2_ALGEBRA_GUIA4.docx Preuniversitario Arequipa academia

Alexander Fleming… la academia líder con más alumnos ingresantes 1
FUNCIONES
Función Par, Impar
Definición:
a) Una función f se llama Par si x, -x  Df se tienen que f(-x) =
f(x)
b) Una función f se llama Impar si x, -x  Df se tienen que f(-x) =
-f(x)
Ejemplo
f: R  R definida por es par pues
Ejemplo:
f: R  R definida por es impar, pues
Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
Definición:
a) La función f: A  B, es Inyectiva si para ,  tal que
entonces o si implica que
b) La función f: A  B, es Sobreyectiva si . Es decir
c) Una función f que es inyectiva y sobreyectiva, se llama Biyectiva
Ejemplo:
f:R  R definida por f(x) = x + 3
a) f es inyectiva. En efecto
b) f es sobreyectiva. En efecto
Si y = x + 3 entonces x = y – 3, x  R
f(x) = f(y – 3) = y – 3 + 3 = y; y  R
esto significa que existe x  R; y  R /f(x) = y
Como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva
Funciones Crecientes y Decrecientes
Definición:
a) Una función f se llama estrictamente creciente sobre el conjunto
si con se tiene que
b) Una función f se llama estrictamente decreciente sobre el
conjunto si con se tiene que
Ejemplo:
f: R  R definida por f(x) = x + 5 es creciente en todo su dominio
pues, si entonces , luego
Ejemplo:
f: R  R definida por f(x) = 7 – 2x es decreciente en todo su
dominio pues, si se tiene que:
OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma, Diferencia y Producto de Funciones
 Pasos para hallar la suma, diferencia y producto de funciones.
Importante:
 Si te dan dos funciones f y g
 Determinas el Dom f y el Dom g
 Luego hallas la intersección del Domf y Domg el cual será el
Dominio de la suma de las funciones.
Dom (f + g) = Dom f  Dom g
 Luego determinar los elementos de la suma de funciones:
f + g = {(x, f(x)+g(x)) / x  Domf   Domg}
ojo
Para la diferencia de funciones y producto de funciones; se siguen
los mismos pasos.
f – g = {(x, f(x) – g(x)) / x  Dom f  Dom g}
y f.g = {(x, f(x).g(x)) / x  Dom f  Dom g}
División de Funciones
 Pasos para hallar la suma, diferencia y producto de funciones.
Pasos Que Tienes Que Seguir
Importante:
 Si te piden hallar f / g
2
x
1
x 
f(x)=x 2+1
f(x)=x
Función Par Función Impar
4
2
x
)
x
(
f 

)
x
(
f
4
2
x
4
2
)
x
(
)
x
(
f 






x
3
x
)
x
(
f 

)
x
(
f
)
x
3
x
(
x
3
x
)
x
(
3
)
x
(
)
x
(
f 












1
x 2
x f
D
2
x
1
x  )
2
x
(
f
)
1
x
(
f  2
x
1
x 
B
f
R 
f
D
2
x
,
1
x
;
2
x
1
x
3
2
x
3
1
x
)
2
x
(
f
)
1
x
(
f








f
D
A  A
2
x
,
1
x 
 )
2
x
(
f
)
1
x
(
f 
f
D
A  A
2
x
,
1
x 
 2
x
1
x 
)
2
x
(
f
)
1
x
(
f 
Función creciente
x1 x2
f(x2)
f(x1)
Función decreciente
x1 x2
f(x1)
f(x2)
2
x
1
x  5
2
x
5
1
x 

 )
2
x
(
f
)
1
x
(
f 
2
x
1
x 
2
x
2
1
x
2  1
x
2
2
x
2 



1
x
2
7
2
x
2
7 



)
1
x
(
f
)
2
x
(
f 

3

Alexander Fleming… Líder absoluto en tu preparación
2
 Determinar el Dom f, y Dom g, luego determinar la intersección.
A = Dom f  Dom g
 Luego observas en los elementos de “g”
g(x) = {x, g(x)}
Cuantos g(x) son iguales a cero.
Es decir g(x) = 0
Supongamos g = {(a,0), (b,c), (d,0)}
Solo cumplen: (a, 0), (d, 0)
 Lo llamas B = {a, d}
 Luego determinas la diferencia de A – B el cual será el dominio de
(f/g)(x).
 Los elementos de (f/g)(x). Serán
(x)
f f(x)
x, / x A B
g g(x)
 
   
 
  
   
 
   
 
   
 
1. f(x) 4x 3
 
f f
D ........................... R ..............................
 
2. f(x) 2x 4
  
f f
D ........................... R ..............................
 
3.
2
f(x) x 3
 
f f
D ........................... R ..............................
 
4.
2
f(x) x 4
  
f f
D ........................... R ..............................
 
5.
2
f(x) x 2
 
f f
D ........................... R ..............................
 
6.
f(x) x 3
 
f f
D ........................... R ..............................
 
7.
f(x) x 4
  
f f
D ........................... R ..............................
 
8. f(x) x 3
 
f f
D ........................... R ..............................
 

9. f(x) x 9 4
  
f f
D ........................... R ..............................
 
10.
1
f(x)
x 2


f f
D ........................... R ..............................
 
11.
3
f(x)
x 4



f f
D ........................... R ..............................
 
Indique cuales son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
12. ( ) 4
f x x
 
In:………sobre……… biyectiva……..…
13. ( ) 6 10
f x x
 
In: ……… sobre ……… biyectiva ……..…
14.
7
( )
3
x
f x
 

15.
3
( ) 4
f x x
 
16.
5
6
( )
f x x 
 
17.
3
4
( ) x
f x 

18.
2
13
( ) 6
f x x x 
 
In : ……… sobre ……… biyectiva ……..…
19.
2
8 2
( ) 1
f x x x

 
20.
2
( ) 10 10
f x x x
   
21.
2
( ) 2 8 10
f x x x
   
22. Si: f = {(-3,2), (0,0), (2,4), (3,-1), (4,3)}
g = {(2, 0), (3,4), (4,7), (6,2)}
Hallar: f + g
a) {(2,4), (3,3), (4,10)}
b) {(2,4), (4,2), (6,6)}
c) {(-1,2), (3,4), (6,11)}
d) {(4,4), (6,3), (8,10)}
e) 
23. Si: f = {(1,3), (2,6), (4,8), (6,2)}
g = {(0,1), (1,2), (2,-1), (4,5), (7,10)}
Hallar: g + f
a) {(1,5), (2,5), (4,3)}
b) {(1,5), (2,5), (4,13)}
c) {(1,5), (2,5), (4,3), (6,4)}
d) {(0,5), (1,5), (4,3)}
e) NA
24. Si: f(x) = 2x2
– 1 y  
g ( 1, 2),(0, 1),( 2,9),(3,12)
  
Determinar el valor de: (f + 3g) ( 2 )
a) 2
b) 27
c) 30
d) 18 2
e) -2
25. Sean f y g, funciones reales definidos por:
f (x) = x2
– 2x + 3 ; g(x) = 3
x 2 x
  + 3
Hallar: (f + g) X
a) 3 2
x x 2x x 2 6
    
b) 3 2
x x 2x x 2 3
    
c) 2 3
x x 2x x 2 3
    
d) 4 3 2
x x x 3
  
e) 3
x 2x 3
 
1. f(x) 6x 2
 
f f
D ........................... R ..............................
 

4
2.
3
f(x) x 5
2
  
f f
D ........................... R ..............................
 
3.
2
f(x) (x 3)
  
f f
D ........................... R ..............................
 
4. 2
f(x) (x 2)
 
f f
D ........................... R ..............................
 
5. f(x) x 3 4
   
f f
D ........................... R ..............................
 
6. f(x) x 2 3
   
f f
D ........................... R ..............................
 
7. f(x) x 1 3
  
f f
D ........................... R ..............................
 
8. f(x) x 5
  
f f
D ........................... R ..............................
 
9.
2
f(x) 3
x 4
 

f f
D ........................... R ..............................
 
10.
2
f(x) 2
x 5

 

f f
D ........................... R ..............................
 
