanx −
5
2
= 0 ⇔ 3
sin 2
cos2
x
x
− 3
sin
cos
x
x
−
5
2
= 0
⇔ 6(sin2xcosx − sinxcos2x) − 5cos2xcosx = 0
⇔ 6sinx − 5(2cos2
x − 1)cosx = 0 ⇔ 6sinx + 5cosx − 10cos3
x = 0
⇔ 6tanx(1 + tan2
x) + 5(1 + tan2
x) − 10 = 0
⇔ 6tan3
x + 5tan2
x + 6tanx − 5 = 0
⇔ tanx =
1
2
= tanα ⇔ x = α + kπ, k∈Z
Ví dụ 11: Giải phương trình: sin3
(x −
4
π
) = 2 sinx
Giải
Ta có: sin3
(x −
4
π
) = 2 sinx ⇔
3
2 sin
4
x
π⎡ ⎤⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
= 4sinx
⇔ (sinx − cosx)3
= 4sinx (*)
Nếu cosx = 0 thì pt (*) vô nghiệm ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (*) ⇔ (tanx − 1)3
=4tanx(1 + tan2
x)
⇔ 3tan3
x + 3tan2
x + tanx − 1 = 0
⇔ tanx = 1 ⇔ x =
4
π
+ kπ, k∈Z
Phương trình lượng giác 15 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
27/ 1 tan x 2 2 sin x
4
π⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(A-13); 28/ 2
sin5 2cos 1x x+ = (B-13)
29/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 30/cos sin 2 0
2
x x
π⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
(CĐ-13)
31/ x 4 x 2 xsin cos sin2+ = + (A−14) 32/ ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = −
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1/ 2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 2/
sin2
2cos 0
1 sin
x
x
x
+ =
+
3/
1 1
2 2 cos
cos sin 4
x
x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
4/ 2 2 2
(2sin 1)tan 2 3(2cos 1) 0x x x− + − =
5/ 3 3
4 cos cos 3 4 sin sin 3 2x x x x+ = 6/
sin
cot 2
1 cos
x
x
x
+ =
+
7/ 2 2 7
sin .cos 4 sin 2 4 sin
4 2 2
x
x x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
8/ 6 6 8 8
sin cos 2(sin cos )x x x x+ = + ; 9/
1
cos .cos2 .cos4 .cos8
16
x x x x =
10/ 2
sin2 (cot tan2 ) 4 cosx x x x+ = ;
11/
1
2 tan cot2 2sin2
sin2
x x x
x
+ = +
12/ 2 2 2
sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = 13/ sin cos 2 4 0
6 3
x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
14/
3(sin tan )
2(1 cos ) 0
tan sin
x x
x
x x
+
− + =
−
15/ cos 3 .tan5 sin7x x x=
16/
4 4
sin cos 1
(tan cot2 )
sin2 2
x x
x x
x
+
= +
17/ 3 3 5 5
sin cos 2(sin cos )x x x x+ = + 18/
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
19/ 2 1 cos
tan
1 sin
x
x
x
+
=
−
20/
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
21/
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
; 22/
2
2 tan cot2 3
sin2
x x
x
+ = +

16. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 16 Phương trình lượng giác
23/
2
3 tan 3 cot2 2 tan
sin 4
x x x
x
+ = +
24/ sin sin2 sin 3 cos cos2 cos 3x x x x x x+ + = + +
25/ 2
(2sin 1)(3cos 4 2sin 4) 4 cos 3x x x x+ + − + =
26/ 3 3 2 3 2
cos 3 .cos sin 3 .sin
8
x x x x
+
− = (CT x 3 ngược)
27/
2 2
2 2(1 cos ) (1 cos ) 1
tan sin (1 sin ) tan
4(1 sin ) 2
x x
x x x x
x
− + +
− = + +
−
