NUMEROS PRIMOS: DISTRIBUCION

1. Distribución y abundancia de los
números primos
Laita Berges, David
García Guillén, Hernán

2. Función contadora de primos
La función contadora de primos evaluada en ‘x’ es el número de primos menores o iguales a ‘x’. Y se
denota .
Hallar su valor para valores muy grandes de ‘x’ tiene un gran costo computacional por eso se han
buscado aproximaciones.
Teorema de los números primos
Aproximación de Gauss

3. Hipótesis de Riemann y números primos
¿Qué es la función zeta de Riemann?
Por ello interesa la extensión analítica de la función
Hipótesis de Riemann
“La parte real de todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es ½”

4. Hipótesis de Riemann y números primos
¿Qué son los ceros no triviales?
Ceros en la “franja crítica”:
Primera relación con los números primos
o sea, por el Teorema Fundamental de la Aritmética,

5. Hipótesis de Riemann y números primos
Aproximación a la función contadora de primos
Función de Riemann
Esta da un valor casi exacto de la función contadora de primos. Pero esto no se queda aquí, Riemann
definió también:
Riemann publicó un paper de 8 hojas sin ninguna demostración en el que exhibía todas estas ideas:
y

6. Para poner mejor en
perspectiva su exactitud,
esta tabla muestra el valor
de varias aproximaciones
en x = 100000
Gráficas

7. Fórmulas generadoras de primos
Existen varias fórmulas capaces de generar todos los primos, sin excepción. Suelen usar herramientas
de la teoría de números, como el Teorema de Wilson.
Ejemplos:
Obviamente, todas estas resultan inviables computacionalmente, teniendo un costo
computacional enorme en unas pocas iteraciones.
- f produce n+1 primo o 2
- Fórmula de Willans para el n-ésimo primo

8. Espiral de Ulam
¿Que es la espiral de Ulam?
Es una representación gráfica del conjunto de números primos. Esta se construye escribiendo los
números enteros positivos en una distribución en espiral, señalando después los números primos.

9. Espiral de Ulam
Explicación de la densidad de números primos
Las líneas verticales, horizontales y diagonales con alta
densidad de primos coinciden con números generados
por polinomios de esta forma:
En particular, todas las diagonales abundantes en
primos a un ángulo de 45º con la horizontal
corresponden a números de la forma anterior, donde b
es par; y todas las las líneas horizontales y verticales
con alta densidad de primos corresponden a números
de la forma anterior, donde b es impar.

10. Espiral de Ulam
Polinomios especiales
Algunos polinomios tienen una gran capacidad para
generar números primos. Euler, en 1772, descubrió uno de
ellos, el cual genera números primos para todos los valores
de n entre 0 y 39.
En concreto, los valores resaltados en azul son números
generados por una variación del polinomio anterior.

11. Conjetura de Bunyakovsky
¿Que es?
La conjetura de Bunyakovsky da las condiciones para que un polinomio (una variables, coeficientes
enteros) f(x) dé infinitos números primos en la secuencia f(1), f(2), f(3), … Las condiciones son las
siguientes:
1. Coeficiente principal del polinomio es positivo.
2. El polinomio es irreducible en los racionales.
3. Los coeficientes de f(x) deben ser coprimos.
Según la conjetura de Bunyakovsky, si un polinomio f(x) cumples estas tres condiciones, entonces f(n) es
primo para infinitos valores (naturales) de n.
Por ejemplo, se cree que el siguiente polinomio debe ser primo para infinitos valores de n, aunque no ha
sido demostrado.

12. Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
De momento, la conjetura de Bunyakovsky solo se ha demostrado para polinomios de grado 1. A este
resultado se le conoce como el Teorema de Dirichlet (sobre progresiones aritméticas).
Teorema:
Si a y n son coprimos, la siguiente progresión aritmética contiene infinitos números primos.
O, de otra forma, el siguiente polinomio da números primos para infinitos valores de n.
Ejemplos de estas sucesiones incluyen:

13. Sesgo de Chebyshev
El sesgo de Chebyshev está relacionado con dos sucesiones/polinomios anteriores.
En principio, tendría que haber tantos primos de la forma 4n + 3 como de la forma 4n + 1. En concreto, si
π(x; d, a) denota el número de primos de la forma nd + a hasta un cierto número natural x, se debería
cumplir.
Sin embargo, esto no es así. De hecho, en general.

14. Bibliografía
● Hipótesis de Riemann y aproximaciones a la función contadora de primos: https://www.youtube.com/watch?v=cZJv2FKutPU
https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
● Wikipedia contributors. (2023, 22 noviembre). Ulam spiral. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral
● Wikipedia contributors. (2023a, julio 6). Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions. Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions
● Wikipedia contributors. (2023b, diciembre 24). Bunyakovsky conjecture. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture
● Wikipedia contributors. (2023c, diciembre 14). Formula for primes. Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions
● Wikipedia contributors. (2023b, octubre 22). Chebyshev’s bias. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_bias

15. FIN