11. 8 0,5
2
( ) ( 1)
f x x si x  
  
   
12. 3,6
2
( ) ( 2) 7
f x x si x  
 
   
13.  
2
( ) 2 2 4,4
f x x x si x
    

14. 8 6,1
2
( ) 13
f x x x si x  
 
 
  
15.
2
( ) 8 18 3,3
f x x x si x  
 
     
16. ( ) 2 6 5,3
f x x si x  
 
     
17. Dadas las funciones:
f(x) = 2
9 x
 ; g(x)={(-3,2),(-2,3), (0,1), (1,-1), (2,4), (6,5)}
Hallar el Dominio de: (f - g) y g - f
a){-3,-2,0,1,2};{(-3,-2);(-2, 5 -3);(0,2);(1, 2 2 1
 );(2, 5 -4)}
b) {-3, -2, 0, 1, 2, 3}; {(-3,2), (-2, 5 -3), (0,2), (1,2 2 ), (2, 5 )}
c) {-2,0,1} ; {(-2, 5 ), (0,2), (1, 2 2 1
 )}
d) {-3, 0, 3} ; {(3,2), (1,2 5 ), (0,4)}
e) {-3, 2, 1} ; 
18. Dadas las funciones: f y g
f = {(1,3), (2,6), (4,8), (6,2)} ;
g = {(1,2), (2,-1), (0,1), (4,5), (7,0)}
Hallar: f - g
a) {(1,1), (2,7), (4,3)}
b) {(1,1), (2,8), (4,3)}
c) {(1,2), (7,2), (3,4)}
d) {(2,6), (4,5), (3,2)}
e) 
19. Si:
f = {(-3,2), (0,0), (2,4), (3,-1), (4,3)} ; g = {(2, 0), (3,4), (4,7),
(6,2)}
Hallar: f . g
a) {(2,0), (3,-4), (4,21)}
b) {(2,4), (4,2), (0,0)}
c) {(4,0), (9,-4), (16,21)}
d) {(4,4), (2,2), (3,3)}
e) 
20. Dadas las funciones: f y g
f = {(1,3), (2,6), (4,8), (6,2)} ; g = {(1, 2), (2,-1), (0,1), (4,5),
(7,0)}
Determinar: f.g
a) {(1,6), (2,6), (6,40)}
b) {(1,6), (2,-6), (4,40)}
c) {(6,1), (2,6), (7,40)}
d) {(1,3), (2,6), (0,8)}
e) {(1,6), (2,8), (4,7)}
1.
4
f(x) x 5
5
 
f f
D ........................... R ..............................
 
2.
f(x) x 4;x 2
   
f f
D ........................... R ..............................
 
3.
f(x) 5x 7; 5 x 1
    
f f
D ........................... R ..............................
 
4.
2
f(x) (x 4)
  
f f
D ........................... R ..............................
 
5.
2
f(x) (x 2) 4
   
f f
D ........................... R ..............................
 
6.
f(x) x 4 2
  
f f
D ........................... R ..............................
 

6
7.
f(x) x 3 1
   
f f
D ........................... R ..............................
 
8. f(x) x 2 5
   
f f
D ........................... R ..............................
 
9. f(x) x 3 3
   
f f
D ........................... R ..............................
 
10.
4
f(x) 4
3 x
 

f f
D ........................... R ..............................
 
11.
4
f(x) 4
3 x
 

f f
D ........................... R ..............................
 
12. ] [
( ) 4 7 6, 2
      
f x x si x
13. ] [
( ) 2 4 6, 1
      
f x x si x
14. ] [
( ) 6 3 2,4
    
f x x si x
15. 3 4
( ) x
f x  

16. 3 6
( ) x
f x  
 
17.
2 4 6
( ) x
f x  

18.
2
9 6
( ) x
f x  
 
19. Sean f y g funciones Reales definidas por:
f(x) = 3x x 4 6
  ; g(x) = x 4

Hallar: (f.g)(x) y su dominio.
a) 2
3x (x 16) 6 x 4 ;si :x [4,
     
b) 2
3x x 16 6 x 4 ;si :x [ 4,
      
c) 3x x 16 x 4 ;si :x [ , 4
      
d) x x 16 x 4 ;si :x ,4
     
e) N.A.
f = {(3,4), (2,5), (-1,4), (-3,4)}
g = {(2, 1), (3,-1), (-1,0), (6,-3), (1,-1)}
Hallar: Dom
f
g
 
 
 
 
es: y también
 
x
f
g
 
 
 
 
a) {2, 3} ; {(2,5), (3,-4)}
b) {2, -1} ; {(2,3), (3,-4)}
c) {2,5} ; {(2,5), (3,4)}
d) {3, 2} ; {(0,6), (2,-1)}
e) {2, 3} ; {(5,2), (3,-4)}
21. Sean las funciones:
f = {(0,-1), (1,5), (2,0)} ;
g = {(0, 1), (1,0), (2,4), (3,8)}
Hallar: f / g
a) {(1,0), (-2,2)}
b) {(0,-1), (2,2)}
c) {(0,-1), (2,0)}
d) {(0,-1), (1,0), (2,0)}
e) 
22. Dada las funciones:
f = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,-6), (5,-5)}
g = {(0, 8), (1,3), (2,0), (3,7), (4,0), (5,10)}
Hallar: f / g
a) {(1,4/3), (3,6/7), (6,1/2)}
b){(1,4/3), (3,6/7), (5,-1/2)}
c) {(1,3/4), (5,6/7), (7,-1/2)}
d) {(2,5), (1,0), (5,-5)}
e) 

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
Dadas dos funciones reales F y G , la composición de F con G
denotado por F G y que se lee: F compuesta con G, es la función
cuyo Dominio consiste en los elementos: 
x Dom(G) tales que

G(x) (F)
Dom , cuya regla de correspondencia es:

[F G](x) F[G(x)]
Donde:
    
Dom(F G) {x / x Dom(G) G(x) Dom(F)}
Además: 
 
Ran(G) Dom(F)
Observación:
a) La composición de funciones no es conmutativa, es decir:
F G G F

b) En particular, si: F G G F
  F G

Ejemplo:
Cuántos elementos tiene la función F G si:
 
F {( 2,3),(0,2),(3,2),(4,6),(5,6),(7,0)}
   
G {( 3,3),(0,3),(4, 1),(5,8),(7,8),(8,9),( 2,0)}
Resolución:
Para encontrar la función “ F G ” seguimos los primeros pasos:
1° Con los datos:
 
Ran(G) {3, 1,8,9,0}  
I

 
Dom(F) { 2,0,3,4,5,7}  
II

2° Obtendremos la intersección de  
I y  
II , veamos:
 
Ran(G) Dom(F) {3,0}
3° Seleccionamos aquellos pares de G y de F que admitan como
segundas y primeras componentes a: 3 y 0
      
( 3,3) G (3,2) F ( 3,2) F G
    
(0,3) G (3,2) F (0,2) F G
      
( 2,0) G (0,2) F ( 2,2) F G
4° Determinemos a la función F G .
  
F G {( 3,2),(0,2),( 2,2)}
 
n(F G) 3
1. Dadas las funciones ; g(x) =x – 1 entonces
es:
a)
b)
c)
d) 3
e) 2
2. Si f(x) = 1 – 2x; x  ]-2, 3]
, con –10 < x  2
Hallar (gof)(x) y su dominio
a)
b)
c)
d)
e)
3. Si ¿Para qué valores de x se cumple: f(2x) =
f(x)?
a) 1, 2
b) 0, -1
c) -1, 1
d) 2, -1
e) 0, 1
f = {(3,2),(0,0),(2,4),(4,3)} ; g = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}
Calcular el máximo f + g
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
f = {(1,3),(2,6),(4,8),(6,2)} ; g = {(0,1),(1,2),(4,5),(2,6)}
Calcular el mínimo de f-g
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
f = {(0,1),(1,2),(4,5),(2,6)} ; g = {(0,1),(1,5),(2,4),(6,5)}
Calcular el máximo f.g
a) 10
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
7. Dadas las funciones
f = {(1,3), (2,6),(4,8),(6,2)} ; g = {(1,2),(0,1),(4,5),(7,0)}
Calcular el mínimo de f/g
a) 3/2
b) 1/2
c) 2
d) 3
e) 1
8. Dada las funciones
f = {(3,2),(0,0),(2,4),(4,3)} ; g = {(2,3),(3,0),(4,2),(6,4)}
el máximo de fo g es
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
f = {(1,3), (2,6),(4,8),(6,2)} ; g = {(0,1),(3,2),(5,4),(7,6)}
El mínimo de fo g es
a) 2
b) 3
c) 6
d) 8
e) 9
10. Dada la función:
 
f : / f x 3x 2

  
 