28/ Tìm các nghiệm trên khoảng ;3
3
π
π
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
của phương trình
5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ − − = +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
29/ Tìm các nghiệm trên khoảng 0;
2
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
của phương trình
2 2
sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )x x xπ− = +
Phương trình lượng giác 29 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
⇔ 4cos2
x + 3sinxcosx – sin2
x = 3(sin2
x + cos2
x)
⇔ cos2
x + 3sinxcosx – 4sin2
x = 0 (*)
Nếu cosx = 0 thì (*) ⇔ −4sin2
x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (*) ⇔ −4tan2
x + 3tanx + 1 = 0 ⇔
tan 1
1
tan tan
4
x
x α
=⎡
⎢
⎢ = − =
⎣
⇔ 4
x k
x k
π
π
α π
⎡
= +⎢
⎢
= +⎣
Ví dụ 6: Giải phương trình: 2
2 3 cos 6sin .cos 3 3x x x+ = + (1)
Giải
Cách 1: (1) 3(1 cos2 ) 3sin 2 3 3 cos2 3sin 2 3x x x x⇔ + + = + ⇔ + =
1 3 3 3
cos2 sin 2 cos(2 )
2 2 2 3 2
x x x
π
⇔ + = ⇔ − =
2 2
3 6 4 ,
2 2
3 6 12
x k x k
k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π
⎡ ⎡
− = + = +⎢ ⎢
⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢− = − + = +
⎢ ⎢⎣⎣
Cách 2: Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ 0 = 3 + 3 (vô nghiệm) ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (1) ⇔ 2 3 + 6tanx = (3 + 3 )(1 + tan2
x)
⇔ (3 + 3 )tan2
x − 6tanx + 3 − 3 = 0
tan 1
4 ,
tan 2 3 tan
12
12
x x k
k
x
x k
π
π
π
π
π
⎡
= = +⎡ ⎢
⎢⇔ ⇔ ∈⎢
⎢ = − = ⎢ = +⎣ ⎢⎣
Ví dụ 7: Giải phương trình: 9cos3
x − 5cosx + sin3
x = 0 (1)
Giải
Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên chia cả 2 vế của (1) cho cos3
x ta
được: tan3
x − 5(1 + tan2
x) + 9 = 0 ⇔ tan3
x − 5tanx + 4 = 0
⇔ (tanx − 1)(tan2
x − 4tanx − 4) = 0
Ví dụ 8: Giải phương trình:
5cos4
x +3cos3
xsinx +6cos2
xsin2
x −cosxsin3
x + sin4
x = 2 (1)
Giải
Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên
(1) ⇔ tan4
x - tan3
x + 6tan2
x + 3tanx + 5 = 2(1 + tan2
x)2
⇔ tan4
x - tan3
x + 6tan2
x + 3tanx + 5 = 2(1 + 2tan2
x + tan4
x)

17. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 28 Phương trình lượng giác
e/ Ta có: 1+ sin2x = 2(cos4
x + sin4
x) ⇔ 1+ sin2x = 2(1 −
1
2
sin2
2x)
⇔ sin2
2x + sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x =
1 5
2
− +
∨ sin2x =
1 5
2
− −
(VN)
⇔ sin2x = sinα, với sinα =
1 5
2
− +
⇔
2 2
2 2
x k
x k
α π
π α π
= +⎡
⎢ = − +⎣
⇔ 2
2
2 2
x k
x k
α
π
π α
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = − +
⎢⎣
, k∈Z
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + = (2)
Giải
Điều kiện: sin2x ≠ 0
Ta có:
cos sin 2
(2) 4sin 2
sin cos sin 2
x x
x
x x x
⇔ − + =
2 2
cos sin 2
4sin 2
sin .cos sin 2
x x
x
x x x
−
⇔ + =
2cos2 2
4sin 2
sin 2 sin 2
x
x
x x
⇔ + =
⇔ 2cos2x + 4sin2
2x = 2 ⇔ cos2x + 2(1 − cos2
