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電路學 - [第四章] 儲能元件

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儲能元件

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電路學 - [第四章] 儲能元件

  1. 1. 電路學 第四章 儲能元件:感應器與電容器 李健榮 助理教授 Department of Electronic Engineering National Taipei University of Technology
  2. 2. 大綱 • 儲能元件 • 電容器 • 串聯電容器與並聯電容器的等效電容 • 電感器 • 串聯電感器與並聯電感器的等效電感 Department of Electronic Engineering, NTUT2/21
  3. 3. 儲能元件 (Energy-Storage Elements) • 電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件,因此一般 常稱之為儲能元件。 • 在理想情況下,它們儲存的能量,可在以後某些時候釋回。 換言之,電容器和電感器電路有記憶能力(儲存的能量可 重新叫出 ),因此有時亦稱之為動態 (Dynamic)元件。 Department of Electronic Engineering, NTUT3/21
  4. 4. 電容器之電容量及電壓、電流關係 • 電容器上儲存的電荷 q 與外加電壓 v 成正比,因此 q = Cv。 其中 C 為比例常數,稱為電容器的電容量或簡稱電容,由 上式得 ,其中單位為庫侖/伏特,簡稱為法拉(Farad, 縮寫為F) • 電容器中電壓與電流的關係由 平行板電容器 + − v +q − q v + − q C v = i + − C + − v可得 其中C在一般情況均為定值,又由上式可知,當 v 為定值時,則 i = 0,換 句話說,對直流穩態而言,理想電容器為開路。 q Cv= dq i dt =及 ( )d Cv dv i C dt dt = = Department of Electronic Engineering, NTUT4/21
  5. 5. 範例1 • 例1 :圖(a)電路中,設 C = 1 F,且外加電壓 v(t) 之波形如 圖(b) 所示,試求電流 i(t) 之波形。 其波形如圖 (c) 所示。 由圖 (b) 可得 因此 −1 0 1 2 1 t (c) i(t)( ) ( ) 0 , 0 ,0 1 2 ,1 2 0 ,2 t t t v t t t t −∞ < <  ≤ < =  − − ≤ <  ≤ < ∞ ( ) ( ) 0 , 0 1 ,0 1 1 ,1 2 0 ,2 t tdv t i t C tdt t −∞ < <  ≤ < = =  − ≤ <  ≤ < ∞ v(t) i(t) + − C (a) (b) t − (t −2) 1 1 20 t v(t) 0 0 Department of Electronic Engineering, NTUT5/21
  6. 6. 範例2 • 例 2:求圖(a)中之電壓 v(t),其中電流 i(t) 之波形, 如圖(b)所示,且 C = 1 F。 A. t ≤ 0 時,i = 0, C. t ≥ 時,i = 0, B. 0 ≤ t ≤ 時,i = K, 1 K 1 1/K0 t v(t) (c) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 t v t dt v C −∞ = + −∞ =∫ ( ) 0v −∞ =其中 ,由此步驟知 ( )0 0v = ( ) ( ) ( )0 1 0 t v t K dt v Kt C = + =∫ 由上已知 ,而當 時( )0 0v = 1 t K = ( ) 1 1 Vv K   =    ( ) ( )1 1 1 0 1 t K v t dt v C K   = + =    ∫ 其中 電壓 v(t) 的波形如圖 (c) 所示。 ( ) 1 1 Vv K   =    (a) + − 1 F + − v(t) i(t) (b) K 1/ K0 t i(t) 1 K Department of Electronic Engineering, NTUT6/21
  7. 7. 儲存於電容器的能量 • 儲存在電容器中的能量 wc(t): 又依據 由 及 可得電容器中的能量為 因 ,所以 上式亦可表示為 ( ) ( ) t w t vi dt −∞ = ∫ dv i C dt = ( ) ( ) t t C dv w t vi dt v C dt dt−∞ −∞   = =     ∫ ∫ ( ) ( )21 2 t t C v dv Cv t −∞ −∞ = =∫ ( ) 0v −∞ = ( ) ( )21 2 Cw t Cv t= q Cv= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 C q t w t q t v t C = = Department of Electronic Engineering, NTUT7/21