g : /g x 2x 2

  
2
x
2
x
)
x
(
f 


)
2
)(
fog
(
1
2 
1
2 
2
2
1
x
2
x
2
)
x
(
g 

]
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



[
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
]
x
;
1
x
6
2
x
8 



1
x
3
2
x
)
x
(
f 



8
Entonces la compuesta:
1
g f

viene dada por:
a)
3x 2
2x 2


b)
2x 2
3x 2


c)
3x 4
2

d)
3x 4
2

e)
2x 4
3

)}
0
;
2
(
),
9
;
8
)(
8
;
7
(
),
8
;
5
(
),
1
;
4
(
),
3
;
0
(
),
3
;
3
{(
G
)}
0
;
7
(
),
6
;
5
(
),
6
;
4
(
),
2
;
3
(
),
2
;
0
(
),
3
;
2
{(
F





 determinar la
función de F o G
a) {(-3;2),(0;2),(-2;2)}
b) {(3;2),(-2;2),(-1;2)}
c) {(-3;3),(1;2),(-2;2)}
d) {(1;2),(0;2),(-1;2)}
e) {(3;2),(1;2),(-2;3)}
12. Sean f y g dos funciones definidas por:
x
1
x
1
x
)
x
(
g
3
x
2
x
)
x
(
f







Halle el dominio de la función:
f
g
g
f
h 

a) R
b) R-{1}
c) R-{-1;1;3}
d) (0; )

e) 



 ;
3
3
;
1
1
;
)}
0
;
2
(
),
9
;
8
(
),
3
;
0
(
),
3
;
3
{(
g
)}
6
;
5
)(
8
;
3
(
),
2
;
0
(
),
3
;
2
{(
f




 entonces la función (f o g) es:
a) {(-2;3),(-3;3),(0;3)}
b) {(-3;2),(-2;0),(0;3)}
c) {(0;3),(-2;2),(3;8)}
d) {(-2;2),(-3;8),(0;8)}
e) {(3;0),(-2;3),(2,9)}
)}
0
;
3
(
),
a
;
2
(
),
3
;
1
{(
g
)}
1
;
2
(
),
2
;
1
(
),
3
;
1
{(
f



 Si (g o f) y (f-g) tienen un elemento
común. Halle el valor de a.
a)-3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
15. Se definen las funciones F y G por ;
x
2
x
)
x
(
F 2


m
x
2
)
x
(
G 
 ; m<0. Calcular el valor de m tal que cumple
con la condición: (F o G)(2)=(G o F)(m-2)
a) -7
b) -8
c) -9
d) -10
e) -11
2 0 3 1 4 6 6 8

f {( ; ),( ; ),( ; ),( ; )}
1 2 0 3 2 5 3 4

g {( ; ),( ; ),( ; ),( ; )}
Hallar: f o g
a) 1 0 2 1 3 6
{( ; ),( ; ),( ; )}
b) 1 0 0 1 2 6
{( ; ),( ; );( ; )}
c) 0 1 1 0 3 6
{( ; ),( ; ),( ; )}
d) 0 1 1 2 2 3
{( ; ),( ; ),( ; )}
e) 1 0 2 1 3 4
{( ; ),( ; ),( ; )}
17. Si f(x) = 1 – 2x; x  ]-2, 3]
, con –10 < x  2
Hallar (gof)(x) y su dominio
a)
b)
c)
d)
e)
f = {(1,2), (3,3), (-1,4), (-2,-1)} ; g = {(2, -1), (4,1), (5,0),
(6,2)}
Hallar: go f
a) {(1,6), (-2,2)}
b) {(2,4), (4,2)}
c) {(-1,6), (1,6)}
d) {(-1,1), (1,-1)}
e) 
f = {(2,9), (3,6), (0,5), (1,2)} ; g = {(7, -1), (1,2), (4,3)}
Hallar: fo g
a) {(1,9), (4,6)}
b) {(7,5), (1,9), (4,6)}
c) {(9,1), (6,4)}
d) {(1,6), (4,5)}
e) 
g = {(3,6); (5,9); (8,4);(7,6);(10, 5)}
h = {(3, 9); (5, 12); (7, 9); (8, 7)}
Hallar la función f, tal que h = fog, y dar como respuesta la
suma de los elementos de f.
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 72
2. Dada la función: . El valor de: es:
a) 2x b) x – 1 c) x + 1
d) –x e) x
3. Si f(x + 1) = 4x – 9. El término independiente del polinomio
f(t), es:
a) -5 b) -9 c) 10 d) -8 e) 14
f = {(3,2),(2,3),(1,1),(3,0)} ; g = {(2,1),(3,1),(1,0),(0,3)}
Calcular el máximo go f
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9
f = {(0,0), (1,1), (2,2)} ; g = {(0,1), (1,0), (2,4)}
Calcular el mínimo go f
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 0
x
2
x
2
)
x
(
g 

]
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



[
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
/
1
[
x
;
1
x
6
2
x
8 



]
3
,
2
]
x
;
1
x
6
2
x
8 



x
1
x
1
x
f 




















1
x
1
x
f

6. Dada la función: f = {(1,4),(2,5),(3,6),(4,1)}
Calcular el máximo de f-1
a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 0
7. Dada la función: f = {(0,8),(1,3),(2,0),(3,7)}
Calcular el mínimo de f-1
a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 0
f = {(1,2),(3,4),(1,5),(2,6)} ; g = {(2,1),(4,1),(5,3),(6,2)}
Calcular la suma de los extremos de go f
a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 7
f = {(2,9),(3,6),(4,5),(5,2)} ; g = {(7, 1), (1,0), (4,7)}
Calcular la suma de los extremos de fo g
a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 
10. Sea:
f {(1
;3),(2;4),(3;5),(4;6),(5,2)}

       
g { 0;3 , 3;2 , 4;1 , 2,0 }

El Máximo de: f g
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5








x
,
2
x
)
x
(
g
)}
0
;
5
(
),
2
;
4
(
),
2
;
3
(
),
1
;
2
(
),
3
;
1
(
),
0
;
2
{(
f
2
Calcule la
suma de los elementos del Ran (f o g).
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 2
2
x
,
2
x
)
x
(
g
)}
1
;
4
(
),
1
;
3
(
),
0
;
2
(
),
2
;
1
{(
f






Halle el número de elementos
del )
f
o
g
(
Dom
)
g
o
f
(
Dom 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
;10]
-
x
,
x
10
)
x
(
g
[2;
x
,
2
x
3
)
x
(
f








Determine g o f, indicando su
dominio.
a) [2;4]
x
,
3x
12
f)(x)
o
g
( 


b) [2;4]
x
,
3x
12
f)(x)
o
g
( 


c) 4
[2;
x
,
3x
12
f)(x)
o
g
( 


d) 4
[2;
x
,
3x
12
f)(x)
o
g
( 


e) 4
;
2
x
,
3x
12
f)(x)
o
g
( 


14. Dadas las funciones G={(1;0), (3;3),(0;4),(2;1)} ;
H={(1;6),(2;2),(3;9)} . determinar una función F tal que F O
G=H y dar como respuesta la suma de los elementos del RF.
a) 17 b) 13 c) 2 d) 3 e) 10
15. Si , . Hallar el dominio (fog)
a) [-4, 4] b) [-5, 5] c) ]3, [
d)]3, 5[ e) [3, 28]
16. Si: f(x) = {1;2),(2;3),(3;4),(4;5)}
g(x)={(2;3),(3;2),(4;4),(6;4),(6;4)}.
Halle suma de Rango [(f g)  (g f)]
a) 12 b) 9 c) 2 d) 14 e) 13
17. Sean:
f = {(x,y)  R2
/ y = 3x - 7}
g = {(x, y)  R2
/ y = x/5 + 9}
Hallar: go f
a) 3x 7
(x, y) / y 9
5

 
 
 
 
b) 3x 18
(x,y) / y 19
5

 
 
 
 
c)
3x 8
(x,y) / y 19
5

 
 
 
 
d)
3x
(x,y) / y 20
5
 
 
 
 
e) 3x 18
(x,y) / y
5

 

 
 
1. Si . El dominio de es:
a) R – {-1, 1} b) R c) R – {1}
d) R – {-1} e)
2. Si f(x) = 2x – 3, entonces la regla de correspondencia de:
es:
a) -2(4x – 3) b) 4x – 3 c) 8x + 6
d) 4x + 3 e) -8x – 6
3. Sea:
f {(1
;3),(2;4),(3;5),(4;6),(5,2)}
 ; g {(0;3),(3;2),(4;1),(2,0)}