2x) = 1
⇔ −2cos2
2x + cos2x + 1 = 0 ⇔ cos2x = −
1
2
∨ cos2x = 1 (loại)
⇔ 2x = ±
2
3
π
+ k2π ⇔ x = ±
3
π
+ kπ, k∈Z
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin2
x + 4sinx.cosx – 4cos2
x = 1
Giải
Ta có: 2sin2
x + 4sinx.cosx – 4cos2
x = 1
⇔ 2sin2
x + 4sinx.cosx – 4cos2
x = sin2
x + cos2
x
⇔ sin2
x + 4sinx.cosx – 5cos2
x = 0 (1)
Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ sin2
x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (1) ⇔ tan2
x + 4tanx − 5 = 0 ⇔
tan 1
tan 5 tan
x
x β
=⎡
⎢ = − =⎣
⇔ 4
x k
x k
π
π
β π
⎡
= +⎢
⎢
= +⎣
,k∈Z
Ví dụ 5: Giải phương trình: 4cos2
x + 3sinxcosx – sin2
x = 3
Giải
Ta có: 4cos2
x + 3sinxcosx – sin2
x = 3
Phương trình lượng giác 17 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH: asinx + bcosx = c (1) (a2
+ b2
≠ 0)
1. Cách giải: Chia cả 2 vế của pt cho 2 2
a b+ ta được:
2 2
a
a b+
sinx + 2 2
b
a b+
cosx = 2 2
c
a b+
⇔cosαsinx+sinαcosx= 2 2
c
a b+
(với cosα= 2 2
a
a b+
,sinα= 2 2
b
a b+
)
⇔ sin(x + α) = 2 2
c
a b+
(2)
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Pt (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm ⇔ 2 2
c
a b+
≤ 1 ⇔ a2
+ b2
≥ c2
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a/ cosx − sinx = −1 b/ sin2x − cos2x = −1
c/ sin2x + cos2x = 0 d/ sinx + 3 cosx = 1
e/ 3cos3x + 4cos3x = −3 f/ 3 sinx + cosx = −2
Giải
a/ Ta có: cosx − sinx = −1 ⇔ 2 cos(x +
4
π
) = −1 ⇔ cos(x +
4
π
) = −
1
2
⇔ cos(x+
4
π
) = cos
3
4
π
⇔
3
2
4 4
3
2
4 4
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
+ = +⎢
⎢
⎢ + = − +
⎢⎣
⇔
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
⎡
= +⎢
⎢
= − +⎣
, k∈Z
b/ Ta có: sin2x −cos2x = −1 ⇔ 2 sin(2x−
4
π
)=−1 ⇔sin(2x−
4
π
) = −
1
2
⇔
2 2
4 4
5
2 2
4 4
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
− = − +⎢
⎢
⎢ − = +
⎢⎣
⇔ 3
4
x k
x k
π
π
π
=⎡
⎢
⎢ = +
⎣
, k∈Z
Cácch khác: sin2x −cos2x = −1 ⇔ sin2x + 1 −cos2x = 0
⇔ 2sinxcosx + 2sin2
x = 0 ⇔ 2sinx(cosx + sinx) = 0
⇔ sinx = 0 ∨ cosx + sinx = 0
sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z

18. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 18 Phương trình lượng giác
cosx + sinx = 0 ⇔ sinx = −cosx ⇔ tanx= −1 ⇔x = −
4
π
+kπ, k∈Z
c/ Ta có: sin2x + cos2x = 0 ⇔ 2 sin(2x +
4
π
) = 0 ⇔ sin(2x +
4
π
) = 0
⇔ 2x +
4
π
= kπ ⇔ x = −
8
π
+ k
2
π
, k∈Z
Cácch khác: sin2x + cos2x = 0 ⇔ sin2x = −cos2x
⇔ tan2x = −1 ⇔ 2x = −
4
π
+ kπ ⇔ x = −
8
π
+ k
2
π
, k∈Z
d/ Ta có: sinx + 3 cosx = 1 ⇔
1
2
sinx +
3
2
cosx =
1
2
⇔ sinxcos
3
π
+ sin
3
π
cosx =
1
2
⇔ sin(x +
3
π
) = sin
6
π
⇔
2
3 6
5
2
3 6
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
+ = +⎢
⎢
⎢ + = +
⎢⎣
⇔
2
6
2
2
x k
x k
π
π
π
π
⎡
= − +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
e/ Ta có: 3cos3x + 4cos3x = −3 ⇔
3
5
cos3x +
4
5
