001 electrotecnia

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
“ MATERIAL DE APOYO DIDÁCTICO A LA ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE ELECTROTECNIA
CIV-270 ”
Proyecto de Grado, Por Adscripción, Presentado Para Optar al
Diploma Académico de
LICENCIADO EN INGENIERÍA CIVIL .
PRESENTADO POR:
ALBERTO ALEX RIVAS FERRUFINO
FRED PABLO LOBATON SEVERICH
TUTOR : Ing. Msc. Alberto Arispe Santander
Cochabamba – Bolivia
Marzo 2007

DEDICACIÓN
Dedico este trabajo:
• A mi mamá Adriana. Ferrufino Vda. De
Rivas
• A mi hermano y flia. Jaime y Mirtha.
• A mi hijita Brenda Rivas
• A mi enamorada Ximena Quiñones

Alex
AGRADECIMIENTOS
Gracias principalmente a Dios por
darme la vida para poder llegar a esta
etapa y poder concluir con un anhelo
que son mis estudios, aunque muy
consiente de que esto es el final de una
carrera pero no del estudio mismo.
Gracias por traer a este
mundo a seres tan queridos y amorosos,
ya que sin su ayuda esto no se haría
realidad.
Gracias Dios Mío
Gracias a mis queridos papas Adriana y
Alberto (+) por traerme a este mundo.
Gracias a mi enamorada Ximena por
estar a
mi lado, ayudarme, entenderme y tener
paciencia, aún en los momentos más
difíciles .
Gracia a mi hermano Jaime y mi cuñada
Mirtha por colaborarme sin ningún
interés.
Gracias a mis Docentes por enseñarme
y a mis compañeros por compartir
conmigo.
Gracias a mi tutor Ing. Alberto Arispe
Santander
por su tiempo y dedicación.
Gracias a mis tribunales Ing. Walter
Cossio,

Ing. Raúl Catari y al Ing. Fernando
Choque
Gracias al Ing. Julio Medina por su
colaboración.
Finalmente gracias a todas las personas
que me ayudaron a llegar a esta etapa
final de mi carrera y al principio de un
nuevo reto.
¡Muchas Gracias!
Alex

DEDICATORIA
Este trabajo lo dedico
a:
Mi hijita Keyleen Sara,
por ser la personita que me
impulsa e inspira a seguir
adelante y ser mejor.

Fred Pablo.
AGRADECIMIENTOS
A Dios por darme la vida y
fortalecerme espiritual y
moralmente logrando llegar a esta
etapa tan importante de mi vida.
Por haberme dado la gracia
de la sabiduría y cumplir el
sueño y anhelo de ser
profesional.
A mis padres Costa y Paulino
por el amor, apoyo y dedicación
que me brindan.
A mis suegros José y Lourdes
por el apoyo, amistad y cariño
incondicional que me ofrecen.
A mi esposa Yhamel que
siempre me apoyo, con cariño y
dedicación, en los momentos mas
difíciles dándome el aliento y la
fuerza para seguir adelante.
A mis hermanas Soledad, Melvi y
en especial a Blanca que siempre
me apoyaron en todo lo que
pudieron.
A mis cuñados por ser amigos
y brindarme su apoyo en todo
momento.

A mis docentes por haberme
forjado con dedicación esmero y
mucha paciencia.
A la Universidad Mayor de
San Simón por acogerme en sus
aulas dándome la oportunidad de
superación.
A mi tutor Ing. MSc.
Alberto Arispe Santander por
haber confiado en mí para
realizar este trabajo,
transmitiéndome toda su
experiencia y sabiduría con mucha
paciencia y comprensión.
¡Muchas Gracias!
Fred Pablo.

AGRADECIMIENTOS
Gracias principalmente a Dios por
darme la vida para poder llegar a esta
etapa y poder concluir con un anhelo
que son mis estudios, aunque muy
consiente de que esto es el final de una
carrera pero no del estudio mismo.
Gracias por traer a este
mundo a seres tan queridos y amorosos,
ya que sin su ayuda esto no se haría
realidad.
Gracias Dios Mío
Gracias a mis queridos papas Adriana y
Alberto (+) por traerme a este mundo.
Gracias a mi enamorada Ximena por
estar a
mi lado, ayudarme, entenderme y tener
paciencia, aún en los momentos más
difíciles .
Gracia a mi hermano Jaime y mi cuñada
Mirtha por colaborarme sin ningún
interés.
Gracias a mis Docentes por enseñarme
y a mis compañeros por compartir
conmigo.
Gracias a mi tutor Ing. Alberto Arispe
Santander
por su tiempo y dedicación.
Gracias a mis tribunales Ing. Walter
Cossio,

AGRADECIMIENTOS
A Dios por darme la vida y
fortalecerme espiritual y
moralmente logrando llegar a esta
etapa tan importante de mi vida.
Por haberme dado la gracia
de la sabiduría y cumplir el
sueño y anhelo de ser
profesional.
A mis padres Costa y Paulino
por el amor, apoyo y dedicación
que me brindan.
A mis suegros José y Lourdes
por el apoyo, amistad y cariño
incondicional que me ofrecen.
A mi esposa Yhamel que
siempre me apoyo, con cariño y
dedicación, en los momentos mas
difíciles dándome el aliento y la
fuerza para seguir adelante.
A mis hermanas Soledad, Melvi y
en especial a Blanca que siempre
me apoyaron en todo lo que
pudieron.
A mis cuñados por ser amigos
y brindarme su apoyo en todo
momento.
A mis docentes por haberme
forjado con dedicación esmero y
mucha paciencia.

A la Universidad Mayor de
San Simón por acogerme en sus
aulas dándome la oportunidad de
superación.
A mi tutor Ing. MSc.
Alberto Arispe Santander por
haber confiado en mí para
realizar este trabajo,
transmitiéndome toda su
experiencia y sabiduría con mucha
paciencia y comprensión.
¡Muchas Gracias!
Fred Pablo.

FICHA RESUMEN
El presente trabajo por Adscripción, logró el propósito de elaborar el texto oficial de
la Materia Electrotecnia CIV - 270, del Departamento de Ingeniería Civil de la Facultad de
Ciencias y Tecnología de la Universidad Mayor de San Simón. El contenido del texto se
basa en los contenidos mínimos aprobados para la materia y fue definido por el docente
titular de la materia.
La carrera de Ingeniería Civil, empeñada en modernizar sus sistemas de enseñanza
aprendizaje establece como prioridad la aplicación de nuevas metodologías en los que el
estudiante sea el elemento central del proceso, de manera que se puedan mejorar sus
actitudes respecto a la solución de problemas reales. Es decir cambiar el enfoque tradicional
de enseñanza – aprendizaje a un enfoque problemático. En tal sentido establece como
estrategia el Desarrollo de Instrumentos Académicos (Textos, Programas computacionales,
Información de Internet, etc.), que serán preparados por estudiantes egresados dentro el
programa de Titilación por Adscripción, para ser implementado en la asignatura.
El presente trabajo realizado tiene por objetivo general, mejorar la enseñanza en
cuanto al aprendizaje de los estudiantes que estén cursando la materia ya que en seis
capítulos ampliamente descritos se podría tener un mejor conocimiento de los temas que en
el desarrollo de dicho trabajo se va mencionando.
La descripción de cada capitulo de este trabajo es claro y sencillo de comprender, puesto
que la bibliografía que se obtuvo son de libros bastante conocidos y de muy buen
antecedente bibliográfico, en algunos casos los datos se sacaron de Internet, es por eso que
la bibliografía que se tiene en este trabajo es de una calificada fuente bibliográfica.
El trabajo está complementado por un archivo presentado en PowerPoint para
ampliar y desarrollar los conocimientos que el docente de dicha materia enseña a sus
alumnos.
Y por ultimo la realización de dicho trabajo tiene un desarrollo general, claro y muy
detalladamente explicado con relación a los siguientes temas: Introducción a la tecnología
de la electricidad, circuitos de corriente continua, circuitos de corriente alterna,
instalaciones eléctricas, maquinas eléctricas y energía eléctrica. Los cuales son claramente
explicados en cada capitulo de este trabajo.

APOYO DIDÁCTICO PARA ELECTROTECNIA
UMSS CIV - 270
INDICE
UNIDAD Nº 1
INTRODUCCIÓN A LA TECNOLOGÍA DE LA ELECTRICIDAD
1.1 Introducción………………………………………………………………..…...…. 1
1.2 Generalidades............................................................................................................ 1
1.3 Introducción a los circuitos eléctricos....................................................................... 2
1.3.1 Corriente eléctrica….................................................................................. 3
1.3.1.1 Tipos de corriente eléctrica......................................................... 5
1.3.2 Diferencia de potencial.............................................................................. 6
1.3.3 Caída de tensión......................................................................................... 7
1.3.3.1 Corriente continua…………………………………………..… 8
1.3.3.2 Corriente alterna……………………….…………………..….. 8
1.3.4 Concepto de polaridad............................................................................... 11
1.3.5 Resistencias................................................................................................ 12
1.3.6 Fuentes....................................................................................................... 12
1.4 Elementos de medición............................................................................................. 15
1.4.1 Amperímetros............................................................................................ 15
1.4.2 Voltímetros................................................................................................ 16
1.5 Concepto de tierra..................................................................................................... 18
UNIDAD Nº 2
CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA
2.1 Conceptos básicos……………………………………………………………..….. 19
2.1.1 Unidades, definiciones, leyes experimentales y circuitos simples….….. 19
2.1.2 Carga………………………………………………………………….… 20
2.1.3 Corriente………………………………………………………………… 22
2.1.4 Voltaje.………………………………………………………..………… 23
2.1.5 Potencia…………………………………………………………………. 24
2.1.6 Circuito eléctrico………………………………………………..………. 26
2.1.7 Cipos de circuitos y elementos de circuitos…………………..………… 26
2.2 Ley de ohm…………………………………………………………………..…… 29
2.3 Leyes de kirchoff……………………………………………………………..….. 31
2.3.1 Resistencia equivalente…………………………………….………..…. 34
2.4 Divisores……………………………………………………………………...…. 44
2.4.1 Divisor de corriente……………………………………………….……. 44
2.4.2 Divisor de tensión…………………………………………….……...… 45
2.5 Métodos para el análisis de circuitos……………………………………….…… 45
2.5.1 Análisis de nodos…………………………………………………….… 46
2.5.2 Análisis de mallas………………………………………………..……. 47
2.6 Teorema de superposición……………………………………………………..… 52
2.7 Teorema de Thévenin……………………………………………………….….... 56
2.8 Teorema de Norton…………………………………………………………..….. 59