El Mínimo de: g f
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
4. Sea:
f {(1
;3),(2;4),(3;5),(4;6)}

;
g {(0;1),(3;1),(4;1),(2,1)}

La suma de extremos: f g
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
5. Sea:
f {(1
;3),(2;4),(3;5),(4;6)}

;
g {(0;1),(3;1),(4;1),(2,1)}

La suma de extremos: g f
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
6. Si (f g)(x) cos2x

;
g(x) senx

Hallar f(x)
a) 2
1 x
 b) 2
1 x
 c) 2
x
d) 2
1 2x
 e) 2
1 2x

7. Si 2
f(x) cos x
 ; g(x) tgx

Hallar h(x) : tal que f h g

a) x
1 x

b)
2
x
1 x

c) 1
1 x

d)
2
1
1 x

e)
2
1
x
8. Si
x 1
x
(f g)(x) x


;
x
g(x) x
 ,
Hallar f(x)
a) 2
x b) x
2 c) x
x d) x 1
x 
e) 2
x
9. Si se cumple:
 
1
2 3 2 4
i) f g ii)f
5 4 5 3
3 1
iii)f
4 2

   
 
   
   
 

 
 
Calcular: 1 1
g
2
  
 
 
a) 1
2
b) 3
4
c) 4
3
d) 2
5
e) 5
2
10. Si 2
f(x)
x 5


, hallar x Que satisfaga 1 4
(f f) 2
x
  

 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2
x
25
)
x
(
f 
 3
x
)
x
(
g 

1
x
x
)
x
(
f

 )
2
x
(
f
2
)
x
(
2
f
)
x
(
g 


R
)
x
)(
fof
(
)
2
x
(
f
2
)
x
(
2
f
)
x
(
g 



10
11. Si 3
f(x) x 2
 
x 2
g(x)
x 3



Hallar a tal que 1 1 4
g (f (a))
3
 
 
a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e) -6
12. Se definen las funciones:














1
x
;
1
-
x
1
x
0
;
1
2
x
0
x
;
2)
-
(x
f(x)
2
x
-
3
-
3
g(x)  Halle el dominio de la función f o g.
a) [0,9] b) 
1, c) 0,1
d) ,0]
-  e) ,0
- 
4;0
-
x
;
x
1
)
x
(
g
8;1
-
x
;
x
x
4
f(x) 2






Halle el Ran (g o f)
a) 1;2
- b) 3;5
- c) 2;3]
d) 5
1; e) 2;6
-
14. Se definen las funciones F={(1;2),(2;3),(3;5),(4;7)}
G={(0;3),(1;2),(2;1),(3;4)} Determinar el producto de los
elementos del rango de la función H=(FoG)+(GoF)
a) 12 b) 18 c) 24
d) 36 e) 48
15. Dadas las funciones definidas por:
f(x) = {(0,0), (4,3), (2,4), (-3,2), (3,-1)}
g(x) = {(6,2), (3,4), (2,0), (4,7)}
calcular (f g)
a) {(2,0), (3,3),(6,4)} b) {(2,7), (4,4),(-3,2)}
c) {(2,7), (3,3),(6, 3} d) {(2,0), (4,4),(6,4)}
e) {(2,7), (3,3),(-3,2)}
16. Dadas las funciones definidas por:
f(x) = {(0,0), (4,3), (2,4), (-3,2), (3,-1)}
g(x) = {(6,2), (3,4), (2,0), (4,7)}
calcular (f g)
a) {(2,0), (3,3),(6,4)} b) {(2,7), (4,4),(-3,2)}
c) {(2,7), (3,3),(6, 3} d) {(2,0), (4,4),(6,4)}
e) {(2,7), (3,3),(-3,2)}
17. Si f y g. Son dos funciones definidas por:
f(x) = x2
– 4 y g = {(2, -1), (4, 5 ), (7, 5 )}
Hallar: fo g
a) {(-3,2), (1,4), (7,1)} b) {(2,-3), (4,1), (7,1)}
c) {(0,-1), (1,0), (2,1)} d) {(0, -4), (1,-3), (2,0)}
e) NA
18. Dadas las funciones reales f y g, definidas por:
f (x) = 3x2
+ 5 , g(x) = x 4

Hallar: go f y fo g
a) 2
3x 9 ; 3x 17
  b) 2
3x 17 ; 3x 9
 
c) 2
x 4 ; 3x 9
  d) 2
3x 9 ; 3x 17
 
e) N.A.
FUNCIÓN INVERSA:
Sea F una función Real definida por:
 
F {(x,y) / x (F)}
Dom ; si F es una función Inyectiva, se define
su función Inversa denotado por:
1
F

, ó,
*
F , de la siguiente
manera.

 
1
F {(y,x) / x (F)}
Dom
Dónde:


1
Dom(F ) Ran(F) 


1
Ran(F ) Dom(F)
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA FUNCIÓN INVERSA
Dada una función Inyectiva F y su inversa
1
F

se cumplen:
I)
 

1 1
(F ) F Inversa de Inversa
II)
1
F F I

 ; 
Dom(I) Ran(F)
III)
1
F F I

 ; 
Dom(I) Ran(F)
IV)
  

1 1 1
(F G) G F
V) La aplicación F : A B

 , admite Inversa
1
F : B A F


  , es una función Biyectiva
FUNCIÓN LINEAL: F(x) = ax + b
1. Calcular (a+b) para que: ]
5
,
1
[
]
b
;
a
[
:
f 
 definida por
3
1
x
)
x
(
f 
 , sea biyectiva.
a) 100
b) 110
c) 118
d) 126
e) 132
2. Si n se tiene que: f es lineal y además:
)
6
(
*
f
))
3
(
f
(
*
f
)
8
(
*
f
))
4
(
f
(
*
f

 f*
es la inversa de f. Halllar el rango de la función f y dar comio
respuesta la suma de sus elementos si dominio de
infinito}
entero
n
n,
x
n
-
,
x
{
f 




a ) 21
b) 14
c) 0
d) 17
e) 15
3. Sean :
3
x
2
x
)
x
(
g
2
x
)
x
(
f 3





si:
3
4
)]
x
(
*
f
[
*
g 
 Hallar x
a) -1/2
b) -2
c) -6
d) -4
e) 1/3
x
F(x)
Intercepto con y
(x = 0)
Dom = R
Ran = R
Intercepto con x
(y = 0)

4. Sea: ,
1
x
x
)
x
(
f 2

 R
x  Hallar B tal que B
R
:
f  sea
suryectiva
a) [-1;0[
b) ]0,1]
c) [-1/2,0[
d)[-1/2,1/2]
e) ]0,1/2]
5. Si: ,
2
1
x
2
)
x
(
f 


 [
3
,
2
]
x  Determinar: f*(-5)
a) -2/5
b) -5/2
c) 2/5
d) 5/2
e) ∄
6. Sea la función 1
x
6
x
)
x
(
f 2




 , 6
x
4 
 ¿Cuál es el
dominio de f o f*
a) [4,6[
b) [-1,7]
c) [-17,-9]
d) [2,4]
e) ]
3
14
,
3
12
[ 

7. Si:
)
3
x
(
2
1
)
x
(
g
3
x
2
)
x
(
f




Entonces evaluar: (f o g)*(1)
a) -3
b) -2
c) 0
d) -1
e) 1
8. Sean :
]6,10[
x
2;
-
x
h(x)
]4,5[
x
;
3
)
1
x
(
)
x
(
g 2





 Hallar el dominio de:
g*(h(x))
a) ]8,9[
b) ]8,10[
c) ]6,8[
d) ]8;15[
e) ]6,10[
9. Dada la función F definida asi: R
R
:
F  /
2
1
x
2
)
x
(
F
y 



 3
;
2
x Determinar si existe F*(-5)
a) 1/2
b) 5/2
c) 3/4
d) 1/5
e) 1
10. Calcular el valor d “a+b” sabiendo que la aplicación:
]
5
;
1
[
]
b
;
a
[
:
F 
 / 3
1
x
)
x
(
F
y 

 es biyectiva
a) 112
b) 122
c) 126
d) 130
e) 100
11. Si se conoce : F={(2;4),(3;6),(5;10),(7;14),(m;1)}
F*={(4;a),(10;b),(6;m-7),(p/2;c),(14;d)}
Calcular: K=a+b+c+d+m+p
a) 15 b) 26 c) 36
d) 28 e) 39
12. Determinar el rango de la función F definida asi: R
R
:
F  /
1
2
x
)
x
(
F
y 