sin3x = −
3
5
⇔ cos3xcosα + sin3xsinα = −cosα, với cosα =
3
5
, sinα =
4
5
⇔ cos(3x − α) = cos(π − α)
⇔
3 2
3 2
x k
x k
α π α π
α π α π
− = − +⎡
⎢ − = − + +⎣
⇔
2
3 3
2 2
3 3 3
x k
x k
π π
π α π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = − + +
⎢⎣
, k∈Z
f/ Ta có: 3 sinx + cosx = −2 ⇔
3
2
sinx +
1
2
cosx = −1
⇔ sinxcos
6
π
+ sin
6
π
cosx = −1 ⇔ sin(x +
6
π
) = −1
⇔ x +
6
π
= −
2
π
+ k2π ⇔ x = −
2
3
π
+ k2π, k∈Z
Ví dụ 2: Cho phương trình sinx + mcosx = 1
a/ Giải pt khi m = − 3 . b/ Tìm m để phương trình vô nghiệm
Giải
Phương trình lượng giác 27 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
sinx =
2
1
⇔ )(
2
6
5
2
6
Zk
kx
kx
∈
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+=
π
π
π
π
d/ Ta có:tan4
x + 4tan2
x − 5 = 0 ⇔ tan2
x = 1 ∨ tan2
x = −5 (vô nghiệm)
⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ±
4
π
+ kπ, k∈Z
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a/ 2cos2
x − 3cosx + 1 = 0 b/ 5sin2
x − 4sinx + 1 = 0
c/ cos2x − 3cosx − 4 = 0; d/ cos4x + 3sin2x = 2
e/ 1+ sin2x = 2(cos4
x + sin4
x)
Giải
a/ Ta có: 2cos2
x − 3cosx + 1 = 0
2cos 1
,1
2cos
32
x kx
k
x kx
π
π
π
== ⎡⎡
⎢⎢⇔ ⇔ ∈
⎢⎢ = ± +=
⎣ ⎣
b/ Ta có: 5sin2
x − 4sinx + 1 = 0 ⇔ sinx = 1 ∨ sinx = −
1
5
sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π, k∈Z
sinx = −
1
5
= sinα ⇔ x = α + k2π ∨ x = π − α + k2π, k∈Z
c/ Ta có: cos2x − 3cosx − 4 = 0 ⇔ 2cos2
x − 3cosx − 5 = 0
⇔ cosx = −1 ∨ cosx =
5
2
(vô nghiệm)
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π, k∈Z
d/ Ta có: cos4x + 3sin2x = 2 ⇔ 1 − 2sin2
2x + 3sin2x − 2 = 0
⇔ −2sin2
2x + 3sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x = 1 ∨ sin2x =
1
2
sin2x = 1 ⇔ 2x =
2
π
+ k2π ⇔ x =
4
π
+ kπ, k∈Z
sin2x =
1
2
⇔
2 2
6 12 ,
5 5
2 2
6 12
x k x k
k
x k x k
π π
π π
π π
π π
⎡ ⎡
= + = +⎢ ⎢
⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢= + = +
⎢ ⎢⎣⎣

19. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 26 Phương trình lượng giác
Vấn đề 4: ĐẠI SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1/ Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: af2
(x) +bf(x) +c= 0 (a≠0); af3
(x)+bf2
(x) +cf(x) +d = 0 (a ≠0); …
Trong đó f(x) là một trong các hàm số sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t=sinx, đk:|t| ≤1 hoặc t=cosx, đk:|t|≤1 hoặc t=tanx hoặc
t=cotx
2/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Một pt chỉ chứa sinx và cosx gọi là pt đẳng cấp theo sinx và cosx
nếu các đơn thức chứa trong pt có cùng bậc chẵn hoặc cùng bậc lẻ. Khi
đó, ta xét cosx=0 (hoặc sinx = 0) có thỏa pt hay không, nếu thỏa thì ta
ghi nhận nghiệm này; sau đó xét cosx ≠ 0 (hoặc sinx ≠ 0), chia 2 vế của
phương trình cho cosk
x (hoặc sink
x) (với pt bậc k) và đưa pt đã cho về
pt theo tanx (hoặc cotx).
