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GEB概論
(前半)
白石俊平@ゆるげぶ
2017/12/04
俺的
なぜこのスライドを作ったか
● このタイミングで、きちんと内容を振り返っておきたい
○ ゆるげぶ(ゲーデル、エッシャー、バッハをゆるく読む会)も前半( 9章まで)終了
○ 新しいメンバーも増えた
● 自分的にも、頭を整理しておきたかった
○ アウトプットして人に伝えようとするのが一番整理はかどる
GEBの目的
「本書の主要な目的の一つは、読者の一人ひとりがこの外見上の矛盾にまともに対面
するように仕向け、これをよく味わい、考え、分解し、そこで転げまわって、そして最後に
は、形式性と非形式性、生物と無生物、柔軟と硬直の間の超えがたく見える隔たりにつ
いて、新しい洞察を得られるようにすることである。」(GEB p.43より引用)
※「この外見上の矛盾」 …「知的な行動をプログラミングするということは、果たして可能なのだろうか?これは用
語上全くの矛盾ではないのか?」 (「薄い本」p.20より引用)
GEBとは
ゲーデルの不完全性定理を中心として、スコープを限定せずに、天才が書き散ら
したエッセイ集
ゲーデル
(数理論理学)
コンピューター
科学
バッハ
エッシャー
人工知能
意味論 禅
不思議の環
形式システ
ム
言語・論理
の限界
ゲーデルの不完全性定理(Wikipediaより引用)
数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。
第1不完全性定理
自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできな
い命題が存在する。
第2不完全性定理
自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証
明できない。
ゲーデル以前
「どうやったら矛盾のない完全な数学を作
れるだろう?」
ゲーデル以後
ムリ\(^o^)/
不完全定理への道のり
1. 数論は、形式システムとその解釈として表せる
a. 数論 is a 形式システム
2. ゲーデル数を持ち込むと、形式システムを数論として扱える
a. 形式システム as 数論
b. ここが天才的発想
3. これにより、数論のど真ん中に不思議の環による自己矛盾が免れ得ないもの
となり、無矛盾性と完全性は両立できないことが証明される
a. 不思議の環…「一周回って元の位置」みたいな概念。論理的な文章で記すなら「次の文は正
しい。前の文は誤りである。」など。
不完全定理への道のり
1. 数論は、形式システムとその解釈として表せる
a. 数論 is a 形式システム
2. ゲーデル数を持ち込むと、形式システムを数論として扱える
a. 形式システム as 数論
b. ここが天才的発想
3. これにより、数論のど真ん中に不思議の環による自己矛盾が免れ得ないもの
となり、無矛盾性と完全性は両立できないことが証明される
a. 不思議の環…「一周回って元の位置」みたいな概念。論理的な文章で記すなら「次の文は正
しい。前の文は誤りである。」など。
形式システム
● ルールに従って記号を操作するシステム
● GEBでは、MUパズルやpqシステムが例として取り上げられている
● 形式システムの登場人物
○ 公理・・・所与として与えられる記号列、もしくは定義
○ 生成規則・・・記号操作のルール
○ 定理・・・公理に生成規則を適用することで生み出される記号列
○ よい列・・・公理と生成規則によって生み出されうる記号列の形
形式システム
● MUパズルの例
○ 公理: MI
○ 規則1: 最後の文字がIなら、その後にUを加えて良い
○ 規則2: Mx (xは任意の文字列) はMxxとして良い
○ 定理: MIU (公理に規則1を適用)
○ 定理: MIUIU (上の定理に規則2を適用)
○ よい列でないもの: IU (Mのない定理は生成できない)
● MUは生成できるか?
○ 言い換えると
■ →MUは定理であるか?
■ →MUは証明可能か?
形式システム
● pqシステムの例
○ 公理: xがハイフンだけの列である時、「 xp-qx-」は公理である
○ 規則: 「xpyqz」が定理であれば、「 xpy-qz-」も定理である
○ 定理1: --p-q---
○ 定理2: --p--q---- (定理1に規則を適用)
○ よい列でないもの: --p-q---q--p---
● 「足し算」を意味している、と解釈することもできる
○ しかし、意味を付与するのは人間の勝手
○ 同型対応が意味を感じさせる
無矛盾性
● 「矛盾するか」は「解釈次第」
○ 例えばpqシステムのqを「大きいかまたは等しい」と解釈することもできるが、すると
「--p-q------」など、定理でない記号列も生成できてしまう
○ 解釈を変えれば矛盾の定義も変わる
○ 「数学的に無矛盾とは、解釈された定理が数学に違反しないことであり、 物理学的に無矛盾
とは、解釈された定理がすべて物理法則と両立することをいう。」( GEB p.111)
● つまり数論は、「形式システム+解釈」の一つに過ぎない
● では、数論は、たくさんあるのではないか?