 ;  6
;
1
x 

a) [1;5 b) [2;5 c) [ 1;4
 d) [ 1;5]
 e) [ 1;3]

13. Sea f:[1,4] [a,b]
 definida por f(x) = x2
– 2x+3. Pruebe que
f es inyectiva y halle los valores de a y b para que f sea
biyectiva. a) 2;11 b) 2;5 c) 3;5 d) 5;10 e)3;9
14. Sea f: ]
1
;
a
[
]
b
;
3
[  cuya regla de correspondencia es
1
x
4
x
)
x
(
f 2


 Halle el valor de a/b para qu f(x) sea
biyectiva
a) -2 b) -1/2 c) -1 d) 1 e) 2
15. Si f es una funcion biyectiva:












3
x
0
;
x
0
x
2
;
x
)
x
(
f
/
]
b
;
4
[
]
3
;
a
[
:
f
2
Determine el valor
de a.b a) -8 b) -7 c) -6 d) 0 e) 6
16. Dada la funcion f definida por 4
x
2
x
)
x
(
f 2


 determine f*
sabiendo que esta funcion existe y que ademas f
)
4
;
0
(  y el


 ;
3
[
)
f
(
Ran
a) 3
x
;
3
x
1
)
x
(
*
f 


 b) 3
x
;
3
x
1
)
x
(
*
f 



c) 3
x
;
3
x
1
)
x
(
*
f 



 d) 3
x
;
3
x
1
)
x
(
*
f 




e) 3
x
;
3
x
1
)
x
(
*
f 





17. Si f es una funcion definida por: 1
1
x
6
x
)
x
(
f 


 ,
]
2
;
1
[
x  Halle f*
a) [1;2]
x
;
9
x
6
-
19
x
)
x
(
*
f 



b) [0;7]
x
;
9
1
x
6
-
9
x
)
x
(
*
f 



c) [0;7]
x
;
9
x
6
-
19
x
)
x
(
*
f 



d) [0;7]
x
;
9
x
6
19
x
)
x
(
*
f 




e) [0;7]
x
;
9
x
6
9
x
)
x
(
*
f 




18. Sea f una función definida por: (7;7)}
(3;6),
(2;5),
{(1;0),
f 
Halle la función (f o f*)-(f*o f)
a) {(0;0)} b) {(7:7)} c) {(1;0),(7;0)} d) {(7;0)}
e) {(3;0),(0;0)}
19. Se define la función f: R
R  tal que
3 2
3 2
1
x
x
1
x
x
f(x) 




 Determine la regla de
correspondencia de la funcion f*
a)
3
x
2
x
)
x
(
*
f
2

 b)
5
81
x
6
)
x
(
*
f


c)
2
x
3
x
)
x
(
*
f
3

 d)
3
1
x
)
x
(
*
f


e)
5
3
x
)
x
(
*
f
4


20. Sea f una función inyectiva tal que: 








a
4
x
4
x
*
f si
]
d
,
c
[
b
,
a 
es el conjunto solucion de la inecuación :
1
x
2
3
x
)
a
(
f



Halle el valor de ab+c+d
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10

12
21. Calcular (a+b) para que:
f : a;b 1;5
 
   
    definida por : 3
f(x) x 1
 
,
sea biyectiva:
A. 100 B. 110 C. 118
D. 126 E. 132
22. Sea:
2
x
f(x)
x 1


, x
 
Hallar “B” tal que: f : B
 sea suryectiva
A. 1;0

 B. 0;1
 C.
1
;0
2




D.
1 1
;
2 2




E.
1
0;
2



23. Si f(x) = 2 + 4x – x2
; Dom(f)= . Se afirma:
I. f es inyectiva para x 
II. f es inyectiva para x  [2, >
III. f es inyectiva para x  [0,>
Son verdaderas:
a) I y II b) II c) I y III
d) III e) N.A.
24. Dada la función f(x) = x2
+ 2; D f = ]1, [. Hallar la función
inversa si existe.
A. f –1
, no existe B. f –1,
(x) = x -2
– 2
C. f –1
(x) = x 2
 D. f –1
(x) = 2 x

E. N.A.
25. Calcule la función inversa de: 3 3
f(x) log (x 3) log (x 3)
   
a) x
f * (x) 3 9
  b) x
f * (x) 3 1
 
c) x
f * (x) 3 1
  d) x
f * (x) 3 1
 
e) x
f * (x) 3 9
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y
LOGARÍTMICA
1. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Para a > 0 y a  1 se define la función exponencial en base “a”,
mediante la regla de correspondencia: y = ax
; denotado también por
y = expa
x
.
La función exponencial tiene como dominio Df=R y rango
Grafica de función exponencial
0 < a < 1
1
y
x
0
a > 1
1
y
x
0
Ejemplo: Si , entonces algunos de los valores de f(x)
son: ;
Propiedades de la Función Exponencial
Para a > 0 y a  1, tenemos:
a) Si entonces x = y
b) La grafica de pasa por el punto (0, 1)
c) Si 0 < a< 1, la función exponencial es estrictamente decreciente
d) Si a > 1, la función exponencial es estrictamente creciente
Ejemplo:
Determine x en:
Solución
Utilizando la ley de exponentes:
Luego x = 6
Aplicaciones de la Función Exponencial
Una de las aplicaciones de la función exponencial se encuentra en la
matemática mercantil
El interés acumulado se le denomina interés compuesto y esta dado
por:
Donde:
A: monto después de t años
i: interés anual y se capitaliza n veces al año
P: capital o monto inicial invertido por t años
: tasa de interés por periodo de inversión
nt: número de periodos de interés
Ejemplo:
Suponga que en una cuenta de ahorros se depositan $400 y que se
paga un interés compuesto del 8% devengado semestralmente. Si
no se hacen retiros ni depósitos adicionales. ¿Cuál es el monto del
depósito al cabo de 3 años?
Solución
Par n = 2, t = 3, P = 400 y la tasa i = 0,08. el monto
acumulado es:
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica de base a es la inversa de la función
exponencial cuya regla de correspondencia es:
La función logarítmica tiene dominio y rango
Nota
Grafica de la Función Logarítmica
y
x
0 < a < 1
y = a x
y = log
a
x
y
x
a > 1
y = a x
y = log
a
x

 R
f
R
x
2
)
x
(
f 
8
3
2
)
3
(
f 

2
2
2
1
2
.
2
2
1
1
8
2
3
2
2
3
f 












1
0
2
)
0
(
f 

y
a
x
a 
x
a
y 
140
1
x
2
3
x
2
4
x
2
2
x
2 







140
1
2
.
x
2
3
2
.
x
2
4
2
.
x
2
2
2
.
x
2 






140
)
1
2
3
2
4
2
2
2
(
x
2 






6
2
x
2
140
16
35
x
2 










nt
n
i
1
P
A 









n
i
)
3
(
2
2
08
,
0
1
400
A 









dolares
13
,
506
6
)
04
,
1
(
400
A 

1
a
,
0
a
,
x
a
log
)
x
(
f 



 R
f
D R
f
R 
0
x
,
y
b
x
x
b
log
y 




Observaciones
1. la grafica de toda función logarítmica pasa por (1, 0)
2. Si a > 1; la función , es creciente
3. Si 0 <a < 1; la función , es decreciente
Ejemplo 1
Hallar el valor de x si
Solución
Como
Observación
Los dos sistemas de logaritmos más usados son los sistemas de los
logaritmos comunes, cuya base es el número 10, y el sistema de los
logaritmos naturales, cuya base es el número irracional e =
2,71828.... Las formas de representarlos respectivamente son:
(Logaritmo decimal)
(Logaritmo natural)
Propiedades de Logaritmos
Para a, m y n positivos, con a  1, tenemos:
1)
a a
log a 1,log 1 0
 
2)
a a a
log mn log m log n
 
3)
a a a
m
log log m-log n
n

4) log x
a
x a ; x 0
 
5) x
a
log a x

6) n
a a
log m nlog m; n R
  
7)
a a
log x log y x y
  
Ejemplo: Despejar x en:
3 (x 1) 1
3
log (x 1) log  
 
Solución
De:
3 (x 1) 1
3
log (x 1) log  
  ; se tiene: 3
x 1
log 1
x-1
 


 
 