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a/ 2sin2
x – 5sinx – 3 = 0 b/ cot2
2x – 4cot2x -3 = 0
c/ 2cos2
x +3sinx - 3 = 0 d/ tan4
x + 4tan2
x - 5 = 0
Giải
a/ Ta có: 2sin2
x – 5sinx – 3 = 0 ⇔ sinx = −
1
2
∨ sinx = 3 (vô nghiệm)
sinx = −
1
2
⇔ x = −
6
π
+ k2π ∨ x =
7
6
π
+ k2π, k∈Z
b/ Ta có: cot2
2x – 4cot2x − 3 = 0⇔
cot 2 1
cot 2 3
x
x
=⎡
⎢ =⎣
⇔
cot 2 1
cot 2 cot
x
x α
=⎡
⎢ =⎣
, với cotα = 3 ⇔
2
4
2
x k
x k
π
π
α π
⎡
= +⎢
⎢
= +⎣
⇔ 8 2
2 2
x k
x k
π π
α π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
c/ Ta có: 2cos2
x +3sinx − 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin2
x) + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2 – 2sin2
x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin2
x – 3sinx + 1 = 0
⇔ sinx = 1 ∨ sinx =
1
2
sinx = 1 ⇔ x = )(2
2
Zkk ∈+ π
π
Phương trình lượng giác 19 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
a/ Khi m = − 3 , ta có pt sinx − 3 cosx = 1 ⇔
1
2
sinx −
3
2
cosx =
1
2
⇔ sinx.cos
3
π
−sin
3
π
.cosx =
1
2
⇔ sin(x −
3
π
) = sin
6
π
⇔
2
2
7
2
6
x k
x k
π
π
π
π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
b/ Pt đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m2
+ 1 < 1 ⇔ m2
< 0 ⇔ m∈∅
Vậy không có giá trị nào của m để pt đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ cos2
x + 2 3 sinxcosx + 3sin2
x = 1
b/ cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x
Giải
a/ Ta có: cos2
x + 2 3 sinxcosx + 3sin2
x = 1
⇔ cos2
x + 3 sin2x + 3sin2
x = sin2
x + cos2
x
⇔ 3 sin2x +2sin2
x =0 ⇔ 3 sìn2x −cos2x = −1
⇔
3
2
sin2x−
1
2
cos2x =−
1
2
⇔ sin2xcos
6
π
− sin
6
π
cos2x = −
1
2
⇔ sin(2x −
6
π
) = sin(−
6
π
)
⇔
2 2
6 6
7
2 2
6 6
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
− = − +⎢
⎢
⎢ − = +
⎢⎣
⇔ 2
3
x k
x k
π
π
π
=⎡
⎢
⎢ = +
⎣
, k∈Z
b/ Ta có: cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x
⇔ cos7x.cos5x + sin7x.sin5x – 3 sin2x = 1
⇔ cos2x – 3 sin2x = 1 ⇔
1
2
cos2x –
3
2
sin2x =
1
2
⇔ cos2xcos
3
π
− sin
3
π
sin2x =
1
2
⇔ cos(2x +
3
π
) = cos
3
π
⇔
2 2
3 3
2 2
3 3
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
+ = +⎢
⎢
⎢ + = − +
⎢⎣
⇔
3
x k
x k
π
π
π
=⎡
⎢
⎢ = − +
⎣
, k∈Z

20. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 20 Phương trình lượng giác
Ví dụ 4: Tìm x∈
2 6
;
5 7
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
thỏa phương trình: cos7x − 3 sin7x = – 2
Giải
Ta có: cos7x − 3 sin7x = – 2 ⇔
1
2
cos7x −
3
2
sin7x = −
2
2
⇔ cos7x cos
3
π
− sin
3
π
sin7x = −
2
2
⇔ cos(7x +
3
π
) = cos
3
4
π
⇔
3
7 2
3 4
3
7 2
3 4
x k
x k
π π
π
π π
π
⎡
+ = +⎢
⎢
⎢ + = − +
⎢⎣
⇔
5 2
84 7
13 2
84 7
x k
x k
π π
π π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = − +
⎢⎣
, k∈Z
Do x∈
2 6
;
5 7
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
nên ta có các nghiệm là: x1 =
53
84
π
, x2 =
59
84
π
, x3 =
5
12
π
.
