フォトンマッピング入門

RENDERING1H CAMP
Photon Mapping
2013/8/24 Shuichi HAYASHI
(c) Henrik Wann Jensen

※資料中の一部数式、図、画像について
2Photon Mapping. RENERING1H CAMP 2013/8/24
背景色がこの色の図、数式、Henrik Wann Jensen先生のスライドにあったもの
を使用させていただいています。（数式の間違いと思われ部分は、多少修正し
ています。
元資料がみつからなくなってしまったので、リンクが示せませんが、
SIGGRAPH2012 Course State of the Art in Photon Density Estimation の
Photon Mapping Basics のスライドに同様の図があります。
http://users-cs.au.dk/toshiya/starpm2012/

アジェンダ
1. 出自
2. 何ができるのか
3. BRDF & BSSRDF
4. 従来の手法と欠点
5. フォトンマッピングの利点
6. アルゴリズム
1. フォトントレーシングと勘違いしたポイント
2. 光の物理量
3. フォトンマップのデータ構造
4. 放射輝度推定
7. 可視化
1. シンプルな可視化
2. 実践的な可視化
1. 集光模様フォトンマップ
2. 影フォトンマップ
8. フォトンマッピングの欠点
9. リファレンス

出自
• 1995年頃
• Henrik Wann Jensen先生が考案

何ができるのか
✤レンダリング方程式の解法
• 表面に置ける散乱(BRDF)
• 透明感や質感
✤ボリュームレンダリング方程式の解法
• 空間に置ける散乱(BSSRDF)
• この資料では説明していない

BRDF & BSSRDF

従来の手法と欠点
✤ 経路追跡法（パストレーシング）
➡ 拡散反射が苦手
多くの光線サンプルが必要
✤ ラジオシティ法
➡ 基本的に拡散反射しか扱えない
プリミティブ数の2乗に比例してデータ量と計算時間が増大
モデルの形状単純化と併用したいが、単純化自体も難しい
✤ 上記２つの併用
➡ ラジオシティ法のデメリットは残る

フォトンマッピング：利点
8
• 任意の形状を扱える
• モデル記述に依存しない
• 雲の中や大理石の表面下のフォトン分布を
マップできる
• 任意のBRDFを扱える
• ノイズが低周波
• 省メモリ（ラジオシティ法に比べて）
• 統計的に安定（フォトンの出力は全部同じ）
Photon Mapping. RENERING1H CAMP 2013/8/24

フォトンマッピング：ノイズの出方
9
Path Tracing Photon Mapping

アルゴリズム
✤２段階アルゴリズム
1. フォトントレーシング
2. レイトレーシング + 放射輝度推定(Radiance Estimate)

フォトントレーシング
11
光源からフォトンをばらまく

放射輝度推定
12
ある点の周りの一定半径、一定数のフォトンを集めて明るさを推定

Photon Tracing
13
• 光源ごとにフォトンを発射する方向や密度を制御
• 反射、屈折、吸収は反射率に合わせロシアンルーレット
• BRDF（反射方向の分布）は任意に設定可能

Photon Tracing：フォトンの格納
14
• 入射する放射束を点集合として格納
• フォトンはkd-treeを構成
• 拡散面上でのみ格納（理由は後述）
Glossyな面でもPhotonMapを使えるが、鋭い反射であるほ
ど向いてない（反射方向のフォトンが集まらない）

Photon Tracing
15
光源の種類に従ってフォトン飛ばす
点光源平面光源複雑な光源

最初にぶつかった点でしか格納しない …ダメ×
Photon Tracing 勘違いしたポイントその１
16
➡直接光だけになってしまう

フォトンの出力に反射率を掛けて更にトレース …ダメ×
Photon Tracing 勘違いしたポイントその２
➡フォトンの明るさにムラがあると、放射輝度推定で一定範囲または一定
数のフォトンを集めたとき、大きいフォトンがぎりぎり入る場合、入らな
い場合で推定値が大きく異なってしまい、ノイズになる。
➡
推定結果➡明るい
推定結果➡暗い