UMSS CIV - 270
UNIDAD Nº 3
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
3.1 Conceptos básicos …………………………………………………………….….. 73
3.1.1 Corriente alterna (ca)………………………………………….………… 73
3.1.1.2 Tipos de corriente alterna (regímenes)……………..……….… 74
3.1.2 Voltaje pico-pico:(vpp)……………………………………….………… 74
3.2 Generación de corriente alterna………………………………………….……..… 74
3.3 Corriente alterna sinusoidal……………………………………………..…….….. 75
3.3.1 Representación vectorial………………………………………….......… 75
3.3.2 Resistencia en los circuitos ca…………………………………….……. 76
3.3.3 Valor instantáneo, máximo, medio y eficaz………………………..….… 76
3.4 Condensador………………………………………………………………………. 78
3.4.1 Asociación de condensadores…………………………………………… 82
3.5 Bobinas……………………………………………………………………….…… 85
3.6 Circuitos monofásicos……………………………………………………….….… 90
3.6.1 Circuitos RL en serie…………………………………………….….….. 90
3.6.1.1 Resolución del circuito RL mediante trigonometría……….…. 91
3.6.2 Circuito RC en serie……………………………………………….……. 92
3.6.2.1 Resolución del circuito RC mediante trigonometría……..….… 92
3.6.3 Circuito serie RLC………………………………………………..…...… 94
3.6.3.1 Circuito paralelo RLC………………………………..……….… 95
3.6.3.2 Circuito con parámetro R……………………………….………. 97
3.6.4 Potencia eléctrica………………………………………………………… 98
3.6.4.1 Medida de potencia en corriente continua…………………… 98
3.6.4.2 Medida de potencia en CA monofásica…………………..…… 100
3.6.4.3 Corriente alterna de un circuito resistivo puro………………………. 103
3.6.4.4 Potencia de una reactancia inductiva…………………………. 104
3.6.4.5 Potencia de un circuito capacitivo puro…………………….… 104
3.6.5 Factor potencia………………………………………………………… 105
3.7 Sistemas trifásicos…………………………………………………………..…… 106
3.7.1 Características generales………………………………………..……… 107
3.7.1.1 Tensión de línea y fase…………………………………….… 112
3.7.1.2 Corriente de línea fase……………………………………..… 114
3.7.1.2.1 Conexión trifásica en estrella……………….……… 114
3.7.2 Potencia en los sistemas trifásicos……………………………...……… 116
3.7.3 Factor de potencia en sistemas trifásicos……………………………….. 117
UNIDAD Nº 4
INSTALACIONES ELECTRICAS
4.1 Introducción……………………………………………………………………..… 118
4.2 Elementos básicos de los circuitos eléctricos……………………………………... 118
4.2.1 Conductores………………………….……………………………..……. 118
4.2.2 Conductor…………………………………………………………..……. 118
4.2.3 Resistencia de los metales……………………………………………..… 119

UMSS CIV - 270
4.2.4 Partes que componen los conductores eléctricos………..……………… 119
4.2.5 Uniones eléctricas o empalmes……………………………………….... 124
4.2.5.1 Tipos de uniones…………………………………………………………....… 124
4.2.5.2 Accesorios para uniones……………………………….…..…. 125
4.3 La incandescencia……………………………………………………………..…. 126
4.4 Lámparas ………………………………………………………………….……... 128
4.4.1 Tipos de lámparas………………………………………………………. 128
4.5 Instalaciones residenciales……………………………………………………..…. 137
4.5.1 Conceptos básicos………………………………………………………. 137
4.5.1.1 Acometida……………………………………………………… 137
4.5.1.2 Tablero de medición……………………………………..……. 137
4.5.1.3 Circuito principal……………………………………………… 139
4.5.1.4 Tablero de distribución…………………………………...…… 139
4.5.1.5 Circuitos secundarios………………………………………..… 139
4.5.1.6 Cargas eléctricas…………………………………………….… 139
4.5.1.7 Intercomunicador……………………………………………… 139
4.6 Calculo de la instalación residencial…………………………………………...…. 139
4.7 Cálculos en instalaciones eléctricas residenciales………………………………... 140
4.7.1 Calculo de la acometida………………………………………………… 140
4.7.2 Calculo de conductores del alimentador principal…………………….... 140
4.8 Conexionado de circuitos…………………………………………………………. 140
4.8.1 Conexión de un tomacorriente bipolar………………………………….. 140
4.8.2 Conexión de un punto de luz………………………………………….… 141
4.8.3 Conexión de un punto de luz con dos conmutadores…………………… 141
4.9 Luminotecnia…………………………………………………………………….… 142
4.9.1 Iluminación de interiores………………………………………………… 142
4.9.1.1 Calculo de instalaciones para alumbrado de interiores………… 151
4.9.1.1.1 Método de los lúmenes……………………………… 151
4.9.1.1.2 Método del punto por punto…………………………. 157
4.9.2 Iluminación de exteriores…………………………………………...…… 166
4.9.2.1 Alumbrado de vías publicas………………………………..….. 166
4.9.2.1.1 Método de los lúmenes o del factor de utilización..… 179
4.10 Demanda máxima……………………………………………………………...... 188
4.10.1 Niveles de consumo de instalaciones domiciliarias …………………... 188
4.10.2 Determinación de la demanda máxima en instalaciones domiciliarias… 189
4.10.2.1 Potencia instalada de iluminación………………………….… 189
4.10.2.2 Potencia instalada en tomacorrientes……………………..….. 190
4.10.2.3 Potencia instalada en fuerzas………………………………… 190
4.10.3 Calculo de la demanda máxima……………………………………...… 191
4.11 Calculo de la sección del conductor……………………………………………... 194
4.12 Dispositivos de maniobra y protección…………………………………...……… 195
4.12.1 Nociones básicas, terminología y simbología…………………..……… 196
4.13 Terminología……………………………………………………….………..…… 196
4.14 Simbología………………………………………………………..……………… 198
4.15 Características de riesgo…………………………………………………………. 207
4.15.1 Riesgos probables que se pueden originar……...……………………… 207
4.15.2 Sistemas de protección…………………………………………………. 209

UMSS CIV - 270
4.15.2.1 Aspectos fundamentales……………………………………………... 209
4.15.3 Protección para la manipulación y transporte de energía……..……….. 211
4.15.4 Protección personal…………………………………………..………… 211
4.15.5 Protección laboral………………………………………………………. 211
4.16 Consideraciones para un proyecto de instalación eléctrica….……………….. 212
4.16.1 Plano de cableado………………………………………………………. 212
4.16.2 Plano de ductos………………………………...……………………….. 212
4.16.3 Plano de instalaciones unifamiliares…………………………………… 215
UNIDAD Nº 5
MAQUINAS ELECTRICAS
5.1 Generalidades de los transformadores…………………………………………….. 216
5.2 El transformador ..…………………………………………………………………. 216
5.2.1 Transformador ideal ..……………………………………………..…….. 218
5.2.2 Transformador no ideal de núcleo real ..……………………………...… 219.
5.2.3 Potencia en un transformador ideal…………………………………...… 220
5.2.4 Transformación de la impedancia mediante un transformador………….. 221
5.2.5 Transformador monofásico…………………………………………….... 222
5.2.5.1 Transformador real…………………………………..………… 222
5.2.6 Funcionamiento del transformador con carga………………..………..… 223
5.2.6 Funcionamiento en paralelo………………………………….…………. 223
5.2.7 Transformador trifásico……………………………………..………...… 224
5.2.7.1 Circuitos equivalentes…………………………..…………..…. 224
5.2.8 Conexiones trifásicas………………………………………..………..…. 225
5.2.8.1 Conexiones de transformador trifásico………………………... 225
5.3 Utilización de la energía eléctrica………………………………………..…..…… 225
5.3.1 Introducción…………………………………………………..…..…….. 225
5.3.2 Fuerza motriz………………………………………………..…….……. 225
5.3.3 Motores…………………………………………………………….……. 226
5.3.3.1 Motores de corriente alterna………………………………..…. 226
5.3.3.2 Maquinas de corriente continua…………………………..…… 239
5.4 Maquinas eléctricas en el campo de la ingeniería civil………………………..….. 243
5.4.1 Introducción………………………………………………………..…… 243
5.4.2 Bombas de agua…………………………………………………….…… 247
5.4.2.1 Clasificación de las bombas…………………………………… 247
5.4.2.2. Tipos de bombas centrífugas……………………………..…… 248
5.4.2.4 Selección de la bomba……………………………………..….. 249
5.4.2.5 Curva característica de la bomba………………………………. 251
5.4.2.6 Otra alternativa de elección de la bomba………………………. 253
5.4.2.7 Válvulas de control………………………………………….… 254
5.4.3 Vibradores para hormigón……………………………………….……… 258
5.4.3.1 Tipos de vibración de hormigón………………………....…… 259
5.4.3.2 Conceptos genéricos vibradores internos……………….…….. 260
5.4.3.3 Vibradores Externos……………………………………........... 271
5.4.3.4 La vibradora………………………………………………..….. 273
5.4.3.5 Aire ocluido en el hormigón………………………..…….…… 275

UMSS CIV - 270
5.4.3.6 Objetivo de la vibración del hormigón respecto del aire…....… 275
5.4.3.7 Vibración del hormigón: sus efectos…………………….….… 275
5.4.3.8 Relación entre vibrado y fluidez………………………….....… 276
5.4.3.9 Frecuencias de vibración y tamaño de partículas………..….… 276
5.4.3.10 Tipos de vibradores…………………………………..…….... 277
5.4.4 Mezcladoras de hormigón……………………………………………..… 278
5.4.5 Escaleras mecánicas………………………………………………….….. 286
5.4.6 Ascensores………………………………………………………….….… 289
5.4.7 Montacargas…………………………………………………..……….… 298
5.4.7.1 Cálculo de la potencia del motor para plena carga……….....… 298
5.4.7.2 Mecanismo de traslación………………………………….…… 300
UNIDAD Nº 6
ENERGIA ELECTRICA
6.1 Introducción.............................................................................................................. 302
6.2 Centrales y producción eléctrica............................................................................... 302
6.2.1 Sistemas de producción eléctrica........................................................................... 302
6.2.2 Características generales de una central hidráulica............................................... 303
6.2.2 1Elementos de una Central hidráulica………….…………….……….… 305
6.2.3 Centrales eléctricas térmicas................................................................................ 315
6.3 Generadores.............................................................................................................. 329
6.3.1 Dinamo....................................................................................................... 329
6.3.2 Generador de corriente alterna................................................................... 331
6.3.3 Subestación eléctrica.................................................................................. 332
6.4 Transporte y distribución de energía eléctrica.......................................................... 332
6.4.1 Introducción............................................................................................... 332
6.4.2 Canalizaciones eléctricas........................................................................... 333