Ví dụ 5: Giải pt: sin8x −cos6x = 3 (sin6x + cos8x) (1)
Giải
Ta có: (1) ⇔ sin8x − 3 cos8x = 3 sin6x + cos6x
⇔
1
2
sin8x −
3
2
cos8x =
3
2
sin6x +
1
2
cos6x
⇔ sin8xcos
3
π
−sin
3
π
cos8x = sin6xcos
6
π
+ sin
6
π
cos6x
⇔ sin(8x −
3
π
) = sin(6x +
6
π
)
⇔
8 6 2
3 6
5
8 6 2
3 6
x x k
x x k
π π
π
π π
π
⎡
− = + +⎢
⎢
⎢ − = − + +
⎢⎣
⇔ 4
12 7
x k
x k
π
π
π π
⎡
= +⎢
⎢
⎢ = +
⎢⎣
, k∈Z
Ví dụ 6: Tìm x sao cho y =
1 sin
2 cos
x
x
+
+
là số nguyên
Giải
TXĐ: D = R
Trước hết ta tìm miền giá trị của y, tức là tìm y sao cho pt
1 sin
2 cos
x
x
+
+
= y
có nghiệm x∈R
Phương trình lượng giác 25 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
cos 5x- os2x
6
c
π⎛ ⎞
⇔ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2
5 2
6 3 30 5
2
5 2
6 3 10 5
k
x k x
k Z
k
x k x
π π π π
π
π π π π
π
⎡ ⎡
− = − + = − +⎢ ⎢
⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢− = + = +
⎢ ⎢⎣ ⎣
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1/ 2sin 2cos 2 0x x− + = 2/ 3sin 3 cos 3x x+ = −
3 5 sinx 2cos 4x+ = 4/ os7 3sin 7 2c x x+ =
5/ 2 sinx cos 3x− = 6/ 3sin 2 4cos2 5x x+ =
7/ 5cos2 12sin 2 13x x− = 8/ sin5 os5 2 sinxx c x+ =
9/ sin 7 3 cos7 2x x+ = 10/ 3 cos sin 2x x+ =
11/ 5 2 12 2 13cos sin− =x x 12/ 2 5 4sin cos− =x x
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1/ 2
(sin 1)(1 cos ) cosx x x− + = 2/sin 2 3 sin( 2 ) 1
2
x x
π
π
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + − =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
3/ sin 2 sin5 cosx x x= − 4/sin2 cos2 2 sin 3x x x+ =
5/ 4 4
2(cos sin ) cos sinx x x x− = + 6/ 2
2sin 3 sin2 3x x+ =
7/ sin cos 2 2 sin cosx x x x+ = 8/ 3sin 3 3 cosx x= −
9/ sin 8 cos6 3(sin6 cos 8 )x x x x− = +
10/ cos3 sin 3(cos sin 3 )x x x x− = − ; 11/ 4 4 1
sin cos ( )
4 4
x x
π
+ + =
11/ + 3
3sin 3 3 cos9 1 4 sinx x x− = ; 12/ 2cos2 6(cos sin )x x x= −
13/(1 3)sin (1 3)cos 2x x+ + − = ; 14/ (2cos 1)(sin cos ) 1x x x− + =
15/ 9sin 6cos 3sin2 cos2 8x x x x+ − + =
16/ 2
(sin2 3 cos2 ) 5 cos 2
6
x x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − = −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
17/ 4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = ; 18/ 3 3 1
1 sin cos sin 4
2
x x x+ + =
19/ 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + ; 20/ 2cos 3 3 sin cos 0x x x+ + =
21/ Tìm nghiệm x∈(0;π) của pt 2 2 3
4 sin 3 cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = + −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

21. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 24 Phương trình lượng giác
⇔ sin2xcosα + sinαcos2x = 1 với cosα =
4
5
, sinα =
3
5
⇔ sin(2x + α) = 1 ⇔ 2x + α =
2
π
+ k2π ⇔ x =
4
π
−
2
α
+ kπ, k∈Z
b/ 6 63
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = + ⇔
3 5 3
1 sin 4 os4x
8 8 8
x c+ = +
cos4x-sin4x=1 2 os 4x+ 1
4
c
π⎛ ⎞
⇔ ⇔ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
os 4x+
4 2