Photon Tracing 勘違いしたポイントその３
18
出力を分けたフォトンを2つ以上の方向にトレース …ダメ×
➡指数的にフォトンが増え、１回反射したフォトンより複数回反射した
暗いフォトンが圧倒的に多くなり、前ページと同様の問題が起こる

Photon Tracing 正解
19
反射の度に、ロシアンルーレットで更にトレースするか決定
➡反射率50%なら、50%の確率でトレースを継続する。

フォトンのデータ構造
struct photon
{
float x, y, z; // 位置
float power[3]; // 出力（単位：放射束,flux,Φ）
char phi, theta; // 入射方向
short flag; // kd-treeで使う分割面(XorYorZ)
}

フォトンの格納： kd-tree
21
•非一様な分布のフォトンでもバランス処理すれば探索が高速 O(log n)
•n個のフォトンから近いフォトンk個を集める近傍探索が高速 O(k + log n)
From http://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree
From http://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree

拡散面上でのみ格納
22
• 鏡面は、鏡面反射方向から入ってくるフォトンが得られる可
能性が小さい（完全鏡面の場合ゼロ）ので、拡散面でのみ
フォトンマップを使用
• 鏡面は普通にレイトレで反射方向にトレースする

光の物理量
✤ 放射束(radiant ﬂux) Φ = dQ/dt
• 時間あたりのエネルギー、単位はW（ワット）
• ある光源全体が発する明るさ等に使用
✤ 放射照度(irradiance) E(x) = dΦ/dA
• 単位面積あたりの位置xに入射する放射束
• ある点の色、ある点に色々な方向から入る光（放射輝度）の合計
✤ 放射輝度(radiance) L(x,ω) = d^2 Φ / cosθ dA dω
• 単位立体角あたり、単位面積あたりの放射束
• 空間中の１点における一方向から（一方向へ）の光の強さ
• パストレのレイが運ぶ光の量

放射輝度推定
24
• 物体上のある位置において、近くのフォトンを使って、その位置か
らセンサー（スクリーンのピクセル）方向への明るさを推定する。

放射輝度推定：手順
25
1. 出射放射輝度を推定したい位置の近くにあるフォトンを集める
• 一定半径以内
• 一定数まで
2. 集めた各フォトンの出力とBRDFを掛けたものを合計する
• フォトンの入射方向と推定する位置の法線を使って
裏側のフォトンを除外
3. 推定範囲の球を投影した円の面積で、2の結果を割る
➡出射放射輝度が求まる

radiance_estimate( x, ω', nml ) {
locate n nearest photons // n個(定数)の最近傍フォトンを見つける
r = distance to n th nearest photons // 一番遠いフォトンまでの距離
Σflux = 0
foreach(p in photons) {
pd = photon direction
Φp = photon power
Σflux += fr(x, ω', pd) * Φp // BRDFにフォトンの放射束を乗算
}
Lr = Σflux / (πr^2) // 投影円の面積で割る
return Lr;
}
放射輝度推定：コード

レンダリング方程式
出射放射輝度 = 半球にわたり積分{ BRDF * 入射放射輝度 * cosθ’ }
θ’ = xにおける法線と入射方向の角度
放射輝度推定：理論

入射放射輝度L’(x,ω’)を放射輝度の定義で置換
Φ(x,ω’)はPhotonが持っているPower。

cosθ’dωが約分で消える。
入射放射輝度L’(x,ω’)を
放射輝度の定義で置換。
レンダリング方程式。
離散化したサンプリングで
近似。dAは推定範囲を投影
した円の面積に置換。

radiance_estimate( x, ω', nml ) {
Σflux = 0
Φp = photon power
Σflux += fr(x, ω', pd) * Φp // BRDFにフォトンの放射束を乗算
}
Lr = Σflux / (πr^2) // 投影円の面積で割る
return Lr;
}
放射輝度推定：コード（再掲）