  8. 8. 電容器電壓之連續性 • 電容器上的電壓具有連續的特性,亦即電容器上的電壓, 在正常情況下其值不會瞬間改變。 • 電容器電壓之所以具連續性,可由 解釋,因若 欲瞬間 (dt→0) 改變電容器電壓值,則 項會趨近無限 大,亦即會有無限大之電流通過電容器,也就是需要無限 大的功率。但此在物理上為一不可能之事,因而跨在電容 器上的電壓不能瞬間改變,但電流可以不連續,亦即可以 瞬間改變。 ( )i C dv dt= ( )dv dt Department of Electronic Engineering, NTUT8/21
  9. 9. 範例3 • 例3:下圖電路中已知 , , 開關在 t = 0 時關上,求 , 及 之值。 1.電容器上的電壓為連續,即 v(0+) = v(0-)。 2.電容器上的電流可為不連續,例如本例題 i(0-) = 2A 但 i(0+) = 4A, 即電流瞬間自 2A 變為 4A。 3.關上開關一段時間後,電容上的電壓因釋放能量到電阻而逐漸降至零, 此即電容器的放電行為,此種特性在下一章將進一步分析。 4.電容器上的電壓達一穩定直流值時,其電流將為零。 ( )1 0 14 Vv − = ( )2 0 6 Vv − = ( )1 0v + ( )2 0v + ( )0i + ( ) ( ) ( )1 10 0 14 Vv v+ − = = ( ) ( ) ( )2 20 0 6 Vv v+ − = = ( ) ( )1 14 0 2 A 2 5 i − = = + ( ) ( )1 14 6 0 4 A 2 i + − = = 4µF + − + − v1 t =02 Ω 5 Ω1µF i v2 Department of Electronic Engineering, NTUT9/21
  10. 10. 僅含電容器的奇異電路 • 僅含電容器的奇異電路(Singularity Circuits with Capacitors): 雖然在大部分的情況中,電容器上的電壓具有連續性, 但在一些特殊電路中,由於開關的強迫閉合,會使得電容 器上的電壓有不連續性現象,此種電路一般稱為奇異電路。 V + − C t =0 Department of Electronic Engineering, NTUT10/21
  11. 11. 串聯電容器的等效電容 • 串聯電容器的等效電容 + − i + − v CT v (b) 等效電路 + − + − + − v1 + − v (a) 串聯電容器 i v2 vN C1 C2 CN 且 若圖 (b)為圖 (a) 之等效電路,則 1 2 1 1 1 1 T NC C C C = + + +⋯ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Nv t v t v t v t= + + +⋯ Department of Electronic Engineering, NTUT11/21
  12. 12. 並聯電容器的等效電容 • 並聯電容器的等效電容 若圖(b) 為圖(a)之等效電路,則 1 2T NC C C C= + + +⋯ i2 C2 i1 C1 i iN CN + − v (a)並聯電容器 CT + − vi (b)等效電路 Department of Electronic Engineering, NTUT12/21
  13. 13. 電感器之電感值 • 設磁通 f 通過每一匝線圈,則此 N 匝線圈所交鏈到的全部 磁通量為 ϕ = N f • 在一個線性電感器內, ϕ 與通過電感器之電流 i 成正比, 即 ϕ = Li • 其中比例常數 L 即為電感,其單位為韋伯 / 安培,一般簡 稱為亨利 ( Henry,縮寫為 H ),因此 1 Wb/A 即為 1 H。 電感器電流與磁通 f N 匝 i i + v − ϕ = N f Department of Electronic Engineering, NTUT13/21
  14. 14. 電感器中電壓與電流的關係 • 法拉第電磁感應定律:只要 ϕ 有變化,則會在線圈兩端感 應出電壓即 • 電感器的電路符號如右圖所示, 當電感器外接直流電流源時,則 vL = 0 因此一個理想的電感器對直流穩態而言,相當於短路。 • 藉由積分 ,可求出電感器在 t0 至 t 所產生的電流 其中 為 至 所累積之電流,又 故 電感器之電路符號 L vL −+ i( ) L d Nfd di v L dt dt dt φ = = = ( ) ( ) ( )0 0 1 t t i t v t dt i t L = +∫ ( ) ( ) 1 t i t v t dt L −∞ = ∫ L di v L dt = ( )0i t t = −∞ 0t t= ( ) 0i −∞ = Department of Electronic Engineering, NTUT14/21
  15. 15. 範例4 • 例4:圖 (a) 之電路,其電流源之波形如圖 (b) 所示,試求 其電壓之波形。 v(t)波形如圖 (c) 所示i(t) 可表示成 可得 (a) + − i(t) 1 H v(t) t −(t − 2) 0 01 1 20 t (b) i(t) (c)−1 0 1 2 1 t v(t) ( ) ( ) 0 , 0 ,0 1 2 ,1 2 0 ,2 t t t i t t t t −∞ < <  ≤ < =  − − ≤ <  ≤ < ∞ ( ) ( ) 0 , 0 1 ,0 1 1 ,1 2 0 ,2 t tdi t v t L tdt t −∞ < <  ≤ < = =  − ≤ <  ≤ < ∞ Department of Electronic Engineering, NTUT15/21
