SlideShare a Scribd company logo
1 of 59
Download to read offline
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔ
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ
ÁÞÄÆÅÒÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ
ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
¾ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
Ñ. È. Ìàðìî,
Ì. Â. Ôðîëîâ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÅ
×àñòü II
Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè
è ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ
Âîðîíåæ
Èçäàòåëüñêèé äîì ÂÃÓ
2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
25 íîÿáðÿ 2013 ã., ïðîòîêîë  11
Ðåöåíçåíò ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À. Â. Ìåðåìüÿíèí
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêî
ãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà äíåâíîãî îòäåëåíèÿ ôèçè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà.
Äëÿ íàïðàâëåíèÿ 011200  Ôèçèêà, ñïåöèàëüíîñòè 010701  Ôèçèêà
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ñîäåðæàíèå
1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 4
1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è ïðèíöèï
îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . 7
1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . 12
1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . . 15
1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ÷à
ñòèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ôîðìóëà
Ýéíøòåéíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé . . . . . . . 28
1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . 33
2. Ýëåêòðîäèíàìèêà â ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîçíà÷åíèÿõ 35
2.1. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð òîêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. ×åòûðåõìåðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . 36
2.3. Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ
ïîëÿ. Èíâàðèàíòû ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Ýôôåêò Äîïëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . . . . . 43
2.6. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . . 45
2.7. Ôóíêöèè Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà çàðÿäà â ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàðÿäà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . 52
2.9. Âûâîä óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî
äåéñòâèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ëèòåðàòóðà 58
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà
è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè
Ñîçäàííàÿ âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ìàêñâåëëîâñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îáúÿñíèâ ñ åäèíûõ ïîçèöèé âñå (íåêâàíòîâûå) ýëåêòðîìàã
íèòíûå ÿâëåíèÿ, âîøëà â ïðîòèâîðå÷èå ñ äðóãîé ôóíäàìåíòàëüíîé ôèçè÷å
ñêîé òåîðèåé  êëàññè÷åñêîé (íüþòîíîâñêîé) ìåõàíèêîé. Ðàçðåøåíèå ýòîãî
ïðîòèâîðå÷èÿ ïðèâåëî ê êîðåííîìó ïåðåñìîòðó èìåâøèõñÿ â ôèçèêå ïðåä
ñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è ñîçäàíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñè
òåëüíîñòè (ÑÒÎ).
Ñî âðåìåí Ãàëèëåÿ è Íüþòîíà â ìåõàíèêå ñóùåñòâîâàëî ïðåäñòàâëåíèå î
ïîëíîì ðàâíîïðàâèè âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà 1
(ÈÑÎ), ÷òî íàøëî
âûðàæåíèå â ïðèíöèïå îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó
ëþáîå ìåõàíè÷åñêîå ÿâëåíèå ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêà
åò îäèíàêîâûì îáðàçîì âî âñåõ ÈÑÎ. Ìàòåìàòè÷åñêè ïðèíöèï îòíîñèòåëüíî
ñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí êàê ñîõðàíåíèå âèäà
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ. Ðàññìîòðèì äâå èíåðöè
àëüíûå ñèñòåìû K è K′
. Ïóñòü K′
äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ
V, ïðè÷åì â ìîìåíò t = 0 íà÷àëà êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ñîâïàäàëè. Òîãäà
êîîðäèíàòû r′
= (x′
, y′
, z′
) è âðåìÿ t′
â ñèñòåìå K′
ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè
r = (x, y, z) è âðåìåíåì t â ñèñòåìå K ñîîòíîøåíèÿìè
r′
= r − Vt, t′
= t, (1.1)
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ. Òî åñòü, åñëè â ñèñòåìå K
â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå r ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå 2
, òî â ñèñòåìå
K′
ýòî ñîáûòèå ïðîèçîøëî â òî÷êå r′
= r − Vt â ìîìåíò âðåìåíè t′
= t
(îòñ÷èòàííûé ïî ÷àñàì â ñèñòåìå K′
, ñèíõðîíèçîâàííûì ñ ÷àñàìè â K). Îá
ðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âðåìÿ íå ïðåîáðàçóåòñÿ  âî âñåõ ÈÑÎ âðåìÿ îäíî è
òî æå, îíî èìååò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.1)
ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé
v′
= v − V, (1.2)
ãäå v = dr/dt è v′
= dr′
/dt′
 ñêîðîñòè òî÷êè â ñèñòåìàõ K è K′
ñîîòâåò
ñòâåííî.

Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìîé îòñ÷åòà (íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíîé) íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü ñèñòåìû
êîîðäèíàò è ÷àñîâ (â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ), æåñòêî ñêðåïëåííûõ ñ òåëîì
îòñ÷åòà.
Ïîä ñîáûòèåì (ãîâîðÿò òàêæå î òî÷å÷íîì ñîáûòèè) ïîíèìàåòñÿ íåêîòîðîå ÿâëåíèå, êîòîðîå õàðàêòå
ðèçóåòñÿ ìåñòîì, ãäå îíî ïðîèçîøëî, è âðåìåíåì, êîãäà îíî ïðîèçîøëî.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé m â ñèñòåìå K:
m
d2
r
dt2
= F. (1.3)
Èç ôîðìóë (1.1) ñëåäóåò:
d2
r′
dt′2 =
d2
r
dt2
 óñêîðåíèå ÷àñòèöû â äâóõ èíåðöè
àëüíûõ ñèñòåìàõ îäíî è òî æå. Êðîìå òîãî, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìàñ
ñà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, îäèíàêîâîé âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà:
m′
= m. Òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò ñèëà: F′
= F.
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ïîñëåäíåì óòâåðæäåíèè. Â èíåðöèàëüíûõ ñè
ñòåìàõ ñóùåñòâóþò òîëüêî ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè, êîòîðûå ìî
ãóò çàâèñåòü îò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ òåë è èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòèöà âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðó
ãîé ÷àñòèöåé. Åñëè îáîçíà÷èòü ðàäèóñ-âåêòîð ïîñëåäíåé ÷åðåç ˜r, à ñêîðîñòü
÷åðåç ˜v, òî ñèëà áóäåò çàâèñåòü îò ðàçíîñòåé r − ˜r, v − ˜v :
F = F(r − ˜r, v − ˜v). (1.4)
Íî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì
Ãàëèëåÿ (1.1) è çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2)
r − ˜r = r′
− ˜r′
, v − ˜v = v′
− ˜v′
,
ò.å. ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè è èõ îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè íå èçìåíÿ
þòñÿ. Ñîãëàñíî îïûòíûì äàííûì â îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ìå
õàíèêè, è ñàìî âçàèìîäåéñòâèå íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå îíî ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ïîýòîìó
F′
(r′
− ˜r′
, v′
− ˜v′
) = F(r − ˜r, v − ˜v), (1.5)
ò.å. ñàìè ôóíêöèè F è èõ àðãóìåíòû îäèíàêîâû.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå â ñèñòåìó K′
óðàâíåíèå (1.3) ñîõðàíÿåò ñâîþ
ôîðìó 3
:
m′ d2
r′
dt′2
= F′
, (1.6)
ïðè÷åì ìàññà, ñèëà è óñêîðåíèå â îáåèõ ñèñòåìàõ îäèíàêîâû, ìåíÿþòñÿ ëèøü
îáîçíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.3) îñòà
åòñÿ èíâàðèàíòíûì (íåèçìåííûì) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ. Íî
!
Åñëè ïðè íåêîòîðîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò óðàâíåíèå íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà, åãî ïðèíÿòî íà
çûâàòü êîâàðèàíòíûì. Åñëè æå åùå îêàæåòñÿ, ÷òî âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (nr) = a
òîëüêî êîâàðèàíòíî, à óðàâíåíèå ñôåðû r2
= a2
åùå è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèÿ. Ïðèíöèï îò
íîñèòåëüíîñòè òðåáóåò òîëüêî êîâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé, îñóùåñòâëÿþùèõ ïåðåõîä
îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
òîãäà è ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1.3) è (1.6) ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
áóäóò òîæäåñòâåííû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè.
 ôîðìóëàõ (1.4), (1.5) îòðàæåíî ïðåäñòàâëåíèå î âçàèìîäåéñòâèè òåë,
êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ñèëà çàâè
ñèò îò êîîðäèíàò (è, âîçìîæíî, ñêîðîñòåé) âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè÷åì
êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè áåðóòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî îçíà÷à
åò, ÷òî, åñëè ïîëîæåíèå îäíîãî èç òåë èçìåíèëîñü, âòîðîå òåëî ïî÷óâñòâóåò
ýòî èçìåíåíèå íåìåäëåííî. Âçàèìîäåéñòâèå ïåðåäàåòñÿ ìãíîâåííî, ò.å. ñ áåñ
êîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòüþ.
Ïðåäñòàâëåíèå î áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé
(èíîãäà ãîâîðÿò î ðàñïðîñòðàíåíèè ¾ñèãíàëîâ¿) òåñíî ñâÿçàíî ñ àáñîëþòíûì
õàðàêòåðîì âðåìåíè: ñèãíàë, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ
èç òî÷êè, ãäå ïðîèçîøëî ñîáûòèå, â òîò æå ìîìåíò ïðèõîäèò âî âñå òî÷êè
ïðîñòðàíñòâà, â òîì ÷èñëå ê ÷àñàì êàæäîé èç ÈÑÎ, êîòîðûå çàðåãèñòðèðóþò
îäèíàêîâîå âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ t′
= t′′
= · · · = t.
Ñ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðîäèíàìèêè áûëî åñòåñòâåííûì ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ñïðàâåäëèâ è äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé.
Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà íå ñîõðàíÿþò ñâîåé ôîðìû
ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ (1.1). Íåñîâìåñòèìîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåë
ëà è ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ñëåäóåò óæå èç òîãî,
÷òî òåîðèÿ Ìàêñâåëëà äàåò êîíå÷íóþ âåëè÷èíó c äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíå
íèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå. Íî âñå ÈÑÎ, î÷åâèäíî, ðàâíîïðàâíû
ïî îòíîøåíèþ ê âàêóóìó (â ÷àñòíîñòè, âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ìàòåðèàëüíîé
ñðåäû â âàêóóìå ñ íèì íåëüçÿ ñâÿçàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé áû îí ïî
êîèëñÿ). Îòñþäà ëîãè÷åñêè ñëåäóåò  ïðè äîïóùåíèè ïîëíîãî ðàâíîïðàâèÿ
âñåõ èíåðöèàëüíûõ íàáëþäàòåëåé,  ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå äîëæíà
ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå c âî âñåõ ÈÑÎ. Íî, ñîãëàñíî êëàññè÷å
ñêîé ìåõàíèêå, ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ñêîðîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ
ïî ôîðìóëå (1.2).
Âîçíèêøåå ïðîòèâîðå÷èå òðåáîâàëî ñäåëàòü âûáîð ìåæäó òðåìÿ âîçìîæ
íîñòÿìè:
1) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì â ìåõàíèêå è íå ïðèìåíèì â ýëåê
òðîäèíàìèêå;
2) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè
êå; ïðè ýòîì ýëåêòðîäèíàìèêà â ôîðìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà íåâåðíà;
3) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè
êå; çàêîíû ìåõàíèêè â íüþòîíîâñêîé ôîðìå (à òàêæå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîð
äèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) òðåáóþò èçìåíåíèÿ.
Íåêîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîá
ðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ âûãëÿäåëà åñòåñòâåííîé ñ ïîçèöèé ¾ýôèðíûõ¿ òåîðèé,
ââîäèâøèõ ïðåäñòàâëåíèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ýôèðå è ðàññìàòðèâàâøèõ
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê îñîáîãî ðîäà íàòÿæåíèÿ â íåì (ïî àíàëîãèè ñ íà
òÿæåíèÿìè â óïðóãîé ñðåäå).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äîëæíû
áûòü ñïðàâåäëèâûìè â åäèíñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ýôèðîì.
Âî âñÿêîé äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýôèð áóäåò äâèãàòüñÿ, ïîýòîìó óðàâíåíèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äîëæíû ñîäåðæàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíî ýôèðà. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëå
íèå îá ýôèðå îêàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòèìûì ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãà
ëèëåÿ. Îäíàêî ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîïûòêè îáíàðóæåíèÿ
ýôèðà (ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå èçâåñòíû îïûò Ìàéêåëüñîíà ïî îáíàðóæå
íèþ ¾ýôèðíîãî âåòðà¿ è îïûò Ôèçî ïî îáíàðóæåíèþ óâëå÷åíèÿ ýôèðà äâè
æóùèìèñÿ òåëàìè) ïîêàçàëè íåóñòðàíèìûå ïðîòèâîðå÷èÿ â ãèïîòåçå ýôèðà è
ïðèâåëè ê îòêàçó îò íåå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå åñòü ñàìîñòîÿòåëüíûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò, íå íóæäàþùèéñÿ â ñïåöèàëü
íîì íîñèòåëå.
Ïîïûòêè èçìåíèòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ êîâàðèàíòíû
ìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ, ïðèâåëè ê òîìó, ÷òî íîâûå óðàâ
íåíèÿ ïðîòèâîðå÷èëè îïûòó.
Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûì îêàçàëñÿ òðåòèé ïóòü: äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ïðèí
öèïà îòíîñèòåëüíîñòè è ýëåêòðîäèíàìèêè ïîòðåáîâàëîñü ïåðåñìîòðåòü èìåâ
øèåñÿ â ôèçèêå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è çàìåíèòü ïðåîá
ðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [5, Ÿ 1.11.4,
1.71.9].
1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
 îñíîâó íîâîé òåîðèè áûëè ïîëîæåíû äâà ïîñòóëàòà, êîòîðûå ìîãóò
áûòü ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1. Âñå çàêîíû ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ (à íå òîëüêî çàêîíû ìå
õàíèêè, êàê óòâåðæäàë ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ).
2. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëþáûõ âçàèìîäåéñòâèé êîíå÷íà (íàïîìíèì,
÷òî â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ñ÷è
òàëàñü áåñêîíå÷íîé); ìàêñèìàëüíàÿ (ïðåäåëüíàÿ) ñêîðîñòü ïåðåäà÷è âçàèìî
äåéñòâèé (ñèãíàëîâ) ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â âàêóóìå.
Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ äâóõ ïîñòóëàòîâ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëü
íîñòè Ýéíøòåéíà. Èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè ñëåäóåò, î÷åâèäíî, ÷òî
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ. Ýòî çíà
÷èò, ÷òî â ïðèðîäå ñóùåñòâóåò ñêîðîñòü, êîòîðàÿ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå
îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãà
ëèëåÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2),
îøèáî÷íû.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Íàðÿäó ñ ïîñòóëàòàìè ÑÒÎ ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.  íüþòîíîâñêîé ìåõà
íèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ ïîëàãàëàñü áåñêîíå÷íîé, ïîýòîìó
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà áûëî äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ.  ÑÒÎ ó÷è
òûâàåòñÿ êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ, ïîýòîìó îäíèìè
÷àñàìè â ñèñòåìå îòñ÷åòà îãðàíè÷èòüñÿ íåëüçÿ.  ÑÒÎ ïðåäïîëàãàþò, ÷òî
â ëþáîé òî÷êå, ãäå îïðåäåëÿåòñÿ âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ, â ïðèíöèïå
äîëæíû áûòü ÷àñû.  ïðåäåëàõ îäíîé ÈÑÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ åäèíîå âðåìÿ
ñ ïîìîùüþ ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ. Ýéíøòåéíîì áûëî ïðåäëîæåíî ïðîâîäèòü
ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ñ ïîìîùüþ ñâåòîâûõ ñèãíàëîâ. Èç òî÷êè A â ìîìåíò
âðåìåíè t1 èñïóñêàåòñÿ êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèãíàë. Óñòàíîâèâ íà ÷àñàõ â òî÷êå
B â ìîìåíò ïðèõîäà ñâåòîâîãî ñèãíàëà âðåìÿ t = t1 +rAB/c (rAB  èçâåñòíîå
ðàññòîÿíèå ìåæäó A è B), ñèíõðîíèçèðóåì ÷àñû â B ñ îïîðíûìè ÷àñàìè â A.
Ýéíøòåéíîâñêàÿ ïðîöåäóðà ñèíõðîíèçàöèè òàêîâà, ÷òî ìîæåò áûòü ïðîâåäå
íà â ëþáîé ÈÑÎ. Èòàê, â ðåëÿòèâèñòñêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà âõîäÿò ñèñòåìà
êîîðäèíàò è íàáîð çàêðåïëåííûõ â ýòîé ñèñòåìå ñèíõðîíèçèðîâàííûõ ÷àñîâ.
Ïðèíöèïû ÑÒÎ òðåáóþò îòêàçà îò êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé îá àá
ñîëþòíîì õàðàêòåðå âðåìåíè. Èõ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëü
íîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ìåæäó ñîáûòèÿìè: óòâåðæäåíèå, ÷òî ìåæäó äâó
ìÿ äàííûìè ñîáûòèÿìè ïðîøåë îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïðèîá
ðåòàåò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà óêàçàíî, ê êàêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýòî óòâåð
æäåíèå îòíîñèòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ñîáûòèÿ, îäíîâðåìåííûå â îäíîé ÈÑÎ, áóäóò
íå îäíîâðåìåííûìè â äðóãîé ñèñòåìå.
Äëÿ óÿñíåíèÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü ïîåçä (ñèñòåìà
K′
) äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ïëàòôîðìû (ñèñòåìà K). Â
íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè èç ñåðåäèíû ïîåçäà (òî÷êà A) â åãî íà÷àëî (òî÷êà
C) è êîíåö (òî÷êà B) îòïðàâëÿþòñÿ ñâåòîâûå ñèãíàëû. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà â ñèñòåìå K′
, êàê è âî âñÿêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòå
ìå, ðàâíà c (â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ), òî ñèãíàëû äîñòèãíóò ðàâíîóäàëåííûõ îò
A òî÷åê B è C â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè (â ñèñòåìå K′
). Îäíàêî òå æå
ñàìûå äâà ñîáûòèÿ (ïðèõîä ñèãíàëà â B è C) áóäóò íå îäíîâðåìåííûìè äëÿ
íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå K. Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòü ñèãíàëîâ îòíîñèòåëüíî
K ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè ðàâíà òîìó æå c, è ïîñêîëüêó òî÷êà
B äâèæåòñÿ (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K) íàâñòðå÷ó ïîñëàííîìó â íåå ñèãíàëó,
à òî÷êà C  ïî íàïðàâëåíèþ îò ñèãíàëà (ïîñëàííîãî èç A â C), òî â ñèñòåìå
K ñèãíàë ïðèäåò â òî÷êó B ðàíüøå, ÷åì â òî÷êó C.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [3, Ÿ 1], [4, Ÿ 65,66],
[5, ãë. 2, Ÿ 2.12.3].
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Êàê îòìå÷åíî âûøå, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íå óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâà
íèÿì òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ïîýòîìó îíè äîëæíû áûòü ìîäèôèöèðîâàíû.
Ðåëÿòèâèñòñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå
èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ ìîæíî óñòàíîâèòü èñõîäÿ
èç ïðèíöèïîâ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ïîñòîÿíñòâà ñêîðîñòè ñâåòà âî âñåõ
ÈÑÎ), à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðî
ñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè (ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáëàäàþò ýòèìè
ñâîéñòâàìè ïî ïðåäñòàâëåíèÿì êàê êëàññè÷åñêîé, òàê è ðåëÿòèâèñòñêîé ôè
çèêè). Îñíîâûâàÿñü íà ýòèõ ïîëîæåíèÿõ, áóäåì ôîðìóëèðîâàòü ìàòåìàòè÷å
ñêèå òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé,
è íà êàæäîì ýòàïå èñêàòü ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà èñêîìûå ôîðìó
ëû, ïîêà ïîëíîñòüþ íå îïðåäåëèì èõ âèä.
1. Èç îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè âûòåêàåò, ÷òî ñâÿçü ìåæäó
êîîðäèíàòàìè ñîáûòèÿ â äâóõ ÈÑÎ äîëæíà áûòü ëèíåéíîé:
x′
= αx + α′
y + β′
z + βt + ρ è ò.ä., (1.7)
ãäå α, β, α′
, . . .  ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Åñëè áû ýòè âåëè÷èíû áû
ëè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ñâÿçü ìåæäó øòðèõîâàííûìè è
íåøòðèõîâàííûìè âåëè÷èíàìè áûëà íåëèíåéíîé), ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî çà
êîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.7) íåîäèíàêîâ äëÿ ðàçíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà è äëÿ
ðàçíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èëî áû îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàí
ñòâà-âðåìåíè  ïî çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî áûëî áû îòëè÷àòü îäíè
îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (è ìîìåíòû âðåìåíè) îò äðóãèõ. Íî êîýôôèöèåíòû
α, β è ò.ï. ìîãóò çàâèñåòü, ðàçóìååòñÿ, îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
2. Êîíêðåòèçèðóåì òåïåðü ðàññìàòðèâàåìûå ñèñòåìû (ðèñ. 1). Ïóñòü ñî
îòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò â íèõ ïàðàëëåëüíû è îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå
ïðîèñõîäèò âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ V , à íà÷àëà îòñ÷åòà âûáðàíû òàê, ÷òî
ïðè t = 0 òî÷êà x′
= y′
= z′
= 0 (íà÷àëî êîîðäèíàò ñèñòåìû K′
) ñîâïàäàåò ñ
òî÷êîé x = y = z = 0 (íà÷àëîì êîîðäèíàò ñèñòåìû K). ×àñû â ñèñòåìå K′
óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû â ìîìåíò, êîãäà íà÷àëà ñèñòåì êîîðäèíàò ñîâïàäàþò,
îíè ïîêàçûâàëè âðåìÿ t′
= 0.  ýòîì ñëó÷àå ñâîáîäíûå ÷ëåíû â ðàâåíñòâàõ
(1.7) (ρ è ò.ï.) îáðàòÿòñÿ â íóëü.
Ïîñêîëüêó îñè êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ïàðàëëåëüíû, òî ïëîñêîñòü xy ñîâ
ïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ x′
y′
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè z′
= 0 äîëæíî áûòü è z = 0,
ïðè÷åì ýòè ðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáûõ x′
, y′
, t′
è ñîîòâåò
ñòâåííî x, y, t. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñâÿçü ìåæäó z è z′
èìååò âèä z′
= kz, k = const. Â ñèëó èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà òàêàÿ æå ñâÿçü
ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì k äîëæíà áûòü ìåæäó y è y′
: y′
= ky.
Ñâÿçü x′
è t′
ñ êîîðäèíàòàìè è âðåìåíåì â ñèñòåìå K, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
âûøå, èìååò ñëåäóþùèé îáùèé âèä:
x′
= αx + βt + α′
y + β′
z,
t′
= σx + δt + σ′
y + δ′
z.
(1.8)
V
y’
x’
z’z
x
y
Ðèñ. 1
 ïëîñêîñòè x′
= 0 èìååì x = V t ïðè ëþáûõ z è y, òàê êàê ñèñòåìà K′
äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ V . Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ x è x′
â ïåðâîå ðàâåíñòâî (1.8), áóäåì èìåòü α′
= β′
= 0, β = −αV . Íàêîíåö,
îáðàòèìñÿ ê ôîðìóëå äëÿ t′
. ×àñû â ñèñòåìå K′
óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû ïðè
x = 0 è t = 0 áûëî t′
= 0. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè σ′
= δ′
= 0. Â èòîãå
èìååì ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé:
x′
= α(V )(x − V t), y′
= k(V )y, z = k(V )z′
,
t′
= σ(V )x + δ(V )t,
(1.9)
ãäå ó êîýôôèöèåíòîâ ÿâíî óêàçàíà çàâèñèìîñòü îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
3. Èñïîëüçóåì òåïåðü ðàâíîïðàâèå ñèñòåì K è K′
. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ôîð
ìóëû ïåðåõîäà èç K′
â K äîëæíû ïîëó÷àòüñÿ èç ôîðìóë ïåðåõîäà ( 1.9)
çàìåíîé V íà −V :
x = α(−V )(x′
+ V t′
), y = k(−V )y′
, z = k(−V )z′
,
t = σ(−V )x′
+ δ(−V )t′
.
(1.10)
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ôîðìóëû äëÿ y è z. Ñëó÷àè (1.9) è (1.10) îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî íàïðàâëåíèåì îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, êîòîðàÿ è â òîì è â äðóãîì
ñëó÷àå ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè yz. Íî îáà íàïðàâëåíèÿ ðàâíîïðàâíû
(ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî), ïîýòîìó k(−V ) = k(V ). Ñîâåðøàÿ ïðåîáðàçîâà
íèÿ îò y ê y′
è çàòåì ñíîâà îò y′
ê y, áóäåì èìåòü y = k2
y, ò.å. k2
= 1,
k = ±1. Çíà÷åíèå k = −1 îòâå÷àåò ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè îñåé y è
y′
, à íàøåìó ñëó÷àþ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå k = 1.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ïîäñòàâèì òåïåðü â ôîðìóëó äëÿ x èç (1.10) çíà÷åíèÿ x′
è t′
èç (1.9):
x = [α(−V )α(V ) − V σ(V )α(−V )]x + α(−V )V [δ(V ) − α(V )]t. (1.11)
×òîáû ýòî ðàâåíñòâî áûëî ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ x è t, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
ñîîòíîøåíèå
δ(V ) = α(V ). (1.12)
Âòîðîå ñîîòíîøåíèå, ñëåäóþùåå èç (1.11), íàì íå ïîòðåáóåòñÿ.
4. Èñïîëüçóåì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà, ò.å. ïîñòîÿíñòâî åå
âåëè÷èíû â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ. Ïóñòü â ìîìåíò ñîâïàäåíèÿ ñèñòåì K è K′
(t = t′
= 0) èç ñîâïàäàþùèõ íà÷àë îòñ÷åòà èñïóùåí êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèã
íàë. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ôðîíòà âîëíû â ñèñòåìå K äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ñî
ñêîðîñòüþ x/t = c. Íî âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñâåòîâîé ñèãíàë ðàñïðîñòðàíÿ
åòñÿ âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ñêîðîñòü ôðîíòà â
ñèñòåìå K′
áóäåò òîé æå ñàìîé: x′
/t′
= c. Ïîýòîìó, ïîäåëèâ óðàâíåíèÿ äëÿ
x′
íà óðàâíåíèå äëÿ t′
, ïîëó÷àåì èç (1.9):
c =
α(x − V t)
σx + αt
=
α(c − V )
σc + α
.
Îòñþäà
σ(V ) = −
V
c2
α(V ). (1.13)
×òîáû îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò α(V ), ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîãî
âîëíîâîãî ôðîíòà â ñèñòåìàõ K è K′
:
x2
+ y2
+ z2
= (ct)2
, x′2
+ y′2
+ z′2
= (ct′
)2
.
 ýòèõ óðàâíåíèÿõ îïÿòü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè ñêîðîñòè
ñâåòà, ïîýòîìó c  îäèíàêîâîå. Ïîñêîëüêó y′
= y, z′
= z, òî
(ct′
)2
− x′2
= (ct)2
− x2
. (1.14)
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ (1.9), (1.12), (1.13) ïîëó÷àåì
α2
(1 − V 2
/c2
)(c2
t2
− x2
) = (ct)2
− x2
,
îòêóäà
α(V ) = ±(1 − V 2
/c2
)−1/2
. (1.15)
Çäåñü ñíîâà ñëåäóåò âçÿòü òîëüêî çíàê ïëþñ, òàê êàê ìèíóñ ñîîòâåòñòâóåò
ïðîòèâîïîëîæíîìó íàïðàâëåíèþ îñåé x è x′
.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ñîáèðàÿ âìåñòå ðåçóëüòàòû (1.9)(1.15), ïðèõîäèì ê ðåëÿòèâèñòñêèì ôîð
ìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà):
x′
=
x − V t
√
1 − V 2/c2
, y′
= y, z′
= z,
t′
=
t − V
c2 x
√
1 − V 2/c2
.
(1.16)
Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïîçâîëÿþò, çíàÿ êîîðäèíàòû x, y, z è âðåìÿ t ñî
áûòèÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà K, íàéòè êîîðäèíàòû x′
, y′
, z′
è âðåìÿ t′
ñîáûòèÿ â
ñèñòåìå K′
.
Îáðàòíûå ôîðìóëû, âûðàæàþùèå x, y, z, t ÷åðåç x′
, y′
, z′
, t′
, ïðîùå âñåãî
ïîëó÷àþòñÿ çàìåíîé V íà −V (òàê êàê ñèñòåìà K äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî
K′
ñî ñêîðîñòüþ −V ). Ýòè æå ôîðìóëû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ
(1.16) îòíîñèòåëüíî x, y, z, t:
x =
x′
+ V t′
√
1 − V 2/c2
, y = y′
, z = z′
,
t =
t′
+ V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
.
(1.17)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ V ≪ c ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
ïåðåõîäÿò â ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ.
Ïðè V  c â ôîðìóëàõ (1.17) êîîðäèíàòû x, t ñòàíîâÿòñÿ ìíèìûìè. Ýòî
ñîîòâåòñòâóåò òîìó ôàêòó, ÷òî äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè
ñâåòà, íåâîçìîæíî. Íåâîçìîæíî äàæå èñïîëüçîâàíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà, äâè
æóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ñêîðîñòè ñâåòà, ïðè ýòîì çíàìåíàòåëè â
ôîðìóëàõ (1.17), (1.16) îáðàòèëèñü áû â íóëü.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [5, Ÿ 2.4, 2.5].
1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
1. Ñîêðàùåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ äâèæóùèõñÿ òåë (ëîðåíöåâî
ñîêðàùåíèå). Ïóñòü â ñèñòåìå K′
ïîêîèòñÿ ëèíåéêà, ïàðàëëåëüíàÿ îñè x.
Äëèíà åå, èçìåðåííàÿ â ýòîé ñèñòåìå, ðàâíà l0 = x′
2 − x′
1. Äëèíà ëèíåéêè,
èçìåðåííàÿ â òîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé îíà ïîêîèòñÿ, íàçûâàåòñÿ ñîá
ñòâåííîé äëèíîé. Íàéäåì äëèíó l ëèíåéêè â ñèñòåìå K. Ïî îïðåäåëåíèþ
l åñòü ðàçíîñòü êîîðäèíàò êîíöà è íà÷àëà, âçÿòûõ â îäèí è òîò æå ìîìåíò
âðåìåíè. Èç (1.16) íàõîäèì
x′
2 − x′
1 =
x2 − V t
√
1 − V 2/c2
−
x1 − V t
√
1 − V 2/c2
=
x2 − x1
√
1 − V 2/c2
,
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
èëè
l = l0
√
1 − V 2/c2. (1.18)
Ýòîò ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ îáúåêòà óìåíüøàåòñÿ âäîëü
íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Ïîïåðå÷íûå ê ñêîðîñòè ðàçìåðû òåëà íå èçìåíÿþòñÿ,
ïîýòîìó îáúåì óìåíüøàåòñÿ òàê æå, êàê äëèíà:
˜V = ˜V0
√
1 − V 2/c2. (1.19)
2. Ýôôåêò çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî â îäíîì è òîì æå ìåñòå ïðîñòðàíñòâà â K′
ïðîèçîøëè äâà ñîáûòèÿ.
Ïóñòü ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè, èçìåðåííûé ïî ÷àñàì,
ïîêîÿùèìñÿ â K′
, åñòü ∆t′
= t′
2 − t′
1 = τ. Íàéäåì âðåìÿ, êîòîðîå ïðîøëî
ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ñîáûòèÿìè â ñèñòåìå K:
∆t = t2 − t1 =
t′
2 + V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
−
t′
1 + V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
=
∆t′
√
1 − V 2/c2
. (1.20)
Âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå ïî ÷àñàì, ïîêîÿùèìñÿ îòíîñèòåëüíî îáúåêòà, íàçû
âàåòñÿ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì ýòîãî îáúåêòà. Ôîðìóëà (1.20) ïîêàçûâàåò,
÷òî ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ìåíüøå ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èçìå
ðåííîãî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (äâèæóùèåñÿ ÷àñû èäóò ìåäëåííåå
íåïîäâèæíûõ):
τ = ∆t
√
1 − V 2/c2.
Íàãëÿäíûì ïðèìåðîì çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ
ïàä µ-ìåçîíîâ. Ýòè ÷àñòèöû ìîãóò âîçíèêàòü â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ íà âûñîòå
∼ 10 êì íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè è èìåþò âðåìÿ æèçíè τ0 ∼ 2 · 10−6
c. Åñ
ëè áû íå áûëî ýôôåêòà çàìåäëåíèÿ âðåìåíè, òî çà âðåìÿ æèçíè îíè ïðî
õîäèëè áû ðàññòîÿíèå ∼ 600 ì, îäíàêî µ-ìåçîíû ðåãèñòðèðóþòñÿ âáëèçè
çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî τ0  âðåìÿ èõ æèçíè â ñîá
ñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, à ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ íà Çåìëå îíî åñòü
τ0/
√
1 − V 2/c2, è åñëè ñêîðîñòü µ-ìåçîíîâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî îíè ìîãóò
äîñòè÷ü ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
3. Èíâàðèàíòíîñòü èíòåðâàëà. Ïóñòü â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàí
ñòâà x1, y1, z1 â ìîìåíò t1 ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå, à â äðóãîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà x2, y2, z2 â ìîìåíò t2 ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå. Èíòåðâàëîì
ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
s12 =
√
c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2. (1.21)
 ñèñòåìå îòñ÷åòà K′
ñîáûòèå 1 ïðîèçîøëî â òî÷êå x′
1, y′
1, z′
1 â ìîìåíò t′
1, à
ñîáûòèå 2 â òî÷êå x′
2, y′
2, z′
2 â ìîìåíò t′
2. Èíòåðâàë ìåæäó íèìè
s′
12 =
√
c2(t′
2 − t′
1)2 − (x′
2 − x′
1)2 − (y′
2 − y′
1)2 − (z′
2 − z′
1)2.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Íåïîñðåäñòâåííûì ðàñ÷åòîì ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
s′
12 = s12.
Åñëè äâà ñîáûòèÿ áåñêîíå÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó, òî äëÿ èíòåðâàëà ìåæäó
íèìè èìååì
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (1.22)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå l2
12 = (x2 −x1)2
+(y2 −y1)2
+(z2 −z1)2
è çàïèøåì êâàäðàò
èíòåðâàëà â âèäå
s2
12 = c2
(∆t12)2
− l2
12.
Âåëè÷èíà s2
12 ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Åñëè
s2
12  0, òî òàêîé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ âðåìåíèïîäîáíûì (çíàê s2
12 êàê ó ñëà
ãàåìîãî ñî âðåìåíåì), åñëè s2
12  0, òî èíòåðâàë ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûé.
Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî, î÷åâèäíî,
íåëüçÿ íàéòè ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé ñîáûòèÿ ïðîèñõîäèëè áû îäíîâðå
ìåííî. Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî
òàêóþ ñèñòåìó íàéòè ìîæíî, ñëåäîâàòåëüíî, òàêèå ñîáûòèÿ íå ìîãóò áûòü
ïðè÷èííî îáóñëîâëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè s2
12  0, òî c∆t12  l12 è íèêàêîé
ñèãíàë íå óñïååò ïîïàñòü èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2.
4. Ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé. Íàéäåì ôîð
ìóëû, ñâÿçûâàþùèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K′
. Äëÿ ýòîãî
çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.17) â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå:
dx =
dx′
+ V dt′
√
1 − V 2/c2
, dy = dy′
, dz = dz′
, dt =
dt′
+ V/c2
dx′
√
1 − V 2/c2
.
Ðàçäåëèâ ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà íà ÷åòâåðòîå è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ äëÿ äåêàð
òîâûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìå K
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
, vz =
dz
dt
(1.23)
è â ñèñòåìå K′
v′
x =
dx′
dt′
, v′
y =
dy′
dt′
, v′
z =
dz′
dt′
,
ïîëó÷èì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé
vx =
v′
x + V
1 + v′
xV
c2
, vy,z =
v′
y,z
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.24)
 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå c → ∞ ïðåîáðàçîâàíèå (1.24) ïåðåõîäèò â ôîðìóëû
êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè (1.2). Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñóììà äâóõ ñêîðî
ñòåé, ìåíüøèõ èëè ðàâíûõ ñêîðîñòè ñâåòà, åñòü ñíîâà ñêîðîñòü, íå áîëüøàÿ
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ñêîðîñòè ñâåòà. Òàê, åñëè v′
x → c, v′
y = v′
z = 0, òî vy = vz = 0, à
vx =
c + V
1 + V
c
= c. (1.25)
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ñèñòåìó íåèçìåííîé îñòà
åòñÿ òîëüêî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ñâåòà, íàïðàâëåíèå æå åå ìîæåò èçìåíèòüñÿ.
Ðåçóëüòàò (1.25) íå îçíà÷àåò, ÷òî â ÑÒÎ íèêàêèå ñêîðîñòè íå ìîãóò ïðå
âûøàòü ñêîðîñòè ñâåòà. Ñêîðîñòü ñâåòîâîãî çàé÷èêà íà ýêðàíå, äîñòàòî÷íî
óäàëåííîì îò èñòî÷íèêà, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû, ñêîðîñòü ðàçëåòà èëè ñáëè
æåíèÿ ÷àñòèö â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå è ò.ï. ìîãóò áûòü áîëüøå c. ÑÒÎ
óòâåðæäàåò ëèøü, ÷òî ñî ñâåðõñâåòîâûìè ñêîðîñòÿìè íåâîçìîæíà ïåðåäà÷à
èíôîðìàöèè è âçàèìîäåéñòâèé.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 2], [2, ãë. 11, Ÿ 2], [4, Ÿ 6870].
1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
Ìíîãèì ðåçóëüòàòàì ðåëÿòèâèñòñêîé êèíåìàòèêè ìîæíî ïðèäàòü ïðîñòîé
ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Òàêîé ïîäõîä îáëåã÷àåò èíòåðïðåòàöèþ è ïîçâîëÿåò
ðàçâèòü èçÿùíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ÑÒÎ.
Ïîñêîëüêó âðåìÿ â ÑÒÎ òåðÿåò àáñîëþòíûé õàðàêòåð è çàâèñèò îò ñèñòå
ìû îòñ÷åòà, òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé åñòåñòâåííî
èñïîëüçîâàòü ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå  ¾ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ¿, äëÿ êî
òîðîãî ïðèìåíÿþò òàêæå íàçâàíèå ¾ìèð¿ èëè ¾÷åòûðåõìåðíûé ìèð Ìèíêîâ
ñêîãî¿. Îòäåëüíûå òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè óêàçûâàþò
ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ. Ïîñëåäîâàòåëü
íîñòü êèíåìàòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ëþáîãî òåëà (ò.å. åãî êîîðäèíàòû â ðàçíûå
ìîìåíòû âðåìåíè) èçîáðàæàåòñÿ ìèðîâîé ëèíèåé.
Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Çàïè
øåì èõ äëÿ x è ct (óäîáíî óìíîæèòü âðåìÿ íà c, ÷òîáû âñå êîîðäèíàòû
èìåëè îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü):
x′
=
x − V
c ct
√
1 − V 2/c2
, ct′
=
ct − V
c x
√
1 − V 2/c2
. (1.26)
Ýòî ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå, íàïîìèíàþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïî
âîðîòà â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Çàïèøåì, íàïðèìåð, ïðåîá
ðàçîâàíèå ïîâîðîòà íà óãîë φ â ïëîñêîñòè xy â îáû÷íîì ïðîñòðàíñòâå:
x′
= x cos φ + y sin φ, y′
= −x sin φ + y cos φ. (1.27)
Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ðàññòîÿ
íèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè:
(x′
2 − x′
1)2
+ (y′
2 − y′
1)2
= (x2 − x1)2
+ (y2 − y1)2
. (1.28)
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ðàññòîÿíèå r12 =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2 îñòà
åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîâîðîòà.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñõîäñòâà è ðàçëè÷èé ìåæäó ïîâîðîòîì â åâêëèäîâîì ïðî
ñòðàíñòâå è ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà çàïèøåì (1.26) ÷åðåç ãèïåðáîëè÷åñêèå
ôóíêöèè:
x′
= x ch ψ − ct sh ψ, ct′
= −x sh ψ + ct ch φ, (1.29)
ãäå
ch ψ = (1 − V 2
/c2
)−1/2
, sh ψ = (V/c)(1 − V 2
/c2
)−1/2
, (1.30)
ïðè÷åì, êàê è äîëæíî áûòü,
ch2
ψ − sh2
ψ = 1. (1.31)
Ïðåîáðàçîâàíèå (1.29) òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì îñòàâëÿòü èíâàðèàíòíîé
íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ êîìáèíàöèþ êîîðäèíàò x è ct  èíòåðâàë
s12 =
√
(ct2 − ct1)2 − (x2 − x1)2. (1.32)
Èíòåðâàë s12 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó òî÷êàìè ïëîñ
êîñòè x, ct. Íî êâàäðàò ðàçíîñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò âõîäèò â âû
ðàæåíèå èíòåðâàëà ñî çíàêîì ìèíóñ. Ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ðàññòîÿíèå
ìåæäó òî÷êàìè îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (1.32), íàçûâàåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâûì.
Íàðÿäó ñ î÷åâèäíûì ñõîäñòâîì, ìåæäó ïñåâäîåâêëèäîâûì è åâêëèäîâûì ïðî
ñòðàíñòâàìè èìåþòñÿ è ñóùåñòâåííûå ðàçëè÷èÿ. Íàïðèìåð, â åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè r2
12 0, ïðè÷åì ðà
âåíñòâî ýòîé âåëè÷èíû íóëþ îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè 1 è 2 ñîâïàäàþò.  ïñåâäîåâ
êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå s2
12 ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, à îáðàùåíèå èíòåðâàëà
â íóëü âîçìîæíî è äëÿ äâóõ ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ òî÷åê â ÷åòûðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.
Ñóùåñòâóåò ñïîñîá ñäåëàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.26), (1.29) ôîð
ìàëüíî òîæäåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèþ ïîâîðîòà (1.27) â åâêëèäîâîé ïëîñ
êîñòè. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû ict è
ìíèìîãî óãëà ïîâîðîòà. Çàìåíèì â (1.29) ψ íà −iφ è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìó
ëàìè ch(−iφ) = cos φ, sh(−iφ) = −i sin φ.
Ïîëó÷èì
x′1
= x1
cos φ + x4
sin φ, x′4
= −x1
sin φ + x4
cos φ, (1.33)
ãäå x1
= x, x4
= ict. Èíòåðâàë â ýòèõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä
s2
12 = −(x1
2 − x1
1)2
− (x4
2 − x4
1)2
, (1.34)
ò.å. áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî çíàêîì îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ r2
12 ìåæäó òî÷
êàìè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Íî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ââåäåíèå ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû
ïðèâîäèò ëèøü ê ôîðìàëüíîìó ñõîäñòâó ñ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Ãëó
áîêîå âíóòðåííåå ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ãåîìåòðèÿìè  åâêëèäîâîé è ïñåâ
äîåâêëèäîâîé  ýòèì, ðàçóìååòñÿ, íå óñòðàíÿåòñÿ.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 3].
1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
Ìåõàíèêó, óðàâíåíèÿ êîòîðîé êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà
íèé Ëîðåíöà, íàçûâàþò ðåëÿòèâèñòñêîé. Ïðè åå ïîñòðîåíèè ïðåæäå âñåãî
íóæíî îïèñàòü äâèæåíèå ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû. Ïðè ýòîì óäîá
íî èñõîäèòü èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó
ëþáàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò êîîð
äèíàò, ñêîðîñòåé è âðåìåíè L(q, ˙q, t), ïðè÷åì äâèæåíèå ñèñòåìû ïîä÷èíåíî
ñëåäóþùåìó óñëîâèþ. Ïóñòü â ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2 ñèñòåìà çàíèìàåò
îïðåäåëåííûå ïîëîæåíèÿ, õàðàêòåðèçóåìûå íàáîðîì êîîðäèíàò q(1)
è q(2)
.
Òîãäà ìåæäó ýòèìè ïîëîæåíèÿìè ñèñòåìà äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
èíòåãðàë
S =
t2∫
t1
L(q, ˙q, t)dt (1.35)
èìåë íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ôóíêöèÿ L(q, ˙q, t) íàçûâàåòñÿ ôóíê
öèåé Ëàãðàíæà äàííîé ñèñòåìû, à èíòåãðàë S  äåéñòâèåì. Òàêèì îáðàçîì,
äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî íà ôèçè÷åñêèõ òðàåêòîðèÿõ,
δS = 0,
èç ýòîãî óñëîâèÿ âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì äåéñòâèå ðåëÿòè
âèñòñêîé ÷àñòèöû êàê èíòåãðàë ïî òðàåêòîðèè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàí
ñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, ïî ìèðîâîé ëèíèè (òî÷êè ìèðîâîé ëèíèè îïðåäåëÿ
þòñÿ êîîðäèíàòàìè ÷àñòèöû âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè):
S =
b∫
a
dU.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè ïîòðåáóåì, ÷òîáû äåéñòâèå ñâî
áîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû íå ìåíÿëîñü ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöè
àëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé, ò.å. ÷òîáû S áûëî èíâàðèàíòíîé âåëè÷è
íîé. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû åäèíñòâåííàÿ èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòå
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ðèçóþùàÿ åå äâèæåíèå èç òî÷êè a â òî÷êó b,  ýòî èíòåãðàë
S = α
b∫
a
ds, (1.36)
ãäå α  èíâàðèàíòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èíâàðèàíòíîñòü áåñêîíå÷íî ìàëîãî èí
òåðâàëà
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
îáñóæäàëàñü âûøå. Ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà ds = cdt
√
1 − v2/c2,
ïðèâåäåì (1.36) ê âèäó (1.35):
S =
t2∫
t1
αc
√
1 − v2/c2dt.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
L = αc
√
1 − v2/c2. (1.37)
Çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé α îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ ïåðåõîäà (1.37) ïðè v ≪ c â
êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå
Lêë =
mv2
2
.
Ïðè ìàëûõ v/c èç (1.37) ïîëó÷àåì
L ≈ αc −
αv2
2c
.
Ïîñêîëüêó â êëàññè÷åñêîé ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïîñòîÿííóþ (â äàííîì ñëó÷àå
αc) ìîæíî îïóñòèòü, òî
α = −mc
è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû åñòü
L = −mc2
√
1 − v2/c2. (1.38)
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 8].
1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.
Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
Èç ëàãðàíæåâà ìåòîäà â ìåõàíèêå èçâåñòíî, ÷òî èìïóëüñ ÷àñòèöû âûðà
æàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïî ôîðìóëå
p =
∂L
∂v
= ∇vL.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, íàõîäèì
p =
mv
√
1 − v2/c2
. (1.39)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ v ≪ c èç (1.39) ïîëó÷àåòñÿ íåðåëÿòè
âèñòñêîå âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà: p = mv.
Èíîãäà ôîðìóëó (1.39) çàïèñûâàþò â âèäå, àíàëîãè÷íîì íåðåëÿòèâèñò
ñêîìó, p = m′
v, ò.å. ââîäÿò ìàññó äâèæóùåãîñÿ òåëà
m′
=
m
√
1 − v2/c2
(1.40)
â îòëè÷èå îò ìàññû ïîêîÿ m. Ñëåäóåò, îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî ìåæäó ñèëîé,
ìàññîé m′
è óñêîðåíèåì íåò òîé ñâÿçè, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò â êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, åñòü ïðîèçâîäíàÿ
îò èìïóëüñà ïî âðåìåíè. Ïóñòü ñêîðîñòü ÷àñòèöû èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî íà
ïðàâëåíèþ, ò.å. ñèëà íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
|v| ≡ v = const, íåòðóäíî íàéòè
dp
dt
=
m
√
1 − v2/c2
dv
dt
.
Åñëè æå ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî âåëè÷èíå (v/v = const), ò.å. ñèëà íà
ïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè, òî
dp
dt
=
d
dt
(
mv
√
1 − v2/c2
v
v
)
=
m
(1 − v2/c2)3/2
dv
dt
.
Ìû âèäèì, ÷òî â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ îòíîøåíèå ñèëû ê óñêîðåíèþ ðàçëè÷íî.
Ýíåðãèåé E ÷àñòèöû íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
E = v
∂L
∂v
− L = vp − L.
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ (1.38) è (1.39) äëÿ L è p, ïîëó÷èì
E =
mc2
√
1 − v2/c2
. (1.41)
Ýòà âàæíàÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõà
íèêå ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íå îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè v = 0, à îñòàåòñÿ
êîíå÷íîé âåëè÷èíîé, ðàâíîé mc2
. Åå íàçûâàþò ýíåðãèåé ïîêîÿ E0:
E0 = mc2
. (1.42)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ôîðìóëó (1.42) íàçûâàþò ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà.
Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ (v ≪ c), ðàçëàãàÿ (1.41) ïî ñòåïåíÿì v/c,
E ≈ mc2
+
mv2
2
, (1.43)
èìååì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè ÷àñòèöû. Íàïîìíèì çäåñü, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå ýíåðãèÿ
îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî è ïîñòîÿííóþ mc2
â (1.43) ìîæíî îïóñòèòü.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî õîòÿ âûøå ãîâîðèëîñü î ÷àñòèöå, åå ýëåìåíòàðíîñòü íè
ãäå íå èñïîëüçîâàëàñü. Ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïðèìåíèìû ê ñëîæíî
ìó òåëó, ñîñòîÿùåìó èç ìíîãèõ ÷àñòèö, ïðè÷åì ïîä m íàäî ïîíèìàòü ïîëíóþ
ìàññó òåëà, à ïîä v  ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ êàê öåëîãî.  ÷àñòíîñòè, ôîð
ìóëà (1.42) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî ïîêîÿùåãîñÿ êàê öåëîå òåëà.
Ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà ñîäåðæèò â ñåáå, ïîìèìî ýíåðãèé ïîêîÿ âõî
äÿùèõ â íåãî ÷àñòèö, òàêæå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèö è ýíåðãèþ èõ
âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì:
mc2
=
∑
a
mac2
+ êèí. ýí. + ïîò. ýí. (1.44)
Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ ïîêîÿ òåëà íå ðàâíà ñóììå ýíåðãèé ïîêîÿ åãî
÷àñòåé
mc2
̸=
∑
mac2
, (1.45)
ïîýòîìó è ìàññà òåëà íå àääèòèâíà
m ̸=
∑
a
ma. (1.46)
Òàêèì îáðàçîì, â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå íå èìååò ìåñòà çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ìàññû: ìàññà ñëîæíîãî òåëà íå ðàâíà ñóììå ìàññ åãî ÷àñòåé. Âìåñòî ýòîãî
èìååò ìåñòî òîëüêî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, â êîòîðóþ âêëþ÷àåòñÿ òàêæå
è ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÷àñòèö.
Ðàçíîñòü ìåæäó ìàññîé ñâÿçàííîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö
(òåë) è ñóììîé èõ ìàññ â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè
∆m =
∑
ma − m
íàçûâàåòñÿ äåôåêòîì ìàññû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå âåëè÷è
íó èçìåíåíèÿ ìàññû ïîêîÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåâðàùåíèÿõ.
Ïðè ñæèãàíèè îáû÷íîãî (õèìè÷åñêîãî) òîïëèâà â ðåàêöèè òèïà
C + O2 = CO2 + Q
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
íà îäèí àêò âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ Q â ôîðìå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóëû
CO2 èëè ôîòîíîâ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîíâîëüò. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàññà
îáðàçîâàâøåéñÿ ìîëåêóëû CO2 ìåíüøå ñóììû ìàññ ìîëåêóë C è O2 íà âå
ëè÷èíó ∆m = Q/c2
. Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ìîëåêóëû CO2 ñîñòàâëÿåò E0 = mc2
≈
≈ 4 · 109
ýÂ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ïîêîÿ ðàâíî
∆m/m ∼ 10−9
, ò.å. ýòà âåëè÷èíà ñîõðàíÿåòñÿ ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ. Ïî
ýòîìó ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ñ íåðåëÿòèâèñòñêèìè ÷àñòèöà
ìè (õèìè÷åñêèå ïðåâðàùåíèÿ, íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä è
äð.), ñîõðàíåíèå ìàññû ó÷àñòâóþùèõ â íèõ ÷àñòèö ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷íûì
çàêîíîì ïðèðîäû.
Ïðè ÿäåðíûõ ðåàêöèÿõ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû çíà÷èòåëüíî áîëü
øå. Íàïðèìåð, â ðåàêöèè òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà
2
H + 3
H = 4
He + n + Q
ÿäðî ãåëèÿ 4
He (α-÷àñòèöà) è íåéòðîí ïîëó÷àþò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Q ≈
≈ 17.6 ÌýÂ. Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ∆m/m = 3 · 10−3
.
 ïðèðîäå ïðîèñõîäÿò è òàêèå ïðîöåññû, â êîòîðûõ ∆m/m äîñòèãàåò äå
ñÿòêîâ ïðîöåíòîâ è äàæå ìîæåò áûòü ∆m/m = 1, ò.å. ÷àñòèöû ñ îòëè÷íîé îò
íóëÿ ìàññîé ïîêîÿ ïðåâðàùàþòñÿ â áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. Ïðèìåðîì ìîæåò
ñëóæèòü ïðåâðàùåíèå ýëåêòðîííî-ïîçèòðîííûõ ïàð â ãàììà-êâàíòû
e+
+ e−
→ 2γ.
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ìàññà ïîêîÿ ÷àñòèö (à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàê
ðîñêîïè÷åñêèõ òåë) íå ñîõðàíÿåòñÿ.
Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ïðîöåññàõ òà èëè èíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè ïîêîÿ èñõîä
íûõ ÷àñòèö ∆E0 = ∆mc2
ïðåâðàùàëàñü â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îáðàçîâàâ
øèõñÿ ÷àñòèö (âêëþ÷àÿ ôîòîíû) è ÷åðåç íåå  â äðóãèå âèäû ýíåðãèè. Ýòî
ïîêàçûâàåò ôèçè÷åñêóþ ðåàëüíîñòü ýíåðãèè ïîêîÿ.
Âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèÿì äëÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Èç
(1.39), (1.41) èìååì
E2
c2
=
m2
c2
1 − v2/c2
, p2
=
m2
v2
1 − v2/c2
.
Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå ñîîòíîøåíèå
E2
c2
= p2
+ m2
c2
. (1.47)
Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç èìïóëüñ, åñòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
H, òî
H = c
√
p2 + m2c2. (1.48)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ïðè íåðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè v ≪ c è
H ≈ mc2
+
p2
2m
, (1.49)
ò.å. ïîëó÷àåì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, èçâåñòíîå âûðàæåíèå íåðåëÿòèâèñò
ñêîé ìåõàíèêè.
Óêàæåì åùå îäíî ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ÷àñòèöû,
êîòîðîå ëåãêî ïîëó÷èòü èç (1.39), (1.41):
p =
Ev
c2
. (1.50)
Èç (1.41) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé ïîêîÿ, m ̸= 0,
ïðè ñòðåìëåíèè ñêîðîñòè ÷àñòèöû ê ñêîðîñòè ñâåòà v → c ýíåðãèÿ ÷àñòè
öû âîçðàñòàåò äî áåñêîíå÷íîñòè: E → ∞. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé ðåçóëüòàò
ïîêàçûâàåò íåâîçìîæíîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ m ̸= 0 ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà
(÷àñòèöå íåëüçÿ ñîîáùèòü áåñêîíå÷íóþ ýíåðãèþ). Åñëè æå ÷àñòèöà èìååò ñêî
ðîñòü v = c, òî åå ìàññà ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (1.50) èìïóëüñ
è ýíåðãèÿ òàêîé ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
p =
E
c
, (1.51)
è èç (1.47) ñëåäóåò, ÷òî m = 0.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 9].
1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû
Âðåìÿ è êîîðäèíàòû ñîáûòèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîîðäèíàòû òî÷
êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïåðåíóìåðóåì èõ âåðõíèìè èíäåêñàìè îò
0 äî 3:
x0
= ct, x1
= x, x2
= y, x3
= z. (1.52)
Ïî îïðåäåëåíèþ íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí xi
(i = 0, 1, 2, 3) íàçûâàåòñÿ ÷å
òûðåõìåðíûì ðàäèóñ-âåêòîðîì (èëè, ñîêðàùåííî, 4-ðàäèóñ-âåêòîðîì). Äëÿ
4-ðàäèóñ-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå xi
= (ct, r). Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé
ñèñòåìå îòñ÷åòà êîìïîíåíòû 4-ðàäèóñ-âåêòîðà ïðåîáðàçóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè
ñ (1.16):
x′i
=
3∑
i=0
αi
kxk
. (1.53)
Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïî âñÿêîìó èíäåêñó, ïîâòîðÿþùåìóñÿ â äàí
íîì âûðàæåíèè äâàæäû, ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå (ýòè èíäåêñû íàçûâà
þò íåìûìè ), à çíàê ñóììû îïóñêàåòñÿ. Ïðè ýòîì â êàæäîé ïàðå îäèíàêîâûõ
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
èíäåêñîâ îäèí äîëæåí ñòîÿòü ââåðõó, à äðóãîé  âíèçó. Â ñîîòâåòñòâèè ñ
ýòèì ïðàâèëîì âìåñòî (1.53) ïèøåì
x′i
= αi
kxk
. (1.54)
Ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ αi
k íàéäåì, ñðàâíèâàÿ (1.54) ñ (1.16):
αi
k =