c
π⎛ ⎞
⇔ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
4x+ 2
24 4
4x+ 2
8 24 4
x kk
k Z
x kk
ππ π
π
π ππ π
π
⎡⎡
== + ⎢⎢
⇔ ⇔ ∈⎢⎢
⎢⎢ = − += − +
⎢⎢⎣ ⎣
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau :
a/ ( )os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c b/ 3
3sin3 3 os9x=1+4sin 3x c x−
c/. 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c
Giải
a/ ( )os7x-sin5x= 3 os5x-sin7x os7x+ 3sin 7 3 os5x+sin5xc c c x c⇔ =
1 3 3 1
os7x+ sin 7 os5x+ sin5x cos 7x+ os 5x-
2 2 2 2 3 6
c x c c
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
7 5 2 2 2
3 6 2 4
12 27 5 2
6 72 63 6
x x k x k x k
k Z
k
x k xx x k
π π π π
π π π
π π ππ π
ππ
⎡ ⎡ ⎡
+ = − + = − + = − +⎢ ⎢ ⎢
⇔ ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢= − + = − ++ = − + +
⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣⎣
b/ 3
3sin3 3 os9x=1+4sin 3x c x− ⇔ 3
3sin3 4sin 3 3 os9x=1x x c− +
1 3 1
sin9 3 os9x=1 sin9 os9x=
2 2 2
x c x c⇔ + ⇔ + ⇔ os 9x- = os
6 3
c c
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ ( )
2
9x- 2
6 3 18 9
2
9x- 2
6 3 27 9
k
k x
k Z
k
k x
π π π π
π
π π π π
π
⎡ ⎡
= = +⎢ ⎢
⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢= − + = − +
⎢ ⎢⎣ ⎣
c/
3 1
3 os5x+sin5x-2cos2x=0 os5x+ sin5x=cos2x
2 2
c c⇔
Phương trình lượng giác 21 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Ta có
1 sin
2 cos
x
x
+
+
= y ⇔ 1 + sinx = y(2 + cosx)
⇔ sinx − ycosx = 2y −1 (2)
Pt (2) có nghiệm x∈R ⇔ 1 + (−y)2
≥ (2y − 1)2
⇔ 3y2
− 4y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤
4
3
⇒ y nhận giá trị nguyên là y = 0, y = 1
Với y = 0 thì (2) ⇔ sinx = −1 ⇔ x = −
2
π
+ k2π
Với y = 1 thì (2) ⇔ sinx − cosx = 1 ⇔ 2 sin(x −
4
π
) = 1
⇔ sin(x −
4
π
) =
1
2
= sin
4
π
⇔
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
⎡
= +⎢
⎢
= +⎣
Tóm lại với x =±
2
π
+k2π ∨ x =π +k2π thì y =
1 sin
2 cos
x
x
+
+
là số nguyên
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau :
a/
2
sin os 3 osx=2
2 2
x x
c c
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
b/
( )
( )( )
1 2sin osx
3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
c/ ( )3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
d/ 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c
Giải
a/
2
1 3 1
sin os 3 osx=2 1+sinx+ 3 osx=2 sinx+ osx=
2 2 2 2 2
x x
c c c c
⎛ ⎞
+ + ⇔ ⇔⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2 2
3 6 6
sin sin
53 6
2 2
3 6 2
x k x k
x k Z
x k x k
π π π
π π
π π
π π π
π π
⎡ ⎡
+ = + = − +⎢ ⎢⎛ ⎞
⇔ + = ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢ ⎢+ = + = +
⎢ ⎢⎣⎣
b/
( )
( )( )
1 2sin osx
3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
. Điều kiện :
1
sinx -
2
sinx 1
⎧
≠⎪
⎨
⎪ ≠⎩
Khi đó:
( )
( )( )
21 2sin osx
3 osx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin
1 2sin 1 sinx
x c
c x
x
−
= ⇔
+ −

22. GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 22 Phương trình lượng giác