UMSS CIV - 270
UNIDAD Nº 1
1
INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE LA ELECTRICIDAD
1.1 INTRODUCCION
1.2. GENERALIDADES
La electricidad es un fenómeno físico originado por cargas eléctricas estáticas o en
movimiento y por su interacción. Cuando una carga se encuentra en reposo produce fuerzas
sobre otras situadas en su entorno. Si la carga se desplaza produce también fuerzas
magnéticas. Hay dos tipos de cargas eléctricas, llamadas positivas y negativas.
La electricidad está presente en algunas partículas subatómicas. La partícula
fundamental más ligera que lleva carga eléctrica es el electrón, que transporta una unidad
de carga. Los átomos en circunstancias normales contienen electrones, y a menudo los que
están más alejados del núcleo se desprenden con mucha facilidad. En algunas sustancias,
como los metales, proliferan los electrones libres. De esta manera un cuerpo queda cargado
eléctricamente gracias a la reordenación de los electrones. Un átomo normal tiene
cantidades iguales de carga eléctrica positiva y negativa, por lo tanto es eléctricamente
neutro. La cantidad de carga eléctrica transportada por todos los electrones del átomo, que
por convención son negativas, esta equilibrada por la carga positiva localizada en el núcleo.
Si un cuerpo contiene un exceso de electrones quedará cargado negativamente. Por lo
contrario, con la ausencia de electrones un cuerpo queda cargado positivamente, debido a
que hay más cargas eléctricas positivas en el núcleo
La energía eléctrica es la forma de energía que resulta de la existencia de una
diferencia de potencial entre dos puntos, lo que permite establecer una corriente eléctrica
entre ambos cuando se los pone en contacto por medio de un conductor eléctrico, y obtener
trabajo. La energía eléctrica puede transformarse en muchas otras formas de energía, tales
como la energía luminosa o luz, la energía mecánica y la energía térmica. La generación de
energía eléctrica se lleva a cabo mediante técnicas muy diferentes. Las que suministran las
mayores cantidades y potencias de electricidad aprovechan un movimiento rotatorio para
generar corriente continua en una dinamo o corriente alterna en un alternador. El
movimiento rotatorio resulta a su vez de una fuente de energía mecánica directa, como
puede ser la corriente de un salto de agua o la producida por el viento, o de un ciclo
termodinámico. La generación de energía eléctrica es una actividad humana básica, ya que
está directamente relacionada con los requerimientos actuales del hombre. Todas la formas
de utilización de las fuentes de energía, tanto las habituales como las denominadas
alternativas o no convencionales, agreden en mayor o menor medida el ambiente, siendo de
todos modos la energía eléctrica una de las que causan menor impacto.
Cada vez que se acciona un interruptor, se cierra un circuito eléctrico y se genera el
movimiento de electrones a través del cable conductor. Las cargas que se desplazan forman
parte de los átomos de la sustancia del cable, que suele ser metálica, ya que los metales al
disponer de mayor cantidad de electrones libres que otras sustancias son los mejores

UMSS CIV - 270
conductores de la electricidad. La mayor parte de la energía eléctrica que se consume en la
vida diaria proviene de la red eléctrica a través de las tomas llamadas enchufes, a través de
los que llega la energía suministrada por las compañías eléctricas a los distintos aparatos
eléctricos (lavadora, radio, televisor, etc.) que se desea utilizar, mediante las
correspondientes transformaciones; por ejemplo, cuando la energía eléctrica llega a un
aparto eléctrico se puede convierte en energía mecánica, calórico, etc. gracias al motor
eléctrico y a las distintas piezas mecánicas del aparato.
En la ingeniería civil de forma particular la energía eléctrica tiene una participación
muy importante, ya que gracias a los adelantos tecnológicos, esta cuenta con un sin numero
de herramientas, que facilitan y optimizan los trabajos de ingeniería, y que dependen de la
energía eléctrica, estos equipos dependiendo de su utilización pueden ser muy variados,
tales como: teodolitos, niveles, GPS’s, estaciones totales y otros mas, que al funcionar con
baterías están vinculados con la corriente continua (CD. o CC.). Existen también muchas
herramientas que dependen de la corriente alterna (CA) ya que utilizan un motor, para su
funcionamiento tales como: mezcladoras, guinches, vibradores, cierras circulares, cintas
transportadoras, montacargas, etc. Inversamente la ingeniería Civil tiene una participación
importante en la generación de energía eléctrica, ya que para este proceso es necesario
contar con obras civiles tales como la construcción de represas, canales, obras tomas,
vertederos de excedencias, etcétera.
2
1.3. INTRODUCCION A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS[14][3*]
Un circuito eléctrico es el recorrido por el cual circulan los electrones, consta
básicamente de: en generador (que proporciona energía, por ejemplo una batería), un
conductor ( medio en el que se transporta la energía, por ejemplo un alambre de cobre), un
elemento de maniobra ( por ejemplo un interruptor, pulsador, etc.) y un receptor (elemento
consumidor de la energía, por ejemplo una bombilla, motor, timbre, etc.) tal como se
muestra en la figura 1:
Figura 1.1

UMSS CIV - 270
3
1.3.1. CORRIENTE ELECTRICA[10]
El concepto de carga eléctrica constituye el principio fundamental que explica todos
los fenómenos eléctricos. Además, la cantidad mas básica en un circuito eléctrico es la
carga eléctrica. Podemos experimentar este fenómeno cuando tratamos de quitarnos un
suéter de lana y este se pega a nuestro cuerpo.
El termino corriente eléctrica, o simplemente corriente, se emplea para describir la
tasa de flujo de carga que pasa por alguna región de espacio. Por ejemplo, la batería que
suministra corriente al filamento de una bombilla cuando el interruptor se conecta. En estas
situaciones comunes, el flujo de carga fluye por un conductor, por ejemplo, un alambre de
cobre. Es posible también que existan corrientes fuera de un conductor. Por ejemplo, un haz
de electrones en el tubo de imagen de una TV constituye una corriente.
La fuerza que impulsa a los electrones a moverse se debe a la diferencia de
potencial o tensión que existe entre dos puntos diferentes, si la tensión es muy alta, los
electrones pueden pasar de un cuerpo al otro a través del aire, por ejemplo, el rayo. En
cambio, si la tensión es baja, los electrones necesitan ciertos materiales, llamados
conductores, para pasar de un cuerpo a otro. Los conductores más importantes son los
metales. La tierra es un inmenso conductor que, dado que tiene tantos átomos, puede ganar
o perder electrones sin electrizarse. Por esto, si un cuerpo electrizado se conecta a tierra, se
produce una corriente eléctrica, hasta que el cuerpo se descarga.
• Un cuerpo neutro tiene potencial eléctrico nulo.
• Un cuerpo con carga positiva (déficit de electrones) tiene potencial positivo.
• Un cuerpo con carga negativa (exceso de electrones) tiene potencial negativo.
Siempre que se mueven cargas eléctricas de igual signo se establece una corriente
eléctrica. Para definir la corriente de manera más precisa, suponga que las cargas se
mueven perpendiculares a una superficie de área A, como en la figura 1.2 (Esta sería por
ejemplo la sección transversal de un alambre).
Figura 1.2
La corriente es la tasa a la cual fluye la carga por esta superficie. Si :Q es la
cantidad de carga que pasa por esta área en un intervalo de tiempo :t, la corriente
promedio, Ipro, es igual a la carga que pasa por A por unidad de tiempo como se ve en la
figura 1.3.

UMSS CIV - 270
4
Figura 1.3
La figura muestra cargas en movimiento a través de un área A. La tasa de flujo de
carga en el tiempo a través del área se define como la corriente I. la dirección a la cual la
carga positiva fluiría si tuviera libertad de hacerlo.
Q
t
I

=
(1.1)
Si la tasa a la cual fluye la carga varía en el tiempo, la corriente también varía en el
tiempo, y definimos a la corriente instantánea I como el límite diferencial de la ecuación:
dQ
dt
I =
(1.2)
La unidad de corriente del Sistema Internacional es el ampere (A).
1
C
s
A
1
1 =
(1.3)
Es decir que 1A (Amperio) de corriente es equivalente a 1C (Coulomb) de carga que
pasa por el área de la superficie en 1s (Segundo) así como se muestra en la figura 1.4
Figura 1.4
En la figura 1.4 se muestra una sección de una conductor uniforme de área de
sección transversal A. los portadores de carga se mueven con una velocidad vd y la

UMSS CIV - 270
distancia que recorren en un tiempo :t esta dada por :x = vd:t. El número de portadores
de cargas móviles en la sección de longitud :x está dado por nAvd:t , donde n es el nϊmero
de portadores de carga móviles por unidad de volumen.
Las cargas que pasan por la superficie en la figura anterior pueden ser positivas
negativas o de ambos signos. Es una convención dar a la corriente la misma dirección que
la del flujo de carga positiva. En un conductor como el cobre la corriente se debe al
movimiento de electrones cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de
corriente en un conductor ordinario, como un alambre de cobre, la dirección de la corriente
es opuesta a la dirección del flujo de los electrones. Por otra parte, si se considera un haz de
protones cargados positivamente en un acelerador, la corriente está en la dirección del
movimiento de los protones. En algunos casos gases y electrolitos, por ejemplo la corriente
es el resultado del flujo tanto de cargas positivas como negativas.
Es común referirse a una carga en movimiento (ya sea positiva o negativa) como un
portador de carga móvil. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal son los
electrones.
Es útil relacionar la corriente con el movimiento de partículas cargadas. Para ilustrar
este punto, considere la corriente en un conductor de área de sección transversal A El
volumen de un elemento del conductor de longitud :x ( región sombreada en la figura 1.4 )
es A :x. Si n representa el nϊmero de portadores de carga móvil por unidad de volumen,
entonces el número de portadores de carga móvil en el elemento de volumen es nA :x Por
lo tanto, la carga :Q en este elemento es
5
:Q= Numero de cargas x carga por partícula = (nA :x)q
Donde q es la carga en cada partícula. Si los portadores de cargas se mueven con
una velocidad vd la distancia que se mueven en un tiempo :t es :x = vd:t. En
consecuencia, podemos escribir :q en la forma
:Q = (nAvd:t)q (1.4)
Si dividimos ambos lados de la ecuación por :t, vemos que la corriente en el
conductor está dada por

= (1.5)
I d =
nqv A
Q
t

1.3.1.1. TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA
En la práctica, los dos tipos de corrientes eléctricas más comunes son: corriente
directa (CD) o continua y corriente alterna (CA). La corriente directa circula siempre en un
solo sentido, es decir, del polo negativo al positivo de la fuente de fuerza electromotriz
(FEM) que la suministra. Esa corriente mantiene siempre fija su polaridad (figura 1.5),
como es el caso de las pilas, baterías y dinamos.

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6
Gráfico de una corriente directa (C.D.) o continua (C.C.).
Figura 1.5
Gráfico de la corriente alterna senoidal (C.A.)
Figura 1.6
La corriente alterna (fig. 1.6) se diferencia de la directa en que cambia su sentido de
circulación periódicamente y, por tanto, su polaridad. Esto ocurre tantas veces como
frecuencia en hertz (Hz) tenga esa corriente. A la corriente directa (C.D.) también se le
llama corriente continua (C.C.).
La corriente alterna es el tipo de corriente más empleado en la industria y es
también la que consumimos en nuestros hogares. La corriente alterna de uso doméstico e
industrial cambia su polaridad o sentido de circulación 50 ó 60 veces por segundo, según
el país de que se trate. Esto se conoce como frecuencia de la corriente alterna.
En los países de Europa la corriente alterna posee 50 ciclos o hertz (Hz) por
segundo de frecuencia, mientras que los en los países de América la frecuencia es de 60
ciclos o hertz
1.3.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL[14]
El potencial eléctrico en un punto es el Trabajo o fuerza electromotriz externa (fem)
requerido para mover una carga unitaria (trabajo por unidad de carga) desde el punto mas
negativo (potencial bajo) al mas positivo (potencial alto) o hasta el infinito, donde el
potencial es 0.

