Calculo diferencial, muestra que es una ecuacion homogénea, sus métodos de aplicación, ejemplos muy bien explicados, por otra parte da a entender cómo conocer si es una ecuación homogénea o no gracias a sus métodos que conlleva este archivo de gran valor para entender y poder aplicar esto en ecuaciones diferenciales homogéneas que de esto se trata con esta ayuda podrás entender con mallor facilidad sobre este tema

1. Ruíz Lozano Erik Ricardo
10310380

2. Son ecuaciones en las que se puede hacer un
cambio de variable reduciéndolas para que resulte
una ecuación de variable separada.
Su forma Ordinaria es:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

3. Existen dos formas de resolver las
Ecuaciones Homogéneas;
• Por Inspección.
• Por la suma de los exponentes de cada
termino.
Formas de resolución

4. Consiste en convertir los términos de «x» y de «y»
y resolver la ecuación usando las siguientes
referencias:
M(tx, ty)
tn f(x, y)
N(tx, ty)
Método de Inspección

5. Si tuviéramos la siguiente ecuación;
F(x, y) = x - 3√(xy + 5y) *
Lo primero es sustituir los términos con «x» y «y»
por sus variables con «t» de la siguiente manera:
F(tx, ty) = tx - 3√(tx ty + 5ty)
* = toda la ecuación entre paréntesis está bajo la raíz cuadrada
Ejemplo

6. Ahora vemos si hay términos que podamos resolver
y factorizar.
= tx - 3√(t^2 xy + 5ty)
Factorizamos los
dos términos «t» y
los multiplicamos.
Resolviendo la raíza quedaría;
= tx – 3t √(xy + 5ty

7. Ahora volvemos a factorizar toda la ecuación:
= t (x - 3√(xy + 5y))
Se puede notar que regresamos a la ecuación
original, cuando esto ocurre se dice que nuestra
ecuación es homogénea y el exponente en la letra
«t» nos indicará de que grado es nuestra ecuación.
x - 3√(xy + 5y)
Ecuación homogénea de primer grado

8. Este otro método es más sencillo pero requiere un
poco más de visualización.
Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:
F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)
Método de Suma de exponentes

9. Vemos fácilmente que el primer término es de
segundo grado.
F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)
Para el segundo término vemos que es x por y, ambos
de primer grado, al multiplicarlos los exponentes se
suman dejando este término también en segundo
grado .
Finalmente el tercer término se ve que es una y a la
tercera potencia mientras que abajo hay una x, no se
pueden dividir como tal pero sus exponentes si se
pueden restar dejando esta parte hipotéticamente en
segundo grado.

10. Finalmente si sabemos que todos los términos son
de segundo grado entonces nuestra ecuación es
homogénea y por consiguiente también
conocemos de que grado es:
F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)
Ecuación homogénea de segundo grado

11. Ahora bien, lo anterior no es la resolución aún, es
solo una forma de saber si la ecuación es
homogénea y de que grado. Para resolverla
podemos emplear un método en el que mezclemos
la solución de las ecuaciones de variables
separables;
y = ux dy = udx + xdu
x = uy dx = udy + ydu
u = x +y dy = du - dx
Resolución de Ecuaciones Homogéneas

12. Suponga que tiene la siguiente ecuación;
2x3ydx + (x4y4)dy = 0
Primero como en el ejemplo anterior verificamos si
la ecuación es homogénea y de que grado es, la
manera más fácil es por la suma de sus exponentes:
2x3ydx + (x4 y4)dy = 0
3+1=4 4

13. La ecuación es homogénea de cuarto grado,
podemos empezar. Lo primero es sustituir alguno
de los términos, o «x» o «y», por las ecuaciones en
«u», no es realmente importante cual de las dos
sustituyamos en este momento;
2x3ydx + (x4 + y4)dy = 0
Sustituyendo las «x» en la ecuación nos quedaría:
2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0
Resolviendo…

14. Vemos en la ecuación que hay muchos términos
elevados a una potencia por lo que podemos
resolverlos al multiplicarlos o dividirlos según nos
convenga.
2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0
2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0
En la primera parte multiplicamos los dos términos
«y» mientras que en la segunda parte la
factorizamos.

15. Ahora que tenemos la ecuación así podemos ver
que hay un término en común en las dos partes de
la ecuación; la «y4» por lo que podemos dividir toda
la ecuación entre este mismo término eliminándolo
y haciendo nuestra ecuación más sencilla:
2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0
y4
2u3(udx +ydu) + (u4 + 1)dy = 0

16. Ahora creerás que ya no se puede hacer más pero
no es así, viéndolo bien se puede ver que puedes
multiplicar los diferenciales por cada término.
2u4dy + 2u3ydu + u4dy + dy = 0
Sumamos algebraicamente términos semejantes:
3u4dy + 2u3ydu + dy = 0

17. Factorizamos una última vez…
3u4dy + 2u3ydu + dy = 0
(3u4 + 1)dy +2u3ydu = 0
Y ahora colocamos los términos de «dy» de un lado
y los términos de «u» en otro (la técnica de variables
separables);
(dy/y) + (2u3du/3u4+1)

18. ∫(dy/y) + ∫(2u3du/3u4+1)
El primer término es simple de la manera du/u:
∫du/u = Ln |u| + C
∫dy/y = Ln |y| + C
A Integrar…

19. El segundo término quedaría es más complejo,
quedaría;
(*) 2∫(u3du/3u4 + 1)
Donde:
m = 3u4 + 1
dm = 12u3du
(*) = sacamos el 2 como una constante

20. Nos hace falta un doce para completar la ecuación
y nos damos cuenta de que la integral nos queda
también de la forma de du/u, entonces;
2/12 ∫dm/m
Simplificamos la ecuación y la unimos con la otra
integral quedando como resultado.
Ln |y| + 1/6 Ln |3u4 + 1| = C

21. Ahora, este no es el resultado final, necesitamos
convertir los término en «u», usamos para estos las
ecuaciones claves (*);
x = uy
u = x/y
Ln |y| + 1/6 Ln |3(x4/y4) + 1| = C
(*) = hay que recordar al momento de sustituir «u» que hay que sustituirla de
la ecuación que tomamos, es decir si sustituimos «x» al inicio tenemos que
despejar la «u» de esta ecuación.
Resultado

22. Centro de Enseñanza Técnica Industrial
Ruíz Lozano Erik Ricardo
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Aula 212
Ingeniería Mecatrónica
Ecuaciones Diferenciales
Profesor M.E. César Octavio Martínez Padilla