, (por
propiedad 3)
1
x 1
3 3
x-1

  , (por definición de logaritmos)
x + 1 = 3(x – 1) x + 1 = 3x – 3 -2x = -4  x = 2
Cambio de Base
Si, a > 0, a  1; b > 0, b  1; c > 0, c  1 entonces:
log a
c
log a log a log b.log a
c c
b b
log b
c
  
Propiedades Adicionales
1)
1
log a
b log b
a
 2)
1
log x log x 3
n a
a n

3) log x log x
1 a
a
  4)
1
n
log a log a
b b
n

1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales
son falsas; si f(x) = ax
y g(x) = bx
son funciones exponenciales?
I. La función. (fog) es una función exponencial de base ab
II. La función “f” es creciente para todo a > 0
III. f(x + y) = f(x)f(y)
IV. (f + g)(x) = (a + b)x
a) VFVF
b) FVFV
c) FFVF
d) FFVV
e) VVFF
2. Marque verdadero (V) o falso (F), según convenga:
I. Si x = 2, entonces Ln|1-x| no existe
II. Si x = -1, entonces Ln(x + 1) no está definido
III. logax2
= [loga x]2
a) FFF
b) FVF
c) VVV
d) FFV
e) VVF
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas?
I. Si a > 1; x < 0  ax
< 1
II. Si a > 1; x1 < x2  ax
1 > ax
2
III. Si 0 < a < 1; x < 0  ax
> 1
a) Sólo I
b) I y II
c) I, II y III
d) I y III
e) Sólo III
4. Marque verdadero o falso: Si f(x) = ex+1
I. f(-1) = 1 y f(0) = e
II. f(Lnx – 1) = x
III. f(Lnx) = ex
a) VVV
b) FFF
c) VFV
d) VVF
e) FVF
5. Dada la función g: ]0, +[  IR definida por f(x) 0 Lnx.
¿Cuáles son verdaderos?
I. g(xy) = g(x) + g(y)
II. g(x/y) = g(x) – g(y)
III.
a) I y II
b) I y III
c) II y III
d) I, II y III
e) I
6. Hallar el dominio de la función:
2x
f(x) log
1 x
 
  

 
a) <0, +>
b) <0, 1>
c) R – [-1, 0]
d) <-1, 0>
e) R – [-1, 0>
7. El producto de las ordenadas de los puntos de intersección de
las funciones:
2 3
x 3x 1 x 3x 1
f(x) e y g(x) e
   
  es:
a) e17
b) e19
c) e21
d) e9
e) e13
x
a
log
)
x
(
f 
x
a
log
)
x
(
f 
4
x
3
log 
81
x
x
4
3
4
x
3
log 




x
log
x
10
log 
x
ln
x
e
log 
)
x
(
g
2
)
2
x
(
g 

14
2
f(g) log 9 x y g(x) 3 1 x
3
   
Hallar el Dom(f)  Dom(g)
a) [0, 1]
b) [-1, 1]
c) -3, 1
d) -1, 3
e) -3, 3
9. Determinar el rango de la función:  
2
h(x) log x 4x 13
1/3
  
a) -2 , 
b) 2 , 
c) -, -2 
d) -, -2
e) -, 2 
10. Sean
1 x
f(x) log
1 x
 

  

 
para x <-1 , 1> Si
a b
f 0
1 ab
 


 

 
, el valor
de a+b es:
a) 1
b) –1
c) 2a
d) 2b
e) 0
11. Si
x x x x
e e e e
g(x) y f(x)
2 2
 
 
  , entonces la afirmación
verdadera es:
a) f2
(x)+g2
(x) = 1
b) f2
(x) + g2
(x) = 0
c) f2
(x) – g2
(x) = 1
d) f2
(x) – g2
(x) = 1
e) f2
(x) + g2
(x) = 2
12. El valor mínimo de:
2
x 1
1 2
2 x
f(x) log x 2
2
2 x

  
 
 
 
con x  0,
es:
a)2 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 4 2
13. Si el rango de la función
x 1
h(x) 4.2
 
 es el intervalo
1
,
8
  , su dominio es:
a) -4 , 6 
b) -2 , 6 
c) -2 , 6 
d) -4 , 8 
e) -2 , 6 
14. Hallar el rango de la función:
x
x
2 e
f(x)
1 e



a) - , -1
b) 3 + 
c) - , -2  2 + 
d) - , -1 3+ 
e) - , -1  2 + 
15. Hallar el rango de: 2
2
1/e
1
g(x) log x
x
 
a) 2, +
b) - , 2
c) 1, +
d) - , 1
e) 0, 
16. Hallar el dominio de la función: 2
g(x) log(4x x )
 
a) 0,4
b) R-0,4
c) -4 , 0
d) 0 , 4
e) (4 , 0)
17. El rango de la función:
2
x 4x 6
1
f(x)
2
 
 
  
 
a) , 1
 
 
 
b) 0, 1/4
 
 
c)
1
,
4

d)
1
,
4

e) 0 , 1]
18. Determinar el dominio de la función: (x-3)
f(x) log (10-x)

a) ] 3, 10 [
b) ] 3,  [
c) ] 4, 10 [
d) ]-  ,10 [
e) ] 3,4[U]4,10[
19. Dada la función h(x) = 2x Hallar h*(x)
a) 2- x
b) logx2
c) log2x
d) x2
e) log x
20. Hallar la regla de correspondencia de la función exponencial
cuya gráfica es.
(½, 2)
.
x
y
a) y = 2x
b) y = 4x
c) y = 8x
d) y = 2 x / 2
e) y = 42x
1. Si: 2 2
f(x) log (x 2) log (x 2)
    hallar el ínfimo delDomf .
a) 0 b) 1 c) 2
d) -2 e) No existe
2. Si: 2
2
f(x) log (x 4)
  , hallar el ínfimo del Domf
a) 0 b) 1 c) 2
d) -2 e) No existe
3. Si: 2
f(x) logx
 y  
g x 2logx
 entonces:
a) f g
 b) f g
 c) f g

d) f g
 e) N.A.
4. Si: x
3
f(x) log (1 2 )
  ,  
x 1
;
  hallar el Mínimo de f
a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3

5. Si: 1/2
f(x) log (1 2logx)
  hallar el Supremo del Domf .
a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 10 e) 10
6. Si: f(x) ln(x 1)
  hallar el Ínfimo del Domf .
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
7. Si: x 3
f(x) e 1

  ,  
x 3;
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
8. Si:
x
x
4
f(x)
4 1


,  
x 1
;
a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e)1
9. Si:
x
x x
2
f(x)
2 5


hallar el Supremo del Domf
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
10. Si:
1 lnx
f(x)
x 1



hallar el Supremo del Domf
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) e
11. Si: 2 2
f(x) log (4 log x)
  hallar el Supremo del Domf
a) 10 b) 8 c) 16 d) 18 e) 4
12. Si: 3
f(x) x 2x 3
   y  
 
A x R / f logx 0
  
Hallar el supremo de A
a) 1 b) 10 c) 100 d) 1000 e) 1/10
13. Sea:
1 x
f(x) 2 
 ,  
x 3;3
  tal que  
f x k
 , hallar k
a) 0 b) 1/3 c) 2 d) 1 e) 3
14. Si:  
f(x) Ln e x 1
   , tiene asintota en
a) -1 b) 1 c)  d) e e) 2e
15. Al resolver
3 x 5x 1 x 5 3x 1
e e
   
   la respuesta tiene la forma
de b
log a luego hallar ab
a)
2
 b)
2
e c)  d) e e) N.A.
16. Determine el número de soluciones de la ecuación:
2
ln x 4 x
 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
17. Determine el número de soluciones de la ecuación:
4
senx log x


a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
18. Hallar el cardinal del conjunto:
 
A x R / senx log x 0
   
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
19. Sea: 1
x
7
2
1
x
F 








Calcule: F(3)
a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37
20. Sea:
2
x 1; x 1
F(x)
2
x 1 x 1
 

 





Calcule: E = F(-2) + F(2)
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
1. Halle el dominio de )
4
x
(
log
)
x
(
f 2
2 

a)  b) R
c) 



 ;
2
2
; d) 2
;


e) 2
;


2. Sea la función f,
2
2
a
f(x) log x ,a 1
   ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son correctas?
I.
a
f(x) log x