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La diferencia de potencial o diferencia de potencia entre dos puntos (1 y 2) de un
campo eléctrico es igual al trabajo que realiza dicho unidad de carga positiva para
transportarla desde el punto 1 al punto 2 es independiente del camino recorrido por la carga
(campo conservativo) y depende exclusivamente del potencial de los puntos 1 y 2, en el
campo; se expresa por la fórmula:
7
V V E * r 1 − 2 = (1.6)
donde:
V1 - V2 es la diferencia de potencial E es la Intensidad de campo en newton/culombio r es
la distancia en metros entre los puntos 1 y 2 Igual que el potencial, en el Sistema
Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios. Si dos puntos que
tienen una diferencia de potencial se unen mediante un conductor, se producirá un flujo de
corriente eléctrica.
Parte de la carga que crea el punto de mayor potencial se trasladará a través del
conductor al punto de menor potencial y, en ausencia de una fuente externa (generador),
esta corriente cesará cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico (Ley de Henry).
Este traslado de cargas es lo que se conoce como corriente eléctrica.
Polaridad de una diferencia de potencial.
Figura 1.7
La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito, se le suele denominar
también como caída de tensión. Cuando por dichos puntos puede circular una corriente
eléctrica, la polaridad de la caída de tensión viene determinada por la dirección
convencional de la misma, esto es, del punto de mayor potencial al de menor. Por lo tanto,
si por la resistencia R de la figura 1.7 circula una corriente de intensidad I, desde el punto
A hacia el B, se producirá una caída de tensión en la misma con la polaridad indicada y se
dice que el punto A es más positivo que el B como se muestra en la figura 1.7
Que dos puntos tengan igual potencial eléctrico no significa que tengan igual carga.
1.3.3. CAIDA DE TENSION [12*]
También conocida como bajada de tensión, la caída es una disminución en los
niveles de tensión por períodos breves. Éste es el problema energético más común.

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8
1.3.3.1 Corriente continua
Esquema Unifilar:
Esquema Bifilar:
En una línea de c.c. un conductor de sección s y longitud 2*L, presenta una resistencia R de
valor:
[]
∗
=
S
L
R
ρ
P
I = (1.7)
V
Originando una caída de tensión: V = 2RI , si reemplazamos R tendremos:
s
L I
V
2 * ρ * *
= (1.8)
Donde:
P = Potencia (V)
V = Tensión final (V)
Vo= Tensión origen (V)
I = Intensidad (A)
L = Longitud (m)
S = Sección de conductor (mm2)
R = Resistencia de la línea
ρ = Resistividad (Kmm2/m) (K=Volt/A) ρ(Cu) = 1/57, ρ(Al) = 1/36
V = Caída de tensión
1.3.3.2 Corriente Alterna
• Monofásica:
Para el cálculo de las secciones en baja tensión se considera solo el efecto resistivo,
ya que para el análisis en alta tensión son considerados otros efectos como el de inducción
y capacitivo, estos efectos, aunque muy importantes en alta tensión y líneas largas, no lo es
tanto en baja tensión y líneas de corta longitud.

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Para el cálculo de la caída de tensión en c.a. ha de tenerse en cuenta que las
magnitudes son vectoriales. De acuerdo con el desarrollo que se hace en la figura, llegamos
a la siguiente ecuación de caída de tensión:
9
OA = Tensión en la carga V
OD = Tensión al inicio Vo
I = Intensidad
φ = Angulo entre V e I
AD = Caída de tensión vectorial = I*R
Analizando gráficamente:
OD = OA + AD
OD = OC
OC≈OB
OB = OA + AB
OB = OA + AD*Cosφ donde: Cosφ = 0.9
Reemplazando:
Vo = V + I*R*Cosφ
:V = Vo - V
De donde:
V = I * R *Cosϕ
Reemplazando se tendrá:
L I Cos
s
V
2 *ρ * * * ϕ
= (1.9)

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10
• Trifásica
Haciendo las mismas consideraciones, por fase, que en el caso de C.A. monofásica
podemos deducir las formulas.
OA = Tensión Final de fase VF
OD = Tensión de fase VOF
IL = Intensidad de linea
Φ = Angulo entre VF e IF
AD = Caída De tensión vectorial = IL*R =
s
L
IF
*
*
ρ
Del análisis grafico:
OD = OA + AD
OD = OC
OC ≈ OB
OB = OA +AB
OB = OA + AD + Cosφ
Reemplazando:
VOF = VF + IL*R*Cosφ
:VF = VOF - VF
:V = VO – V = (VOF - VF)* 3 = :VF* 3
:V = VO - V
V I L R Cosϕ = 3 * * *
Reemplazando R se tiene:
3 *ρ * L * I * Cos
ϕ
V = L (1.10)
S

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11
• Resumen de formulas
(1.11)
(1.12)
(1.13)
1.3.4 CONCEPTO DE POLARIDAD [16]
Primeramente definiremos polo como cada uno de los extremos o bornes de un
circuito o un generador eléctrico, que sirven para conectar los conductores exteriores.
Polaridad es la cualidad que distingue entre si cada uno de los polos de un imán o de
un generador eléctrico
Generalmente, los aparatos de corriente continua no suelen incorporar protecciones
frente a un eventual cambio de polaridad, lo que puede acarrear daños irreversibles en el
aparato. Para evitarlo, y dado que la causa del problema es la colocación inadecuada de las
baterías, es común que los aparatos incorporen un diagrama que muestre cómo deben
colocarse. Así mismo, los contactos se distinguen empleándose, convencionalmente, un
muelle metálico para el polo negativo y una placa para el polo positivo. En los aparatos con
baterías recargables, el transformador - rectificador tiene una salida tal que la conexión con
el aparato sólo puede hacerse de una manera, impidiendo así la inversión de la polaridad.

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En los casos de instalaciones de gran envergadura, tipo centrales telefónicas y otros
equipos de telecomunicación, donde existe una distribución centralizada de corriente
continua para toda la sala de equipos, se emplean elementos de conexión y protección
adecuados para evitar la conexión errónea de polaridad.
12
1.3.5 RESISTENCIAS [14]
Se denomina resistencia eléctrica (figura 1.8.a), R, de una sustancia, a la oposición
que encuentra la corriente eléctrica para recorrerla. Su valor se mide en ohmios y se designa
con la letra griega omega mayúscula (K). La materia presenta 4 estados en relación al flujo
de electrones. Estos son: Conductores, Semi-conductores, Resistores y Dieléctricos. Todos
ellos se definen por le grado de oposición a la corriente eléctrica (Flujo de Electrones).
Simbología utilizada para denotar las resistencias
Figura 1.8.a
Resistencia eléctrica con código de colores
Figura 1.8.b
Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando
se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De
existir estos componentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente
recibe el nombre de impedancia.
Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras,
aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas
condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el
que el valor de la resistencia es prácticamente nula.
La resistencia eléctrica se mide con el Ohmímetro que es un aparato diseñado para
medir la resistencia eléctrica en ohmios. Debido a que la resistencia es la diferencia de
potencial que existe en un conductor dividida por la intensidad de la corriente que pasa por
el mismo, un ohmímetro tiene que medir dos parámetros, y para ello debe tener su propio
generador para producir la corriente eléctrica.
1.3.6 FUENTES
En electricidad se entiende por fuente al elemento activo que es capaz de generar
una diferencia de potencial (d.d.p.) entre sus bornes o proporcionar una corriente eléctrica.
A continuación se indica una posible clasificación de las fuentes eléctricas:

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13
De tensión
REALES
De Intensidad
De tensión
Independientes
De Intensidad
IDEALES Controlada por tensión
De tensión
Controlada por intensidad
Dependientes
Controlada por tensión
De Intensidad
Controlada por intensidad
• Fuentes ideales:
Símbolos de las fuentes ideales de tensión, a), e intensidad, b).
Figura 1.9
Las fuentes ideales son elementos utilizados en la teoría de circuitos para el análisis
y la creación de modelos que permitan analizar el comportamiento de componentes
electrónicos o circuitos reales. Pueden ser independientes, si sus magnitudes (tensión o
corriente) son siempre constantes, o dependientes en el caso de que dependan de otra
magnitud (tensión o corriente).
En este caso se tratarán las fuentes independientes, Sus símbolos pueden observarse
en la figura 19. El signo + en la fuente de tensión, indica el polo positivo o ánodo siendo el
extremo opuesto el cátodo y E el valor de su fuerza electromotriz (fem).

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En la fuente de intensidad, la dirección de la flecha indica la dirección de la
14
corriente eléctrica e I su valor. A continuación se dan sus definiciones:
Fuente de tensión ideal:
Aquella que genera una d. d. p. entre sus terminales constante e independiente de la
carga que alimente. Si la resistencia de carga es infinita se dirá que la fuente está en circuito
abierto, y si fuese cero estaríamos en un caso absurdo, ya que según su definición una
fuente de tensión ideal no puede estar en cortocircuito.
Fuente de intensidad ideal:
Aquella que proporciona una intensidad constante e independiente de la carga que
alimente.
Si la resistencia de carga es cero se dirá que la fuente está en cortocircuito, y si fuese
infinita estaríamos en un caso absurdo, ya que según su definición una fuente de intensidad
ideal no puede estar en circuito abierto.
• Fuentes reales:
Símbolos de las fuentes reales de tensión, a), e intensidad, b).
Figura 1.10
A diferencia de las fuentes ideales, la d. d. p. que producen o la corriente que
proporcionan fuentes reales, depende de la carga a la que estén conectadas.
Fuentes de tensión
Una fuente de tensión real puede considerarse como una fuente de tensión ideal,
Eg, en serie con una resistencia Rg, a la que se denomina resistencia interna de la fuente
(figura 1.10a). En circuito abierto, la tensión entre los bornes A y B (VAB) es igual a Eg
(VAB=Eg), pero si entre estos bornes se conecta una carga, RL, la tensión pasa a ser:
= * (1.14)
g
RL
V E
AB g RL +
R

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que como puede observarse depende de la carga conectada. En la práctica las cargas
deberán ser mucho mayores que la resistencia interna de la fuente (al menos diez veces)
para conseguir que el valor en sus bornes no difiera mucho del valor en circuito abierto.
15
La potencia se determina multiplicando su f.e.m. por la corriente que proporciona.
Se considera positiva si la corriente sale por el ánodo y negativa en caso contrario.
Ejemplos de fuentes de tensión real
• Batería.
• Pila.
• Fuente de alimentación.
• Célula fotoeléctrica.
1.4 ELEMENTOS DE MEDICION3*
1.4.1 AMPERIMETROS
Instrumento que permite medir la intensidad de corriente eléctrica (figura 1.22),
presentando directamente sobre su escala calibrada las unidades empleadas para ello
denominadas amperios o bien fracciones de amperios, la medida deseada.
Su utilización es muy amplia ya que con independencia de su propia aplicación
directa de medida, también se emplea como base para la construcción de otros
instrumentos, como voltímetros, óhmetros, etc.
Su funcionamiento está basado en uno de los principios fundamentales del
electromagnetismo que en su forma más simple nos indica que cualquier corriente eléctrica
pasa por un hilo conductor produce un campo magnético alrededor del mismo (similar al
campo magnético de un imán),cuya fuerza depende de la intensidad de la corriente que
circule.
Figura 1.11

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16
Utilización
Para efectuar la medida de la intensidad de la corriente circulante el amperímetro ha
de colocarse en serie (figura 1.13.a), para que sea atravesado por dicha corriente. Esto nos
lleva a que el amperímetro debe poseer una resistencia interna lo más pequeña posible, a fin
de que no produzca una caída de tensión apreciable. Para ello, en el caso de instrumentos
basados en los efectos electromagnéticos de la corriente eléctrica, estarán dotados de
bobinas de hilo grueso y con pocas espiras.
En algunos casos, para permitir la medida de intensidades superiores a las que
podrían soportar los devanados y órganos mecánicos del aparato sin destruirse, se les dota
de un resistor de muy pequeño valor colocado en paralelo con el devanado, de forma que
solo pase por este una fracción de la corriente principal. A este resistor adicional se le
denomina shunt.
Conexión de un voltímetro en un circuito
Figura 1.13.a
La conexión del voltímetro, para su utilización se resume en poner en contacto las
terminales del aparato con los polos que derivan de la fuente de energia (una bateria,
conductores de tension,etc).
1.4.2 VOLTIMETRO
Es un instrumento que sirve para medir la diferencia de potencial entre dos puntos
de un circuito eléctrico.
Entre los voltímetros existen una gran variedad de estos, por lo que solo
mencionaremos de forma general, los tres tipos mas usuales de este aparato.
Voltímetros Electromecánicos.
Estos voltímetros (figura 1.12), en esencia, están constituidos por un galvanómetro
cuya escala ha sido graduada en voltios. Existen modelos que separan las componentes
continua y alterna de la señal, pudiendo medirlas independientemente.