1
√
1 − V 2/c2
−
V/c
√
1 − V 2/c2
0 0
−
V/c
√
1 − V 2/c2
1
√
1 − V 2/c2
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








. (1.55)
Îïðåäåëèì òåïåðü ïðîèçâîëüíûé 4-âåêòîð êàê íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí
Ai
= (A0
, A1
, A2
, A3
), êîòîðûå ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò (ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê êîìïîíåíòû
4-ðàäèóñ-âåêòîðà:
A′i
= αi
kAk
. (1.56)
Äëÿ 4-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå Ai
= (A0
, A). Êîìïîíåíòà
A0
íàçûâàåòñÿ âðåìåííîé, êîìïîíåíòû A1
, A2
, A3
 ïðîñòðàíñòâåííûìè.
Çàïèøåì â ÷åòûðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ êâàäðàò èíòåðâàëà (1.21):
s2
= (x0
)2
− (x1
)2
− (x2
)2
− (x3
)2
. (1.57)
Íàïîìíèì, ÷òî s2
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì (ò.å. íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçî
âàíèè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò), ïîýòîìó èíâàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ
ñëåäóþùàÿ êîìáèíàöèÿ êîìïîíåíò ëþáîãî 4-âåêòîðà
(A0
)2
− (A1
)2
− (A2
)2
− (A3
)2
. (1.58)
Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âûðàæåíèé òèïà (1.57), (1.58) ââîäÿò äâà ñîðòà êîì
ïîíåíò 4-âåêòîðîâ  êîíòðàâàðèàíòíûå è êîâàðèàíòíûå. Êîíòðàâàðèàíòíûå
êîìïîíåíòû (òå, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü âûøå) îáîçíà÷àþòñÿ âåðõíèìè èí
äåêñàìè (Ai
), à êîâàðèàíòíûå  íèæíèìè èíäåêñàìè (Ai). Ïðè ýòîì ïî îïðå
äåëåíèþ
A0 = A0
, A1,2,3 = −A1,2,3
. (1.59)
Çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà äëÿ êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà:
A′
i = αi
k
Ak. (1.60)
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ
αi
k
=








1
√
1 − V 2/c2
V/c
√
1 − V 2/c2
0 0
V/c
√
1 − V 2/c2
1
√
1 − V 2/c2
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1








. (1.61)
Ñ ïîìîùüþ êî- è êîíòðàâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò s2
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
s2
= xi
xi = x0
x0 + x1
x1 + x2
x2 + x3
x3. (1.62)
Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà.
Êâàäðàò ïðîèçâîëüíîãî 4-âåêòîðà Ai åñòü
Ai
Ai = A0
A0 + A1
A1 + A2
A2 + A3
A3. (1.63)
Àíàëîãè÷íî êâàäðàòó 4-âåêòîðà ñîñòàâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ
ðàçíûõ 4-âåêòîðîâ Ai
= (A0
, A) è Bi
= (B0
, B):
Ai
Bi = A0
B0 + A1
B1 + A2
B2 + A3
B3 = A0
B0
− AB. (1.64)
Èç ôîðìóë (1.59) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîðèçâåäåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê
â âèäå Ai
Bi, òàê è â âèäå AiBi
,  ðåçóëüòàò îò ýòîãî íå ìåíÿåòñÿ. Ñêàëÿð
íîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì
Ëîðåíöà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî, íî îíî çà
ðàíåå î÷åâèäíî (èç àíàëîãèè ñ êâàäðàòîì Ai
Ai), ïîñêîëüêó âñå 4-âåêòîðû
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî îäèíàêîâîìó çàêîíó. Òåðìèí ¾ñêàëÿð¿ ÿâëÿåòñÿ ñèíîíè
ìîì òåðìèíà ¾èíâàðèàíò¿  âåëè÷èíû, èìåþùåé îäíî è òî æå çíà÷åíèå âî
âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, A′i
A′
i = Ai
Ai è ò.ä.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ìàòðèö ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
1. Èç (1.55) è (1.61) ñëåäóåò ñèììåòðèÿ
αi
k = αk
i, αi
k
= αk
i
. (1.65)
2. Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà äëÿ êîíòðàâàðè
àíòíîãî âåêòîðà (1.56), çàïèøåì êàê
Ai
= (α−1
)i
kA′k
. (1.66)
Íî èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé î÷åâèäíî, ÷òî α−1
(V ) = α(−V ) [ñì. (1.17),
(1.16)], ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (1.55) è (1.61), èìååì
(α−1
(V ))i
k = (α(−V ))i
k = α(V )i
k
,
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
èëè
(α−1
)i
k = αi
k
. (1.67)
Òàêèì îáðàçîì, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà
ñîâïàäàåò ñ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì äëÿ êîâàðèàíòíîãî âåêòîðà.
3. Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû (1.55),
(1.61) èìåþò åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò
det(αi
k) = 1. (1.68)
Ðàññìîòðèì, êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ýëåìåíò ÷åòûðåõìåðíîãî îáúåìà
dΩ = dx0
dx1
dx2
dx3
= cdtd˜V (1.69)
ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà. Ýëåìåíò dΩ′
ñâÿçàí ñ dΩ ÷åðåç ÿêîáèàí ïðåîá
ðàçîâàíèÿ (1.54)
dΩ′
=
∂(x′0
, x′1
, x′2
, x′3
)
∂(x0, x1, x2, x3)
dΩ.
Âû÷èñëÿÿ ÿêîáèàí
∂(x′0
, x′1
, x′2
, x′3
)
∂(x0, x1, x2, x3)
=
∂x′0
∂x0
∂x′0
∂x1
∂x′0
∂x2
∂x′0
∂x3
∂x′1
∂x0
∂x′1
∂x1
∂x′1
∂x2
∂x′1
∂x3
∂x′2
∂x0
∂x′2
∂x1
∂x′2
∂x2
∂x′2
∂x3
∂x′3
∂x0
∂x′3
∂x1
∂x′3
∂x2
∂x′3
∂x3
= det(αi
k)
è ó÷èòûâàÿ (1.68), óáåæäàåìñÿ, ÷òî
dΩ′
= dΩ. (1.70)
Ïðèìåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: 4-òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà íàçûâàåòñÿ ñîâî
êóïíîñòü 16 âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò äâóõ 4-âåêòîðîâ. Ìîæíî îïðå
äåëèòü è 4-òåíçîð n-ãî ðàíãà êàê ñîâîêóïíîñòü 4n
âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïðå
îáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò n 4-âåê
òîðîâ. Ïðè n = 0 ââåäåííàÿ òàê âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, ïðè n = 1 
âåêòîðîì, ïðè n = 2  òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà, ïðè n = 3  òåíçîðîì 3-ãî ðàíãà
è ò.ä.
Âåðíåìñÿ ê òåíçîðó 2-ãî ðàíãà. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå êîìïîíåíò äâóõ
âåêòîðîâ Ai
è Bk
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê
A′i
B′k
= αi
mαk
nAm
Bn
, (1.71)
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ,
T′ik
= αi
mαk
nTmn
. (1.72)
Òåíçîðû 2-ãî ðàíãà ìîãóò áûòü òðåõ âèäîâ: êîíòðàâàðèàíòíûå (Tik
), êîâàðè
àíòíûå (Tik) è ñìåøàííûå (Ti
k è Ti
k
). Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, Ti
k ̸= Ti
k
,
ïîýòîìó íàäî ñëåäèòü çà òåì, êàêîé èíäåêñ  ïåðâûé èëè âòîðîé  ñòîèò
ââåðõó, à êàêîé âíèçó. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì âîçìîæíû ñëåäóþùèå çàêîíû
ïðåîáðàçîâàíèÿ 4-òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà:
T′ik
= αi
mαk
nTmn
, T′
ik = αi
m
αk
n
Tmn,
T′i
k = αi
mαk
n
Tm
n, T′
i
k
= αi
m
αk
nTm
n
.
(1.73)
Ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ ïî îáùåìó ïðà
âèëó: ïîäíÿòèå èëè îïóñêàíèå âðåìåííîãî èíäåêñà (0) íå ìåíÿåò, à ïîäíÿòèå
èëè îïóñêàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî èíäåêñà (1,2,3) ìåíÿåò çíàê êîìïîíåíòû.
Òàê,
T00 = T00
, T01 = −T01
, T11 = T11
, . . . ,
T0
0
= T00
, T0
1
= T01
, T0
1 = −T01
, T1
1
= −T11
, . . .
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî âî âñÿêîì òåíçîðíîì ðàâåíñòâå âûðàæåíèÿ ñ îáå
èõ åãî ñòîðîí äîëæíû ñîäåðæàòü îäèíàêîâûå è îäèíàêîâî ðàñïîëîæåííûå
(ââåðõó èëè âíèçó) ñâîáîäíûå, ò.å. íå íåìûå, èíäåêñû. Ñâîáîäíûå èíäåêñû â
òåíçîðíûõ ðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåìåùàòü (ââåðõ èëè âíèç), íî îáÿçàòåëüíî
îäíîâðåìåííî âî âñåõ ÷ëåíàõ óðàâíåíèÿ.
Èç êîìïîíåíò òåíçîðà Aik
ìîæíî ïîëó÷èòü ñêàëÿð ïóòåì îáðàçîâàíèÿ
ñóììû
Ai
i = A0
0 + A1
1 + A2
2 + A3
3
(ïðè ýòîì, êîíå÷íî, Ai
i = Ai
i
). Òàêóþ ñóììó íàçûâàþò ñëåäîì òåíçîðà, à
îá îïåðàöèè åãî îáðàçîâàíèÿ ãîâîðÿò êàê î ñâåðòûâàíèè èëè óïðîùåíèè
òåíçîðà.
Îïåðàöèåé ñâåðòûâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ è ðàññìîòðåííîå âûøå îáðàçîâàíèå ñêà
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ 4-âåêòîðîâ: ýòî åñòü îáðàçîâàíèå ñêàëÿðà Ai
Bi
èç òåíçîðà Ai
Bk. Âîîáùå, âñÿêîå ñâåðòûâàíèå ïî ïàðå èíäåêñîâ ïîíèæàåò
ðàíã òåíçîðà íà 2. Íàïðèìåð, Ai
kli åñòü òåíçîð 2-ãî ðàíãà, Ai
kBk
 4-âåêòîð,
Aik
ik  ñêàëÿð è ò.ä.
Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé
òåíçîð gik :
gik =




