2. 大綱
• 儲能元件
• 電容器
• 串聯電容器與並聯電容器的等效電容
• 電感器
• 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
Department of Electronic Engineering, NTUT2/21
3. 儲能元件 (Energy-Storage Elements)
• 電容器與電感器是可以儲存及釋放能量的元件,因此一般
常稱之為儲能元件。
• 在理想情況下,它們儲存的能量,可在以後某些時候釋回。
換言之,電容器和電感器電路有記憶能力(儲存的能量可
重新叫出 ),因此有時亦稱之為動態 (Dynamic)元件。
Department of Electronic Engineering, NTUT3/21
4. 電容器之電容量及電壓、電流關係
• 電容器上儲存的電荷 q 與外加電壓 v 成正比,因此 q = Cv。
其中 C 為比例常數,稱為電容器的電容量或簡稱電容,由
上式得 ,其中單位為庫侖/伏特,簡稱為法拉(Farad,
縮寫為F)
• 電容器中電壓與電流的關係由
平行板電容器
+
−
v
+q
− q
v
+
−
q
C
v
=
i
+
−
C
+
−
v可得
其中C在一般情況均為定值,又由上式可知,當 v 為定值時,則 i = 0,換
句話說,對直流穩態而言,理想電容器為開路。
q Cv=
dq
i
dt
=及
( )d Cv dv
i C
dt dt
= =
Department of Electronic Engineering, NTUT4/21
5. 範例1
• 例1 :圖(a)電路中,設 C = 1 F,且外加電壓 v(t) 之波形如
圖(b) 所示,試求電流 i(t) 之波形。
其波形如圖 (c) 所示。
由圖 (b) 可得
因此
−1
0 1 2
1
t
(c)
i(t)( )
( )
0 , 0
,0 1
2 ,1 2
0 ,2
t
t t
v t
t t
t
−∞ < <
≤ <
=
− − ≤ <
≤ < ∞
( )
( )
0 , 0
1 ,0 1
1 ,1 2
0 ,2
t
tdv t
i t C
tdt
t
−∞ < <
≤ <
= =
− ≤ <
≤ < ∞
v(t)
i(t)
+
−
C
(a)
(b)
t − (t −2)
1
1 20
t
v(t)
0 0
Department of Electronic Engineering, NTUT5/21
6. 範例2
• 例 2:求圖(a)中之電壓 v(t),其中電流 i(t) 之波形,
如圖(b)所示,且 C = 1 F。
A. t ≤ 0 時,i = 0,
C. t ≥ 時,i = 0,
B. 0 ≤ t ≤ 時,i = K,
1
K
1
1/K0 t
v(t) (c)
( ) ( ) ( )
1
0 0
t
v t dt v
C −∞
= + −∞ =∫
( ) 0v −∞ =其中 ,由此步驟知 ( )0 0v =
( ) ( ) ( )0
1
0
t
v t K dt v Kt
C
= + =∫
由上已知 ,而當 時( )0 0v =
1
t
K
= ( )
1
1 Vv
K
=
( ) ( )1
1 1
0 1
t
K
v t dt v
C K
= + =
∫
其中
電壓 v(t) 的波形如圖 (c) 所示。
( )
1
1 Vv
K
=
(a)
+
−
1 F
+
−
v(t)
i(t)
(b)
K
1/ K0
t
i(t)
1
K
Department of Electronic Engineering, NTUT6/21
7. 儲存於電容器的能量
• 儲存在電容器中的能量 wc(t):
又依據
由 及
可得電容器中的能量為
因 ,所以
上式亦可表示為
( ) ( )
t
w t vi dt
−∞
= ∫
dv
i C
dt
=
( ) ( )
t t
C
dv
w t vi dt v C dt
dt−∞ −∞
= =
∫ ∫ ( ) ( )21
2
t
t
C v dv Cv t
−∞
−∞
= =∫
( ) 0v −∞ = ( ) ( )21
2
Cw t Cv t=
q Cv=
( )
( )
( ) ( )
2
1 1
2 2
C
q t
w t q t v t
C
= =
Department of Electronic Engineering, NTUT7/21
10. 僅含電容器的奇異電路
• 僅含電容器的奇異電路(Singularity Circuits with Capacitors):
雖然在大部分的情況中,電容器上的電壓具有連續性,
但在一些特殊電路中,由於開關的強迫閉合,會使得電容
器上的電壓有不連續性現象,此種電路一般稱為奇異電路。
V
+
−
C
t =0
Department of Electronic Engineering, NTUT10/21
11. 串聯電容器的等效電容
• 串聯電容器的等效電容
+
−
i
+
−
v CT
v
(b) 等效電路
+
−
+
−
+
−
v1
+
−
v
(a) 串聯電容器
i
v2
vN
C1
C2
CN
且
若圖 (b)為圖 (a) 之等效電路,則
1 2
1 1 1 1
T NC C C C
= + + +⋯
( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Nv t v t v t v t= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT11/21
13. 電感器之電感值
• 設磁通 f 通過每一匝線圈,則此 N 匝線圈所交鏈到的全部
磁通量為 ϕ = N f
• 在一個線性電感器內, ϕ 與通過電感器之電流 i 成正比,
即 ϕ = Li
• 其中比例常數 L 即為電感,其單位為韋伯 / 安培,一般簡
稱為亨利 ( Henry,縮寫為 H ),因此 1 Wb/A 即為 1 H。
電感器電流與磁通
f
N 匝
