1. 推定と標本抽出
～小さいデータで精度よく～
やまつ

2. はじめに
Rと私
R歴約１年
卒論（社会調査法について）を書くのに使い始めた
SPSSからの乗り換え
今回の発表の元ネタ
ブログ 社会学者の研究メモ
「サンプリングについてのひとつのお話」
http://d.hatena.ne.jp/jtsutsui/20110411/1302482023
「Rによるやさしい統計学」
第４章：母集団と標本

3. 発表の流れ
1. 統計的推定について
1. 「推定」とは
2. 「推定のよさ」とは
2. Rを使ったシミュレーションよる標本抽出法の比較
1. 単純無作為抽出法
2. 多段抽出法
3. 層化抽出法

4. 「推定」とは
（統計的）推定：母集団の特性（＝母数）を標本の特性（＝推定値）から推測する
母集団の例：日本人全体、この場にいる人たち
母数の例：政党支持率、身長と体重の相関係数
標本抽出
推定
推定値 分析母数
母集団 標本

5. 標本の分布
推定値は分布する
標本抽出
分析
（平均の）
推定値
＝１７３
推定値
＝１７０
推定値
＝１６８
母数（平均）＝１７０
推定値は平均や分散をもつ
例：「標本の平均」の平均
母集団の分布
「平均の推定値」の分布

6. よい推定とは
社会学者の研究メモ
「サンプリングについてのひとつのお話」に加筆して引用
１．バイアス＝母数と推定値の平均の差
２．偶然の誤差＝推定値の分散
推定値の平均と分散から推
定のよさが分かる
円の真ん中が母数
黒丸一つ一つが推定値

7. いろいろな標本抽出法
単純無作為抽出：母集団から個人を直接抽出する（完全にランダム）
多段抽出：母集団をグループ分けし、 ランダムにいくつかグループを選び、
そこからランダムに個人を抽出
層化抽出：母集団をグループ分け(層化)し、母集団の各グループの割合に標本の
それが等しくなるように、各グループからランダムに個人を抽出
以下、それぞれの標本抽出に基づく推定値のよさを、その平均と分散から評価する

8. シミュレーションの準備
１組から１０組まで、各クラス４０人、全体で４００人のある学年。
番号の若いクラスほど、成績が悪い傾向がある。
４０人を標本調査することで、この学年のテストの点の平均（＝母数）を知りたい。

9. 単純無作為抽出
平均の推定値の分散≒母集団の分散／標本サイズ
＝平均の推定値の分散の理論値
４０人選んで、平均の推定値を求めることを、１００００回繰り返す
山の中心が平均、裾の広さが分散を表す

10. 多段抽出
単純無作為抽出の4.156756より大きい
ランダムに４つのクラスを選び、各
クラスからランダムに１０人選ぶ

11. 層化抽出
単純無作為抽出の4.156756より小さい
各グループから４人ずつランダムに抽出
母集団における１組の割合40/400
＝標本における１組の割合4/40

12. 標本抽出法を比べる１
平均はどれも母数にかなり近い
分散は 多段抽出＞単純無作為抽出＞層化抽出
≒
𝜎2
𝑛
＝理論値

13. 標本抽出法を比べる２
① 推定値のよさは平均と分散から評価できる
② 「標本の平均」の平均は
単純無作為抽出＝多段抽出＝層化抽出＝母集団の平均
③ 「標本の平均」の分散は
多段抽出＞単純無作為抽出＞層化抽出
①、②、③から、推定のよさは
多段抽出＜単純無作為抽出＜層化抽出

14. 層化抽出の優位性１
つまり、
単純無作為抽出が常に最善ではない
今回のシミュレーションの場合
単純無作為抽出の標本の平均の分散は層化抽出の
約１．８倍
単純無作為抽出の標本の平均の分散は なので、
分散を１／１．８にするには標本サイズｎが１．８倍必要
⇒層化抽出が標本サイズを約半分に節約している
𝜎2
𝑛
単純無作為抽出は標本サイズを１．８倍にして
やっと層化抽出と同じ精度

15. 層化抽出が有効である条件
① 母集団における各層（グループ）の割合がわかっている
例：ある学年における各クラスの割合
② 標本抽出枠（名簿）に層のデータが含まれる
例：学年名簿に所属クラスが記されている
③ 層ごとに母数が異なる（⇒理由は後述）
例：クラスごとにテストの平均得点が異なる
①、または②が満たされないとき次善の策として単純無作為抽出がとられる
③が満たされないとき、層化抽出の精度は単純無作為抽出と同じ

16. 標本抽出法を比べる３
標本抽出法 推定値の平均 推定値の分散 調査コスト
単純無作為抽出 ◯
母数と同じ
△
普通
計算しやすい
△
調査対象が散らばる
多段抽出 △
（割当てをうまくやれば）
母数と同じ
×
層ごとに母数が異なる
ほど大きくなりやすい
計算しづらい
◯
グループごとに調査対
象がまとまる
層化抽出 △
（割当てをうまくやれば）
母数と同じ
◯
層ごとに母数が異なる
ほど小さくなりやすい
計算しづらい
×
調査対象が散らばる
層の割り当てにコストが
かかる

17. 層化抽出の優位性２
単純無作為抽出の場合
①標本平均の分散＝母分散／標本サイズ
②母分散＝母集団の偏差平方和／母集団のサイズ
③母集団の偏差平方和＝郡内平方和＋群間平方和 ＃平方和分解
①に②、③を代入
④標本平均の分散＝（郡内平方和＋群間平方和）／母集団のサイズ／標本サイズ
層化抽出の場合
⑤標本平均の分散＝∑（i組の分散×i組のサイズ）／母集団のサイズ／標本サイズ ＃①と加重平均
⑥郡内平方和＝ ∑（i組の分散×i組のサイズ)
⑤に⑥を代入
⑦標本平均の分散＝群内平方和／母集団のサイズ／標本サイズ
単純無作為抽出と層化抽出の差
標本平均の分散の差＝④ー⑦＝群間平方和／母集団のサイズ／標本サイズ
層ごとに平均（母数）が異なるほど、層化抽出の効果が大きい

18. 層化抽出の優位性３

19. おわりに
１．単純無作為抽出が常に最善ではない
既知の情報を意図的に揃えれば、小さいデータで精度のよい推定が可能
２．普通の検定、推定は単純無作為抽出された標本の話
多段抽出、層化抽出された標本の場合の計算は複雑（誤差の独立性）
３．Rで簡単にシミュレーションができる
統計学の理解に役立つ（数式にもとづく理論値の正しさを確認できる）
「割当て」や「重み付け」などは省略しました
⇒より詳しく、正確な話は「サンプリングについてのひとつのお話」で検索