1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1



 . (1.74)
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ïðåîáðàçóÿ ýòîò òåíçîð ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû (1.61) ê äðóãîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå
g′
ik = αi
m
αk
n
gmn,
ïîëó÷èì g′
ik = gik (ïðîäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ!). Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð gik  èí
âàðèàíòíûé, åãî êîìïîíåíòû îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïîäíèìàÿ
îäèí èíäåêñ ó gik ïî ïðàâèëó (1.59), ïîëó÷àåì åäèíè÷íûé òåíçîð δi
k :
gi
k =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 ≡ δi
k. (1.75)
Ðàñïîëîæåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî èíäåêñîâ ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû, ðàçóìååò
ñÿ, ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå δi
k. Êîìïîíåíòû òåíçîðà
δi
k, êàê è êîìïîíåíòû gik, îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Åñëè ïîä
íÿòü îáà èíäåêñà ó ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà, òî ïîëó÷èì gik
= gik  êîíòðàâà
ðèàíòíûå êîìïîíåíòû ñîâïàäàþò ñ êîâàðèàíòíûìè.
Ñ ïîìîùüþ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïðîèçâîäèòñÿ îïóñêàíèå è ïîäíÿòèå
èíäåêñà ó ëþáîãî 4-âåêòîðà èëè 4-òåíçîðà: èç (1.59), (1.74) ñëåäóåò, ÷òî
Ai = gikAk
, Ai
= gik
Ak.
Êâàäðàò èíòåðâàëà ìîæåò áûòü çàïèñàí ÷åðåç gik êàê
s2
= gikxi
xk
, (1.76)
à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê
AiBi
= gikAi
Bk
. (1.77)
Ôîðìóëà (1.76) ïîÿñíÿåò, ïî÷åìó òåíçîð gik íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì: îí
ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü èíâàðèàíòíîå ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â
÷åòûðåõìåðíîì ïñåâäîåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, óñòàíî
âèòü ìåòðèêó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Íàðÿäó ñ òåíçîðàìè δi
k, gik
, gik, îäèíàêîâûå êîìïîíåíòû âî âñåõ ñèñòåìàõ
êîîðäèíàò èìååò ñîâåðøåííî àíòèñèììåòðè÷íûé åäèíè÷íûé 4-òåíçîð ÷åòâåð
òîãî ðàíãà eiklm
. Îí îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì òðåõìåð
íûì òåíçîðîì eαβγ äâóìÿ óñëîâèÿìè:
1) e0123
= 1;
2) eiklm
ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ.
 ðåçóëüòàòå îñòàþòñÿ îòëè÷íûìè îò íóëÿ (è ðàâíûìè ±1) òîëüêî òå
êîìïîíåíòû, ó êîòîðûõ âñå 4 èíäåêñà ðàçëè÷íû; èõ ÷èñëî ðàâíî 4! = 24.
4-òåíçîð Tik...lm
íàçûâàåòñÿ èñòèííûì, èëè ïðîñòî òåíçîðîì, åñëè ïðè èí
âåðñèè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (ïðåîáðàçîâàíèå x′0
= x0
, x′α
= −xα
,
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α = 1, 2, 3) îí ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå êîîðäèíàò xi
xk
. . . xl
xm
. Åñëè
æå ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òåíçîð ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíûé ìíîæè
òåëü −1, îí íàçûâàåòñÿ ïñåâäîòåíçîðîì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì
gik  èñòèííûé òåíçîð, à eiklm
 ïñåâäîòåíçîð (ïðîâåðüòå!).
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 73].
1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé
Ðàññìîòðèì îïåðàòîðû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî êîíòðàâàðèàíòíûì êîì
ïîíåíòàì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà
∂
∂xi
, i = 0, 1, 2, 3,
è íàéäåì, êàê îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ïî
ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
∂
∂x′i
=
∑
k
∂xk
∂x′i
∂
∂xk
.
Âû÷èñëèì
∂xk
∂x′i
. Ñ ýòîé öåëüþ çàïèøåì ïðàâèëî îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà (1.66)
xk
= (α−1
)k
ix′i
,
òîãäà
∂xk
∂x′i
= (α−1
)k
i.
Íî ïî ñâîéñòâàì (1.67), (1.65)
(α−1
)k
i = αk
i
= αi
k
,
òàê ÷òî
∂
∂x′i
= αi
k ∂
∂xk
. (1.78)
Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ (1.60), âèäèì, ÷òî çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðîèçâîäíûõ (1.78) òàêîé æå, êàê ó êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò 4-âåêòîðà; ñëå
äîâàòåëüíî, îïåðàòîð ∂/∂xi
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Åãî
ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì ∇, à âðåìåííàÿ ïðåäñòàâëÿ
åò ñîáîé ∂/∂x0
:
∂
∂xi
=
(
1
c
∂
∂t
, ∇
)
. (1.79)
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ñîîòâåòñòâåííî,
∂
∂xi
=
(
1
c
∂
∂t
, −∇
)
. (1.80)
Òåïåðü ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. Åñëè φ  ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, òî
∂φ
∂xi
 êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Ýòîò
ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü èç äðóãèõ ðàññóæäåíèé. Çàïèøåì äèôôåðåíöèàë
φ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì:
dφ =
∂φ
∂xi
dxi
.
Èç âèäà ïðàâîé ÷àñòè (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4-âåêòîðîâ) ñëåäóåò, ÷òî
îïåðàòîð ∂/∂xi
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð.
2. Ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xk
 ñìåøàííûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xk∂xl
 ñìåøàííûé òåíçîð 3-ãî ðàíãà.
3. Ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xi
 ÷åòûðåõìåðíàÿ äèâåðãåíöèÿ  åñòü ñêàëÿðíàÿ (èí
âàðèàíòíàÿ) âåëè÷èíà.  îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ
∂Ai
∂xi
=
1
c
∂A0
∂t
+ div A. (1.81)
4.
∂2
∂xi∂xi
 ñêàëÿðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ çíàêîì îò îïåðàòî
ðà Äàëàìáåðà:
∂2
∂xi∂xi
=
1
c2
∂2
∂t2
− ∇2
= − . (1.82)
Îïåðàòîð Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðè
ìåíåíèå åãî ê íåêîòîðîé âåëè÷èíå íå ìåíÿåò çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîé
âåëè÷èíû: f  ñêàëÿð, Ai  êîâàðèàíòíûé âåêòîð è ò.ä.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 74].
1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû 4-âåêòîðîâ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé
ìåõàíèêå è ýëåêòðîäèíàìèêå.
1. Íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí  4-ðàäèóñ-âåêòîð 
xi
= (ct, r)
ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì ïî îïðåäåëåíèþ.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Èìåÿ 4-ðàäèóñ-âåêòîð, ââåäåì ÷åòûðåõìåðíóþ ñêîðîñòü (4-ñêîðîñòü).
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè äåëåíèè dxi
íà dt áóäåò ïîëó÷åíà âåëè÷èíà
dxi
dt
, êîòîðàÿ
íå ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì (ïîñêîëüêó dxi
 4-âåêòîð, à dt  íå ñêàëÿð). Âåëè÷è
íó ñ íóæíûìè òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè è ðàçìåðíîñòüþ ñêîðîñòè
ïîëó÷èì ïðè äåëåíèè dxi
íà èíâàðèàíò ds/c = dτ, ãäå
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = cdt
√
1 − v2/c2
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé èíòåðâàë, dτ = dt
√
1 − v2/c2  ñîáñòâåííîå âðåìÿ.
Ïðîèçâîäíóþ
ui
=
dxi
dτ
=
1
√
1 − v2/c2
dxi
dt
(1.83)
íàçûâàþò ÷åòûðåõìåðíîé ñêîðîñòüþ. Çàïèøåì êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè ÷åðåç
òðåõìåðíóþ ñêîðîñòü
ui
=
(
c
√
1 − v2/c2
,
v
√
1 − v2/c2
)
. (1.84)
Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì
ui
ui = c2
. (1.85)
Êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè â ñèñòåìå K′
ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç êîìïîíåí
òû â ñèñòåìå K ïî îáùåìó ïðàâèëó
u′i
= αi
kuk
.
Íà ïðàêòèêå óäîáíî íå âû÷èñëÿòü u′i
ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ
αi
k (1.55), à çàìåíèòü â ôîðìóëàõ (1.17) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
t →
1
√
1 − v2/c2
, r →
v
√
1 − v2/c2
.
Òðàíñôîðìàöèîííûå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò 4-ñêîðîñòè îïðåäåëÿþò, î÷å
âèäíî, ðåëÿòèâèñòñêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíò òðåõìåðíîé ñêîðîñòè ïðè
ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ, ò.å. ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü (ïðîâåðüòå!) çàêîí ñëîæå
íèÿ ñêîðîñòåé (1.24).
3. Óìíîæèâ 4-ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà åå ìàññó, ïîëó÷èì 4-âåêòîð, êîòîðûé
íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõìåðíûì èìïóëüñîì:
pi
= mui
, (1.86)
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
èëè â ðàçâåðíóòîé çàïèñè
pi
=
(
mc
√
1 − v2/c2
,
mv
√
1 − v2/c2
)
. (1.87)
Ïîñêîëüêó
mc2
√
1 − v2/c2
= E,
mv
√
1 − v2/c2
= p,
òî ÷åòûðåõìåðíûé èìïóëüñ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
pi
=
(
E
c
, p
)
. (1.88)
Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ (äåëåííàÿ íà c) è òðåõìåðíûé èìïóëüñ îáðàçóþò
÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ 4-èìïóëüñîì.
Ýòîò íåòðèâèàëüíûé ôàêò ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü, îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà
4-âåêòîðîâ, ðÿä ñîîòíîøåíèé, â êîòîðûå âõîäÿò ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ÷àñòè
öû. Íàïðèìåð, âû÷èñëÿÿ êâàäðàò 4-èìïóëüñà è èñïîëüçóÿ äëÿ pi
ôîðìóëó
(1.88), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (1.47)
E2
c2
− p2
= m2
c2
. (1.89)
Èñïîëüçóÿ òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà 4-âåêòîðîâ, ìîæíî íàéòè çàêîí
ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìû ê äðóãîé. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì â ( 1.17) t → E/c2
, r → p, ÷òî
ïðèâîäèò ê
E
c2
=
E′
c2 + V
c2 p′
x
√
1 − V 2/c2
, px =
p′
x + V E′
c2
√
1 − V 2/c2
, py = p′
y, pz = p′
z. (1.90)
Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ÷àñòèöû (v ≪ c) è ñèñòåìû K′
(V ≪ c), ÷òî îçíà÷à
åò òàêæå v′
≪ c, ôîðìóëû (1.90) ïåðåõîäÿò â èçâåñòíûå íåðåëÿòèâèñòñêèå
ôîðìóëû. Çàïèñàâ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà
E ≈ mc2
+
mv2
2
, E′
≈ mc2
+
mv′2
2
è ó÷èòûâàÿ â (1.90) òîëüêî ãëàâíûå ïî v/c ÷ëåíû, ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêèå
çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ èìïóëüñà
pêë = p′
êë + mV
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
è ýíåðãèè (òåîðåìó Êåíèãà)
mv2
2
=
mv′2
2
+ p′
xV +
mV 2
2
.
4. ×åòûðåõìåðíûì óñêîðåíèåì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ 4-ñêîðîñòè ïî ñîá
ñòâåííîìó âðåìåíè
wi
=
dui
dτ
. (1.91)
Äèôôåðåíöèðóÿ ïî τ êâàäðàò 4-ñêîðîñòè ui
ui = c2
d
dτ
(ui
ui) = 2ui
wi = 0,
ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ÷åòûðåõìåðíûå ñêîðîñòü è óñêîðåíèå îðòîãî
íàëüíû äðóã äðóãó.
5. ×åòûðåõìåðíîé ñèëîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
gi
=
dpi
dτ
. (1.92)
×òîáû âûðàçèòü êîìïîíåíòû gi
÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû, èñïîëüçóåì ðà
âåíñòâî
dpi
dτ
=
dpi
dt
dt
dτ
=
1
√
1 − v2/c2
dpi
dt
.
Íî, íàïðèìåð,
dp1
dt
=
dpx
dt
= Fx,
òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òðåõìåðíóþ ñèëó
dp/dt = F. Âðåìåííàÿ êîìïîíåíòà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ îò ýíåð
ãèè ïî âðåìåíè:
dp0
dt
=
1
c
dE
dt
.
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòó âåëè÷èíó, ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ñîîòíî
øåíèå (1.89):
E
c2
dE
dt
= p
dp
dt
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p =
Ev
c2
, íàõîäèì
dE
dt
= Fv. (1.93)
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå èçìåíåíèå ýíåðãèè ÷åðåç ðàáîòó ñèëû
(îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî îíî íå ñîäåðæèò c), ñïðàâåäëèâî è â íüþòîíîâñêîé
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ìåõàíèêå. Òåïåðü èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòûðåõìåðíîé ñèëû â
çàïèñè ÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû:
gi
=
(
Fv
c
√
1 − v2/c2
,
F
√
1 − v2/c2
)
. (1.94)
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 4], [3, Ÿ 7], [4, Ÿ 77].
1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà
Íàéäåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåõìåðíîé ñèëû F ïðè ïå
ðåõîäå ê äðóãîé ÈÑÎ, îïèðàÿñü íà òî, ÷òî êîìïîíåíòû gi
îáðàçóþò 4-âåêòîð.
Ïîñêîëüêó g1,2,3
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê x, y, z ñîîòâåòñòâåííî, ìîæåì çàïèñàòü:
Fx
√
1 − v2/c2
=
F′
x√
1−v′2/c2
+ V
c
F′
v′
c
√
1−v′2/c2
√
1 − V 2/c2
,
Fy,z
√
1 − v2/c2
=
F′
y,z
√
1 − v′2/c2
.
Ïðåîáðàçóåì ýòè ôîðìóëû. Èñïîëüçóåì ñíà÷àëà òðàíñôîðìàöèîííîå ïðàâè
ëî äëÿ êîìïîíåíò ui
:
vy
√
1 − v2/c2
=
v′
y
√
1 − v′2/c2
.
Îòñþäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé
(1.24), èìååì √
1 − v2/c2
√
1 − v′2/c2
=
vy
v′
y
=
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.95)
Ñîáèðàÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àåì
Fx =
F′
x + (F′
v′
)V
c2
1 + v′
xV
c2
, Fy,z = F′
y,z
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.96)
Çàêîí (1.96) ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò ñèëû ïîçâîëÿåò ïðîäåìîíñòðèðî
âàòü ðåëÿòèâèñòñêóþ ïðèðîäó ñèëû Ëîðåíöà. Ðàñêðîåì ñêîáêè â ñêàëÿðíîì
ïðîèçâåäåíèè â (1.96)
Fx = F′
x +
v′
y
1 + v′
xV
c2
F′
y
V
c2
+
v′
z
1 + v′
xV
c2
F′
z
V
c2
.
Âûðàçèì ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç êîìïîíåíòû ñêîðîñòè v, à íå v′
. Ïîñêîëüêó èç
(1.95) ñëåäóåò ðàâåíñòâî
v′
y,z
1 + v′
xV
c2
=
vy,z
√
1 − V 2/c2
,
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
òî äëÿ Fx ïîëó÷àåì
Fx = F′
x +
vy
c
F′
yV/c
√
1 − V 2/c2
+
vz
c
F′
zV/c
√
1 − V 2/c2
. (1.97)
×òîáû âûðàçèòü ÷åðåç íåøòðèõîâàííóþ ñêîðîñòü êîìïîíåíòû Fy,z, èñ
ïîëüçóåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.24). Ïðåîáðàçóÿ çíà
ìåíàòåëü â (1.96)
1 +
v′
xV
c2
= 1 +
vx − V
1 − vxV
c2
V
c2
=
1 − V 2
/c2
1 − vxV
c2
,
ïðèâîäèì Fy,z ê âèäó
Fy,z =
F′
y,z
√
1 − V 2/c2
−
vx
c
F′
y,z
V
c
√
1 − V 2/c2
. (1.98)
Ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.97), (1.98) ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíîì âèäå (ïðîâåðüòå!):
F = Φ +
1
c
[vG], (1.99)
Φ = (F′
x,
F′
y
√
1 − V 2/c2
,
F′
z
√
1 − V 2/c2
), G = (0,
−V
c F′
z
√
1 − V 2/c2
,
V
c F′
y
√
1 − V 2/c2
).
(1.100)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñèñòåìå K′
ñèëà F′
íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû.
Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1.99), (1.100) â ñèñòåìå K âîçíèêàåò çàâèñèìîñòü ñèëû
îò ñêîðîñòè, ïðè÷åì ÷àñòü ñèëû, çàâèñÿùàÿ îò ñêîðîñòè v, ïåðïåíäèêóëÿðíà
v. Óêàçàííûé ýôôåêò ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì è èñ÷åçàåò ïðè v/c → 0.
Ïðèìåíèì ýòîò ðåçóëüòàò ÑÒÎ ê ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïóñòü â ñèñòåìå K′
íà
çàðÿä e äåéñòâóåò òîëüêî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ñèëà F′
= eE′
. Ñèëà, äåéñòâóþ
ùàÿ íà çàðÿä â ñèñòåìå K, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îí äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v, äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.99). Âûäåëèâ â Φ è G ìíîæèòåëü e, êîòîðîìó, î÷å
âèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëà F,
Φ = eE, G = eB,
ïîëó÷èì ñèëó Ëîðåíöà:
F = eE +
e
c
[vB].
Ïðè ýòîì èç (1.100) âèäíî, ÷òî íàïðÿæåííîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó
E = (E′
x,
E′
y
√
1 − V 2/c2
,
E′
z
√
1 − V 2/c2
), B = (0,
−V
c E′
z
√
1 − V 2/c2
,
V
c E′
y
√
1 − V 2/c2
)
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ»  ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления

More Related Content

What's hot

Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.oomckuzh
 
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособиеivanov15666688
 
Оцінка якості адміністративних послуг
Оцінка якості адміністративних послугОцінка якості адміністративних послуг
Оцінка якості адміністративних послугCentre of Policy and Legal Reform
 
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.oomckuzh
 
8 l v_2016
8 l v_20168 l v_2016
8 l v_20168new
 
8 g i 2016
8 g i 20168 g i 2016
8 g i 20168new
 
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.oomckuzh
 
Kazakh law1 26
Kazakh law1 26Kazakh law1 26
Kazakh law1 26vikmanam45
 
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_kslTipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_kslИгорь А.
 
Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.
 Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.  Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік. oomckuzh
 
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-kslTipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-kslИгорь А.
 

What's hot (13)

Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №3. 2011 рік.
 
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие
289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие
 
Оцінка якості адміністративних послуг
Оцінка якості адміністративних послугОцінка якості адміністративних послуг
Оцінка якості адміністративних послуг
 
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1-2. 2010 рік.
 
8 l v_2016
8 l v_20168 l v_2016
8 l v_2016
 
8 g i 2016
8 g i 20168 g i 2016
8 g i 2016
 
220306 kazakh law
220306 kazakh law220306 kazakh law
220306 kazakh law
 
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №4. 2011 рік.
 
Kazakh law2 4
Kazakh law2 4Kazakh law2 4
Kazakh law2 4
 
Kazakh law1 26
Kazakh law1 26Kazakh law1 26
Kazakh law1 26
 
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_kslTipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom1-kl_ksl
 
Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.
 Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.  Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.
Журнал "Культурологічні джерела". №1. 2015 рік.
 
