Trabajos de Ecuaciones diferenciales

1. El método matricial (Teorema de Cayley-Hamilton, cálculo de la matriz exponencial ).
Martes 20 de septiembre 2023
Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales no homogéneos
PRESENTADO POR:

2. Objetivos:
Demostrar que la solución general de una ecuación
diferencial lineal no homogénea de primer orden puede
obtenerse mediante la aplicación del Teorema de Cayley-
Hamilton y el cálculo de la matriz exponencial. Para ello, se
desarrollará un procedimiento sistemático que permita
expresar la solución en términos de la matriz exponencial de
la matriz coeficiente de la ecuación diferencial, demostrando así la utilidad
y aplicabilidad de estos conceptos en la resolución de problemas prácticos de ingeniería y física.
2

3. Teorema de Cayley-Hamilton
El Teorema de Cayley-Hamilton establece que toda matriz
cuadrada A satisface su propia ecuación característica. Es
decir, si p(λ) es el polinomio característico de A, entonces al
evaluar p(A) se obtiene la matriz cero. Matemáticamente, esto
se expresa como:
p(A) =0
3

4. Ejemplo:
𝐴 =
2 3
5 7
Solución:
Teorema
𝐴 − λ∙I
2 3
5 7
− λ
1 0
0 1
= 0
2 3
5 7
−
λ 0
0 λ
= 0
2 − λ 3
5 7 − λ
= 0
4

5. (2 − λ)(7- λ) – (3)(5) = 0
14 − 2λ − 7λ + λ2
− 15 = 0
λ2
− 9λ − 1 = 0
A = λ
A2
− 9A − 𝐼 = 0
Multiplicamos por A−1
A−1
(A2
−9A − 𝐼) = 0
Teniendo en cuenta que A−1
∙ 𝐴=I
A−1
∙ 𝐴 ∙ 𝐴 − 9A−1
∙ 𝐴 − A−1
∙ 𝐼) = 0
Esta seria mi matriz inversa
A−1
= 𝐴 − 9𝐼

6. • Reemplazamos :
2 3
5 7
− 9
1 0
0 1
= 0
2 3
5 7
−
9 0
0 9
= 0
𝐴 =
−7 3
5 −2

7. Ejercicio:
𝑦′′
+ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Paso1: Convertir de no Homogénea a Homogénea.
𝑦′′
+ 𝑦 = 0
E.D.L de 2do orden con Coeficiente constante.
𝑟2
+ 1 = 0
𝑟 = ± −1 𝑟 = ±𝑖
Teorema para su solución:
𝑦 = 𝑐1𝑒∝𝑥
𝑐𝑜𝑠βx + 𝑐2𝑒∝𝑥
senβx

8. 𝑦 = 𝑐1𝑒0𝑥
𝑐𝑜𝑠x + 𝑐2𝑒0𝑥
senx
𝑦 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠x + 𝑐2senx
Paso 2 :
𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1+𝑐2𝑦2 𝑦𝑝 = 𝑐1𝑦1+𝑐2𝑦2
𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑦1
′
= −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦2
′
= 𝑐𝑜𝑠𝑥

9. Encontramos el W Usando el Teorema de
Cayley-Hamilton
𝑊 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐴 − λ∙I
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
− λ
1 0
0 1
= 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
−
λ 0
0 λ
= 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 − λ 𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − λ
= 0

10. (cos𝑥 − λ)((cos𝑥 − λ)) – (-senx)(senx) = 0
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 2λcosx + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 0
−2λcosx + (𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥) = 0
−2λcosx + 1 = 0
A = λ 1=I
−2Acosx + 𝐼 =0
Multiplicamos por A−1
A−1
(−2Acosx + 𝐼) = 0
Teniendo en cuenta que A−1
∙ 𝐴=I
2(A−1
∙ 𝐴)𝑐𝑜𝑠𝑥 + A−1
∙ 𝐼 = 0
Esta seria mi matriz inversa
A−1
= −2𝐼𝑐𝑜𝑠𝑥

