More Related Content
More from Иван Иванов (20)
лекции по электродинамике. часть 2. специальная теория относительности и электромагнитные явления
- 1. ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔ
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ
ÁÞÄÆÅÒÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ
ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
¾ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
Ñ. È. Ìàðìî,
Ì. Â. Ôðîëîâ
ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÅ
×àñòü II
Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè
è ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ
Âîðîíåæ
Èçäàòåëüñêèé äîì ÂÃÓ
2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 2. Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà
25 íîÿáðÿ 2013 ã., ïðîòîêîë 11
Ðåöåíçåíò ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À. Â. Ìåðåìüÿíèí
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêî
ãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà äíåâíîãî îòäåëåíèÿ ôèçè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà.
Äëÿ íàïðàâëåíèÿ 011200 Ôèçèêà, ñïåöèàëüíîñòè 010701 Ôèçèêà
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 3. Ñîäåðæàíèå
1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 4
1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è ïðèíöèï
îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè . . . . . . . . 7
1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . 12
1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà . . . . . . . . 15
1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ÷à
ñòèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Ôîðìóëà
Ýéíøòåéíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé . . . . . . . 28
1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà . . . . . . . . . . . . . 33
2. Ýëåêòðîäèíàìèêà â ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîçíà÷åíèÿõ 35
2.1. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð òîêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. ×åòûðåõìåðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . 36
2.3. Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ
ïîëÿ. Èíâàðèàíòû ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Ýôôåêò Äîïëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . . . . . 43
2.6. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . . 45
2.7. Ôóíêöèè Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà çàðÿäà â ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàðÿäà â êîâàðèàíòíîé ôîðìå . . . . . . 52
2.9. Âûâîä óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî
äåéñòâèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ëèòåðàòóðà 58
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 4. 1. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà è ìåõàíèêà
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
1.1. Ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà
è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè
Ñîçäàííàÿ âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ìàêñâåëëîâñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îáúÿñíèâ ñ åäèíûõ ïîçèöèé âñå (íåêâàíòîâûå) ýëåêòðîìàã
íèòíûå ÿâëåíèÿ, âîøëà â ïðîòèâîðå÷èå ñ äðóãîé ôóíäàìåíòàëüíîé ôèçè÷å
ñêîé òåîðèåé êëàññè÷åñêîé (íüþòîíîâñêîé) ìåõàíèêîé. Ðàçðåøåíèå ýòîãî
ïðîòèâîðå÷èÿ ïðèâåëî ê êîðåííîìó ïåðåñìîòðó èìåâøèõñÿ â ôèçèêå ïðåä
ñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è ñîçäàíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñè
òåëüíîñòè (ÑÒÎ).
Ñî âðåìåí Ãàëèëåÿ è Íüþòîíà â ìåõàíèêå ñóùåñòâîâàëî ïðåäñòàâëåíèå î
ïîëíîì ðàâíîïðàâèè âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà 1
(ÈÑÎ), ÷òî íàøëî
âûðàæåíèå â ïðèíöèïå îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó
ëþáîå ìåõàíè÷åñêîå ÿâëåíèå ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêà
åò îäèíàêîâûì îáðàçîì âî âñåõ ÈÑÎ. Ìàòåìàòè÷åñêè ïðèíöèï îòíîñèòåëüíî
ñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí êàê ñîõðàíåíèå âèäà
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ. Ðàññìîòðèì äâå èíåðöè
àëüíûå ñèñòåìû K è K′
. Ïóñòü K′
äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ
V, ïðè÷åì â ìîìåíò t = 0 íà÷àëà êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ñîâïàäàëè. Òîãäà
êîîðäèíàòû r′
= (x′
, y′
, z′
) è âðåìÿ t′
â ñèñòåìå K′
ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè
r = (x, y, z) è âðåìåíåì t â ñèñòåìå K ñîîòíîøåíèÿìè
r′
= r − Vt, t′
= t, (1.1)
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ. Òî åñòü, åñëè â ñèñòåìå K
â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå r ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå 2
, òî â ñèñòåìå
K′
ýòî ñîáûòèå ïðîèçîøëî â òî÷êå r′
= r − Vt â ìîìåíò âðåìåíè t′
= t
(îòñ÷èòàííûé ïî ÷àñàì â ñèñòåìå K′
, ñèíõðîíèçîâàííûì ñ ÷àñàìè â K). Îá
ðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âðåìÿ íå ïðåîáðàçóåòñÿ âî âñåõ ÈÑÎ âðåìÿ îäíî è
òî æå, îíî èìååò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.1)
ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé
v′
= v − V, (1.2)
ãäå v = dr/dt è v′
= dr′
/dt′
ñêîðîñòè òî÷êè â ñèñòåìàõ K è K′
ñîîòâåò
ñòâåííî.
Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìîé îòñ÷åòà (íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíîé) íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü ñèñòåìû
êîîðäèíàò è ÷àñîâ (â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ), æåñòêî ñêðåïëåííûõ ñ òåëîì
îòñ÷åòà.
Ïîä ñîáûòèåì (ãîâîðÿò òàêæå î òî÷å÷íîì ñîáûòèè) ïîíèìàåòñÿ íåêîòîðîå ÿâëåíèå, êîòîðîå õàðàêòå
ðèçóåòñÿ ìåñòîì, ãäå îíî ïðîèçîøëî, è âðåìåíåì, êîãäà îíî ïðîèçîøëî.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 5. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé m â ñèñòåìå K:
m
d2
r
dt2
= F. (1.3)
Èç ôîðìóë (1.1) ñëåäóåò:
d2
r′
dt′2 =
d2
r
dt2
óñêîðåíèå ÷àñòèöû â äâóõ èíåðöè
àëüíûõ ñèñòåìàõ îäíî è òî æå. Êðîìå òîãî, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìàñ
ñà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, îäèíàêîâîé âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà:
m′
= m. Òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò ñèëà: F′
= F.
Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ïîñëåäíåì óòâåðæäåíèè. Â èíåðöèàëüíûõ ñè
ñòåìàõ ñóùåñòâóþò òîëüêî ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè, êîòîðûå ìî
ãóò çàâèñåòü îò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ òåë è èõ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòèöà âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðó
ãîé ÷àñòèöåé. Åñëè îáîçíà÷èòü ðàäèóñ-âåêòîð ïîñëåäíåé ÷åðåç ˜r, à ñêîðîñòü
÷åðåç ˜v, òî ñèëà áóäåò çàâèñåòü îò ðàçíîñòåé r − ˜r, v − ˜v :
F = F(r − ˜r, v − ˜v). (1.4)
Íî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì
Ãàëèëåÿ (1.1) è çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2)
r − ˜r = r′
− ˜r′
, v − ˜v = v′
− ˜v′
,
ò.å. ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè è èõ îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè íå èçìåíÿ
þòñÿ. Ñîãëàñíî îïûòíûì äàííûì â îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ìå
õàíèêè, è ñàìî âçàèìîäåéñòâèå íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå îíî ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ïîýòîìó
F′
(r′
− ˜r′
, v′
− ˜v′
) = F(r − ˜r, v − ˜v), (1.5)
ò.å. ñàìè ôóíêöèè F è èõ àðãóìåíòû îäèíàêîâû.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå â ñèñòåìó K′
óðàâíåíèå (1.3) ñîõðàíÿåò ñâîþ
ôîðìó 3
:
m′ d2
r′
dt′2
= F′
, (1.6)
ïðè÷åì ìàññà, ñèëà è óñêîðåíèå â îáåèõ ñèñòåìàõ îäèíàêîâû, ìåíÿþòñÿ ëèøü
îáîçíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.3) îñòà
åòñÿ èíâàðèàíòíûì (íåèçìåííûì) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ. Íî
!