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-kslTipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-ksl
Tipovye tekhnologicheskie-karty-knauf tom2-ksl
 

Viewers also liked

Types of paragraph
Types of paragraphTypes of paragraph
Types of paragraphDana Barrera
 
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025Ravi Ramakrishnan
 
Doing academic writing slightly differently
Doing academic writing slightly differentlyDoing academic writing slightly differently
Doing academic writing slightly differentlyAnia Rolinska
 
Historical twitter lesson plan
Historical twitter lesson planHistorical twitter lesson plan
Historical twitter lesson planAaron Carn
 
Historical magazine article
Historical magazine articleHistorical magazine article
Historical magazine articleAaron Carn
 
Presentation from Academic Writing
Presentation from Academic WritingPresentation from Academic Writing
Presentation from Academic WritingRenee Davis
 
Discourse analysis (Putri Pratiwi)
Discourse analysis (Putri Pratiwi)Discourse analysis (Putri Pratiwi)
Discourse analysis (Putri Pratiwi)putripratiwi95
 
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal Arts
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal ArtsA Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal Arts
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal ArtsGeorgeBChisholm1971
 
The Science Of Presentations
The Science Of PresentationsThe Science Of Presentations
The Science Of PresentationsKevin Gee
 
Bab: Types of text
Bab: Types of textBab: Types of text
Bab: Types of textjondrapianda
 
Academic Report Writing - Complete Lesson
Academic Report Writing - Complete LessonAcademic Report Writing - Complete Lesson
Academic Report Writing - Complete LessonHilmi Hamzah
 
Types of paragraphs
Types of paragraphsTypes of paragraphs
Types of paragraphsrochamaryuri
 
How to do a research project
How to do a research projectHow to do a research project
How to do a research projectSam Ladner
 

Viewers also liked (20)

Types of paragraph
Types of paragraphTypes of paragraph
Types of paragraph
 
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025
Narayaneeyam kannada transliteration with english translation dasakam 025
 
Doing academic writing slightly differently
Doing academic writing slightly differentlyDoing academic writing slightly differently
Doing academic writing slightly differently
 
Historical twitter lesson plan
Historical twitter lesson planHistorical twitter lesson plan
Historical twitter lesson plan
 
Discourse Anaysis
Discourse Anaysis Discourse Anaysis
Discourse Anaysis
 
Historical magazine article
Historical magazine articleHistorical magazine article
Historical magazine article
 
Presentation from Academic Writing
Presentation from Academic WritingPresentation from Academic Writing
Presentation from Academic Writing
 
Discourse analysis (Putri Pratiwi)
Discourse analysis (Putri Pratiwi)Discourse analysis (Putri Pratiwi)
Discourse analysis (Putri Pratiwi)
 
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal Arts
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal ArtsA Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal Arts
A Social Psychology Research Project - Equallyokedtarians - Liberal Arts
 
The Science Of Presentations
The Science Of PresentationsThe Science Of Presentations
The Science Of Presentations
 
Doing a research project using the Big 6 Model
Doing a research project using the Big 6 ModelDoing a research project using the Big 6 Model
Doing a research project using the Big 6 Model
 
Bab: Types of text
Bab: Types of textBab: Types of text
Bab: Types of text
 
Academic Report Writing - Complete Lesson
Academic Report Writing - Complete LessonAcademic Report Writing - Complete Lesson
Academic Report Writing - Complete Lesson
 
Steps in doing research
Steps in doing researchSteps in doing research
Steps in doing research
 
Types of paragraphs
Types of paragraphsTypes of paragraphs
Types of paragraphs
 
Descriptive Text
Descriptive TextDescriptive Text
Descriptive Text
 
How to do a research project
How to do a research projectHow to do a research project
How to do a research project
 
Planning a Research Project
Planning a Research ProjectPlanning a Research Project
Planning a Research Project
 
Different text types
Different text typesDifferent text types
Different text types
 
Summary Writing Skills
Summary Writing SkillsSummary Writing Skills
Summary Writing Skills
 

More from Иван Иванов

Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...
Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...
Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...Иван Иванов
 
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.Иван Иванов
 
Психология семейно-брачных отношений
Психология семейно-брачных отношенийПсихология семейно-брачных отношений
Психология семейно-брачных отношенийИван Иванов
 
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)Иван Иванов
 
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применение
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применениеКодирующие электронно-лучевые трубки и их применение
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применениеИван Иванов
 
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБ
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБМЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБ
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБИван Иванов
 
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...Иван Иванов
 
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связи
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связиМикропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связи
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связиИван Иванов
 
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатации
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатацииЗаковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатации
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатацииИван Иванов
 
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...Иван Иванов
 
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводом
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводомЯсенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводом
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводомИван Иванов
 
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...Иван Иванов
 
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИИван Иванов
 

More from Иван Иванов (20)

Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...
Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...
Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...
 
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.
Новые эффективные материалы и изделия из древесного сырья за рубежом.
 
Психология семейно-брачных отношений
Психология семейно-брачных отношенийПсихология семейно-брачных отношений
Психология семейно-брачных отношений
 
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)
 
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применение
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применениеКодирующие электронно-лучевые трубки и их применение
Кодирующие электронно-лучевые трубки и их применение
 
US2003165637A1
US2003165637A1US2003165637A1
US2003165637A1
 
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБ
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБМЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБ
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ АКУСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТРУБ
 
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...
ЗЕРКАЛЬНО-ТЕНЕВОЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕК...
 
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связи
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связиМикропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связи
Микропроцессоры и микроЭВМ в системах технического обслуживания средств связи
 
1
11
1
 
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатации
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатацииЗаковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатации
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатации
 
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...
Юньков М.Г. и др. Унифицированные системы тиристорного электропривода постоян...
 
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводом
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводомЯсенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводом
Ясенев Н.Д. Аппараты управления автоматизированным электроприводом
 
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...
Танский Е.А., Дроздов В.Н., Новиков В.Г. и др. Система стабилизации скорости ...
 
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
ИМПУЛЬСНЫЙ РЕГУЛИРУЕМЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД С ФАЗНЫМИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯМИ
 