i
i
+
v
−
ϕ = N f
Department of Electronic Engineering, NTUT13/21
14. 電感器中電壓與電流的關係
• 法拉第電磁感應定律:只要 ϕ 有變化,則會在線圈兩端感
應出電壓即
• 電感器的電路符號如右圖所示,
當電感器外接直流電流源時,則 vL = 0
因此一個理想的電感器對直流穩態而言,相當於短路。
• 藉由積分 ,可求出電感器在 t0 至 t 所產生的電流
其中 為 至 所累積之電流,又 故
電感器之電路符號
L
vL
−+
i( )
L
d Nfd di
v L
dt dt dt
φ
= = =
( ) ( ) ( )0
0
1 t
t
i t v t dt i t
L
= +∫
( ) ( )
1 t
i t v t dt
L −∞
= ∫
L
di
v L
dt
=
( )0i t t = −∞ 0t t= ( ) 0i −∞ =
Department of Electronic Engineering, NTUT14/21
15. 範例4
• 例4:圖 (a) 之電路,其電流源之波形如圖 (b) 所示,試求
其電壓之波形。
v(t)波形如圖 (c) 所示i(t) 可表示成
可得
(a)
+
−
i(t) 1 H v(t)
t −(t − 2)
0 01
1 20
t
(b)
i(t)
(c)−1
0 1 2
1
t
v(t)
( )
( )
0 , 0
,0 1
2 ,1 2
0 ,2
t
t t
i t
t t
t
−∞ < <
≤ <
=
− − ≤ <
≤ < ∞
( )
( )
0 , 0
1 ,0 1
1 ,1 2
0 ,2
t
tdi t
v t L
tdt
t
−∞ < <
≤ <
= =
− ≤ <
≤ < ∞
Department of Electronic Engineering, NTUT15/21
16. 儲存於電感器的能量
• 儲存在電感器中的能量wL(t):
依 及
可得
因 ,所以
( ) ( )
t
w t vi dt
−∞
= ∫
di
v L
dt
=
( ) ( ) ( )21
2
t t t t
L
dv
w t vi dt C idt L idi Li t
dt −∞−∞ −∞ −∞
= = = =
∫ ∫ ∫
( ) 0i −∞ = ( ) ( )21
2
Lw t Li t=
( ) ( )21
2
Cw t Cv t=
儲存在電容器中的能量wC(t):
Department of Electronic Engineering, NTUT16/21
17. 電感器電流之連續性 (範例5)
• 電感器中的電流具有連續性的特性,亦即是電感器中的電
流,在正常情況下,其值不會瞬間改變。
• 例6:下圖電路中,已知 i1(0-) = 3 A,若開關在 t = 0 時
打開,求 i2(0-) , i1(0+) , i2(0+) , v(0-) 及 v(0+) 。
此時由 KVL 可得
即電感器形同短路,所以
在 t = 0 之前 (t = 0+) 瞬間,電感器電流 i1 為 3A ,
所以
6 Ω
+
−
30V
t =02 Ω
+ −v
6 Ω
1H i1
i2
( ) ( )1 10 0 3 Ai i+ −
= =
L
di
v L
dt
=
( ) ( )3
0 1 0 V
d
v
dt
−
= =
( ) ( )
30
0 6 A
2 6//6
i −
= =
+
( ) ( ) ( )2 10 0 0 6 3 3 Ai i i− − −
= − = − = ( ) ( ) ( )0 3 6 3 6 36 Vv +
= − ⋅ + − ⋅ = −
( ) ( )2 10 0 3 Ai i+ +
= − = −
Department of Electronic Engineering, NTUT17/21
在開關打開之前的瞬間:
19. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
• 串聯電感器的等效電感
若圖 (b) 為圖 (a) 之等效電路,則比較
及
可得
+
− LT
i
v
+
−v
LN
L2
L1
+
−
vN
+
−
v2
+
−
v1
i
(a) 串聯電感器 (b) 等效電路
1 2 Nv v v v= + + +⋯ 1 2 N
di di di
L L L
dt dt dt
= + + +⋯ ( )1 2 N
di
L L L
dt
= + + + ⋅⋯ T
di
v L
dt
=
( )1 2T NL L L L= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT19/21
20. 串聯電感器與並聯電感器的等效電感
• 並聯電感器的等效電感
欲使圖 (b) 與圖 (a) 為等效電路,則由
可得 且
及
i L1 L2 LN
iN
+
−
v
i1 i2
(a) 並聯電感器
+
−
v LTi
(b) 等效電路
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
1 0 2 0 0
1 2
1 1 1t t t
N
t t t
N
i t vdt i t vdt i t vdt i t
L L L
= + + + + + +∫ ∫ ∫⋯
( ) ( ) ( )0
1 0 2 0 0
1 2
1 1 1 t
N
t
N
vdt i t i t i t
L L L
= − + + + + + + +
∫⋯ ⋯ ( ) ( )0
0
1 t
t
T
i t vdt i t
L
= +∫
1 2
1 1 1 1
T NL L L L
= + + +⋯ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 0Ni t i t i t i t= + + +⋯
Department of Electronic Engineering, NTUT20/21