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17
Figura 1.12
Voltímetros Electrónicos
Añaden un amplificador para proporcionar mayor impedancia de entrada (del orden
de los 20 megaohmios) y mayor sensibilidad. Algunos modelos ofrecen medida de
verdadero valor eficaz para corrientes alternas. Voltímetros Vectoriales
Voltímetros Digitales
Dan una indicación numérica de la tensión. Suelen tener prestaciones adicionales
como memoria, detección de valor de pico, verdadero valor eficaz , auto rango y otras.
Utilización
Para efectuar la medida de la diferencia de potencial el voltímetro ha de colocarse
en paralelo, esto significa que las terminales de voltímetro tendrán que estar en contacto
con los polo del emisor de energía, tal como se muestra en la figura1.13b., es decir en
derivación sobre los puntos entre los que tratamos de efectuar la medida. Esto nos lleva a
que el voltímetro debe poseer una resistencia interna lo más alta posible, a fin de que no
produzca un consumo apreciable, lo que daría lugar a una medida errónea de la tensión.
Conexión de un voltímetro en un circuito
Figura 1.13.b

UMSS CIV - 270
En algunos casos, para permitir la medida de tensiones superiores a las que
soportarían los devanados y órganos mecánicos del aparato o los circuitos electrónicos en el
caso de los digitales, se les dota de una resistencia de elevado valor colocada en serie con el
voltímetro, de forma que solo le someta a una fracción de la tensión total.
18
1.5 CONCEPTO DE TIERRA [3]
El término tierra (en inglés earth), como su nombre indica, se refiere al potencial
de la superficie de la Tierra.
El símbolo de la tierra en el diagrama de un circuito se lo presenta en la siguiente
figura:
Figura 1.14
Para hacer la conexión de este potencial de tierra a un circuito se usa un electrodo de
tierra, que puede ser algo tan simple como una barra metálica anclada el suelo, a veces
humedecida para una mejor conducción, asi como se puede observar en la figura 1.15
Figura 1.15
Es un concepto vinculado a la seguridad de las personas, porque éstas se hallan a su
mismo potencial por estar pisando el suelo. Si cualquier aparato está a ese mismo potencial
no habrá diferencia entre el aparato y la persona, por lo que no habrá descarga eléctrica
peligrosa.
Por último hay que decir que el potencial de la tierra no siempre se puede considerar
constante, especialmente en el caso de caída de rayos. Por ejemplo si ha caído un rayo a
una distancia de 1 kilómetro, la diferencia de potencial entre dos puntos separados por 10
metros será de más de 150 V.

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UNIDAD Nº 2
19
CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS
2.1.1 UNIDADES, DEFINICIONES, LEYES EXPERIMENTALES Y CIRCUITOS
SIMPLES
Análisis de Circuitos en Ingeniería.- Es un estudio matemático de alguna interconexión
útil de dispositivos eléctricos simples en la cual hay por lo menos una trayectoria cerrada
para la corriente.
En la actualidad no se emplea a todos los ingenieros solo para trabajar en los
aspectos del diseño técnico de los problemas ingenieriles . Sus esfuerzos ya no se dirigen
solo a la creación de mejores computadoras y sistemas de radar, sino que también deben
resolver problemas socioeconómicos como la contaminación tanto del agua como del aire,
la planeación urbana, la transportación masiva, el descubrimiento de nuevas fuentes de
energía y la conservación de los recursos naturales existentes, especialmente el petróleo y el
gas natural.
Con el objeto de contribuir a la solución de estos problemas, un ingeniero debe
adquirir muchas habilidades, una de las cuales es el conocimiento del análisis de circuitos.
El sistema de unidades que se usara para este documento será el Sistema
Internacional de Unidades (abreviado SI en todos los idiomas). El SI tiene seis unidades
básicas: metro, kilogramo, segundo, ampere, kelvin y candela.
El SI usa el sistema decimal para relacionar unidades mayores y menores que la
unidad patrón y prefijos estándares para identificar varias potencias de diez.
Atto................(a, 10-18) deci....................(d, 10-1)
Femto.............(f, 10-15) deka...................(da, 101)
Pico................(p, 10-12) hecto..................(h, 102)
nano................(n, 10-9) kilo....................(k, 103)
micro..............( ,10 6 μ − ) mega..................(M, 106)
mili.................(m, 10-3) giga....................(G, 109)
centi................(c, 10-2) tera.....................(T, 1012)

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Los prefijos en el recuadro anterior son los que usan con mas frecuencia los
estudiantes de la teoría de circuitos eléctricos. Se puede decir que un milisegundo (ms)
es 0.001 segundo, y un kilómetro (Km.) es 1000m. En la actualidad, el kilogramo es nuestra
unidad de masa, y podríamos decir que un gramo es un mili kilogramo.
Las combinaciones de varios prefijos, tales como milimicrosegundo, son
inaceptables; lo que debe usarse es el termino nano segundo. Algo que también es
oficialmente mal visto es el uso del termino micra para 10-6 m; el termino correcto es
micrómetro (μ.m ). Sin embargo, el ángstrom (Ao) si se puede usar para 10-10m.
Las unidades británicas fundamentales se definen en términos de las unidades SI
20
como sigue:
1 pulgada es exactamente 0,0254 m, 1 libra-masa (lbm) es justo 0,45359237 kg, y el
segundo es común a ambos sistemas.
Para finalizar el estudio de las unidades, se mencionaran las tres unidades derivadas
usadas para medir fuerza, trabajo o energía, y potencia. El newton (N) es la unidad
fundamental de fuerza, y es la fuerza que se requiere para imprimir una aceleración de un
metro por segundo cada segundo (1 m/s2) a una masa de 1 kg. Una fuerza de 1 N equivale a
0,22481 libras de fuerza (lbf), y un hombre promedio de 19 años de edad y 68 kg de masa,
ejerce una fuerza de 667 N sobre la báscula.
La unidad fundamental de trabajo o energía es el joule (J), definido como un
newton-metro (N-m). La aplicación de una fuerza constante de 1 N a lo largo de una
distancia de un metro requiere un gasto de energía de 1 J. La misma cantidad de energía es
la que se requiere para levantar un libro, que pesa alrededor de 10 N, a una altura de
aproximadamente 10 cm. El joule es equivalente a 0,73756 libra fuerza-pie (lbf-ft). Otras
unidades de energía son la caloría (cal), igual a 4,1868 J; la unidad térmica Británica (Btu),
que es igual a 1055,1 J y el kilowatt-hora (kWh), igual a 3,6*106 J.
La ultima cantidad derivada que se definirá es la potencia, la rapidez con la que se
realiza un trabajo o con la que se gasta energía. La unidad fundamental de potencia es el
watt (W), definido como 1 J/s. Un watt equivale a 0,73756 lbf-ft/s. También equivale a
1/745,7 caballos de potencia (hp), unidad que esta cayendo en desuso en ingeniería.
2.1.2 Carga
A continuación se presentaran algunas definiciones preliminares de las cantidades
eléctricas básicas. Se comenzara con la carga eléctrica, concepto que se puede introducir
visualizando el siguiente experimento sencillo.
Supóngase que se toma un trocito de algún material ligero, como medula, y se
suspende de un hilo muy delgado. Si ahora se frota un peine de hule con una prenda de lana

UMSS CIV - 270
y luego se pone en contacto con la bolita de medula, se observa que la bolita tiende a
alejarse del peine; entre la bolita y el peine existe una fuerza de repulsión. Si se deja el
peine y ahora se acerca la bolita a la prenda de lana, se observa que entre la bolita y la lana
hay una fuerza de atracción.
La explicación que se da de estas fuerzas es que hay fuerzas eléctricas causadas por
la presencia de cargas eléctricas en la bolita, la lana y el peine. El experimento muestra
claramente que las fuerzas eléctricas pueden ser de atracción o de repulsión.
Para explicar la existencia de fuerzas eléctricas tanto de atracción como de
repulsión, se ha planteado la hipótesis de que existen dos tipos de carga, y que cargas
iguales se repelen y cargas contrarias se atraen. Estas dos clases de carga reciben los
nombres de positiva y negativa, aunque igualmente podrían haberse llamado oro y negro, o
vítrea y resinosa ( como se les llamaba hace ya mucho tiempo ). De manera totalmente
arbitraria, Benjamín Franklin llamo carga negativa a la que estaba presente en el peine, y a
la que estaba presente en la lana la llamo positiva.
En la actualidad se sabe que toda la materia esta formada por piezas fundamentales
llamadas átomos, y que los átomos a su vez están formados por diferentes clases de
partículas elementales. Las tres partículas mas importantes son el electrón, el protón y el
neutrón. El electrón tiene una carga negativa, el protón tiene una carga igual en magnitud a
la del electrón, pero positiva, y el neutrón es neutro, es decir, no tiene carga. Cuando se
frota el peine de hule con la lana, el peine adquiere una carga negativa porque algunos de
los electrones de la lana se pasan al peine; en esas condiciones, la lana no tiene la cantidad
suficiente de electrones para mantener su neutralidad, y se comporta como una carga
positiva.
Experimentalmente se ha podido calcular la masa de cada una de las tres partículas
mencionadas con anterioridad. 9,10956*10-31 kg para el electrón, y aproximadamente 1840
veces este valor para el protón y el neutrón.
Ahora puede definirse la unidad fundamental de carga, llamada coulomb en honor
de Charles Coulomb, quien fue el primer hombre en hacer medidas cuantitativas cuidadosas
de la fuerza entre dos cargas. La definición que ya esta universalmente aceptada es la
siguiente: dos partículas pequeñas, idénticamente cargadas, cuya separación en el vacío es
de un metro y que se repelen una a la otra con una fuerza de 10-7c2 N, tienen cargas
idénticas de mas o menos un coulomb (C). El símbolo c representa la velocidad de la luz,
2,997925*10-19 C y, por lo tanto, un coulomb negativo representa la carga conjunta de
alrededor de 6,24*1018 electrones.
Para representar la carga se usaran las letras Q o q; la letra Q mayúscula se usara
para cargas constantes, es decir, que no cambian con el tiempo, mientras que la q minúscula
representara el caso general de una carga que pude variar con el tiempo.
21