Sdewsdweddes
SdewsdweddesSdewsdweddes
Sdewsdweddes
 
Us873655
Us873655Us873655
Us873655
 
5301 5305.output
5301 5305.output5301 5305.output
5301 5305.output
 
5296 5300.output
5296 5300.output5296 5300.output
5296 5300.output
 
5306 5310.output
5306 5310.output5306 5310.output
5306 5310.output
 

лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления

  • 1. ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ¾ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ñ. È. Ìàðìî, Ì. Â. Ôðîëîâ ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÅ ×àñòü II Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè è ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ Âîðîíåæ Èçäàòåëüñêèé äîì ÂÃÓ 2014 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 2. Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà 25 íîÿáðÿ 2013 ã., ïðîòîêîë  11 Ðåöåíçåíò ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À. Â. Ìåðåìüÿíèí Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêî ãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà äíåâíîãî îòäåëåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Äëÿ íàïðàâëåíèÿ 011200 Ôèçèêà, ñïåöèàëüíîñòè 010701 Ôèçèêà Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 3. Ñîäåðæàíèå 1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 4 1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . 7 1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . 12 1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . . 15 1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ÷à ñòèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé . . . . . . . 28 1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . 33 2. Ýëåêòðîäèíàìèêà â ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîçíà÷åíèÿõ 35 2.1. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð òîêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. ×åòûðåõìåðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . 36 2.3. Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ ïîëÿ. Èíâàðèàíòû ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Ýôôåêò Äîïëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . . . . . 43 2.6. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . . 45 2.7. Ôóíêöèè Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà çàðÿäà â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàðÿäà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . 52 2.9. Âûâîä óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ëèòåðàòóðà 58 3 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 4. 1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ñîçäàííàÿ âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ìàêñâåëëîâñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îáúÿñíèâ ñ åäèíûõ ïîçèöèé âñå (íåêâàíòîâûå) ýëåêòðîìàã íèòíûå ÿâëåíèÿ, âîøëà â ïðîòèâîðå÷èå ñ äðóãîé ôóíäàìåíòàëüíîé ôèçè÷å ñêîé òåîðèåé êëàññè÷åñêîé (íüþòîíîâñêîé) ìåõàíèêîé. Ðàçðåøåíèå ýòîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ïðèâåëî ê êîðåííîìó ïåðåñìîòðó èìåâøèõñÿ â ôèçèêå ïðåä ñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è ñîçäàíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñè òåëüíîñòè (ÑÒÎ). Ñî âðåìåí Ãàëèëåÿ è Íüþòîíà â ìåõàíèêå ñóùåñòâîâàëî ïðåäñòàâëåíèå î ïîëíîì ðàâíîïðàâèè âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà 1 (ÈÑÎ), ÷òî íàøëî âûðàæåíèå â ïðèíöèïå îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó ëþáîå ìåõàíè÷åñêîå ÿâëåíèå ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêà åò îäèíàêîâûì îáðàçîì âî âñåõ ÈÑÎ. Ìàòåìàòè÷åñêè ïðèíöèï îòíîñèòåëüíî ñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí êàê ñîõðàíåíèå âèäà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ. Ðàññìîòðèì äâå èíåðöè àëüíûå ñèñòåìû K è K′ . Ïóñòü K′ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ V, ïðè÷åì â ìîìåíò t = 0 íà÷àëà êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ñîâïàäàëè. Òîãäà êîîðäèíàòû r′ = (x′ , y′ , z′ ) è âðåìÿ t′ â ñèñòåìå K′ ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè r = (x, y, z) è âðåìåíåì t â ñèñòåìå K ñîîòíîøåíèÿìè r′ = r − Vt, t′ = t, (1.1) êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ. Òî åñòü, åñëè â ñèñòåìå K â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå r ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå 2 , òî â ñèñòåìå K′ ýòî ñîáûòèå ïðîèçîøëî â òî÷êå r′ = r − Vt â ìîìåíò âðåìåíè t′ = t (îòñ÷èòàííûé ïî ÷àñàì â ñèñòåìå K′ , ñèíõðîíèçîâàííûì ñ ÷àñàìè â K). Îá ðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âðåìÿ íå ïðåîáðàçóåòñÿ âî âñåõ ÈÑÎ âðåìÿ îäíî è òî æå, îíî èìååò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.1) ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé v′ = v − V, (1.2) ãäå v = dr/dt è v′ = dr′ /dt′ ñêîðîñòè òî÷êè â ñèñòåìàõ K è K′ ñîîòâåò ñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìîé îòñ÷åòà (íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíîé) íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü ñèñòåìû êîîðäèíàò è ÷àñîâ (â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ), æåñòêî ñêðåïëåííûõ ñ òåëîì îòñ÷åòà. Ïîä ñîáûòèåì (ãîâîðÿò òàêæå î òî÷å÷íîì ñîáûòèè) ïîíèìàåòñÿ íåêîòîðîå ÿâëåíèå, êîòîðîå õàðàêòå ðèçóåòñÿ ìåñòîì, ãäå îíî ïðîèçîøëî, è âðåìåíåì, êîãäà îíî ïðîèçîøëî. 4 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 5. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé m â ñèñòåìå K: m d2 r dt2 = F. (1.3) Èç ôîðìóë (1.1) ñëåäóåò: d2 r′ dt′2 = d2 r dt2 óñêîðåíèå ÷àñòèöû â äâóõ èíåðöè àëüíûõ ñèñòåìàõ îäíî è òî æå. Êðîìå òîãî, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìàñ ñà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, îäèíàêîâîé âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà: m′ = m. Òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò ñèëà: F′ = F. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ïîñëåäíåì óòâåðæäåíèè.  èíåðöèàëüíûõ ñè ñòåìàõ ñóùåñòâóþò òîëüêî ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè, êîòîðûå ìî ãóò çàâèñåòü îò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ òåë è èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòèöà âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðó ãîé ÷àñòèöåé. Åñëè îáîçíà÷èòü ðàäèóñ-âåêòîð ïîñëåäíåé ÷åðåç ˜r, à ñêîðîñòü ÷åðåç ˜v, òî ñèëà áóäåò çàâèñåòü îò ðàçíîñòåé r − ˜r, v − ˜v : F = F(r − ˜r, v − ˜v). (1.4) Íî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ (1.1) è çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2) r − ˜r = r′ − ˜r′ , v − ˜v = v′ − ˜v′ , ò.å. ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè è èõ îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè íå èçìåíÿ þòñÿ. Ñîãëàñíî îïûòíûì äàííûì â îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ìå õàíèêè, è ñàìî âçàèìîäåéñòâèå íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îíî ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ïîýòîìó F′ (r′ − ˜r′ , v′ − ˜v′ ) = F(r − ˜r, v − ˜v), (1.5) ò.å. ñàìè ôóíêöèè F è èõ àðãóìåíòû îäèíàêîâû. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå â ñèñòåìó K′ óðàâíåíèå (1.3) ñîõðàíÿåò ñâîþ ôîðìó 3 : m′ d2 r′ dt′2 = F′ , (1.6) ïðè÷åì ìàññà, ñèëà è óñêîðåíèå â îáåèõ ñèñòåìàõ îäèíàêîâû, ìåíÿþòñÿ ëèøü îáîçíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.3) îñòà åòñÿ èíâàðèàíòíûì (íåèçìåííûì) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ. Íî ! Åñëè ïðè íåêîòîðîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò óðàâíåíèå íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà, åãî ïðèíÿòî íà çûâàòü êîâàðèàíòíûì. Åñëè æå åùå îêàæåòñÿ, ÷òî âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, òî îíî íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (nr) = a òîëüêî êîâàðèàíòíî, à óðàâíåíèå ñôåðû r2 = a2 åùå è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèÿ. Ïðèíöèï îò íîñèòåëüíîñòè òðåáóåò òîëüêî êîâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé, îñóùåñòâëÿþùèõ ïåðåõîä îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. 5 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 6. òîãäà è ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1.3) è (1.6) ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ áóäóò òîæäåñòâåííû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè.  ôîðìóëàõ (1.4), (1.5) îòðàæåíî ïðåäñòàâëåíèå î âçàèìîäåéñòâèè òåë, êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ñèëà çàâè ñèò îò êîîðäèíàò (è, âîçìîæíî, ñêîðîñòåé) âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè÷åì êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè áåðóòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî îçíà÷à åò, ÷òî, åñëè ïîëîæåíèå îäíîãî èç òåë èçìåíèëîñü, âòîðîå òåëî ïî÷óâñòâóåò ýòî èçìåíåíèå íåìåäëåííî. Âçàèìîäåéñòâèå ïåðåäàåòñÿ ìãíîâåííî, ò.å. ñ áåñ êîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòüþ. Ïðåäñòàâëåíèå î áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé (èíîãäà ãîâîðÿò î ðàñïðîñòðàíåíèè ¾ñèãíàëîâ¿) òåñíî ñâÿçàíî ñ àáñîëþòíûì õàðàêòåðîì âðåìåíè: ñèãíàë, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ èç òî÷êè, ãäå ïðîèçîøëî ñîáûòèå, â òîò æå ìîìåíò ïðèõîäèò âî âñå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà, â òîì ÷èñëå ê ÷àñàì êàæäîé èç ÈÑÎ, êîòîðûå çàðåãèñòðèðóþò îäèíàêîâîå âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ t′ = t′′ = · · · = t. Ñ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðîäèíàìèêè áûëî åñòåñòâåííûì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ñïðàâåäëèâ è äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé. Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà íå ñîõðàíÿþò ñâîåé ôîðìû ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ (1.1). Íåñîâìåñòèìîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåë ëà è ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ñëåäóåò óæå èç òîãî, ÷òî òåîðèÿ Ìàêñâåëëà äàåò êîíå÷íóþ âåëè÷èíó c äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíå íèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå. Íî âñå ÈÑÎ, î÷åâèäíî, ðàâíîïðàâíû ïî îòíîøåíèþ ê âàêóóìó (â ÷àñòíîñòè, âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ìàòåðèàëüíîé ñðåäû â âàêóóìå ñ íèì íåëüçÿ ñâÿçàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé áû îí ïî êîèëñÿ). Îòñþäà ëîãè÷åñêè ñëåäóåò ïðè äîïóùåíèè ïîëíîãî ðàâíîïðàâèÿ âñåõ èíåðöèàëüíûõ íàáëþäàòåëåé, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå äîëæíà ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå c âî âñåõ ÈÑÎ. Íî, ñîãëàñíî êëàññè÷å ñêîé ìåõàíèêå, ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ñêîðîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëå (1.2). Âîçíèêøåå ïðîòèâîðå÷èå òðåáîâàëî ñäåëàòü âûáîð ìåæäó òðåìÿ âîçìîæ íîñòÿìè: 1) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì â ìåõàíèêå è íå ïðèìåíèì â ýëåê òðîäèíàìèêå; 2) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè êå; ïðè ýòîì ýëåêòðîäèíàìèêà â ôîðìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà íåâåðíà; 3) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè êå; çàêîíû ìåõàíèêè â íüþòîíîâñêîé ôîðìå (à òàêæå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîð äèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) òðåáóþò èçìåíåíèÿ. Íåêîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîá ðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ âûãëÿäåëà åñòåñòâåííîé ñ ïîçèöèé ¾ýôèðíûõ¿ òåîðèé, ââîäèâøèõ ïðåäñòàâëåíèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ýôèðå è ðàññìàòðèâàâøèõ 6 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 7. ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê îñîáîãî ðîäà íàòÿæåíèÿ â íåì (ïî àíàëîãèè ñ íà òÿæåíèÿìè â óïðóãîé ñðåäå).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äîëæíû áûòü ñïðàâåäëèâûìè â åäèíñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ýôèðîì. Âî âñÿêîé äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýôèð áóäåò äâèãàòüñÿ, ïîýòîìó óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äîëæíû ñîäåðæàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíî ýôèðà. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëå íèå îá ýôèðå îêàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòèìûì ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãà ëèëåÿ. Îäíàêî ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîïûòêè îáíàðóæåíèÿ ýôèðà (ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå èçâåñòíû îïûò Ìàéêåëüñîíà ïî îáíàðóæå íèþ ¾ýôèðíîãî âåòðà¿ è îïûò Ôèçî ïî îáíàðóæåíèþ óâëå÷åíèÿ ýôèðà äâè æóùèìèñÿ òåëàìè) ïîêàçàëè íåóñòðàíèìûå ïðîòèâîðå÷èÿ â ãèïîòåçå ýôèðà è ïðèâåëè ê îòêàçó îò íåå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå åñòü ñàìîñòîÿòåëüíûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò, íå íóæäàþùèéñÿ â ñïåöèàëü íîì íîñèòåëå. Ïîïûòêè èçìåíèòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ êîâàðèàíòíû ìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ, ïðèâåëè ê òîìó, ÷òî íîâûå óðàâ íåíèÿ ïðîòèâîðå÷èëè îïûòó. Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûì îêàçàëñÿ òðåòèé ïóòü: äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ïðèí öèïà îòíîñèòåëüíîñòè è ýëåêòðîäèíàìèêè ïîòðåáîâàëîñü ïåðåñìîòðåòü èìåâ øèåñÿ â ôèçèêå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è çàìåíèòü ïðåîá ðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [5, Ÿ 1.11.4, 1.71.9]. 1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè  îñíîâó íîâîé òåîðèè áûëè ïîëîæåíû äâà ïîñòóëàòà, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Âñå çàêîíû ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ (à íå òîëüêî çàêîíû ìå õàíèêè, êàê óòâåðæäàë ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ). 2. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëþáûõ âçàèìîäåéñòâèé êîíå÷íà (íàïîìíèì, ÷òî â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ñ÷è òàëàñü áåñêîíå÷íîé); ìàêñèìàëüíàÿ (ïðåäåëüíàÿ) ñêîðîñòü ïåðåäà÷è âçàèìî äåéñòâèé (ñèãíàëîâ) ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â âàêóóìå. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ äâóõ ïîñòóëàòîâ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëü íîñòè Ýéíøòåéíà. Èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè ñëåäóåò, î÷åâèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ. Ýòî çíà ÷èò, ÷òî â ïðèðîäå ñóùåñòâóåò ñêîðîñòü, êîòîðàÿ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãà ëèëåÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2), îøèáî÷íû. 7 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 8. Íàðÿäó ñ ïîñòóëàòàìè ÑÒÎ ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.  íüþòîíîâñêîé ìåõà íèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ ïîëàãàëàñü áåñêîíå÷íîé, ïîýòîìó äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà áûëî äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ.  ÑÒÎ ó÷è òûâàåòñÿ êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ, ïîýòîìó îäíèìè ÷àñàìè â ñèñòåìå îòñ÷åòà îãðàíè÷èòüñÿ íåëüçÿ.  ÑÒÎ ïðåäïîëàãàþò, ÷òî â ëþáîé òî÷êå, ãäå îïðåäåëÿåòñÿ âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ, â ïðèíöèïå äîëæíû áûòü ÷àñû.  ïðåäåëàõ îäíîé ÈÑÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ åäèíîå âðåìÿ ñ ïîìîùüþ ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ. Ýéíøòåéíîì áûëî ïðåäëîæåíî ïðîâîäèòü ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ñ ïîìîùüþ ñâåòîâûõ ñèãíàëîâ. Èç òî÷êè A â ìîìåíò âðåìåíè t1 èñïóñêàåòñÿ êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèãíàë. Óñòàíîâèâ íà ÷àñàõ â òî÷êå B â ìîìåíò ïðèõîäà ñâåòîâîãî ñèãíàëà âðåìÿ t = t1 +rAB/c (rAB èçâåñòíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó A è B), ñèíõðîíèçèðóåì ÷àñû â B ñ îïîðíûìè ÷àñàìè â A. Ýéíøòåéíîâñêàÿ ïðîöåäóðà ñèíõðîíèçàöèè òàêîâà, ÷òî ìîæåò áûòü ïðîâåäå íà â ëþáîé ÈÑÎ. Èòàê, â ðåëÿòèâèñòñêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà âõîäÿò ñèñòåìà êîîðäèíàò è íàáîð çàêðåïëåííûõ â ýòîé ñèñòåìå ñèíõðîíèçèðîâàííûõ ÷àñîâ. Ïðèíöèïû ÑÒÎ òðåáóþò îòêàçà îò êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé îá àá ñîëþòíîì õàðàêòåðå âðåìåíè. Èõ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëü íîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ìåæäó ñîáûòèÿìè: óòâåðæäåíèå, ÷òî ìåæäó äâó ìÿ äàííûìè ñîáûòèÿìè ïðîøåë îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïðèîá ðåòàåò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà óêàçàíî, ê êàêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýòî óòâåð æäåíèå îòíîñèòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ñîáûòèÿ, îäíîâðåìåííûå â îäíîé ÈÑÎ, áóäóò íå îäíîâðåìåííûìè â äðóãîé ñèñòåìå. Äëÿ óÿñíåíèÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü ïîåçä (ñèñòåìà K′ ) äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ïëàòôîðìû (ñèñòåìà K).  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè èç ñåðåäèíû ïîåçäà (òî÷êà A) â åãî íà÷àëî (òî÷êà C) è êîíåö (òî÷êà B) îòïðàâëÿþòñÿ ñâåòîâûå ñèãíàëû. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà â ñèñòåìå K′ , êàê è âî âñÿêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòå ìå, ðàâíà c (â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ), òî ñèãíàëû äîñòèãíóò ðàâíîóäàëåííûõ îò A òî÷åê B è C â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè (â ñèñòåìå K′ ). Îäíàêî òå æå ñàìûå äâà ñîáûòèÿ (ïðèõîä ñèãíàëà â B è C) áóäóò íå îäíîâðåìåííûìè äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå K. Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòü ñèãíàëîâ îòíîñèòåëüíî K ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè ðàâíà òîìó æå c, è ïîñêîëüêó òî÷êà B äâèæåòñÿ (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K) íàâñòðå÷ó ïîñëàííîìó â íåå ñèãíàëó, à òî÷êà C ïî íàïðàâëåíèþ îò ñèãíàëà (ïîñëàííîãî èç A â C), òî â ñèñòåìå K ñèãíàë ïðèäåò â òî÷êó B ðàíüøå, ÷åì â òî÷êó C. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [3, Ÿ 1], [4, Ÿ 65,66], [5, ãë. 2, Ÿ 2.12.3]. 8 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 9. 1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà Êàê îòìå÷åíî âûøå, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íå óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâà íèÿì òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ïîýòîìó îíè äîëæíû áûòü ìîäèôèöèðîâàíû. Ðåëÿòèâèñòñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ ìîæíî óñòàíîâèòü èñõîäÿ èç ïðèíöèïîâ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ïîñòîÿíñòâà ñêîðîñòè ñâåòà âî âñåõ ÈÑÎ), à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðî ñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè (ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáëàäàþò ýòèìè ñâîéñòâàìè ïî ïðåäñòàâëåíèÿì êàê êëàññè÷åñêîé, òàê è ðåëÿòèâèñòñêîé ôè çèêè). Îñíîâûâàÿñü íà ýòèõ ïîëîæåíèÿõ, áóäåì ôîðìóëèðîâàòü ìàòåìàòè÷å ñêèå òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé, è íà êàæäîì ýòàïå èñêàòü ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà èñêîìûå ôîðìó ëû, ïîêà ïîëíîñòüþ íå îïðåäåëèì èõ âèä. 1. Èç îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè âûòåêàåò, ÷òî ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè ñîáûòèÿ â äâóõ ÈÑÎ äîëæíà áûòü ëèíåéíîé: x′ = αx + α′ y + β′ z + βt + ρ è ò.ä., (1.7) ãäå α, β, α′ , . . . ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Åñëè áû ýòè âåëè÷èíû áû ëè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ñâÿçü ìåæäó øòðèõîâàííûìè è íåøòðèõîâàííûìè âåëè÷èíàìè áûëà íåëèíåéíîé), ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî çà êîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.7) íåîäèíàêîâ äëÿ ðàçíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà è äëÿ ðàçíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èëî áû îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàí ñòâà-âðåìåíè ïî çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî áûëî áû îòëè÷àòü îäíè îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (è ìîìåíòû âðåìåíè) îò äðóãèõ. Íî êîýôôèöèåíòû α, β è ò.ï. ìîãóò çàâèñåòü, ðàçóìååòñÿ, îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè. 2. Êîíêðåòèçèðóåì òåïåðü ðàññìàòðèâàåìûå ñèñòåìû (ðèñ. 1). Ïóñòü ñî îòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò â íèõ ïàðàëëåëüíû è îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ V , à íà÷àëà îòñ÷åòà âûáðàíû òàê, ÷òî ïðè t = 0 òî÷êà x′ = y′ = z′ = 0 (íà÷àëî êîîðäèíàò ñèñòåìû K′ ) ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé x = y = z = 0 (íà÷àëîì êîîðäèíàò ñèñòåìû K). ×àñû â ñèñòåìå K′ óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû â ìîìåíò, êîãäà íà÷àëà ñèñòåì êîîðäèíàò ñîâïàäàþò, îíè ïîêàçûâàëè âðåìÿ t′ = 0.  ýòîì ñëó÷àå ñâîáîäíûå ÷ëåíû â ðàâåíñòâàõ (1.7) (ρ è ò.ï.) îáðàòÿòñÿ â íóëü. Ïîñêîëüêó îñè êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ïàðàëëåëüíû, òî ïëîñêîñòü xy ñîâ ïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ x′ y′ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè z′ = 0 äîëæíî áûòü è z = 0, ïðè÷åì ýòè ðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáûõ x′ , y′ , t′ è ñîîòâåò ñòâåííî x, y, t. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñâÿçü ìåæäó z è z′ èìååò âèä z′ = kz, k = const.  ñèëó èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà òàêàÿ æå ñâÿçü ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì k äîëæíà áûòü ìåæäó y è y′ : y′ = ky. Ñâÿçü x′ è t′ ñ êîîðäèíàòàìè è âðåìåíåì â ñèñòåìå K, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó 9 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 10. âûøå, èìååò ñëåäóþùèé îáùèé âèä: x′ = αx + βt + α′ y + β′ z, t′ = σx + δt + σ′ y + δ′ z. (1.8) V y’ x’ z’z x y Ðèñ. 1  ïëîñêîñòè x′ = 0 èìååì x = V t ïðè ëþáûõ z è y, òàê êàê ñèñòåìà K′ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ V . Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ x è x′ â ïåðâîå ðàâåíñòâî (1.8), áóäåì èìåòü α′ = β′ = 0, β = −αV . Íàêîíåö, îáðàòèìñÿ ê ôîðìóëå äëÿ t′ . ×àñû â ñèñòåìå K′ óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû ïðè x = 0 è t = 0 áûëî t′ = 0. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè σ′ = δ′ = 0.  èòîãå èìååì ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé: x′ = α(V )(x − V t), y′ = k(V )y, z = k(V )z′ , t′ = σ(V )x + δ(V )t, (1.9) ãäå ó êîýôôèöèåíòîâ ÿâíî óêàçàíà çàâèñèìîñòü îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè. 3. Èñïîëüçóåì òåïåðü ðàâíîïðàâèå ñèñòåì K è K′ . Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ôîð ìóëû ïåðåõîäà èç K′ â K äîëæíû ïîëó÷àòüñÿ èç ôîðìóë ïåðåõîäà ( 1.9) çàìåíîé V íà −V : x = α(−V )(x′ + V t′ ), y = k(−V )y′ , z = k(−V )z′ , t = σ(−V )x′ + δ(−V )t′ . (1.10) Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ôîðìóëû äëÿ y è z. Ñëó÷àè (1.9) è (1.10) îòëè÷àþòñÿ òîëüêî íàïðàâëåíèåì îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, êîòîðàÿ è â òîì è â äðóãîì ñëó÷àå ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè yz. Íî îáà íàïðàâëåíèÿ ðàâíîïðàâíû (ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî), ïîýòîìó k(−V ) = k(V ). Ñîâåðøàÿ ïðåîáðàçîâà íèÿ îò y ê y′ è çàòåì ñíîâà îò y′ ê y, áóäåì èìåòü y = k2 y, ò.å. k2 = 1, k = ±1. Çíà÷åíèå k = −1 îòâå÷àåò ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè îñåé y è y′ , à íàøåìó ñëó÷àþ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå k = 1. 10 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 11. Ïîäñòàâèì òåïåðü â ôîðìóëó äëÿ x èç (1.10) çíà÷åíèÿ x′ è t′ èç (1.9): x = [α(−V )α(V ) − V σ(V )α(−V )]x + α(−V )V [δ(V ) − α(V )]t. (1.11) ×òîáû ýòî ðàâåíñòâî áûëî ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ x è t, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå δ(V ) = α(V ). (1.12) Âòîðîå ñîîòíîøåíèå, ñëåäóþùåå èç (1.11), íàì íå ïîòðåáóåòñÿ. 4. Èñïîëüçóåì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà, ò.å. ïîñòîÿíñòâî åå âåëè÷èíû â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ. Ïóñòü â ìîìåíò ñîâïàäåíèÿ ñèñòåì K è K′ (t = t′ = 0) èç ñîâïàäàþùèõ íà÷àë îòñ÷åòà èñïóùåí êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèã íàë. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ôðîíòà âîëíû â ñèñòåìå K äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ x/t = c. Íî âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñâåòîâîé ñèãíàë ðàñïðîñòðàíÿ åòñÿ âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ñêîðîñòü ôðîíòà â ñèñòåìå K′ áóäåò òîé æå ñàìîé: x′ /t′ = c. Ïîýòîìó, ïîäåëèâ óðàâíåíèÿ äëÿ x′ íà óðàâíåíèå äëÿ t′ , ïîëó÷àåì èç (1.9): c = α(x − V t) σx + αt = α(c − V ) σc + α . Îòñþäà σ(V ) = − V c2 α(V ). (1.13) ×òîáû îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò α(V ), ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîãî âîëíîâîãî ôðîíòà â ñèñòåìàõ K è K′ : x2 + y2 + z2 = (ct)2 , x′2 + y′2 + z′2 = (ct′ )2 .  ýòèõ óðàâíåíèÿõ îïÿòü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà, ïîýòîìó c îäèíàêîâîå. Ïîñêîëüêó y′ = y, z′ = z, òî (ct′ )2 − x′2 = (ct)2 − x2 . (1.14) Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ (1.9), (1.12), (1.13) ïîëó÷àåì α2 (1 − V 2 /c2 )(c2 t2 − x2 ) = (ct)2 − x2 , îòêóäà α(V ) = ±(1 − V 2 /c2 )−1/2 . (1.15) Çäåñü ñíîâà ñëåäóåò âçÿòü òîëüêî çíàê ïëþñ, òàê êàê ìèíóñ ñîîòâåòñòâóåò ïðîòèâîïîëîæíîìó íàïðàâëåíèþ îñåé x è x′ . 11 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 12. Ñîáèðàÿ âìåñòå ðåçóëüòàòû (1.9)(1.15), ïðèõîäèì ê ðåëÿòèâèñòñêèì ôîð ìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà): x′ = x − V t √ 1 − V 2/c2 , y′ = y, z′ = z, t′ = t − V c2 x √ 1 − V 2/c2 . (1.16) Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïîçâîëÿþò, çíàÿ êîîðäèíàòû x, y, z è âðåìÿ t ñî áûòèÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà K, íàéòè êîîðäèíàòû x′ , y′ , z′ è âðåìÿ t′ ñîáûòèÿ â ñèñòåìå K′ . Îáðàòíûå ôîðìóëû, âûðàæàþùèå x, y, z, t ÷åðåç x′ , y′ , z′ , t′ , ïðîùå âñåãî ïîëó÷àþòñÿ çàìåíîé V íà −V (òàê êàê ñèñòåìà K äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K′ ñî ñêîðîñòüþ −V ). Ýòè æå ôîðìóëû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (1.16) îòíîñèòåëüíî x, y, z, t: x = x′ + V t′ √ 1 − V 2/c2 , y = y′ , z = z′ , t = t′ + V c2 x′ √ 1 − V 2/c2 . (1.17) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ V ≪ c ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïåðåõîäÿò â ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ. Ïðè V c â ôîðìóëàõ (1.17) êîîðäèíàòû x, t ñòàíîâÿòñÿ ìíèìûìè. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó ôàêòó, ÷òî äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè ñâåòà, íåâîçìîæíî. Íåâîçìîæíî äàæå èñïîëüçîâàíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà, äâè æóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ñêîðîñòè ñâåòà, ïðè ýòîì çíàìåíàòåëè â ôîðìóëàõ (1.17), (1.16) îáðàòèëèñü áû â íóëü. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [5, Ÿ 2.4, 2.5]. 1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà 1. Ñîêðàùåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ äâèæóùèõñÿ òåë (ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå). Ïóñòü â ñèñòåìå K′ ïîêîèòñÿ ëèíåéêà, ïàðàëëåëüíàÿ îñè x. Äëèíà åå, èçìåðåííàÿ â ýòîé ñèñòåìå, ðàâíà l0 = x′ 2 − x′ 1. Äëèíà ëèíåéêè, èçìåðåííàÿ â òîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé îíà ïîêîèòñÿ, íàçûâàåòñÿ ñîá ñòâåííîé äëèíîé. Íàéäåì äëèíó l ëèíåéêè â ñèñòåìå K. Ïî îïðåäåëåíèþ l åñòü ðàçíîñòü êîîðäèíàò êîíöà è íà÷àëà, âçÿòûõ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Èç (1.16) íàõîäèì x′ 2 − x′ 1 = x2 − V t √ 1 − V 2/c2 − x1 − V t √ 1 − V 2/c2 = x2 − x1 √ 1 − V 2/c2 , 12 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 13. èëè l = l0 √ 1 − V 2/c2. (1.18) Ýòîò ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ îáúåêòà óìåíüøàåòñÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Ïîïåðå÷íûå ê ñêîðîñòè ðàçìåðû òåëà íå èçìåíÿþòñÿ, ïîýòîìó îáúåì óìåíüøàåòñÿ òàê æå, êàê äëèíà: ˜V = ˜V0 √ 1 − V 2/c2. (1.19) 2. Ýôôåêò çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â îäíîì è òîì æå ìåñòå ïðîñòðàíñòâà â K′ ïðîèçîøëè äâà ñîáûòèÿ. Ïóñòü ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè, èçìåðåííûé ïî ÷àñàì, ïîêîÿùèìñÿ â K′ , åñòü ∆t′ = t′ 2 − t′ 1 = τ. Íàéäåì âðåìÿ, êîòîðîå ïðîøëî ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ñîáûòèÿìè â ñèñòåìå K: ∆t = t2 − t1 = t′ 2 + V c2 x′ √ 1 − V 2/c2 − t′ 1 + V c2 x′ √ 1 − V 2/c2 = ∆t′ √ 1 − V 2/c2 . (1.20) Âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå ïî ÷àñàì, ïîêîÿùèìñÿ îòíîñèòåëüíî îáúåêòà, íàçû âàåòñÿ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì ýòîãî îáúåêòà. Ôîðìóëà (1.20) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ìåíüøå ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èçìå ðåííîãî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (äâèæóùèåñÿ ÷àñû èäóò ìåäëåííåå íåïîäâèæíûõ): τ = ∆t √ 1 − V 2/c2. Íàãëÿäíûì ïðèìåðîì çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ ïàä µ-ìåçîíîâ. Ýòè ÷àñòèöû ìîãóò âîçíèêàòü â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ íà âûñîòå ∼ 10 êì íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè è èìåþò âðåìÿ æèçíè τ0 ∼ 2 · 10−6 c. Åñ ëè áû íå áûëî ýôôåêòà çàìåäëåíèÿ âðåìåíè, òî çà âðåìÿ æèçíè îíè ïðî õîäèëè áû ðàññòîÿíèå ∼ 600 ì, îäíàêî µ-ìåçîíû ðåãèñòðèðóþòñÿ âáëèçè çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî τ0 âðåìÿ èõ æèçíè â ñîá ñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, à ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ íà Çåìëå îíî åñòü τ0/ √ 1 − V 2/c2, è åñëè ñêîðîñòü µ-ìåçîíîâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî îíè ìîãóò äîñòè÷ü ïîâåðõíîñòè Çåìëè. 3. Èíâàðèàíòíîñòü èíòåðâàëà. Ïóñòü â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàí ñòâà x1, y1, z1 â ìîìåíò t1 ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå, à â äðóãîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà x2, y2, z2 â ìîìåíò t2 ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå. Èíòåðâàëîì ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà s12 = √ c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2. (1.21)  ñèñòåìå îòñ÷åòà K′ ñîáûòèå 1 ïðîèçîøëî â òî÷êå x′ 1, y′ 1, z′ 1 â ìîìåíò t′ 1, à ñîáûòèå 2 â òî÷êå x′ 2, y′ 2, z′ 2 â ìîìåíò t′ 2. Èíòåðâàë ìåæäó íèìè s′ 12 = √ c2(t′ 2 − t′ 1)2 − (x′ 2 − x′ 1)2 − (y′ 2 − y′ 1)2 − (z′ 2 − z′ 1)2. 13 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 14. Íåïîñðåäñòâåííûì ðàñ÷åòîì ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî s′ 12 = s12. Åñëè äâà ñîáûòèÿ áåñêîíå÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó, òî äëÿ èíòåðâàëà ìåæäó íèìè èìååì ds = √ c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (1.22) Ââåäåì îáîçíà÷åíèå l2 12 = (x2 −x1)2 +(y2 −y1)2 +(z2 −z1)2 è çàïèøåì êâàäðàò èíòåðâàëà â âèäå s2 12 = c2 (∆t12)2 − l2 12. Âåëè÷èíà s2 12 ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Åñëè s2 12 0, òî òàêîé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ âðåìåíèïîäîáíûì (çíàê s2 12 êàê ó ñëà ãàåìîãî ñî âðåìåíåì), åñëè s2 12 0, òî èíòåðâàë ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûé. Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî, î÷åâèäíî, íåëüçÿ íàéòè ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé ñîáûòèÿ ïðîèñõîäèëè áû îäíîâðå ìåííî. Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî òàêóþ ñèñòåìó íàéòè ìîæíî, ñëåäîâàòåëüíî, òàêèå ñîáûòèÿ íå ìîãóò áûòü ïðè÷èííî îáóñëîâëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè s2 12 0, òî c∆t12 l12 è íèêàêîé ñèãíàë íå óñïååò ïîïàñòü èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2. 4. Ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé. Íàéäåì ôîð ìóëû, ñâÿçûâàþùèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K′ . Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.17) â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå: dx = dx′ + V dt′ √ 1 − V 2/c2 , dy = dy′ , dz = dz′ , dt = dt′ + V/c2 dx′ √ 1 − V 2/c2 . Ðàçäåëèâ ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà íà ÷åòâåðòîå è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ äëÿ äåêàð òîâûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìå K vx = dx dt , vy = dy dt , vz = dz dt (1.23) è â ñèñòåìå K′ v′ x = dx′ dt′ , v′ y = dy′ dt′ , v′ z = dz′ dt′ , ïîëó÷èì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé vx = v′ x + V 1 + v′ xV c2 , vy,z = v′ y,z √ 1 − V 2/c2 1 + v′ xV c2 . (1.24)  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå c → ∞ ïðåîáðàçîâàíèå (1.24) ïåðåõîäèò â ôîðìóëû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè (1.2). Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñóììà äâóõ ñêîðî ñòåé, ìåíüøèõ èëè ðàâíûõ ñêîðîñòè ñâåòà, åñòü ñíîâà ñêîðîñòü, íå áîëüøàÿ 14 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 15. ñêîðîñòè ñâåòà. Òàê, åñëè v′ x → c, v′ y = v′ z = 0, òî vy = vz = 0, à vx = c + V 1 + V c = c. (1.25) Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ñèñòåìó íåèçìåííîé îñòà åòñÿ òîëüêî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ñâåòà, íàïðàâëåíèå æå åå ìîæåò èçìåíèòüñÿ. Ðåçóëüòàò (1.25) íå îçíà÷àåò, ÷òî â ÑÒÎ íèêàêèå ñêîðîñòè íå ìîãóò ïðå âûøàòü ñêîðîñòè ñâåòà. Ñêîðîñòü ñâåòîâîãî çàé÷èêà íà ýêðàíå, äîñòàòî÷íî óäàëåííîì îò èñòî÷íèêà, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû, ñêîðîñòü ðàçëåòà èëè ñáëè æåíèÿ ÷àñòèö â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå è ò.ï. ìîãóò áûòü áîëüøå c. ÑÒÎ óòâåðæäàåò ëèøü, ÷òî ñî ñâåðõñâåòîâûìè ñêîðîñòÿìè íåâîçìîæíà ïåðåäà÷à èíôîðìàöèè è âçàèìîäåéñòâèé. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 2], [2, ãë. 11, Ÿ 2], [4, Ÿ 6870]. 1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà Ìíîãèì ðåçóëüòàòàì ðåëÿòèâèñòñêîé êèíåìàòèêè ìîæíî ïðèäàòü ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Òàêîé ïîäõîä îáëåã÷àåò èíòåðïðåòàöèþ è ïîçâîëÿåò ðàçâèòü èçÿùíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ÑÒÎ. Ïîñêîëüêó âðåìÿ â ÑÒÎ òåðÿåò àáñîëþòíûé õàðàêòåð è çàâèñèò îò ñèñòå ìû îòñ÷åòà, òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ¾ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ¿, äëÿ êî òîðîãî ïðèìåíÿþò òàêæå íàçâàíèå ¾ìèð¿ èëè ¾÷åòûðåõìåðíûé ìèð Ìèíêîâ ñêîãî¿. Îòäåëüíûå òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè óêàçûâàþò ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ. Ïîñëåäîâàòåëü íîñòü êèíåìàòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ëþáîãî òåëà (ò.å. åãî êîîðäèíàòû â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè) èçîáðàæàåòñÿ ìèðîâîé ëèíèåé. Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Çàïè øåì èõ äëÿ x è ct (óäîáíî óìíîæèòü âðåìÿ íà c, ÷òîáû âñå êîîðäèíàòû èìåëè îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü): x′ = x − V c ct √ 1 − V 2/c2 , ct′ = ct − V c x √ 1 − V 2/c2 . (1.26) Ýòî ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå, íàïîìèíàþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïî âîðîòà â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Çàïèøåì, íàïðèìåð, ïðåîá ðàçîâàíèå ïîâîðîòà íà óãîë φ â ïëîñêîñòè xy â îáû÷íîì ïðîñòðàíñòâå: x′ = x cos φ + y sin φ, y′ = −x sin φ + y cos φ. (1.27) Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ðàññòîÿ íèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè: (x′ 2 − x′ 1)2 + (y′ 2 − y′ 1)2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 . (1.28) 15 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 16. Ðàññòîÿíèå r12 = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2 îñòà åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîâîðîòà. Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñõîäñòâà è ðàçëè÷èé ìåæäó ïîâîðîòîì â åâêëèäîâîì ïðî ñòðàíñòâå è ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà çàïèøåì (1.26) ÷åðåç ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè: x′ = x ch ψ − ct sh ψ, ct′ = −x sh ψ + ct ch φ, (1.29) ãäå ch ψ = (1 − V 2 /c2 )−1/2 , sh ψ = (V/c)(1 − V 2 /c2 )−1/2 , (1.30) ïðè÷åì, êàê è äîëæíî áûòü, ch2 ψ − sh2 ψ = 1. (1.31) Ïðåîáðàçîâàíèå (1.29) òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì îñòàâëÿòü èíâàðèàíòíîé íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ êîìáèíàöèþ êîîðäèíàò x è ct èíòåðâàë s12 = √ (ct2 − ct1)2 − (x2 − x1)2. (1.32) Èíòåðâàë s12 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó òî÷êàìè ïëîñ êîñòè x, ct. Íî êâàäðàò ðàçíîñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò âõîäèò â âû ðàæåíèå èíòåðâàëà ñî çíàêîì ìèíóñ. Ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (1.32), íàçûâàåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâûì. Íàðÿäó ñ î÷åâèäíûì ñõîäñòâîì, ìåæäó ïñåâäîåâêëèäîâûì è åâêëèäîâûì ïðî ñòðàíñòâàìè èìåþòñÿ è ñóùåñòâåííûå ðàçëè÷èÿ. Íàïðèìåð, â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè r2 12 0, ïðè÷åì ðà âåíñòâî ýòîé âåëè÷èíû íóëþ îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè 1 è 2 ñîâïàäàþò.  ïñåâäîåâ êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå s2 12 ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, à îáðàùåíèå èíòåðâàëà â íóëü âîçìîæíî è äëÿ äâóõ ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ òî÷åê â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Ñóùåñòâóåò ñïîñîá ñäåëàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.26), (1.29) ôîð ìàëüíî òîæäåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèþ ïîâîðîòà (1.27) â åâêëèäîâîé ïëîñ êîñòè. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû ict è ìíèìîãî óãëà ïîâîðîòà. Çàìåíèì â (1.29) ψ íà −iφ è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìó ëàìè ch(−iφ) = cos φ, sh(−iφ) = −i sin φ. Ïîëó÷èì x′1 = x1 cos φ + x4 sin φ, x′4 = −x1 sin φ + x4 cos φ, (1.33) ãäå x1 = x, x4 = ict. Èíòåðâàë â ýòèõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä s2 12 = −(x1 2 − x1 1)2 − (x4 2 − x4 1)2 , (1.34) ò.å. áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî çíàêîì îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ r2 12 ìåæäó òî÷ êàìè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. 16 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 17. Íî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ââåäåíèå ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû ïðèâîäèò ëèøü ê ôîðìàëüíîìó ñõîäñòâó ñ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Ãëó áîêîå âíóòðåííåå ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ãåîìåòðèÿìè åâêëèäîâîé è ïñåâ äîåâêëèäîâîé ýòèì, ðàçóìååòñÿ, íå óñòðàíÿåòñÿ. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 3]. 1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû Ìåõàíèêó, óðàâíåíèÿ êîòîðîé êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà íèé Ëîðåíöà, íàçûâàþò ðåëÿòèâèñòñêîé. Ïðè åå ïîñòðîåíèè ïðåæäå âñåãî íóæíî îïèñàòü äâèæåíèå ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû. Ïðè ýòîì óäîá íî èñõîäèòü èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó ëþáàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò êîîð äèíàò, ñêîðîñòåé è âðåìåíè L(q, ˙q, t), ïðè÷åì äâèæåíèå ñèñòåìû ïîä÷èíåíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ. Ïóñòü â ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2 ñèñòåìà çàíèìàåò îïðåäåëåííûå ïîëîæåíèÿ, õàðàêòåðèçóåìûå íàáîðîì êîîðäèíàò q(1) è q(2) . Òîãäà ìåæäó ýòèìè ïîëîæåíèÿìè ñèñòåìà äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èíòåãðàë S = t2∫ t1 L(q, ˙q, t)dt (1.35) èìåë íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ôóíêöèÿ L(q, ˙q, t) íàçûâàåòñÿ ôóíê öèåé Ëàãðàíæà äàííîé ñèñòåìû, à èíòåãðàë S äåéñòâèåì. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî íà ôèçè÷åñêèõ òðàåêòîðèÿõ, δS = 0, èç ýòîãî óñëîâèÿ âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì äåéñòâèå ðåëÿòè âèñòñêîé ÷àñòèöû êàê èíòåãðàë ïî òðàåêòîðèè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàí ñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, ïî ìèðîâîé ëèíèè (òî÷êè ìèðîâîé ëèíèè îïðåäåëÿ þòñÿ êîîðäèíàòàìè ÷àñòèöû âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè): S = b∫ a dU.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè ïîòðåáóåì, ÷òîáû äåéñòâèå ñâî áîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû íå ìåíÿëîñü ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöè àëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé, ò.å. ÷òîáû S áûëî èíâàðèàíòíîé âåëè÷è íîé. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû åäèíñòâåííàÿ èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòå 17 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 18. ðèçóþùàÿ åå äâèæåíèå èç òî÷êè a â òî÷êó b, ýòî èíòåãðàë S = α b∫ a ds, (1.36) ãäå α èíâàðèàíòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èíâàðèàíòíîñòü áåñêîíå÷íî ìàëîãî èí òåðâàëà ds = √ c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 îáñóæäàëàñü âûøå. Ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà ds = cdt √ 1 − v2/c2, ïðèâåäåì (1.36) ê âèäó (1.35): S = t2∫ t1 αc √ 1 − v2/c2dt. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = αc √ 1 − v2/c2. (1.37) Çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé α îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ ïåðåõîäà (1.37) ïðè v ≪ c â êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå Lêë = mv2 2 . Ïðè ìàëûõ v/c èç (1.37) ïîëó÷àåì L ≈ αc − αv2 2c . Ïîñêîëüêó â êëàññè÷åñêîé ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïîñòîÿííóþ (â äàííîì ñëó÷àå αc) ìîæíî îïóñòèòü, òî α = −mc è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû åñòü L = −mc2 √ 1 − v2/c2. (1.38) Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 8]. 1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà Èç ëàãðàíæåâà ìåòîäà â ìåõàíèêå èçâåñòíî, ÷òî èìïóëüñ ÷àñòèöû âûðà æàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïî ôîðìóëå p = ∂L ∂v = ∇vL. 18 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 19. Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, íàõîäèì p = mv √ 1 − v2/c2 . (1.39) Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ v ≪ c èç (1.39) ïîëó÷àåòñÿ íåðåëÿòè âèñòñêîå âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà: p = mv. Èíîãäà ôîðìóëó (1.39) çàïèñûâàþò â âèäå, àíàëîãè÷íîì íåðåëÿòèâèñò ñêîìó, p = m′ v, ò.å. ââîäÿò ìàññó äâèæóùåãîñÿ òåëà m′ = m √ 1 − v2/c2 (1.40) â îòëè÷èå îò ìàññû ïîêîÿ m. Ñëåäóåò, îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî ìåæäó ñèëîé, ìàññîé m′ è óñêîðåíèåì íåò òîé ñâÿçè, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, åñòü ïðîèçâîäíàÿ îò èìïóëüñà ïî âðåìåíè. Ïóñòü ñêîðîñòü ÷àñòèöû èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî íà ïðàâëåíèþ, ò.å. ñèëà íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |v| ≡ v = const, íåòðóäíî íàéòè dp dt = m √ 1 − v2/c2 dv dt . Åñëè æå ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî âåëè÷èíå (v/v = const), ò.å. ñèëà íà ïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè, òî dp dt = d dt ( mv √ 1 − v2/c2 v v ) = m (1 − v2/c2)3/2 dv dt . Ìû âèäèì, ÷òî â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ îòíîøåíèå ñèëû ê óñêîðåíèþ ðàçëè÷íî. Ýíåðãèåé E ÷àñòèöû íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà E = v ∂L ∂v − L = vp − L. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ (1.38) è (1.39) äëÿ L è p, ïîëó÷èì E = mc2 √ 1 − v2/c2 . (1.41) Ýòà âàæíàÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõà íèêå ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íå îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè v = 0, à îñòàåòñÿ êîíå÷íîé âåëè÷èíîé, ðàâíîé mc2 . Åå íàçûâàþò ýíåðãèåé ïîêîÿ E0: E0 = mc2 . (1.42) 19 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 20. Ôîðìóëó (1.42) íàçûâàþò ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà. Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ (v ≪ c), ðàçëàãàÿ (1.41) ïî ñòåïåíÿì v/c, E ≈ mc2 + mv2 2 , (1.43) èìååì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû. Íàïîìíèì çäåñü, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå ýíåðãèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî è ïîñòîÿííóþ mc2 â (1.43) ìîæíî îïóñòèòü. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî õîòÿ âûøå ãîâîðèëîñü î ÷àñòèöå, åå ýëåìåíòàðíîñòü íè ãäå íå èñïîëüçîâàëàñü. Ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïðèìåíèìû ê ñëîæíî ìó òåëó, ñîñòîÿùåìó èç ìíîãèõ ÷àñòèö, ïðè÷åì ïîä m íàäî ïîíèìàòü ïîëíóþ ìàññó òåëà, à ïîä v ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ êàê öåëîãî.  ÷àñòíîñòè, ôîð ìóëà (1.42) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî ïîêîÿùåãîñÿ êàê öåëîå òåëà. Ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà ñîäåðæèò â ñåáå, ïîìèìî ýíåðãèé ïîêîÿ âõî äÿùèõ â íåãî ÷àñòèö, òàêæå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèö è ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì: mc2 = ∑ a mac2 + êèí. ýí. + ïîò. ýí. (1.44) Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ ïîêîÿ òåëà íå ðàâíà ñóììå ýíåðãèé ïîêîÿ åãî ÷àñòåé mc2 ̸= ∑ mac2 , (1.45) ïîýòîìó è ìàññà òåëà íå àääèòèâíà m ̸= ∑ a ma. (1.46) Òàêèì îáðàçîì, â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå íå èìååò ìåñòà çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû: ìàññà ñëîæíîãî òåëà íå ðàâíà ñóììå ìàññ åãî ÷àñòåé. Âìåñòî ýòîãî èìååò ìåñòî òîëüêî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, â êîòîðóþ âêëþ÷àåòñÿ òàêæå è ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÷àñòèö. Ðàçíîñòü ìåæäó ìàññîé ñâÿçàííîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (òåë) è ñóììîé èõ ìàññ â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè ∆m = ∑ ma − m íàçûâàåòñÿ äåôåêòîì ìàññû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå âåëè÷è íó èçìåíåíèÿ ìàññû ïîêîÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåâðàùåíèÿõ. Ïðè ñæèãàíèè îáû÷íîãî (õèìè÷åñêîãî) òîïëèâà â ðåàêöèè òèïà C + O2 = CO2 + Q 20 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 21. íà îäèí àêò âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ Q â ôîðìå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóëû CO2 èëè ôîòîíîâ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîíâîëüò. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàññà îáðàçîâàâøåéñÿ ìîëåêóëû CO2 ìåíüøå ñóììû ìàññ ìîëåêóë C è O2 íà âå ëè÷èíó ∆m = Q/c2 . Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ìîëåêóëû CO2 ñîñòàâëÿåò E0 = mc2 ≈ ≈ 4 · 109 ýÂ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ïîêîÿ ðàâíî ∆m/m ∼ 10−9 , ò.å. ýòà âåëè÷èíà ñîõðàíÿåòñÿ ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ. Ïî ýòîìó ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ñ íåðåëÿòèâèñòñêèìè ÷àñòèöà ìè (õèìè÷åñêèå ïðåâðàùåíèÿ, íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä è äð.), ñîõðàíåíèå ìàññû ó÷àñòâóþùèõ â íèõ ÷àñòèö ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷íûì çàêîíîì ïðèðîäû. Ïðè ÿäåðíûõ ðåàêöèÿõ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû çíà÷èòåëüíî áîëü øå. Íàïðèìåð, â ðåàêöèè òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà 2 H + 3 H = 4 He + n + Q ÿäðî ãåëèÿ 4 He (α-÷àñòèöà) è íåéòðîí ïîëó÷àþò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Q ≈ ≈ 17.6 ÌýÂ. Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ∆m/m = 3 · 10−3 .  ïðèðîäå ïðîèñõîäÿò è òàêèå ïðîöåññû, â êîòîðûõ ∆m/m äîñòèãàåò äå ñÿòêîâ ïðîöåíòîâ è äàæå ìîæåò áûòü ∆m/m = 1, ò.å. ÷àñòèöû ñ îòëè÷íîé îò íóëÿ ìàññîé ïîêîÿ ïðåâðàùàþòñÿ â áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ïðåâðàùåíèå ýëåêòðîííî-ïîçèòðîííûõ ïàð â ãàììà-êâàíòû e+ + e− → 2γ. Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ìàññà ïîêîÿ ÷àñòèö (à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàê ðîñêîïè÷åñêèõ òåë) íå ñîõðàíÿåòñÿ. Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ïðîöåññàõ òà èëè èíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè ïîêîÿ èñõîä íûõ ÷àñòèö ∆E0 = ∆mc2 ïðåâðàùàëàñü â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îáðàçîâàâ øèõñÿ ÷àñòèö (âêëþ÷àÿ ôîòîíû) è ÷åðåç íåå â äðóãèå âèäû ýíåðãèè. Ýòî ïîêàçûâàåò ôèçè÷åñêóþ ðåàëüíîñòü ýíåðãèè ïîêîÿ. Âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèÿì äëÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Èç (1.39), (1.41) èìååì E2 c2 = m2 c2 1 − v2/c2 , p2 = m2 v2 1 − v2/c2 . Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå ñîîòíîøåíèå E2 c2 = p2 + m2 c2 . (1.47) Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç èìïóëüñ, åñòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H, òî H = c √ p2 + m2c2. (1.48) 21 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 22. Ïðè íåðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè v ≪ c è H ≈ mc2 + p2 2m , (1.49) ò.