  16. 16. 儲存於電感器的能量 • 儲存在電感器中的能量wL(t): 依 及 可得 因 ,所以 ( ) ( ) t w t vi dt −∞ = ∫ di v L dt = ( ) ( ) ( )21 2 t t t t L dv w t vi dt C idt L idi Li t dt −∞−∞ −∞ −∞   = = = =    ∫ ∫ ∫ ( ) 0i −∞ = ( ) ( )21 2 Lw t Li t= ( ) ( )21 2 Cw t Cv t= 儲存在電容器中的能量wC(t): Department of Electronic Engineering, NTUT16/21
  17. 17. 電感器電流之連續性 (範例5) • 電感器中的電流具有連續性的特性,亦即是電感器中的電 流,在正常情況下,其值不會瞬間改變。 • 例6:下圖電路中,已知 i1(0-) = 3 A,若開關在 t = 0 時 打開,求 i2(0-) , i1(0+) , i2(0+) , v(0-) 及 v(0+) 。 此時由 KVL 可得 即電感器形同短路,所以 在 t = 0 之前 (t = 0+) 瞬間,電感器電流 i1 為 3A , 所以 6 Ω + − 30V t =02 Ω + −v 6 Ω 1H i1 i2 ( ) ( )1 10 0 3 Ai i+ − = = L di v L dt = ( ) ( )3 0 1 0 V d v dt − = = ( ) ( ) 30 0 6 A 2 6//6 i − = = + ( ) ( ) ( )2 10 0 0 6 3 3 Ai i i− − − = − = − = ( ) ( ) ( )0 3 6 3 6 36 Vv + = − ⋅ + − ⋅ = − ( ) ( )2 10 0 3 Ai i+ + = − = − Department of Electronic Engineering, NTUT17/21 在開關打開之前的瞬間:
  18. 18. 僅含電感器的奇異電路 • 和一些電容器組成的奇異電路相同,一些電感器組成的奇 異電路中, 亦會發生電流不連續性的情況。 I L t =0 Department of Electronic Engineering, NTUT18/21
  19. 19. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感 • 串聯電感器的等效電感 若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路,則比較 及 可得 + − LT i v + −v LN L2 L1 + − vN + − v2 + − v1 i (a) 串聯電感器 (b) 等效電路 1 2 Nv v v v= + + +⋯ 1 2 N di di di L L L dt dt dt = + + +⋯ ( )1 2 N di L L L dt = + + + ⋅⋯ T di v L dt = ( )1 2T NL L L L= + + +⋯ Department of Electronic Engineering, NTUT19/21
  20. 20. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感 • 並聯電感器的等效電感 欲使圖 (b) 與圖 (a) 為等效電路,則由 可得 且 及 i L1 L2 LN iN + − v i1 i2 (a) 並聯電感器 + − v LTi (b) 等效電路 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1t t t N t t t N i t vdt i t vdt i t vdt i t L L L = + + + + + +∫ ∫ ∫⋯ ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0 1 2 1 1 1 t N t N vdt i t i t i t L L L    = − + + + + + + +         ∫⋯ ⋯ ( ) ( )0 0 1 t t T i t vdt i t L = +∫ 1 2 1 1 1 1 T NL L L L = + + +⋯ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Ni t i t i t i t= + + +⋯ Department of Electronic Engineering, NTUT20/21
  21. 21. 本章總結 • 本章旨在讓同學了解到電容器與電感器乃儲能元件,並且 電容器之電壓具有連續性而流經電感器的電流具有連續性。 因此電路中若具有開關時,可利用電壓或電流的連續性質 來得知開關前後一瞬間元件上之電壓或電流。 • 電容串聯: • 電容並聯: • 電感串聯: • 電感並聯: Department of Electronic Engineering, NTUT21/21 1 2 1 1 1 1 T NC C C C = + + +⋯ 1 2T NC C C C= + + +⋯ ( )1 2T NL L L L= + + +⋯ 1 2 1 1 1 1 T NL L L L = + + +⋯

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