UMSS CIV - 270
22
2.1.3 Corriente
El experimento descrito anteriormente pertenece al campo de la electrostática, que
se ocupa del comportamiento de las cargas eléctricas en reposo. El único interés que tiene
es que es un punto de partida y resulta una forma útil para definir la carga.
Sin embargo, una parte del experimento, el proceso de transferir carga de la lana al
peine o del peine a la bolita, se aparta del dominio de la electrostática. Esta idea de la
“transferencia de carga” o “carga en movimiento” es de vital importancia en el estudio de
los circuitos eléctricos, porque, al mover una carga de un lugar a otro, también se puede
transferir energía de un punto a otro.
De igual importancia es la posibilidad de variar la rapidez a la cual se puede
transferir la carga con el fin de comunicar o transmitir inteligencia. Este proceso es la base
de los sistemas de comunicación tales como la radio, la televisión y la telemetría.
La carga en movimiento representa una corriente, la cual se definirá mas
cuidadosamente enseguida. La corriente presente en una trayectoria cualquiera, como un
alambre metálico, tiene asociadas a ella tanto una dirección como una magnitud; es una
medida de la rapidez con que la carga se esta moviendo al pasar por un punto dado de
referencia en una dirección especifica.
Una vez que se ha especificado la dirección de referencia, sea q(t) la carga total que
ha pasado por el punto de referencia desde un tiempo arbitrario t = 0, moviéndose en una
dirección definida. La contribución a esta carga total puede ser negativa si una carga
negativa se mueve en la dirección de referencia, o bien si una carga positiva se mueve en
dirección opuesta.
Una grafica del valor instantáneo de la carga total puede ser similar a la que se
muestra en la siguiente figura.
Figura 2.1
Se define la corriente en un punto especifico y que fluye en una dirección especifica
como la rapidez instantánea a la cual la carga neta positiva se mueve a través de ese punto
en la dirección especifica. La corriente se representa por I o i, entonces,
dq
i = (2)
dt

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La unidad de corriente es el ampere (A) y 1 A corresponde a una carga que se
23
mueve con una rapidez de 1 C/s.
Al hablar de la corriente, es conveniente imaginar que se produce por el movimiento
de cargas positivas, aun cuando se sabe que en los conductores metálicos el flujo de
corriente es el resultado del movimiento de los electrones. En los gases ionizados, en las
soluciones electrolíticas y en algunos materiales semiconductores, son las partículas
cargadas positivamente las que constituyen una parte o toda de la corriente. Esto significa
que cualquier definición de corriente estará de acuerdo con la naturaleza física de la
conducción solo parte del tiempo.
Es esencial darse cuenta de que la flecha de la corriente no indica la dirección “real”
del flujo de corriente, sino que simplemente es parte de una convención que permite hablar
acerca de “la corriente en el conductor” sin ambigüedad. ¡La flecha es una parte
fundamental de la definición de una corriente! Entonces, si se da el valor de una corriente
i(t) sin dar la flecha se estará hablando de una cantidad indefinida. Esto quiere decir que las
graficas a y b de la figura 2.2 son representativas sin sentido de i(t), mientras que la figura c
usa la simbología apropiada y definitiva.
Figura 2.2
2.1.4 Voltaje [10]
Supóngase que por la terminal A de la figura entra una corriente directa, pasa a
través del elemento y sale por la terminal B. Supóngase también que el paso de esta carga a
través del elemento requiere un gasto de energía. Entonces se dirá que entre las dos
terminales existe un voltaje eléctrico o una diferencia de potencial, o que hay un voltaje o
diferencia de potencial “entre los extremos” del elemento. Por lo tanto, el voltaje entre un
par de terminales es una medida del trabajo requerido para mover una carga positiva de 1 C
de una terminal a la otra a través del dispositivo. La unidad del voltaje es el volt (V), que es
igual a 1 J/C y se representa por V o v.
Entre un par de terminales eléctricas puede existir una diferencia de potencial o
voltaje, fluya o no fluya corriente entre ellas. Por ejemplo, una batería de automóvil tiene
un voltaje de 12 V entre sus terminales, aunque no haya nada conectado a ellas.
Según el principio de conservación de la energía, la energía que se gasta al forzar a
las cargas a pasar a través del elemento debe aparecer en algún lugar. Después, cuando se
hable de elementos específicos de circuitos, se indicara si la energía se almacena de forma
que quede disponible como energía eléctrica o si se transforma irreversiblemente en energía
calorífica, acústica, o alguna otra forma no eléctrica.

UMSS CIV - 270
Se debe establecer una convención por la que se pueda distinguir entre energía
suministrada a un elemento por algún agente externo y energía suministrada por el
elemento mismo a algún dispositivo externo. Se hará esto por medio de la elección del
signo del voltaje de la terminal A con respecto a la terminal B. Si a través de la terminal A
del elemento entra una corriente positiva, y si una fuente externa tiene que gastar energía
para establecer esta corriente, entonces la terminal A es positiva con respecto a la terminal
B. Alternativamente podría decirse que la terminal B es negativa con respecto a la terminal
A.
La polaridad del voltaje se indica por medio de un par de signos (+), (-). Por
24
ejemplo, en la figuras 2.3 y 2.4
Figura 2.3
Figura 2.3
2.1.5 Potencia
Ahora es necesario encontrar una expresión para la potencia absorbida por cualquier
elemento de un circuito en términos del voltaje entre sus terminales y de la corriente a
través de él. Ya se definió el voltaje en términos de un gasto de energía, y la potencia es la
rapidez con la cual se gasta la energía. Sin embargo, nada puede decirse acerca de la
transferencia de energía en ninguno de los cuatro casos mostrados en la figura anterior, por
ejemplo, mientras no se especifique la dirección de la corriente. Supóngase que se coloca
una flecha dirigida hacia la derecha a lo largo de las terminales superiores, con el valor
“+2ª”; entonces, como en los dos casos c y d, la terminal A es 5V positiva con respecto a la
terminal B, y como una corriente positiva está entrando por A, se le esta suministrando
energía al elemento. En los otros dos casos, es el elemento el que esta entregando energía a
algún dispositivo externo.
La potencia se representara por P o p. Si para transportar un coulomb de carga a
través del dispositivo se gasta un joule de energía, entonces la tasa a la que se gasta la
energía para transferir un coulomb de carga por segundo por el dispositivo es un watt. Esta

UMSS CIV - 270
potencia absorbida debe ser proporcional tanto al numero de coulombs transferidos por
segundo, o corriente, como a la energía requerida para transportar un coulomb a través del
elemento, o voltaje. Así,
25
P = V*i (3)
Al colocar las flechas superiores en cada terminal de la figura 2.3 , dirigidas hacia la
derecha y con valor de “2 A”, los elementos en c y d absorben 10 W, y los de a y b
absorben –10 W ( o bien generan 10 W).
Las convenciones para corriente, voltaje y potencia se resumen en la figura 2.4.
Aquí se muestra que si una terminal del elemento es v volts positiva con respecto a la otra,
y si una corriente i entra al elemento por la primera terminal, entonces el elemento esta
absorbiendo una potencia p = v*i; también es correcto decir que se le esta entregando una
potencia p = v*i. Cuando la flecha de corriente entra al elemento por la terminal positiva, se
satisface la convención pasiva de los signos (fig 2.5). Esta convención debe estudiarse,
comprenderse y memorizarse cuidadosamente.
Figura 2.4
Los ejemplos de la siguiente figura amplían la ilustración de estas convenciones.
Figura 2.5

UMSS CIV - 270
26
2.1.6 Circuito Eléctrico [10]
Es un conjunto de elementos conductores que forman un camino cerrado (malla) por
el que circula una corriente eléctrica o se supone que circula.
2.1.7 Tipos de circuitos y elementos de circuitos
Al usar los conceptos de corriente y voltaje, se pude ser mas especifico cuando se define
un elemento del circuito.
Es importante establecer la diferencia entre un dispositivo físico en si y el modelo
matemático que lo representa y que se usara para analizar su comportamiento en un
circuito. A partir de este momento debe entenderse que la expresión elemento de circuito se
refiere al modelo matemático. La elección de un modelo particular para cualquier
dispositivo real debe basarse en datos experimentales, o en la experiencia; en general se
supondrá que esta elección ya ha sido hecha. Primero es necesario aprender los métodos
para analizar circuitos ideales.
La diferencia entre un elemento general de un circuito y un elemento simple de un
circuito, es que un elemento general del circuito puede componerse de mas de un elemento
simple de un circuito, pero un elemento simple de circuito ya no puede ser subdividido en
otros elementos simples. Por brevedad, se establece que el termino elemento de un circuito
en general se refiere a un elemento simple de un circuito.
Todos los elementos simples de circuitos que se consideran pueden clasificarse de
acuerdo con la forma en que se relaciona la corriente que circula a través de ellos, con el
voltaje existente entre sus terminales. Por ejemplo, si el voltaje entre las terminales del
elemento es directamente proporcional a la corriente que pasa a través de el, o sea v = ki,
este elemento se denomina resistor. Otros tipos de elementos simples de circuitos tienen en
sus terminales voltajes proporcionales a la derivada de la corriente con respecto al tiempo,
o a la integral de la corriente con respecto al tiempo.
También hay elementos en los cuales el voltaje es completamente independiente de
la corriente, o la corriente es completamente independiente del voltaje; estas son las
llamadas fuentes independientes. Mas aun, habrá que definir tipos especiales de fuentes, en
las cuales el voltaje o la corriente dependen del voltaje o la corriente presentes en otra parte
del circuito; estas se llaman fuentes dependientes o fuentes controladas.
Por definición, un elemento simple de un circuito es el modelo matemático de un
dispositivo eléctrico de dos terminales, y se puede caracterizar completamente por su
relación voltaje-corriente pero no puede subdividirse en otros dispositivos de dos
terminales.
El primer elemento que se necesita es una fuente independiente de voltaje. Se