å. ïîëó÷àåì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, èçâåñòíîå âûðàæåíèå íåðåëÿòèâèñò ñêîé ìåõàíèêè. Óêàæåì åùå îäíî ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ÷àñòèöû, êîòîðîå ëåãêî ïîëó÷èòü èç (1.39), (1.41): p = Ev c2 . (1.50) Èç (1.41) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé ïîêîÿ, m ̸= 0, ïðè ñòðåìëåíèè ñêîðîñòè ÷àñòèöû ê ñêîðîñòè ñâåòà v → c ýíåðãèÿ ÷àñòè öû âîçðàñòàåò äî áåñêîíå÷íîñòè: E → ∞. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò íåâîçìîæíîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ m ̸= 0 ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà (÷àñòèöå íåëüçÿ ñîîáùèòü áåñêîíå÷íóþ ýíåðãèþ). Åñëè æå ÷àñòèöà èìååò ñêî ðîñòü v = c, òî åå ìàññà ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (1.50) èìïóëüñ è ýíåðãèÿ òàêîé ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì p = E c , (1.51) è èç (1.47) ñëåäóåò, ÷òî m = 0. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 9]. 1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû Âðåìÿ è êîîðäèíàòû ñîáûòèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîîðäèíàòû òî÷ êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïåðåíóìåðóåì èõ âåðõíèìè èíäåêñàìè îò 0 äî 3: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z. (1.52) Ïî îïðåäåëåíèþ íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí xi (i = 0, 1, 2, 3) íàçûâàåòñÿ ÷å òûðåõìåðíûì ðàäèóñ-âåêòîðîì (èëè, ñîêðàùåííî, 4-ðàäèóñ-âåêòîðîì). Äëÿ 4-ðàäèóñ-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå xi = (ct, r). Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà êîìïîíåíòû 4-ðàäèóñ-âåêòîðà ïðåîáðàçóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.16): x′i = 3∑ i=0 αi kxk . (1.53) Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïî âñÿêîìó èíäåêñó, ïîâòîðÿþùåìóñÿ â äàí íîì âûðàæåíèè äâàæäû, ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå (ýòè èíäåêñû íàçûâà þò íåìûìè ), à çíàê ñóììû îïóñêàåòñÿ. Ïðè ýòîì â êàæäîé ïàðå îäèíàêîâûõ 22 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 23. èíäåêñîâ îäèí äîëæåí ñòîÿòü ââåðõó, à äðóãîé âíèçó.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðàâèëîì âìåñòî (1.53) ïèøåì x′i = αi kxk . (1.54) Ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ αi k íàéäåì, ñðàâíèâàÿ (1.54) ñ (1.16): αi k =         1 √ 1 − V 2/c2 − V/c √ 1 − V 2/c2 0 0 − V/c √ 1 − V 2/c2 1 √ 1 − V 2/c2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         . (1.55) Îïðåäåëèì òåïåðü ïðîèçâîëüíûé 4-âåêòîð êàê íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí Ai = (A0 , A1 , A2 , A3 ), êîòîðûå ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê êîìïîíåíòû 4-ðàäèóñ-âåêòîðà: A′i = αi kAk . (1.56) Äëÿ 4-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå Ai = (A0 , A). Êîìïîíåíòà A0 íàçûâàåòñÿ âðåìåííîé, êîìïîíåíòû A1 , A2 , A3 ïðîñòðàíñòâåííûìè. Çàïèøåì â ÷åòûðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ êâàäðàò èíòåðâàëà (1.21): s2 = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 . (1.57) Íàïîìíèì, ÷òî s2 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì (ò.å. íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçî âàíèè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò), ïîýòîìó èíâàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîìáèíàöèÿ êîìïîíåíò ëþáîãî 4-âåêòîðà (A0 )2 − (A1 )2 − (A2 )2 − (A3 )2 . (1.58) Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âûðàæåíèé òèïà (1.57), (1.58) ââîäÿò äâà ñîðòà êîì ïîíåíò 4-âåêòîðîâ êîíòðàâàðèàíòíûå è êîâàðèàíòíûå. Êîíòðàâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû (òå, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü âûøå) îáîçíà÷àþòñÿ âåðõíèìè èí äåêñàìè (Ai ), à êîâàðèàíòíûå íèæíèìè èíäåêñàìè (Ai). Ïðè ýòîì ïî îïðå äåëåíèþ A0 = A0 , A1,2,3 = −A1,2,3 . (1.59) Çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà äëÿ êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà: A′ i = αi k Ak. (1.60) 23 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 24. Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ αi k =         1 √ 1 − V 2/c2 V/c √ 1 − V 2/c2 0 0 V/c √ 1 − V 2/c2 1 √ 1 − V 2/c2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         . (1.61) Ñ ïîìîùüþ êî- è êîíòðàâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò s2 çàïèñûâàåòñÿ â âèäå s2 = xi xi = x0 x0 + x1 x1 + x2 x2 + x3 x3. (1.62) Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà. Êâàäðàò ïðîèçâîëüíîãî 4-âåêòîðà Ai åñòü Ai Ai = A0 A0 + A1 A1 + A2 A2 + A3 A3. (1.63) Àíàëîãè÷íî êâàäðàòó 4-âåêòîðà ñîñòàâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ðàçíûõ 4-âåêòîðîâ Ai = (A0 , A) è Bi = (B0 , B): Ai Bi = A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = A0 B0 − AB. (1.64) Èç ôîðìóë (1.59) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîðèçâåäåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê â âèäå Ai Bi, òàê è â âèäå AiBi , ðåçóëüòàò îò ýòîãî íå ìåíÿåòñÿ. Ñêàëÿð íîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî, íî îíî çà ðàíåå î÷åâèäíî (èç àíàëîãèè ñ êâàäðàòîì Ai Ai), ïîñêîëüêó âñå 4-âåêòîðû ïðåîáðàçóþòñÿ ïî îäèíàêîâîìó çàêîíó. Òåðìèí ¾ñêàëÿð¿ ÿâëÿåòñÿ ñèíîíè ìîì òåðìèíà ¾èíâàðèàíò¿ âåëè÷èíû, èìåþùåé îäíî è òî æå çíà÷åíèå âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, A′i A′ i = Ai Ai è ò.ä. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ìàòðèö ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. 1. Èç (1.55) è (1.61) ñëåäóåò ñèììåòðèÿ αi k = αk i, αi k = αk i . (1.65) 2. Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà äëÿ êîíòðàâàðè àíòíîãî âåêòîðà (1.56), çàïèøåì êàê Ai = (α−1 )i kA′k . (1.66) Íî èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé î÷åâèäíî, ÷òî α−1 (V ) = α(−V ) [ñì. (1.17), (1.16)], ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (1.55) è (1.61), èìååì (α−1 (V ))i k = (α(−V ))i k = α(V )i k , 24 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 25. èëè (α−1 )i k = αi k . (1.67) Òàêèì îáðàçîì, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà ñîâïàäàåò ñ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì äëÿ êîâàðèàíòíîãî âåêòîðà. 3. Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû (1.55), (1.61) èìåþò åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò det(αi k) = 1. (1.68) Ðàññìîòðèì, êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ýëåìåíò ÷åòûðåõìåðíîãî îáúåìà dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3 = cdtd˜V (1.69) ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà. Ýëåìåíò dΩ′ ñâÿçàí ñ dΩ ÷åðåç ÿêîáèàí ïðåîá ðàçîâàíèÿ (1.54) dΩ′ = ∂(x′0 , x′1 , x′2 , x′3 ) ∂(x0, x1, x2, x3) dΩ. Âû÷èñëÿÿ ÿêîáèàí ∂(x′0 , x′1 , x′2 , x′3 ) ∂(x0, x1, x2, x3) = ∂x′0 ∂x0 ∂x′0 ∂x1 ∂x′0 ∂x2 ∂x′0 ∂x3 ∂x′1 ∂x0 ∂x′1 ∂x1 ∂x′1 ∂x2 ∂x′1 ∂x3 ∂x′2 ∂x0 ∂x′2 ∂x1 ∂x′2 ∂x2 ∂x′2 ∂x3 ∂x′3 ∂x0 ∂x′3 ∂x1 ∂x′3 ∂x2 ∂x′3 ∂x3 = det(αi k) è ó÷èòûâàÿ (1.68), óáåæäàåìñÿ, ÷òî dΩ′ = dΩ. (1.70) Ïðèìåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: 4-òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà íàçûâàåòñÿ ñîâî êóïíîñòü 16 âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò äâóõ 4-âåêòîðîâ. Ìîæíî îïðå äåëèòü è 4-òåíçîð n-ãî ðàíãà êàê ñîâîêóïíîñòü 4n âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïðå îáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò n 4-âåê òîðîâ. Ïðè n = 0 ââåäåííàÿ òàê âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, ïðè n = 1 âåêòîðîì, ïðè n = 2 òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà, ïðè n = 3 òåíçîðîì 3-ãî ðàíãà è ò.ä. Âåðíåìñÿ ê òåíçîðó 2-ãî ðàíãà. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå êîìïîíåíò äâóõ âåêòîðîâ Ai è Bk ïðåîáðàçóþòñÿ êàê A′i B′k = αi mαk nAm Bn , (1.71) 25 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 26. òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, T′ik = αi mαk nTmn . (1.72) Òåíçîðû 2-ãî ðàíãà ìîãóò áûòü òðåõ âèäîâ: êîíòðàâàðèàíòíûå (Tik ), êîâàðè àíòíûå (Tik) è ñìåøàííûå (Ti k è Ti k ). Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, Ti k ̸= Ti k , ïîýòîìó íàäî ñëåäèòü çà òåì, êàêîé èíäåêñ ïåðâûé èëè âòîðîé ñòîèò ââåðõó, à êàêîé âíèçó.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì âîçìîæíû ñëåäóþùèå çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ 4-òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà: T′ik = αi mαk nTmn , T′ ik = αi m αk n Tmn, T′i k = αi mαk n Tm n, T′ i k = αi m αk nTm n . (1.73) Ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ ïî îáùåìó ïðà âèëó: ïîäíÿòèå èëè îïóñêàíèå âðåìåííîãî èíäåêñà (0) íå ìåíÿåò, à ïîäíÿòèå èëè îïóñêàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî èíäåêñà (1,2,3) ìåíÿåò çíàê êîìïîíåíòû. Òàê, T00 = T00 , T01 = −T01 , T11 = T11 , . . . , T0 0 = T00 , T0 1 = T01 , T0 1 = −T01 , T1 1 = −T11 , . . . Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî âî âñÿêîì òåíçîðíîì ðàâåíñòâå âûðàæåíèÿ ñ îáå èõ åãî ñòîðîí äîëæíû ñîäåðæàòü îäèíàêîâûå è îäèíàêîâî ðàñïîëîæåííûå (ââåðõó èëè âíèçó) ñâîáîäíûå, ò.å. íå íåìûå, èíäåêñû. Ñâîáîäíûå èíäåêñû â òåíçîðíûõ ðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåìåùàòü (ââåðõ èëè âíèç), íî îáÿçàòåëüíî îäíîâðåìåííî âî âñåõ ÷ëåíàõ óðàâíåíèÿ. Èç êîìïîíåíò òåíçîðà Aik ìîæíî ïîëó÷èòü ñêàëÿð ïóòåì îáðàçîâàíèÿ ñóììû Ai i = A0 0 + A1 1 + A2 2 + A3 3 (ïðè ýòîì, êîíå÷íî, Ai i = Ai i ). Òàêóþ ñóììó íàçûâàþò ñëåäîì òåíçîðà, à îá îïåðàöèè åãî îáðàçîâàíèÿ ãîâîðÿò êàê î ñâåðòûâàíèè èëè óïðîùåíèè òåíçîðà. Îïåðàöèåé ñâåðòûâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ è ðàññìîòðåííîå âûøå îáðàçîâàíèå ñêà ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ 4-âåêòîðîâ: ýòî åñòü îáðàçîâàíèå ñêàëÿðà Ai Bi èç òåíçîðà Ai Bk. Âîîáùå, âñÿêîå ñâåðòûâàíèå ïî ïàðå èíäåêñîâ ïîíèæàåò ðàíã òåíçîðà íà 2. Íàïðèìåð, Ai kli åñòü òåíçîð 2-ãî ðàíãà, Ai kBk 4-âåêòîð, Aik ik ñêàëÿð è ò.ä. Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð gik : gik =     1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1     . (1.74) 26 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 27. Ïðåîáðàçóÿ ýòîò òåíçîð ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû (1.61) ê äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå g′ ik = αi m αk n gmn, ïîëó÷èì g′ ik = gik (ïðîäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ!). Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð gik èí âàðèàíòíûé, åãî êîìïîíåíòû îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïîäíèìàÿ îäèí èíäåêñ ó gik ïî ïðàâèëó (1.59), ïîëó÷àåì åäèíè÷íûé òåíçîð δi k : gi k =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     ≡ δi k. (1.75) Ðàñïîëîæåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî èíäåêñîâ ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû, ðàçóìååò ñÿ, ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå δi k. Êîìïîíåíòû òåíçîðà δi k, êàê è êîìïîíåíòû gik, îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Åñëè ïîä íÿòü îáà èíäåêñà ó ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà, òî ïîëó÷èì gik = gik êîíòðàâà ðèàíòíûå êîìïîíåíòû ñîâïàäàþò ñ êîâàðèàíòíûìè. Ñ ïîìîùüþ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïðîèçâîäèòñÿ îïóñêàíèå è ïîäíÿòèå èíäåêñà ó ëþáîãî 4-âåêòîðà èëè 4-òåíçîðà: èç (1.59), (1.74) ñëåäóåò, ÷òî Ai = gikAk , Ai = gik Ak. Êâàäðàò èíòåðâàëà ìîæåò áûòü çàïèñàí ÷åðåç gik êàê s2 = gikxi xk , (1.76) à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê AiBi = gikAi Bk . (1.77) Ôîðìóëà (1.76) ïîÿñíÿåò, ïî÷åìó òåíçîð gik íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì: îí ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü èíâàðèàíòíîå ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â ÷åòûðåõìåðíîì ïñåâäîåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, óñòàíî âèòü ìåòðèêó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàðÿäó ñ òåíçîðàìè δi k, gik , gik, îäèíàêîâûå êîìïîíåíòû âî âñåõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò èìååò ñîâåðøåííî àíòèñèììåòðè÷íûé åäèíè÷íûé 4-òåíçîð ÷åòâåð òîãî ðàíãà eiklm . Îí îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì òðåõìåð íûì òåíçîðîì eαβγ äâóìÿ óñëîâèÿìè: 1) e0123 = 1; 2) eiklm ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ.  ðåçóëüòàòå îñòàþòñÿ îòëè÷íûìè îò íóëÿ (è ðàâíûìè ±1) òîëüêî òå êîìïîíåíòû, ó êîòîðûõ âñå 4 èíäåêñà ðàçëè÷íû; èõ ÷èñëî ðàâíî 4! = 24. 4-òåíçîð Tik...lm íàçûâàåòñÿ èñòèííûì, èëè ïðîñòî òåíçîðîì, åñëè ïðè èí âåðñèè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (ïðåîáðàçîâàíèå x′0 = x0 , x′α = −xα , 27 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 28. α = 1, 2, 3) îí ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå êîîðäèíàò xi xk . . . xl xm . Åñëè æå ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òåíçîð ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíûé ìíîæè òåëü −1, îí íàçûâàåòñÿ ïñåâäîòåíçîðîì.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì gik èñòèííûé òåíçîð, à eiklm ïñåâäîòåíçîð (ïðîâåðüòå!). Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 73]. 1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé Ðàññìîòðèì îïåðàòîðû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî êîíòðàâàðèàíòíûì êîì ïîíåíòàì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà ∂ ∂xi , i = 0, 1, 2, 3, è íàéäåì, êàê îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ïî ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ∂ ∂x′i = ∑ k ∂xk ∂x′i ∂ ∂xk . Âû÷èñëèì ∂xk ∂x′i . Ñ ýòîé öåëüþ çàïèøåì ïðàâèëî îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà (1.66) xk = (α−1 )k ix′i , òîãäà ∂xk ∂x′i = (α−1 )k i. Íî ïî ñâîéñòâàì (1.67), (1.65) (α−1 )k i = αk i = αi k , òàê ÷òî ∂ ∂x′i = αi k ∂ ∂xk . (1.78) Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ (1.60), âèäèì, ÷òî çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ (1.78) òàêîé æå, êàê ó êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò 4-âåêòîðà; ñëå äîâàòåëüíî, îïåðàòîð ∂/∂xi ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Åãî ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì ∇, à âðåìåííàÿ ïðåäñòàâëÿ åò ñîáîé ∂/∂x0 : ∂ ∂xi = ( 1 c ∂ ∂t , ∇ ) . (1.79) 28 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 29. Ñîîòâåòñòâåííî, ∂ ∂xi = ( 1 c ∂ ∂t , −∇ ) . (1.80) Òåïåðü ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 1. Åñëè φ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, òî ∂φ ∂xi êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü èç äðóãèõ ðàññóæäåíèé. Çàïèøåì äèôôåðåíöèàë φ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì: dφ = ∂φ ∂xi dxi . Èç âèäà ïðàâîé ÷àñòè (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4-âåêòîðîâ) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð ∂/∂xi ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð. 2. Ïðîèçâîäíàÿ ∂Ai ∂xk ñìåøàííûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à ïðîèçâîäíàÿ ∂Ai ∂xk∂xl ñìåøàííûé òåíçîð 3-ãî ðàíãà. 3. Ïðîèçâîäíàÿ ∂Ai ∂xi ÷åòûðåõìåðíàÿ äèâåðãåíöèÿ åñòü ñêàëÿðíàÿ (èí âàðèàíòíàÿ) âåëè÷èíà.  îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ ∂Ai ∂xi = 1 c ∂A0 ∂t + div A. (1.81) 4. ∂2 ∂xi∂xi ñêàëÿðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ çíàêîì îò îïåðàòî ðà Äàëàìáåðà: ∂2 ∂xi∂xi = 1 c2 ∂2 ∂t2 − ∇2 = − . (1.82) Îïåðàòîð Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðè ìåíåíèå åãî ê íåêîòîðîé âåëè÷èíå íå ìåíÿåò çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîé âåëè÷èíû: f ñêàëÿð, Ai êîâàðèàíòíûé âåêòîð è ò.ä. Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 74]. 1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ Ðàññìîòðèì ïðèìåðû 4-âåêòîðîâ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå è ýëåêòðîäèíàìèêå. 1. Íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí 4-ðàäèóñ-âåêòîð xi = (ct, r) ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì ïî îïðåäåëåíèþ. 29 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 30. 2. Èìåÿ 4-ðàäèóñ-âåêòîð, ââåäåì ÷åòûðåõìåðíóþ ñêîðîñòü (4-ñêîðîñòü). Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè äåëåíèè dxi íà dt áóäåò ïîëó÷åíà âåëè÷èíà dxi dt , êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì (ïîñêîëüêó dxi 4-âåêòîð, à dt íå ñêàëÿð). Âåëè÷è íó ñ íóæíûìè òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè è ðàçìåðíîñòüþ ñêîðîñòè ïîëó÷èì ïðè äåëåíèè dxi íà èíâàðèàíò ds/c = dτ, ãäå ds = √ c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = cdt √ 1 − v2/c2 åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé èíòåðâàë, dτ = dt √ 1 − v2/c2 ñîáñòâåííîå âðåìÿ. Ïðîèçâîäíóþ ui = dxi dτ = 1 √ 1 − v2/c2 dxi dt (1.83) íàçûâàþò ÷åòûðåõìåðíîé ñêîðîñòüþ. Çàïèøåì êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè ÷åðåç òðåõìåðíóþ ñêîðîñòü ui = ( c √ 1 − v2/c2 , v √ 1 − v2/c2 ) . (1.84) Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì ui ui = c2 . (1.85) Êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè â ñèñòåìå K′ ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç êîìïîíåí òû â ñèñòåìå K ïî îáùåìó ïðàâèëó u′i = αi kuk . Íà ïðàêòèêå óäîáíî íå âû÷èñëÿòü u′i ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ αi k (1.55), à çàìåíèòü â ôîðìóëàõ (1.17) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà t → 1 √ 1 − v2/c2 , r → v √ 1 − v2/c2 . Òðàíñôîðìàöèîííûå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò 4-ñêîðîñòè îïðåäåëÿþò, î÷å âèäíî, ðåëÿòèâèñòñêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíò òðåõìåðíîé ñêîðîñòè ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ, ò.å. ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü (ïðîâåðüòå!) çàêîí ñëîæå íèÿ ñêîðîñòåé (1.24). 3. Óìíîæèâ 4-ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà åå ìàññó, ïîëó÷èì 4-âåêòîð, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõìåðíûì èìïóëüñîì: pi = mui , (1.86) 30 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 31. èëè â ðàçâåðíóòîé çàïèñè pi = ( mc √ 1 − v2/c2 , mv √ 1 − v2/c2 ) . (1.87) Ïîñêîëüêó mc2 √ 1 − v2/c2 = E, mv √ 1 − v2/c2 = p, òî ÷åòûðåõìåðíûé èìïóëüñ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå pi = ( E c , p ) . (1.88) Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ (äåëåííàÿ íà c) è òðåõìåðíûé èìïóëüñ îáðàçóþò ÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ 4-èìïóëüñîì. Ýòîò íåòðèâèàëüíûé ôàêò ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü, îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà 4-âåêòîðîâ, ðÿä ñîîòíîøåíèé, â êîòîðûå âõîäÿò ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ÷àñòè öû. Íàïðèìåð, âû÷èñëÿÿ êâàäðàò 4-èìïóëüñà è èñïîëüçóÿ äëÿ pi ôîðìóëó (1.88), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (1.47) E2 c2 − p2 = m2 c2 . (1.89) Èñïîëüçóÿ òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà 4-âåêòîðîâ, ìîæíî íàéòè çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû ê äðóãîé. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì â ( 1.17) t → E/c2 , r → p, ÷òî ïðèâîäèò ê E c2 = E′ c2 + V c2 p′ x √ 1 − V 2/c2 , px = p′ x + V E′ c2 √ 1 − V 2/c2 , py = p′ y, pz = p′ z. (1.90) Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ÷àñòèöû (v ≪ c) è ñèñòåìû K′ (V ≪ c), ÷òî îçíà÷à åò òàêæå v′ ≪ c, ôîðìóëû (1.90) ïåðåõîäÿò â èçâåñòíûå íåðåëÿòèâèñòñêèå ôîðìóëû. Çàïèñàâ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà E ≈ mc2 + mv2 2 , E′ ≈ mc2 + mv′2 2 è ó÷èòûâàÿ â (1.90) òîëüêî ãëàâíûå ïî v/c ÷ëåíû, ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêèå çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ èìïóëüñà pêë = p′ êë + mV 31 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 32. è ýíåðãèè (òåîðåìó Êåíèãà) mv2 2 = mv′2 2 + p′ xV + mV 2 2 . 4. ×åòûðåõìåðíûì óñêîðåíèåì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ 4-ñêîðîñòè ïî ñîá ñòâåííîìó âðåìåíè wi = dui dτ . (1.91) Äèôôåðåíöèðóÿ ïî τ êâàäðàò 4-ñêîðîñòè ui ui = c2 d dτ (ui ui) = 2ui wi = 0, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ÷åòûðåõìåðíûå ñêîðîñòü è óñêîðåíèå îðòîãî íàëüíû äðóã äðóãó. 5. ×åòûðåõìåðíîé ñèëîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà gi = dpi dτ . (1.92) ×òîáû âûðàçèòü êîìïîíåíòû gi ÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû, èñïîëüçóåì ðà âåíñòâî dpi dτ = dpi dt dt dτ = 1 √ 1 − v2/c2 dpi dt . Íî, íàïðèìåð, dp1 dt = dpx dt = Fx, òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òðåõìåðíóþ ñèëó dp/dt = F. Âðåìåííàÿ êîìïîíåíòà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ îò ýíåð ãèè ïî âðåìåíè: dp0 dt = 1 c dE dt . ×òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòó âåëè÷èíó, ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ñîîòíî øåíèå (1.89): E c2 dE dt = p dp dt . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p = Ev c2 , íàõîäèì dE dt = Fv. (1.93) Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå èçìåíåíèå ýíåðãèè ÷åðåç ðàáîòó ñèëû (îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî îíî íå ñîäåðæèò c), ñïðàâåäëèâî è â íüþòîíîâñêîé 32 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 33. ìåõàíèêå. Òåïåðü èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòûðåõìåðíîé ñèëû â çàïèñè ÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû: gi = ( Fv c √ 1 − v2/c2 , F √ 1 − v2/c2 ) . (1.94) Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 4], [3, Ÿ 7], [4, Ÿ 77]. 1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà Íàéäåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåõìåðíîé ñèëû F ïðè ïå ðåõîäå ê äðóãîé ÈÑÎ, îïèðàÿñü íà òî, ÷òî êîìïîíåíòû gi îáðàçóþò 4-âåêòîð. Ïîñêîëüêó g1,2,3 ïðåîáðàçóþòñÿ êàê x, y, z ñîîòâåòñòâåííî, ìîæåì çàïèñàòü: Fx √ 1 − v2/c2 = F′ x√ 1−v′2/c2 + V c F′ v′ c √ 1−v′2/c2 √ 1 − V 2/c2 , Fy,z √ 1 − v2/c2 = F′ y,z √ 1 − v′2/c2 . Ïðåîáðàçóåì ýòè ôîðìóëû. Èñïîëüçóåì ñíà÷àëà òðàíñôîðìàöèîííîå ïðàâè ëî äëÿ êîìïîíåíò ui : vy √ 1 − v2/c2 = v′ y √ 1 − v′2/c2 . Îòñþäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.24), èìååì √ 1 − v2/c2 √ 1 − v′2/c2 = vy v′ y = √ 1 − V 2/c2 1 + v′ xV c2 . (1.95) Ñîáèðàÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àåì Fx = F′ x + (F′ v′ )V c2 1 + v′ xV c2 , Fy,z = F′ y,z √ 1 − V 2/c2 1 + v′ xV c2 . (1.96) Çàêîí (1.96) ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò ñèëû ïîçâîëÿåò ïðîäåìîíñòðèðî âàòü ðåëÿòèâèñòñêóþ ïðèðîäó ñèëû Ëîðåíöà. Ðàñêðîåì ñêîáêè â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè â (1.96) Fx = F′ x + v′ y 1 + v′ xV c2 F′ y V c2 + v′ z 1 + v′ xV c2 F′ z V c2 . Âûðàçèì ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç êîìïîíåíòû ñêîðîñòè v, à íå v′ . Ïîñêîëüêó èç (1.95) ñëåäóåò ðàâåíñòâî v′ y,z 1 + v′ xV c2 = vy,z √ 1 − V 2/c2 , 33 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  • 34. òî äëÿ Fx ïîëó÷àåì Fx = F′ x + vy c F′ yV/c √ 1 − V 2/c2 + vz c F′ zV/c √ 1 − V 2/c2 . (1.97) ×òîáû âûðàçèòü ÷åðåç íåøòðèõîâàííóþ ñêîðîñòü êîìïîíåíòû Fy,z, èñ ïîëüçóåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.24). Ïðåîáðàçóÿ çíà ìåíàòåëü â (1.96) 1 + v′ xV c2 = 1 + vx − V 1 − vxV c2 V c2 = 1 − V 2 /c2 1 − vxV c2 , ïðèâîäèì Fy,z ê âèäó Fy,z = F′ y,z √ 1 − V 2/c2 − vx c F′ y,z V c √ 1 − V 2/c2 . (1.98) Ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.97), (1.98) ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíîì âèäå (ïðîâåðüòå!): F = Φ + 1 c [vG], (1.99) Φ = (F′ x, F′ y √ 1 − V 2/c2 , F′ z √ 1 − V 2/c2 ), G = (0, −V c F′ z √ 1 − V 2/c2 , V c F′ y √ 1 − V 2/c2 ). (1.100) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñèñòåìå K′ ñèëà F′ íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1.99), (1.100) â ñèñòåìå K âîçíèêàåò çàâèñèìîñòü ñèëû îò ñêîðîñòè, ïðè÷åì ÷àñòü ñèëû, çàâèñÿùàÿ îò ñêîðîñòè v, ïåðïåíäèêóëÿðíà v. Óêàçàííûé ýôôåêò ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì è èñ÷åçàåò ïðè v/c → 0. Ïðèìåíèì ýòîò ðåçóëüòàò ÑÒÎ ê ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïóñòü â ñèñòåìå K′ íà çàðÿä e äåéñòâóåò òîëüêî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ñèëà F′ = eE′ . Ñèëà, äåéñòâóþ ùàÿ íà çàðÿä â ñèñòåìå K, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îí äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v, äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.99). Âûäåëèâ â Φ è G ìíîæèòåëü e, êîòîðîìó, î÷å âèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëà F, Φ = eE, G = eB, ïîëó÷èì ñèëó Ëîðåíöà: F = eE + e c [vB]. Ïðè ýòîì èç (1.100) âèäíî, ÷òî íàïðÿæåííîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó E = (E′ x, E′ y √ 1 − V 2/c2 , E′ z √ 1 − V 2/c2 ), B = (0, −V c E′ z √ 1 − V 2/c2 , V c E′ y √ 1 − V 2/c2 ) 34 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»