II. 2
f(b ) 1 b a
    
III. F es inyectiva
a) solo I b) I y II c) solo II
d) II y III e) todas
3. Sean las funciones f, g;
1/3
f(x) log x
 y
0,2
g(x) log x

¿En qué parte del eje X la grafica de f esta encima de la grafica
de g?
a) 0; b) 1; c) 0;1 / 2
d) 0;1 e) 0;1 / 6
4. El dominio de la función f:
2
(x 2)
f(x) log (x 1)

  es:
a) Df 2; {3}
   b) Df R

c) Df 3;
  d) Df ;3
 
e) Df R

5. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones :
I.
2 2
log log 3
 
II. 1
3 3
log 2 log 4


III.
1/3 1/3
log 3 log 1

a) VVV b) FVV c) FVF d) FFF e) VVF
6. Determine el número de proposiciones verdaderas:
I. Para todo
x
x R : log x 1
 
II. Existe x R
 tal que 2
3x 36
log x log x

III. logx log2x
 si x>0
IV. Para función f, f(x) log(logx 2), x 10
   su rango es
[log3;
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7. Sea F una función cuya regla de correspondencia es:
3
x 1 x 2
F(x) log
x 3 x 5
 
  
 

 
  
 
Calcule el dominio de F
a) ; 1
  b) 1; 1 / 2
 
c) 1 / 2;
 
 d) 1; e) R 1; 1 / 2

  

8. Dada la función
2
f(x) log x
 si
0
1
f(x )
3

se proponen las
siguientes afirmaciones.
I. Para 0
x existen dos valores reales.
II. 0
x admite un solo valor real entre 1 y 2.
III. 0
x admite dos valores reales y uno de ellos está entre ¼
y 1/2. Entonces son verdaderas

16
a) solo I b) solo II c) solo III
d) I y II e) II y III
9. Dada la función f cuya regla de correspondencia es
a)
3
f * (x) log (x 2) 1
  
b)
3
f * (x) log (x 2) 1
   
c)
3
f * (x) log (x 2) 1
  
d) x 1
f *(x) 2 3

 
e)
3
f *(x) log (x 2) 1
  
10. Sea
2
log(x 1)
f(x) 2 x [3;

   halle la función inversa
f*(x):
a) log x
2
f *(x) l1 10 1, x 2;

    

b) log x
2
f *(x) l10 1; x [2;
    
c) log x
2
f *(x) 1 l10 ; x [2;
    
d) log x
2
f *(x) 10 ; x [2;
  
e) log x
2
f *(x) l10 1; x [2;
   
11. La grafica de cierta función exponencial contiene al punto
P(3/2;27) ¿Cuál es la regla de correspondencia e indicar el valor
de f(2)
a) 81 b) 89 c) 90 d) 95 e) 105
12. Hallar el dominio de la función: f(x) = log (16 - x2)
a) ] - 2, 2 [ b) ] - 4, 4 [ c) [- 4, 4]
d) R - ] - 4, 4 [ e) R – {4}
13. Se presentan las graficas de dos funciones exponenciales. Al
respecto las desigualdades correctas son:
a) b>a>0
b) 1>a>b>0
c) 1>a>b>0
d) b>1  a>0
e) a>1>b>0
14. Respecto a las funciones exponenciales, decir el valor de verdad
de las siguientes afirmaciones:
I. existe una función exponencial x
y f(x) a
  tal que
f(a)<1
II. Existe una función exponencial x
y f(x) a
  tal que
f(a)>1
III. Respecto a las gráficas de las funciones x
h(x) a
 y
x
J(x) (1 / a)
 ; a>1, una gráfica es simétrica a la otra,
respecto al eje Y.
a) VVF b) VFV c) VFF d) FFF e) VVV
15. Sea x
f(x) ma n; a 0, a 1, m 0
     entonces indique
el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. si a>1, entonces la gráfica de f es creciente.
II. La grafica de f corta al eje Y en el punto (0;m+n).
III. Si mn<0, entonces la gráfica d f corta al eje X.
a) VVV b) FVV c) FFV d) FFF e) VVF
16. Determine el rango de la función: Ln(2 x )
f(x) e


a) 0;2
 
 
b) 
2
;
0 c) 0;2


d) 2;2
 e) 2;2]

17. Si x
f(x) e
 halle f *(8e)
a) 8 b) Ln4 c) 3Ln2+1
d) 2Ln2+1 e) Lne3
18. Si en la función f; R
x
,
2
)
x
(
f 1
ax

 
se tiene; para cada
R
x
,
x 2
1  con 2
1 x
x  se cumple, f(x1)>f(x2), entonces
se puede afirmar que:
a) 1<a b) a<0 c) a 0

d) 1 a 1
   e) no existe a real
19. Para la función f;
2
2x x
f(x) 5 
 determine el menor valor
real k tal que R
,
k
)
x
(
f 


a) 1/125 b) 1/25 c) 1/5 d) 3 e) 5
20. Dada la función f definida por:
x
x
4
f(x) ; x [1;
4 1
  

determine R(f) D(1 / f)

a)
2
1
;
0 b) 1;
  

c)





;
5
4
d)





;
4
1 e) ]
2
;
0
LOGARITMOS
DEFINICIÓN: Se llama logaritmo de un número en una base dada,
positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la
base para obtener una potencia igual al número dado.
NOTACIÓN:
PROPIEDADES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Log
b
N = x
Número
Base
x
b
Log N x b N
  
n
b
Log b n

b
Log 1 0

Log n
b
b n

LogAB LogA LogB
 
A
Log LogA LogB
B
 
n
LogA nLogA

n B
B
1
Log A Log A
n

b
x
1
Log x
Log b

b
Log a
Log a
Log b

a b
Log b.Log a 1

Log x Log b
a a
b x

b b
Colog a Log a
 
a
b
Antilog a b

b b
Log (Antilog x) x

b b
Antilog (log x) x

y=bx y=ax
Y
X

LOGARITMO NEPERIANO
Logaritmo Neperiano. El sistema de logaritmos neperianos,
naturales o hiperbólicos tienen como base el número trascendente “
e ” donde:
e = 2.718281 . . .
Log eA = LnA = LA
PROPIEDADES
1. Ln A = x  ex
= A
2. Ln e = 1
3. Ln A + Ln B = Ln AB
4. Ln 1 = 0
5.
6. Ln A–Ln B=Ln
7. pLn A = Ln AP
1. El producto de las soluciones de la ecuación:
3
n 2 n
n x
log (xn ) (n n 1)log (nx )
   es:
a)
n
n
n
n
b) n
n
2
n

c)
n
1
n 
d)
n
n2
n 
e)
)
n
1
(
n
n 
2. Señale una raíz de:
2
a
4
3 a
2 1 a
2 b
2log x
log x
log xlog x
log a log a
 
a) a
b) b
c)
4
log [ ]
b 4
b
2
d)
3
2
2
b
e)
2
log 3
b 2
b
2
3. Resolver el sistema: a a
2 3
a a
log x log 2y m ...(I)
log x log y n ...(II)
 
 
dar como
soluciones, el producto de raíces:
a)
n
9
m
5
a 
b)
m
10
a
c)
n
2
a
d)
n
3
m
2
a 
e)
n
18
m
10
a 
4. Reducir:
2 3
ab
a
2 2
ab
3 log a b
K log b
log a b 2a
 

 
 
 

 
a) 3
b) 5
c) 4
d) 2
e) 1
5. Indicar el C.S. de la ecuación:
1
log(x 9) log(3x 8) 2 log5
2
    
a) {11,19}
b) {12,19}
c) {19,12}
d) {11,12}
e) {19,10}
6. Si: xy
log x 5
 calcular:
5
xy 3
x y
P log
y
 
 
  
 
 
a) 49/30
b) 50/30
c) 30/40
d) 59/49
e) 49/69
7. Encontrar A en:
2
0,001728
5
log A
3

 

 
 
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
8. Si se sabe que:
2 2
log 15x 2x 7 log 14x 2x 7
15 14
225 196 0
   
   
   
   
  dar como
respuesta el mayor valor de “x”
a) 7
b) 5
c) 3
d) -3
e) -5
9. Encontrar los valores de “x” ln x
ln x
e 1 6
5
e


e indicar el
producto de las soluciones
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. Dada la ecuación: 1 logx log(x 2) 0
    si: 2a
b
5
 
