Detalle del diagrama de bode

1. REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1. ¿Qué son?
• Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal.
• Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño.
2. Diagrama de Bode
Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw)
en dos gráficos conocidos como:
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] FasedeDiagramar/swv/sH(jw)/
MagnituddeDiagramar/swv/sH(jw)log20dBH(jw)
====






Unidades
Cantidad Unidad Observación
Magnitud decibeles [dB] 20log|H(jw)|
Fase Grados [º] 0[º] a 360[º]
Frecuencia radianes/segundo [r/s] 1 radian = 180 / π [º]
Escalas
Cantidad Escala Observación
Magnitud lineal Se marca cada 20 [dB]
Fase lineal Se marca cada 90 [º]
Frecuencia logarítmica En decadas [dec]
Década, corresponde al rango entre w1 y su múltiplo 10w1.

2. 3. Factores canónicos
Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa
en producto de los siguientes factores canónicos:
[B1] K Ganancia Bode a frecuencia cero.
[B2] (1+jw/wo)q
Factor simple
[B3] (jw)q
Factor cero
[B4] [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2
]q
Factor cuadrático
[B5] e-jwτ
τ0 Factor retardo
Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos.
• Considerar la función:
12
2
2
2
−−−−++++++++++++++++====
++++++++++++
++++
====
++++++++++++
++++
====
))
jw
()
2
jw
(*0.25*2(11-jw)(11-(jw)jw/2)(1)0.1jw-e(*3H(jw)
))
jw
()
2
jw
(*0.25*2(1jw)(1(jw)
)w/2j(1)0.1jw-e(*3
H(jw)
:comoescribirsepuedeEntonces
4)jw2((jw)1)(jw(jw)
2)(jw0.1jw-e6
H(jw)

3. 5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos.
• [B1] F(jw) = K
Magnitud
|F(jw)|[dB]= |K|[dB] = 20 log |K| es una recta horizontal
Fase
/F(jw) = /K =



≥≥≥≥
0K180-
0K
o
0
es una recta horizontal
Obs. MATLAB prefiere +180[o
]
/F(jw)| [o
]
0o
-90o
- 180o
10-1
10-0
10+1
w
K≥0
K0
|F(jw)|[dB]
+20
20log|K|
0
- 20
10-1
10-0
10+1
w

4. • [B2] F(jw) = (1+ jw/wo)q
, q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10 * log (1 + (w/wo)2
) [dB] q = -1
Fase
/F(jw) = q * arctan (w/wo) [o
] q = -1
/F(jw)| [o
]
0o
-45o
- 90o
10-1
10-0
10+1
w/wo
|F(jw)|[dB]
0
-10
- 20
10-1
10-0
10+1
w/wo

5. • [B3] F(jw) = (jw)q
, q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 20 * log |w| [dB]
Es una recta con pendiente 20*q [dB/decada]
q = -1
Fase
/F(jw) = q * 90 [o
] q = -1
/F(jw)| [o
]
0o
-45o
- 90o
-135o
10-1
10-0
10+1
w
|F(jw)|[dB]
+20
0
- 20
10-1
10-0
10+1
w

6. • [B4] F(jw) = [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2
]q
q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10* log ( (1- (w/wn)2
)2
+ 4ξ2
(w/wn)2
)
Para todo w wn q = -1 (ξ aumenta )
Fase
/F(jw) =









∀∀∀∀
ξξξξ
++++
∀∀∀∀
ξξξξ
nww)
2
nw-2w
nww2
arctan(*qq*90
nww)
2w-2
nw
nww2
(arctan*q
(ξ aumenta )
/F(jw)| [o
]
0o
-45o
- 90o
-135o
-180o
10-1
10-0
10+1
w/wn
ξ
10-1
10-0
10+1
w/wn
|F(jw)|[dB]
0
-20
- 40
ξ

7. • [B5] F(jw) = e-jwτ
τ0
Magnitud
|F(jw)|[dB]= 0
Fase
/F(jw) = -w τ
/F(jw)| [o
]
0o
-300o
- 600o
10-1
10-0
10+1
wτ

8. 6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado.
• Escriba H(jw) como producto de factores canónicos
• Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos
• Dibujar los diagramas
I) Diagrama de Magnitud
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década])
• Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|).
Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas
II) Diagrama de Fase
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de fase. (Pendiente = 45[o
/ década]).
• Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [o
] cuando
existe el factor (jw)q
. Esta operación es equivalente a renumerar
el eje de ordenadas.
• Si K0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [o
]
III) Verificación
• Verifique que su resultado satisface las aproximaciones
asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy
bajas (w → 0) y para frecuencias muy altas (w → ∞).

9. 7. Ejemplo de Diagrama de Bode
Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su
respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode.
4)-(s8)(ss
1)(s2)-(s8
H(s)
++++
++++
====
a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego
escribir H(jw) como el producto de factores canónicos.
H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw)-1
(1+jw/8)-1
(1-jw/4)-1
F1 F2 F3 F4 F5 F6
b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase):
Factores PQ 1 PQ 2
F1 - -
F2 0,2 20
F3 0,1 10
F4 - -
F5 0,8 80
F6 0,4 40
Tabla 1. Rango de frecuencias
El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ].
c) Diagrama de Magnitud
•••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
PQ (-∞ ; 1] ( 1 ; 2] ( 2 ; 4] ( 4 ; 8] ( 8 ; +∞]
F1 - - - - - -
F2 2 0 0 1 1 1
F3 1 0 1 1 1 1
F4 1 -1 -1 -1 -1 -1
F5 8 0 0 0 0 -1
F6 4 0 0 0 -1 -1
Sumar pendientes -1 0 1 0 -1
Tabla 2. Contribución de pendientes

10. • El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en
20 log (0,5) = - 6 [dB].
Figura 1. Diagrama de Magnitud
d) Diagrama de Fase
•••• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
PQ (-∞;0,1] (0,1;0,2] (0,2;0,4] (0,4;0,8] (0,8;10] (10;20] (20;40] (40;80] ( 80;+∞]
F1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F2 2 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0
F3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0
F4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F5 8 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0
F6 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0
Suma 0 1 0 1 0 -1 0 -1 0
Tabla 2. Contribución de pendientes
• El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en
-90[o
].
10-2
10-1
10o
2 4 8 101
102
w
| |dB
40
30
20
10
-6
-10
-20
-30
-40

11. Figura 2. Diagrama de Fase
El programa MATLAB dispone del comando “bode” para calcular y
dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande
la función en polinomios tanto el numerador como el denominador.
032s-24s3s
16-8s-28s
H(s)
++++++++
====
Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB:
H = tf ( [ 8 -8 -16] , [ 1 4 -32 0] );
bode (H);
10-2
10-1
.2 .4 .8 10o
2 4 8 101
20 40 80 102
w
/_[o
]
90
45
-45
-90