UMSS CIV - 270
caracteriza porque el voltaje entre sus terminales es completamente independiente de la
corriente que pasa a través de ellas. Así, se tiene una fuente independiente de voltaje y se
dice que el voltaje entre sus terminales es 50 t2 V, pude tenerse la seguridad de que en t =
2s, por lo tanto el voltaje será 200V, sin importar la corriente que haya fluido, este fluyendo
o vaya a fluir. La figura 2.6 muestra como se representa una fuente independiente de
voltaje. El subíndice s identifica simplemente al voltaje como una “fuente” de voltaje (la s
es la primera letra de “source”, “fuente” en ingles).
Algo que vale la pena repetir es que la presencia del signo mas en el extremo
superior del símbolo para la fuente independiente de voltaje de la figura 2.6 no
necesariamente significa que la terminal superior siempre es positiva respecto a la inferior.
Mas bien significa que la terminal superior es vS volts positiva respecto a la inferior. Si en
algún instante vS toma un valor negativo, entonces la terminal superior es en realidad
negativa respecto a la inferior, en ese instante.
27
Figura 2.7
Figura 2.6
Si una flecha de corriente “i”, que apunta hacia la izquierda, se coloca junto al
conductor superior de esta fuente, entonces la corriente i esta entrando por la terminal con
signo positivo, se satisface la convención pasiva de los signos y la fuente absorbe una
potencia p = vS i. En general, se espera que una fuente entregue potencia a una red y no que
la absorba. En consecuencia, podría dirigirse la flecha hacia la derecha para que vS i
represente la potencia entregada por la fuente. Puede usarse cualquier dirección.
La fuente independiente de voltaje es una fuente ideal y no representa con exactitud
ningún dispositivo físico real, ya que teóricamente la fuente ideal podría entregar una
cantidad infinita de energía. Cada coulomb que pasa a través de ella recibe una energía de
vS joules, y el numero de coulombs por segundo es ilimitado. Sin embargo, esta fuente ideal
de voltaje proporciona una aproximación aceptable de varias fuentes practicas de voltaje.
Una batería de automóvil, por ejemplo, tiene una terminal de voltaje de 12 V que
permanece esencialmente constante mientras la corriente que pasa no exceda de unos
cuantos amperes. Esta pequeña corriente puede fluir en cualquier dirección; si es positiva y
esta saliendo de la terminal positiva, la batería esta suministrando potencia a las luces, por
ejemplo, y se esta descargando. Pero si la corriente es positiva y esta entrando a la terminal
positiva, entonces la batería se esta cargando o esta absorbiendo energía del generador, o
posiblemente de un cargador de baterías. Un contacto eléctrico domestico también se
aproxima a una fuente independiente de voltaje, que proporciona el voltaje vS =

UMSS CIV - 270
115 2 cos 2π 60t V; la representación es valida para corrientes menores que 20 A,
aproximadamente.
Una fuente independiente de voltaje que tiene un voltaje constante entre sus
terminales, se le llama comúnmente una fuente independiente de voltaje y se representa por
cualquiera de los símbolos mostrados en la figura 2.7. Nótese en la grafica 2.7b, donde se
sugiere una estructura física de placas para la batería, que la terminal positiva esta colocada
junto a la placa mas larga; entonces, la notación de signos (+) (-) es redundante, pero de
todas maneras se incluyen.
28
Figura 2.7
Otra fuente ideal necesaria es la fuente independiente de corriente. La corriente que
circula a través de ella es completamente independiente del voltaje entre sus terminales. La
figura 2.8 muestra el símbolo usado para una fuente independiente de corriente. Si iS es
constante, la fuente recibe el nombre de fuente independiente de corriente cd.
Figura 2.8
Al igual que la fuente independiente de voltaje, la fuente independiente de corriente
es, a lo mas, una aproximación aceptable de un elemento físico. En teoría, puede entregar
una potencia infinita, debido a que produce la misma corriente finita para cualquier voltaje
entre sus terminales, no importa que tan grande pueda ser este voltaje. A pesar de todo, es
una buena aproximación para muchas fuentes practicas, sobre todo en circuitos
electrónicos. Asimismo, la fuente independiente de cd representa de manera fiel el haz de
protones de un ciclotrón que opera a una corriente constante de haz de aproximadamente
1μ A, y seguirá entregando 1μ A a casi cualquier dispositivo colocado entre sus
“terminales” (el haz y la tierra).

UMSS CIV - 270
Las dos clases de fuentes ideales descritas hasta aquí se llaman fuentes
independientes, porque lo que pasa en el resto del circuito no afecta los valores asignados
pendientes, porque lo que pasa en el resto del circuito no afecta los valores asignados a
dichas fuentes. Esto no ocurre con otra clase de fuente ideal, la fuente controlada o
dependiente, en la que el valor esta determinado por un voltaje o corriente presente en
algún otro lugar del sistema eléctrico en consideración. Para distinguir entre fuentes
dependientes e independientes, se usaran los símbolos en forma de rombo.
29
2.2 LEY DE OHM [10]
Ahora se representara otro elemento ideal, el resistor lineal. Se trata del elemento
pasivo mas simple y se comenzara considerando el trabajo de Georg Simon Ohm, un
oscuro físico alemán que en 1827 publico un articulo titulado “Die galvanische Kette
mathematisch bearbeitet” (“El circuito galvanico investigado matemáticamente”). En dicho
articulo están contenidos los resultados de uno de los primeros esfuerzos realizados para
medir corrientes y voltajes, y para describirlos y relacionarlos matemáticamente. Uno de los
resultados fue el enunciado de la relación fundamental que ahora se conoce como ley de
Ohm, aun cuando se ha demostrado que esta ley fue descubierta 46 años antes en Inglaterra
por Henry Cavendish. Sin embargo, nadie, incluyendo a Ohm, sabia del trabajo hecho por
Cavendish, porque esto se descubrió y publico hasta mucho tiempo después que ambos
murieran.
La ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de muchos tipos de
materiales conductores es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del
material, es decir,
V = Ri (4)
Donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia. La
unidad de resistencia es el ohm, el cual es igual a 1 V/A y generalmente se simboliza por
una omega mayúscula, .
Cuando se hace una grafica v contra i de esta ecuación, se obtiene una línea recta
que pasa por el origen. La ecuación es lineal, y se considerara la definición de resistencia
lineal. De aquí que, si el cociente del voltaje y la corriente asociados con cualquier
elemento simple de corriente es constante, entonces el elemento es un resistor lineal y el
valor de su resistencia es igual a la razón voltaje sobre corriente.
Normalmente se considera que la resistencia es una cantidad positiva, aunque se pueden
simular resistencias negativas por medio de circuitos especiales.
Los resistores no lineales no necesariamente deben considerarse como elementos no
deseables, ya que, aunque es cierto que su presencia complica el análisis, el funcionamiento
del dispositivo puede depender de la no linealidad o mejorar notablemente por ella. Estos
elementos son los diodos Zener, los diodos túnel y los fusibles.

UMSS CIV - 270
La figura 2.9 muestra el símbolo que mas se usa para un resistor. De acuerdo con las
30
convenciones de voltaje, corriente y potencia adoptadas anteriormente,
Figura 2.9
el producto de v e i representa la potencia absorbida por el resistor; es decir, v e i se
seleccionan para satisfacer la convención pasiva de los signos. La potencia absorbida
aparece físicamente como calor y siempre es positiva; un resistor (positivo) es un elemento
pasivo que no puede entregar potencia ni almacenar energía. Otras expresiones para la
potencia absorbida son
p = v i = i2 R =
v2
R
(5)
La razón de la corriente al voltaje es también una constante,
(6)
G
i = = 1
v R
donde G recibe el nombre de conductancia. En el SI la unidad de conductancia es el
siemens (S), igual a 1 A/V. Una unidad no oficial mas antigua de conductancia es el mho,
que se representa por una omega mayúscula invertida, . Para representar resistencias y
conductancias se usa el mismo símbolo. La potencia absorbida es de nuevo necesariamente
positiva y se puede expresar en términos de la conductancia por
i
G
p v i v G
2
2 = . = = (7)
1
Así, una resistencia de 2 tiene una conductancia de S
2
, y si una corriente de 5 A
esta fluyendo a través de ella, se tiene un voltaje de 10 V entre sus terminales y se esta
absorbiendo una potencia de 50 W.
La resistencia se puede usar como base para definir dos términos de uso común: el
cortocircuito y el circuito abierto. Definimos un cortocircuito como una resistencia de cero
ohms; entonces, como v = Ri, el voltaje en un cortocircuito debe ser cero, aun cuando la
corriente puede tener cualquier valor. De forma parecida, se define el circuito abierto como
una resistencia infinita. De esto sigue que la corriente debe ser cero, independientemente
del valor del voltaje entre las terminales del circuito abierto.

UMSS CIV - 270
31
2.3 LEYES DE KIRCHOFF [10]
Ahora se pueden considerar las relaciones de corriente y voltaje en redes simples
que resultan de la interconexión de dos o mas elementos simples de un circuito. Los
elementos se conectan entre si por medio de conductores eléctricos, o alambres, los cuales
tienen resistencia cero, o son conductores perfectos. Como la apariencia de la red es la de
cierto numero de elementos simples y un conjunto de alambres que los conectan, recibe el
nombre de red de elementos de parámetros concentrados. Un problema de mayor dificultad
para el análisis surge cuando uno se encuentra ante una red de elementos de parámetros
distribuidos, la cual contiene esencialmente un numero infinito de elementos tan pequeños
como se quiera. La consideración de este ultimo tipo de redes esta piadosamente relegado a
cursos posteriores.
Se llama nodo al punto en el cual dos o mas elementos tienen una conexión común.
La figura 2.10 a muestra un circuito que contiene tres nodos. A veces las redes se dibujan
para hacer creer a algún estudiante despistado que hay mas nodos que los que realmente se
tienen. Esto ocurre cuando un nodo, como el nodo 1 en la figura 2.10 a, se muestra como
dos uniones distintas conectadas por un conductor (de resistencia cero), como en la figura
2.10b. Sin embargo, todo lo que se hizo fue convertir el punto común en una línea común
de resistencia cero. Entonces, necesariamente deben considerarse como parte del nodo
todos los alambres perfectamente conductores, o las porciones de ellos conectadas a un
nodo. Nótese también que cada elemento tiene un nodo en cada una de sus terminales.
Figura 2.10
Supóngase que el proceso empieza en uno de los nodos de una red y se mueve a
través de un elemento simple al otro nodo terminal, luego, a partir de ese nodo continua a
través de un elemento diferente al nodo siguiente, y sigue de esta forma hasta recorrer
tantos elementos como se desee. Si no pasa a través de ningún nodo mas de una vez,
entonces se dice que el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales pasa
constituye una trayectoria. Si comienza y termina en el mismo nodo, entonces por
definición, la trayectoria se llama trayectoria cerrada o lazo.
Otro termino cuyo uso es conveniente es el de rama. Una rama se define como una

UMSS CIV - 270
trayectoria simple en una red, compuesta por un elemento simple y por los nodos situados
en cada uno de sus extremos. Por lo tanto, una trayectoria es una colección especifica de
ramas. El circuito que se muestra en las figuras 2.10 a y 2.10b contienen cinco ramas.
Ahora se puede presentar la primera de las dos leyes que deben su nombre a Gustav
Robert Kirchhoff, profesor universitario alemán nacido por la época en que Ohm realizaba
su trabajo experimental. Esta ley axiomática recibe el nombre de ley de corrientes de
Kirchhoff (o LCK, para abreviar), y establece que:
32
“La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero”.
No se demuestra esta ley aquí. Sin embargo, representa simplemente el enunciado
matemático del hecho de que la carga no puede acumularse en ningún nodo. Es decir, si
hubiera una corriente neta hacia un nodo, entonces la razón a la que los coulombs se
estarían acumulando en el nodo no seria cero; pero un nodo no es un elemento de circuito, y
no pude almacenar, destruir o generar carga. Entonces, la suma de las corrientes debe ser
cero.
En la figura 2.11. La suma algebraica de las cuatro corrientes que entran al nodo debe ser
cero:
Figura 2.11
Es evidente que la ley se puede aplicar al igual a la suma algebraica de las corrientes
que salen de cualquier nodo:
iA – iB + iC + iD = 0
También se puede igualar la suma de las corrientes que tienen flechas apuntando hacia
el nodo, a la suma de las corrientes dirigidas hacia fuera del nodo:
0
= 1
Σ=
N
n
n i (8)