11. = −2
1 0
0 1
𝐶𝑜𝑠𝑥
=
−2 0
0 −2
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐴−1
=
−2𝐶𝑜𝑠𝑥 0
0 −2𝐶𝑜𝑠𝑥

12. cálculo de la matriz exponencial
𝐴 =
1 2
4 3
Det[ A- λI]=0
A− λI =
1 2
4 3
− λ
1 0
0 1
A− λI =
1 − λ 2
4 3 − λ
Det[A− λI] =
1 − λ 2
4 3 − λ
= 0

13. = (1 − λ) (3 − λ) – (4)(2)
= 3 −λ −3λ + λ2
=0
λ2
−4λ −5 =0
(λ+1)(λ−5)=0
• Valores propios de A
λ1 = −1
λ2 = 5
𝑒𝐴𝑡
= β0I + β1A +β2𝐴2
+ … … + β𝑛−1𝐴𝑛−1
• n tamaño de A

14. 𝑒𝐴𝑡
= β0I + β1A
• En términos de los valores característicos:
• Para λ1 = −1
• 𝑒−𝑡
= β0I − β1 Ec#1
• Para λ2 = 5
• 𝑒5𝑡
= β0I + 5β1 Ec#2
Resolver este sistema por reducción:
𝑒−𝑡
= β0I − β1
𝑒5𝑡
= β0I + 5β1
𝑒−𝑡
- 𝑒5𝑡
= −6β1

15. β1= −
1
6
(𝑒−𝑡
− 𝑒5𝑡
)
Sustituimos en Ec#2:
β0 =
5
6
𝑒−𝑡
+
1
6
𝑒−5𝑡
β0 =
1
6
(5𝑒−𝑡
+𝑒−5𝑡
)
𝑒𝐴𝑡
= β0I + β1A
=
1
6
5𝑒−𝑡
+𝑒−5𝑡 1 0
0 1
−
1
6
𝑒−𝑡
− 𝑒−5𝑡 1 2
4 3
=
5
6
𝑒−𝑡
+
1
6
𝑒−5𝑡
0
0
5
6
𝑒−𝑡
+
1
6
𝑒−5𝑡
+
−
1
6
𝑒−𝑡
+
1
6
𝑒5𝑡
−
2
6
𝑒−𝑡
+
2
6
𝑒5𝑡
−
4
6
𝑒−𝑡
+
4
6
𝑒5𝑡
−
3
6
𝑒−𝑡
+
3
6
𝑒5𝑡
𝑒𝐴𝑡
=
2
3
𝑒−𝑡
+
1
3
𝑒5𝑡
−
1
3
𝑒−𝑡
+
1
3
𝑒5𝑡
−
2
3
𝑒−𝑡
+
2
3
𝑒5𝑡 1
3
𝑒−𝑡
+
2
3
𝑒5𝑡

16. He llegado a la conclusion mediante investigaciones que El teorema de Cayley-
Hamilton se aplica a matrices cuadradas, no a funciones. El wronskiano, por
otro lado, es un concepto que se utiliza en el contexto de ecuaciones
diferenciales .
Para solucionar este ejerciocio, lo mas recomendable es usar los métodos
recomendados para resolver el wronskiano, por ejemplo (Determinantes).
Conclusion:

17. Solucion:
𝑊 =
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − (−𝑠𝑒𝑛2
𝑥)
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
= 1

18. Determinamos 𝑼𝟏 𝒚 𝑼𝟐
𝑼𝟏 = −
𝑦2𝐹(𝑥)
𝑤
𝑑𝑥
𝑼𝟏 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟏 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟏 = − 𝑇𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟏 = −secx

19. 𝑼𝟐 =
𝑦1𝐹(𝑥)
𝑤
𝑑𝑥
𝑼𝟐 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟐 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟐 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥
𝑼𝟐 = Ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑇𝑎𝑛𝑥

20. Paso 3:
𝑦𝑔 = 𝑦𝑐 +𝑦𝑝
𝑦𝑔 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 + Ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑇𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