Convex hull을 Graham's scan으로 구하고 rotating calipers를 사용하여 가장 먼 두 점을 O(nlogn) 시간복잡도에 구하는 방법

1. 가장 먼 두 점

2. 2/ 321
선정배경 – 기하 알고리즘을 배우자

3. 3/ 321
점과 점 사이의 거리
(6, 3)
(1, 1)

4. 4/ 321
점과 점 사이의 거리

5. 5/ 321
점과 점 사이의 거리
5
2Sqrt(25 + 9)
약 5.830951894845301

6. 6/ 321
점과 점 사이의 거리
5
넘나 쉬운 것

7. 7/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
점이 6개다

8. 8/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
𝑂(𝑛2
)
알고리즘?
점이 6개다

9. 9/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
점이 100,000,000개면?

10. 10/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
점이 100,000,000개면?
- 넘나 어려운 것
글쎄요

11. 11/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
점이 많으면 어려운 문제가 된다.

12. 12/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
𝑂(𝑛2
) 알고리즘보다 더 쎈
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛) 알고리즘이 존재

13. 13/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
𝑂(𝑛2
) 알고리즘보다 더 쎈
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛) 알고리즘이 존재
- 볼록 껍질 문제로 해결 가능

14. 14/ 321
볼록 껍질 문제란?
요놈들을 감싸는 볼록껍질을 구하라

15. 15/ 321
볼록 껍질 문제란?
요놈들을 감싸는 볼록껍질을 구하라
- 이렇게 만들면 됨

16. 16/ 321
볼록 껍질 문제란?
요놈들을 감싸는 볼록껍질을 구하라
- 이렇게 만들면 됨
어떻게 해야 할까?

17. 17/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
Graham scan method (1972년)
𝑶(𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏)

18. 18/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
Graham scan method (1972년)
𝑶(𝒏𝒍𝒐𝒈𝒏)

19. 19/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
무조건 외곽이 되는 점은 무엇일까?
Graham scan method

20. 20/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
무조건 외곽이 되는 점은 무엇일까?
- 그것은 상하좌우 최 외곽에 있는 점

21. 21/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
이 점은 무조건 볼록 껍질에 포함된다.

22. 22/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
선택된 점에서 모든 점 사이의 각도를 구한다.

23. 23/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
각도를 기준으로 이렇게 정렬

24. 24/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
각도를 기준으로 이렇게 정렬
1
2
3
4
5
6
7
0

25. 25/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
1
2
3
4
5
6
7
0

26. 26/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
1
2
3
4
5
6
7
0
1
0
Stack
0, 1을 stack에 넣음

27. 27/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
1
2
3
4
5
6
7
0
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.

28. 28/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

29. 29/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
1
0
Stack
이 진행은 반 시계방향인가?
1
0

30. 30/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
반 시계방향이니 Stack에 현재 검사중인 번호(2)를
넣음
1
0

31. 31/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

32. 32/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
반 시계방향인가?
1
0

33. 33/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반 시계방향이니 Stack에 현재 검사중인 번호(3)를
넣음
1
0

34. 34/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

35. 35/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반 시계방향인가?
1
0

36. 36/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
반 시계방향이니 Stack에 현재 검사중인 번호(4)를
넣음
1
0

37. 37/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

38. 38/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
시계방향인가? - ㅇㅇ
1
0

39. 39/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
0
Stack
Stack을 pop
1
0

40. 40/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack을 pop
1
0

41. 41/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

42. 42/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
반 시계방향인가?
1
0

43. 43/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
반 시계방향이니 Stack에 현재 검사중인 번호(5)를
넣음
1
0

44. 44/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

45. 45/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
5
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0

46. 46/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0

47. 47/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자.
1
0

48. 48/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
3
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0

49. 49/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
시계방향이다 - Stack을 pop
1
0

50. 50/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자. – 반 시계방향
1
0

51. 51/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자. – 반 시계방향
1
0

52. 52/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에서 위에 있는 2개의 점과 현재 비교해야
하는 점을 이어보자. – 반 시계방향
1
0

53. 53/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
7
6
2
1
0
Stack
검색 종료.
1
0

54. 54/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에 있는 점을 이어보면 볼록 껍질이 완성됨.
1
0
7

55. 55/ 321
볼록 껍질 문제 풀이
2
3
4
5
6
7
6
2
1
0
Stack
Stack에 있는 점을 이어보면 볼록 껍질이 완성됨.
1
0
7

56. 56/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
2
3
4
5
6
점들의 집합 중 가장 먼 두 점은 볼록 껍질을 구성하는
점들의 집합에 존재한다.
1
0
7

57. 57/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
G I F

58. 58/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
2
3
4
5
6
볼록 껍질 다각형에서 가장 먼 두 점을 어떻게 찾을까?
1
0
7

59. 59/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
2
3
4
5
6
볼록 껍질 다각형에서 가장 먼 두 점을 어떻게 찾을까?
1
0
7
𝑂(𝑛2
)
알고리즘?

60. 60/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
2
3
4
5
6
𝑂(𝑛2
)이 아니라 𝑂(𝑛)알고리즘이 존재
1
0
7

61. 61/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
Rotating calipers (1978년)

62. 62/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
Rotating calipers (1978년)
rightest
leftest

63. 63/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
rightest
leftest

64. 64/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
rightest
leftest

65. 65/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
수직선

66. 66/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

67. 67/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
각도가 더욱
작은 쪽 직선을 회전

68. 68/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

69. 69/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

70. 70/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

71. 71/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

72. 72/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
한 바퀴 돌면 그만!

73. 73/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점

74. 74/ 321
점들의 집합 중 가장 먼 두 점
총 시간복잡도?
𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛 + 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛 + 𝑛
𝑂(𝑛𝑙𝑜𝑔𝑛)

75. 75/ 321
응용
othogonal
Bounding box
Bounding box(3D)

76. 76/ 321
응용
othogonal
Bounding box
Bounding box(3D)

77. 77/ 321
응용
Cluster bound

78. Q&A