UMSS CIV - 270
33
y esto no es mas que una abreviatura de
i1 + i2 + i3 +.......+ iN = 0 (9)
Ya sea que se use la ecuación (8) o la (9), se entiende que las N flechas de corrientes
apuntan todas hacia el nodo en cuestión, o bien todas se alejan de el.
A veces es útil interpretar la ley de corrientes de Kirchhoff en términos de una
analogía hidráulica. El agua, al igual que la carga, no puede acumularse en un punto, así
que si se identifica la unión de varios tubos como un nodo, es evidente que el numero de
galones de agua que entran al nodo cada segundo debe ser igual al numero de galones que
salen del nodo cada segundo.
Ahora se vera la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) que establece:
Nota: La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un
circuito es cero.
La corriente es una variable que esta relacionada con la carga que fluye a través de
un elemento, mientras que el voltaje es una medida de la diferencia de energía potencial
entre las terminales del elemento. En la teoría de circuitos, esta cantidad tiene un solo valor.
Por lo tanto, la energía requerida para mover una unidad de carga del punto A al punto B en
un circuito debe tener un valor que sea independiente de la trayectoria escogida para ir de A
a B.
En la figura 2.12, si se transporta una carga de 1C de A a B a través del elemento1,
los signos de referencia de la polaridad para v1 muestran que se realiza un trabajo de v1
joules. Pero si se elige ir de A a B pasando por C, entonces se gasta una energía de
Figura 2.12
v2 – v3 joules. Pero el trabajo realizado es independiente de la trayectoria, y estos valores
deben ser iguales. Cualquier ruta lleva al mismo valor del voltaje. Así,

UMSS CIV - 270
34
v1 = v2 – v3 (10)
Entonces, si se recorre una trayectoria cerrada, la suma algebraica de los voltajes de
los elementos individuales que la componen debe ser cero, y se puede escribir así:
0
= 1
Σ=
N
n
n v o v1 + v2 + v3 +.......+ vN = 0 (11)
La ley de voltajes de Kirchhoff es una consecuencia de la conservación de la
energía y la propiedad conservativa del circuito eléctrico. Esta ley también se puede
interpretar como una analogía gravitacional. Si se mueve una masa a lo largo de una
trayectoria cerrada en un campo gravitacional conservativo, el trabajo total realizado sobre
la masa es cero.
Se puede aplicar la LVK a un circuito en varias formas diferentes. Un método que
es útil para evitar los errores al escribir las ecuaciones consiste en recorrer mentalmente la
trayectoria cerrada en el sentido de las manecillas del reloj y escribir directamente el voltaje
de cada elemento con terminal (+), y escribir el negativo de cada voltaje cuya terminal (-)
se encuentre primero. Aplicando esto al lazo único de la figura 2.12, se tiene
- v1 + v2 - v3 = 0
lo cual ciertamente esta de acuerdo con el resultado anterior de la ecuación (10).
2.3.1 RESISTENCIA EQUIVALENTE [11*]
Asociaciones generales de resistencias: a) Serie y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente
Figura 2.13
Se denomina resistencia equivalente, RAB, de una asociación respecto de dos puntos
A y B, a aquella que conectada la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la misma
intensidad, I (ver figura 2.13). Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación
y su resistencia equivalente disipan la misma potencia.

UMSS CIV - 270
35
a) Asociación serie
Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al
conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que
ambas, figuras 2.13a) y 2.13c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, UAB. Si
aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:
AB n U = U +U + ...+U 1 2 (12)
Aplicando la ley de ohm:
( ) AB n n U = I.R + I.R + ...+ I.R = I R + R + ... + R 1 2 1 2 (13)
En la resistencia equivalente:
AB AB U = I.R
Finalmente, igualando ambas ecuaciones:
( ) AB n I.R = I R + R + ...+ R 1 2
Y eliminando la intensidad:
n
Σ== + + + =
AB n K R R R R R
1 2 ... (14)
K
1
Por lo tanto la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la
suma de dichas resistencias.
Ejemplo;
Hallar la resistencia total del circuito entre los extremos A y B.

UMSS CIV - 270
36
b) Asociación paralelo
Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales
comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas la
resistencias tienen la misma caída de tensión, UAB.
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo
imaginaremos que ambas, figuras 2.13b) y 2.13c), están conectadas a la misma diferencia
de potencial mencionada, UAB, lo que originará una misma demanda de intensidad, I. Esta
intensidad se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la
primera ley de Kirchhoff:
I = I + I + ...+ In 1 2
Aplicando la ley de ohm:

 

 
U
U
U
= + + + = + + +
n
AB
AB AB AB
n
R R R
U
R
R
R
I
1
...
1 1
...
1 2 1 2
(15)
En la resistencia equivalente se cumple:

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37
AB
R
AB
U
I =
Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB:
1
= + + +
...
1 1 1
R R R R
AB 1 2
n De donde:
Σ =
=
n
K
K
AB
R
R
1
1
1
(16)
Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la
inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias.
Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo:
1. Dos resistencias: En este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente es
igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:
R R
= 1 2
(17)
RAB +
R R
1 2
2. k resistencias iguales: Su equivalente resulta ser:
R
Rt = (18)
k
Ejemplo
Del siguiente circuito hallar la resistencia equivalente entre los extremos A y B.

UMSS CIV - 270
38
Solucion:
c) Asociación mixta [11*]
Asociaciones mixtas de cuatro resistencias: a) Serie de paralelos, b) Paralelo de series y c)
Ejemplo de una de las otras posibles conexiones.
Figura 2.14
En una asociación mixta podemos encontrarnos conjuntos de resistencias en serie

UMSS CIV - 270
con conjuntos de resistencias en paralelo. En la figura 2.14 pueden observarse tres
ejemplos de asociaciones mixtas con cuatro resistencias.
A veces una asociación mixta es necesaria ponerla en modo texto. Para ello se
utilizan los símbolos + y // para designar las asociaciones serie y paralelo
respectivamente. Así con (R1 + R2) se indica que R1 y R2 están en serie mientras que con
(R1//R2) que están en paralelo. De acuerdo con ello, las asociaciones de la figura 2.14 se
pondrían del siguiente modo:
39
a) (R1//R2)+(R3//R4)
b) (R1+R2)//(R3+R4)
c) ((R1+R2)//R3)+R4
Para determinar la resistencia equivalente de una asociación mixta se van
simplificando las resistencias que están en serie y las que están en paralelo de modo que el
conjunto vaya resultando cada vez más sencillo, hasta terminar con un conjunto en serie o
en paralelo. Como ejemplo se determinarán la resistencias equivalentes de cada una de las
asociaciones de la figura 2.14 :
a) b) c)
R1//R2 = R1//2 R1+R2 = R1+2 R1+R2 = R1+2
R3//R4 = R3//4 R3+R4 = R3+4 R1+2//R3 = R1+2//3
RAB = R1//2 + R3//4 RAB = (R1+2 · R3+4)/(R1+2 + R3+4) RAB = R1+2//3 + R4
Ejemplo:
Encuentre la resistencia equivalente del siguiente circuito Rab..

UMSS CIV - 270
40
d) Asociaciones estrella y triángulo [11*]

UMSS CIV - 270
41
Asociaciones: a) En estrella y b) En triángulo.
Figura 2.15
En la figura a) y b) pueden observarse respectivamente las asociaciones estrella y
triángulo.
Este tipo de asociaciones son comunes en las cargas trifásicas.
Las ecuaciones de equivalencia entre ambas asociaciones vienen dadas por el
teorema de Kenelly, de donde se deduce que los valores de la estrella en función de los del
triángulo (transformación triángulo a estrella) son:
R R
= 1 3
(19)
R R R
1 2 3
RA
+ +
R R
= 1 2
(20)
R R R
1 2 3
RB
+ +
R R
= 2 3
(21)
R R R
1 2 3
RC
+ +
Y los del triángulo en función de la estrella (transformación estrella a triángulo):
RARB
R = RA + RB + 1 (22)
RC
RBRC
R = RB + RC + 2 (23)
RA
RARC
R = RA + RC + 3 (24)
RB
e) Asociación puente

UMSS CIV - 270
42
Asociación puente.
Figura 2.16
Si en una asociación paralelo de series se conecta una resistencia que una las dos
ramas en paralelo, se obtiene una asociación puente como la mostrada en la figura 2.16
La determinación de la resistencia equivalente de este tipo de asociación tiene sólo
interés pedagógico. Para ello se sustituye una de las configuraciones en estrella de la
asociación, la R1-R3-R5 o la R2-R4-R5 por su equivalente en triángulo, transformándose el
conjunto en una asociación mixta de cálculo sencillo. Otro método consiste en aplicar una
fem (E) a la asociación y obtener su resistencia equivalente como relación de dicha fem y la
corriente total demandada (E/I).
El interés de este tipo de asociación está cuando por la resistencia central no circula
corriente, pues permite calcular los valores de una de las resistencias (R1, R2, R3 o R4) en
función de las otras tres. En ello se basan los puentes de Wheatstone y de hilo para la
medida de resistencias con precisión.
Ejemplo
Como ejemplo del uso de la LVK, se trabajara con el circuito de la figura
2.17. Hay ocho elementos de circuito, y entre las terminales de cada uno se muestran sus
respectivos pares de signos mas-menos. Supóngase que se quiere calcular vR2, el voltaje
entre las terminales de R2.
Figura 2.17
Solución: Esto puede lograrse escribiendo una ecuación de LVK alrededor del lazo

UMSS CIV - 270
43
izquierdo:
4 – 36 + v R2 = 0
resultando que
v R2 = 32 V
Por ultimo, supóngase que se desea calcular el valor de vx. Esto podría pensarse
como la suma (algebraica) de los voltajes que pasan por los tres elementos de la derecha, o
podría considerarse como el voltaje medido por un voltímetro ideal conectado entre los
puntos a y b. Se aplica LVK comenzando en la esquina inferior izquierda, se sube y se
avanza por toda la parte superior hasta a, pasando por vx hasta b, y por el alambre
conductor hasta el punto inicial:
4 – 36 + 12 + 14 + vx = 0
de manera que
vx = 6 V
Conociendo v R2 también se pudo haber tomado el camino corto a través de R2,
- 32 + 12 + 14 + vx = 0
o
vx = 6 V
una vez mas.
PROPUESTOS
Hallar la resistencia equivalente entre los extremos A y B y sus unidades están en
ohmios [].

UMSS CIV - 270
44
Encuentre las resistencias equivalentes [Rab] de los circuitos mostrados y cada uno
de sus valores están en ohmios []
2.4 DIVISORES [14]
2.4.1 DIVISOR DE CORRIENTE
I = I1 + I2
I1 = I
R
+
2
R R
1 2
(25)
I2 = I
R
+
1
R R
1 2
Figura 2.18
I1 + I2 = I
R
+
2
R R
1 2
+ I
R
+
1
R R
1 2
= I (26)

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