○ →YES(→例: 非ユークリッド幾何学)
無矛盾性と完全性
● 無矛盾性: 「そのシステムが生成
するものはみな正しい」
● 完全性: 「正しい文はすべてその
システムで生成できる」
● 「あるシステムが無矛盾であるが
完全でないときは、記号とその解
釈の間にズレがある、ということ
である」 (GEB p.116)
無矛盾性と完全性
● 無矛盾性: 「そのシステムが生成
するものはみな正しい」
● 完全性: 「正しい文はすべてその
システムで生成できる」
● 「あるシステムが無矛盾であるが
完全でないときは、記号とその解
釈の間にズレがある、ということ
である」 (GEB p.116)
結論の先取り:
不完全性定理は
無矛盾性と完全性は両立しない
ことを証明した
不完全定理への道のり
1. 数論は、形式システムとその解釈として表せる
a. 数論 is a 形式システム
2. ゲーデル数を持ち込むと、形式システムを数論として扱える
a. 形式システム as 数論
b. ここが天才的発想
3. これにより、数論のど真ん中に不思議の環による自己矛盾が免れ得ないもの
となり、無矛盾性と完全性は両立できないことが証明される
a. 不思議の環…「一周回って元の位置」みたいな概念。論理的な文章で記すなら「次の文は正
しい。前の文は誤りである。」など。
ゲーデル数とは
● 形式システムの記号を、ただ単純に数字に置き換えたもの
○ M ⇔ 3
○ I ⇔ 1
○ U ⇔ 0
● どう置き換えるかも任意。上のルールは「なんとなく形が似てる」というだ
け
○ 文字コードと文字の関係に似ている。というかそのまま。
ゲーデル数とは
● そして、MIUシステムの記号列を数字で置き換える
○ MU ⇔ 30
○ MIIU ⇔ 3110
ゲーデル数とは
● すると、MIUシステムの生成規則を、算術的に置き換えることができる!
○ 字形的規則
■ 公理: MIを作ることができる
■ 規則1: 最後の文字がIなら、その後にUを加えて良い
■ 例: MI -> MIU
○ 算術的規則
■ 公理: 31を作ることができる
■ 規則1: 10で割った時の余りが1である数は、10を掛けることがで
きる (10m+1 → 10×(10m+1))
■ 例: 31 -> 310
ゲーデル数とは
● すると、MIUシステムの生成規則を、算術的に置き換えることができる!
○ 字形的規則
■ 公理: MIを作ることができる
■ 規則1: 最後の文字がIなら、その後にUを加えて良い
■ 例: MI -> MIU
○ 算術的規則
■ 公理: 31を作ることができる
■ 規則1: 10で割った時の余りが1である数は、10を掛けることがで
きる (10m+1 → 10×(10m+1))
■ 例: 31 -> 310
形式システム as 数論
数字を処理する字形的規則は、実際は数に作用する算術的
規則である。
この簡単な知見がゲーデルの方法の核心にあり、
絶対的な破壊効果をももたらす。(GEB p.268)
不完全定理への道のり
1. 数論は、形式システムとその解釈として表せる
a. 数論 is a 形式システム
2. ゲーデル数を持ち込むと、形式システムを数論として扱える
a. 形式システム as 数論
b. ここが天才的発想
3. これにより、数論のど真ん中に不思議の環による自己矛盾が免れ得ないもの
となり、無矛盾性と完全性は両立できないことが証明される
a. 不思議の環…「一周回って元の位置」みたいな概念。論理的な文章で記すなら「次の文は正
しい。前の文は誤りである。」など。
TO BE CONTINUED...
10章 記述のレベルとコンピュータ・システム
正直、エンジニアには面白くない章
● エンジニアなら誰でも知ってる話
○ ビットがまとめて意味づけされて、より高レベルのデータになる
○ インタープリタとコンパイラ
○ ハードウェアとソフトウェア
○ …みたいな話
● 全体論の話は面白い

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