osx-sinx=sin2x+cos2x 2 os 2x- 2 os
4 4
c c c x
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ ⇔ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
22 2
24 4
2
2 2
34 4
x kx x k
k Z
k
xx x k
ππ π
ππ
ππ π
π
⎡⎡
= +− = + + ⎢⎢
⇔ ⇔ ∈⎢⎢
⎢⎢ =− = − − +
⎢⎢⎣ ⎣
c/ ( )3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
⇔ sinx(1 − 2sin2
x) + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x
⇔ sinxcos2x + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x
⇔ sin3x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔
1 3
sin3 os3x=cos4x
2 2
x c+
⇔ cos4x = sin
6
π
sin3x + cos
6
π
cos3x ⇔ cos4x = cos(3x −
6
π
)
( )
4 3 2 2
6 6
2
4 3 2
6 42 7
x x k x k
k Z
k
x x k x
π π
π π
π π π
π
⎡ ⎡
= − + = − +⎢ ⎢
⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢= − + + = +
⎢ ⎢⎣ ⎣
d/ ( )3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0 3 os5x- sin5x+sinx sinx=0c c⇔ −
3 1
3 os5x-sin5x=2sinx os5x- sin5 sinx
2 2
c c x⇔ ⇔ =
⇔ cos
6
π
cos5x − sin
6
π
sin5x = sinx ⇔ cos(5x +
6
π
) = cos(
2
π
− x)
( )
5 2
6 2 18 3
5 2
6 2 6 2
k
x x k x
k Z
k
x x k x
π π π π
π
π π π π
π
⎡ ⎡
+ = − + = +⎢ ⎢
⇔ ⇒ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢+ = − + = − +
⎢ ⎢⎣ ⎣
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau :
a/ ( )4 4
4 sin os 3sin 4 2x c x x+ + = b/ 4 4
sin os 2 3sinxcosx+1x c x− =
c/ ( )cos2 3sin 2 2 sinx+cosxx x= +
Giải
a/ ( )4 4 3 1
4 sin os 3sin 4 2 4( cos4 ) 3sin 4 2
4 4
x c x x x x+ + = ⇔ + + =
Phương trình lượng giác 23 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
⇔ cos4x + 3 sin4x = −1 ⇔
1 3 1
os4x+ sin 4
2 2 2
c x = −
⇔ cos
3
π
cos4x + sin
3
π
sin4x = −
1
2
⇔ cos(4x −
3
π
) = cos
2
3
π
( )
2
4 2
3 3 4 2
2
4 2
3 3 12 2
k
x k x
k Z
k
x k x
π π π π
π
π π π π
π
⎡ ⎡
− = + = +⎢ ⎢
⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢
⎢ ⎢− = − + = − +
⎢ ⎢⎣⎣
b/ 4 4
sin os 2 3sinxcosx+1 cos2x+ 3sin 2 1x c x x− = ⇔ = −
1 3
os2x+ sin 2 1 os 2x- 1
2 2 3
c x c
π⎛ ⎞
⇔ = − ⇔ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 2
3 3
x k x k
π π
π π π⇔ − = + ⇒ = + , k∈Z
c/ ( )cos2 3sin 2 2 sinx+cosx os2x- 3sin 2 2sin
4
x x c x x
π⎛ ⎞
= + ⇔ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3
os2x- sin 2 sin
2 2 4
c x x
π⎛ ⎞
⇔ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ cos2xcos
3
π
−sin
3
π
sin2x = sin(x +
4
π
) ⇔cos(2x +
3
π
) = cos(
4
π
−x)
⇔
2 2
3 4
2 2
3 4
x x k
x x k
π π
π
π π
π
⎡
+ = − +⎢
⎢
⎢ + = − + +
⎢⎣
⇔
2
36 3
7
2
12
x k
x k
π π
π
π
⎡
= − +⎢
⎢
⎢ = − +
⎢⎣
, k∈Z
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau :
a/ 3
2sin 4 16sin . osx 3cos2 5x x c x+ + = b/ 6 63
1 sin 4 os sin
8
x c x x+ = +
Giải
a/ 3
2sin 4 16sin . osx 3cos2 5x x c x+ + = (1)
Ta có: 16sin3
xcosx = 2sinxcosx.8sin2
x = 4sin2x(1 − cos2x)
= 4sin2x − 2sin4x
Ta có (1): ⇔ 2sin 4 4sin 2 2sin 4 +3cos2x=5x x x+ −
4sin2x.+3cos2x=5⇔ ⇔
4 3
sin 2 os2x=1
5 5
x c+