Radiance Estimate：効率化
31
• 前ページのコードはループの中で毎回BRDFの評価をしており、効率が悪い。
そこで、BRDFを掛けずに、放射照度Eを先に求めて、最後に1回だけBRDFを
乗算して出射放射輝度Lを求める形に変更する。
• BRDF = dL / dE = （入射）放射照度に対する出射放射輝度
なので
dL = dE * BRDF
で放射照度から出射放射輝度を求められる。

irradiance_estimate( x, /*ω',*/ nml ) {
Σflux = 0
Φp = photon power
if(dot(nml, pd)<0) Σflux += Φp // 裏側のフォトンを除外、BRDFは不要
}
E = Σflux / (πr^2) // 投影円の面積で割る
return E;
}
放射照度推定（Lambert面の場合）
➡呼び出し元で戻り値にBRDFをかけて、放射照度から出射放射輝度を求める

Radiance Estimate 品質改善
33
楕円範囲で推定：カドのダメなフォトンを集めないようにする
円錐フィルタ：円の中心から遠い程、フォトンの寄与を小さくする
NG OK
➡
楕円化

Radiance Estimate 品質改善
34
工夫なし円錐フィルタ
楕円範囲で推定円錐フィルタ+楕円範囲

シンプルにレイトレで可視化
35
• 拡散面にはフォトンマップからの放射輝度推定
• 鏡面に対しては光線追跡法

シンプルにレイトレで可視化
36
• ノイジー
• フォトンの数を増やしてもノイズが残りがち

より実践的な可視化方法
37
Direct Specular
Caustics Indirect
+
+ +
=

38
• 直接光の計算は高速に可能なのでフォトンマップから推定しない
• 間接光はフォトンマップから推定
• コースティクスは別途専用のフォトンマップを用意

39
+
+ =
Direct Caustics
Indirect Final
この例ではSpeularはその他のイメージ
に含まれている

40
• レンダリング方程式を４つに分解
• すべてのパスを網羅している

集光模様フォトンマップ
41
• フォトンの数を多くしたり、推定半径を
小さめにして、鋭い集光模様を描画可能

集光模様フォトンマップ
42
• 透過屈折のある物体のみに目がけてフォトンを飛ばすのがベスト
• グローバルフォトンマップを使った描画結果と組み合わせる

間接光には分散レイトレーシング
43
• 拡散反射面に対する間接光を複数のレイを飛ばして集める
• レイを飛ばした先はフォトンマップから放射輝度推定する

影フォトンマップ
44
影なし完全に影半影
• 物体を突き抜けてトレース
• 突き抜け後は負の出力を持つフォトン
をストア
• 範囲内の推定値が１なら影なし
• 範囲内の推定値が<０なら完全に影
• 範囲内の推定値が>０ && <１なら半影
• 半影部分のみシャドウレイをたくさん
飛ばす

影フォトンマップ推定結果を可視化
45
• 白
➡遮されてない
➡シャドウレイ飛ばさない
• 灰色
➡半端に遮されている可能性がある
➡シャドウレイ飛ばす
• 黒
➡直接光は当たってない
➡シャドウレイ飛ばさない

Photon Mappingの欠点
46
• シーンに応じてパラメータの調整が必要
• ばらまくフォトンの数
• 放射輝度推定に使うフォトンの数
• 放射輝度推定でフォトンを集める範囲の半径
• 各種類のフォトンマップで設定が必要
• Progressive Photon Mappingで解決？
• Glossyな面
• レイを沢山飛ばすしかない（パストレと同じ処理）

References
• Henrik Wann Jensen’s HP
http://graphics.ucsd.edu/~henrik/
• Henrik Wann Jensen, 苗村健訳
Realistic Image Synthesis Using Photon Mapping
http://www.amazon.co.jp/dp/4274079503
• SIGGRAPH2012 Course
State of the Art in Photon Density Estimation
http://users-cs.au.dk/toshiya/starpm2012/
Photon Mapping. RENDERING1H CAMP 2013/8/24

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