Donde b es una solución de dicha ecuación. Determinar el valor
de: 2
E a 1
 
a) 3/4
b) 25
26
c) 2
d) 3
e) 6
11. Si:
1
log(yx ) y x
3logy 6logx 2logz ...(1)
loglog x .y z ...(2)

 

señalar el valor de x+y+z
a) 1
b) 4
c) 8
d) 12
e) 14
Ln A
e A

A
B

18
12. A partir de: xlogx 19log3
ylogy 24log2


indicar: E x y 1
  
a) 3
b) 4
c) 5
d) 17
e) 15
13. Si: n m
log m 2 log p 3
   calcular: 2 4
n
log 3(m p )
a) 1/3
b) 7/3
c) 28/3
d) 16/9
e) 3/7
14. Resolver la ecuación:
2
log (2x 13x 19) log 169
5 5
13 2
 
 y
calcular el producto de las soluciones
a) 1
b) 1,5
c) 7,5
d) 8
e) 11,5
15. Resolver: 1 1
2 2
log (x 1) log (x 3) 1
   
a) -5
b) 4
c) 5
d) 7
e) Sin solución
16. 2 3 4
2001 y 2003
log 3.log 4.log 5...
log 2002.log x log 2002

Calcular la suma de cifras de: (x+y+2003)
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
17. Si el logaritmo de
50
2 en base
2
2 es “y” Calcular:
y
10
5 y
10
50 
 log
log
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
18. Resolver: x
4x x x
2
log 2 4log x 1
 
a) 1/4
b) 3/4
c) 1/2
d) 2/3
e) 1/8
19. Resolver el sistema:
2 2
logx log y
x
log xy log ( ) 8
y
2 4

 





indicar un valor de:
E=log(logy)
a) 
b) 0
c) 1
d) -1
e) 2
20. Resolver: 3
2 2
1
log x log (x 2) 1
3
   y dar como respuesta la
suma de las soluciones
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
1. Siendo a+b>0, reducir:
18
3 9
9 3
log log (a b)
E
1 log log (a b)


 
a) 1 b) 3/2 c) 2 d) 1/2 e) 1/4
2. Resolver: log b
2 a
b
log (x 2 ax 2a) 1
  
a) a b) a c) 2
a d) 1/a e) 2a
3. Resolver:
4 16
log1 /2.log x log/ 8.log x

a) 2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
4. Hallar “x”, si: 5 2
3 3
log x log x 28
 
a) 81 b) 27 c) 243 d) 729 e) N.A.
5. Resolver: 2 3 x 36
loga loga loga ... loga loga
    
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 11
6. Simplificar: log 9
5 5
9
5log ( 5)
a) 5 b) 9 c) 1 d) 0 e) N.A.
7. Simplificar:
log z
log (x y) (x y)
z
[(x y) ]
 

a) z b) logz c) x+y
d) logx+logy e) log(x+y)
8. Resolver el sistema:
a b c
log 2 log 3 log 5;
  abc=10 Dar el
valor de a.
a)
log30
2 b)
log30
3 c)
log30
5
d)
log30
30 e) N.A.
9. Resolver:
2 3
log x 1 2 logx
(0;25) (16)
 
 dar el producto de sus
raíces
a) 5 b) 6 c) 5
10 d) 6
10 e) 10
10. Calcular: 125
log 5
a) 8 b) 1/8 c) 4 d) 1/3 e) 2
11. Hallar “x”: 2
log(x 15x) 2
 
a) -5 b) 20 c) A y B d) 4 e) 7
12. Hallar “x”:
log (2x 19)
7
7 x 4

 
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
13. Resolver: 2
log16 logx log(x 1) log15 log(x 4)
     
a) 6 b) 10 c) A y B d) 14 e) 5
14. Si: log 2=a y log 3=b Hallar: log 48
a) a+b b) 2a-b c) 3a+b d) 4a+b e) a-b
15. Hallar “x”: 2
antilog (3x 5) 128
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

16. Dado el sistema:
y
x
10 10 p
p q
x y log( )
p q
  

 
 



halle: y
x
10 10

a) 2p b) p c) 2q d) q e) p+q
17. Determine:
a a x
S log [ colog (antilog a)]
  si:
a a a
antilog {colog (log x)} a
 a 0; a 1
  
a) 0 b) 1 c) 2 d) a e) 1/2
18. Sean a; b y c tres números en progresión geométrica en ese
orden: 3loga 3logc
logb
2

 calcular la razón de la progresión
a) c b) a c) b d) 3
c e)
1
c

19. Simplificar:
3
1 1 1
E
1 log (10e) 1 ln30 1 log(3e)
  
  
a) 1 b) log3 c) ln10 d) ln30 e) log(3e)
20. Si:
ab
log a 4
  a>0; b>0; ab 1
 , calcular:
3
ab
a
T log
b
 
 

 
 
a) 2 b) 5/6 c) 7/3 d) 1/3 e) 17/6
1. Hallar el valor de “M” si: 5 8 8
M antilog [colog (antilog 4)]

a) 1/5 b) 2 c) 1/4 d) 1/25 e) -2
2. Calcular el valor de:
81 3 4 4 1 2
2
2
1
3 4 9
colog antilog log antilog log antilog 3
E
log 2 log 3


a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 12
3. Sabiendo que: abc
abc
log a 7
log b 4


calcular: 3
abc
a b
log
c
 
 
 
 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
4. Efectuar:
2 log 5 log 14
7 7
log 2
7
2 5
S
5



a) 3 b) 5 c) 9 d) 10 e) 15
5. Sabiendo que:
3
log 300 n
 calcule: log3
a) n+1 b) 2/n c) 2/n+1
d) 2/n-1 e) 2
n
6. Resolver:
x y 5,5
20 2
log( ) log( ) 2
x y
  


 


y dar: xy
a) 5,2 b) 2,5 c) 5 d) 0,2 e) 0,5
7. El equivalente de:
log 2 log 3 log 5
3 2 6
[ 4. 9]
a) 20 b) 16 c) 25 d) 18 e) 8
8. Si: a y b son las raíces positivas de la ecuación:
2 2
x 3x m 0
   ; 0
m y 1
m  calcular:
b a b a
m m m m
S log a log a log b log b
   
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
9. Resolver la ecuación: 2
3x 3
3
log ( ) log x 1
x
  dar como
respuesta el producto de las soluciones
a) 3 b) 1 c) 1/3
d) 1/9 e) 1/27
10. Si z es una solución de la ecuación:
4 3 2
log [log (log x)] 0

entonces el valor de: 1
z
2
z2

 es:
a) 70 b) 72 c) 80
d) 81 e) 84
11. Hallar la mayor solución de la ecuación: 2
1 logx 1 log x
  
a) 1 5
10  b) 1 5
10  c)
1 5
10

d)
5 1
10

e)
10 1
10

12. Resolver:
2
log x log x
2 2
2 x 1024
  hallar la suma de soluciones
a) 37/6 b) 10/3 c) 17/4
d) 65/8 e) 257/16
13. Resolver: x 1
5 2
log 8 .log 125 (x 7)(x 1)

  
a) C.S.={-1} b) C.S.={2} c) C.S.={2;3}
d) C.S.={-1;2} e) C.S.={-7;2}
14. Considerando: a>1, indique el valor de “x” que cumple:
2
log x log 4 log x
a a a
a a 3a
 
a) 1/2 b) -1/2 c) 1
d) -1 e) 4/3
15. Si: 1 1
b b
log a log c x
 
  calcular:
x
a
log ( )
b b
R c

a) ac b) bc c) ab
d) a e) c
16. Si: a, b, c están en progresión geométrica, hallar x en:
b a c
x 1 1
log N log N log N
 
a) 1 b) 3 c) 1/2
d) 2 e) -1
17. Efectuar:
log(log c
a
( )
log a
a
E a

; a>0, c>0 
a) a b) c c) ac
d) c
a2
e)
2
ac
18. Luego de resolver la ecuación: 1+2logx-log(x+2)=0 indicar
su(s) solución(es)
a) -2/5;1/2 b) 1/10 c ) 1/2
d) -1/5;1/2 e) -3/5
19. Efectuar:
a b c
1 1 1
E
log bc 1 log ac 1 log ab 1
  
  
donde: a;b;c
}
{1
R 
 
a) 1 b) abc c) ab+1
d) abc+1 e) 0
20. ¿Para qué valores de “a” la ecuación:
2
log(x 2ax) log(8x 6a 3) 0
     presenta solución real
única?
a) 1 b) 13 c) A y B
d) A o B e) N.A.

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