Åñëè ïðè íåêîòîðîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò óðàâíåíèå íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà, åãî ïðèíÿòî íà
çûâàòü êîâàðèàíòíûì. Åñëè æå åùå îêàæåòñÿ, ÷òî âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (nr) = a
òîëüêî êîâàðèàíòíî, à óðàâíåíèå ñôåðû r2
= a2
åùå è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âðàùåíèÿ. Ïðèíöèï îò
íîñèòåëüíîñòè òðåáóåò òîëüêî êîâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé, îñóùåñòâëÿþùèõ ïåðåõîä
îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 6. òîãäà è ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1.3) è (1.6) ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
áóäóò òîæäåñòâåííû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè.
 ôîðìóëàõ (1.4), (1.5) îòðàæåíî ïðåäñòàâëåíèå î âçàèìîäåéñòâèè òåë,
êîòîðîå ïðåäïîëàãàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ñèëà çàâè
ñèò îò êîîðäèíàò (è, âîçìîæíî, ñêîðîñòåé) âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè÷åì
êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè áåðóòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî îçíà÷à
åò, ÷òî, åñëè ïîëîæåíèå îäíîãî èç òåë èçìåíèëîñü, âòîðîå òåëî ïî÷óâñòâóåò
ýòî èçìåíåíèå íåìåäëåííî. Âçàèìîäåéñòâèå ïåðåäàåòñÿ ìãíîâåííî, ò.å. ñ áåñ
êîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòüþ.
Ïðåäñòàâëåíèå î áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé
(èíîãäà ãîâîðÿò î ðàñïðîñòðàíåíèè ¾ñèãíàëîâ¿) òåñíî ñâÿçàíî ñ àáñîëþòíûì
õàðàêòåðîì âðåìåíè: ñèãíàë, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ
èç òî÷êè, ãäå ïðîèçîøëî ñîáûòèå, â òîò æå ìîìåíò ïðèõîäèò âî âñå òî÷êè
ïðîñòðàíñòâà, â òîì ÷èñëå ê ÷àñàì êàæäîé èç ÈÑÎ, êîòîðûå çàðåãèñòðèðóþò
îäèíàêîâîå âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ t′
= t′′
= · · · = t.
Ñ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðîäèíàìèêè áûëî åñòåñòâåííûì ïðåäïîëîæèòü,
÷òî ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ñïðàâåäëèâ è äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ÿâëåíèé.
Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà íå ñîõðàíÿþò ñâîåé ôîðìû
ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ãàëèëåÿ (1.1). Íåñîâìåñòèìîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåë
ëà è ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ñëåäóåò óæå èç òîãî,
÷òî òåîðèÿ Ìàêñâåëëà äàåò êîíå÷íóþ âåëè÷èíó c äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíå
íèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå. Íî âñå ÈÑÎ, î÷åâèäíî, ðàâíîïðàâíû
ïî îòíîøåíèþ ê âàêóóìó (â ÷àñòíîñòè, âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ìàòåðèàëüíîé
ñðåäû â âàêóóìå ñ íèì íåëüçÿ ñâÿçàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé áû îí ïî
êîèëñÿ). Îòñþäà ëîãè÷åñêè ñëåäóåò ïðè äîïóùåíèè ïîëíîãî ðàâíîïðàâèÿ
âñåõ èíåðöèàëüíûõ íàáëþäàòåëåé, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå äîëæíà
ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå c âî âñåõ ÈÑÎ. Íî, ñîãëàñíî êëàññè÷å
ñêîé ìåõàíèêå, ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ñêîðîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ
ïî ôîðìóëå (1.2).
Âîçíèêøåå ïðîòèâîðå÷èå òðåáîâàëî ñäåëàòü âûáîð ìåæäó òðåìÿ âîçìîæ
íîñòÿìè:
1) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì â ìåõàíèêå è íå ïðèìåíèì â ýëåê
òðîäèíàìèêå;
2) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè
êå; ïðè ýòîì ýëåêòðîäèíàìèêà â ôîðìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà íåâåðíà;
3) ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ïðèìåíèì è â ìåõàíèêå, è â ýëåêòðîäèíàìè
êå; çàêîíû ìåõàíèêè â íüþòîíîâñêîé ôîðìå (à òàêæå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîð
äèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) òðåáóþò èçìåíåíèÿ.
Íåêîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîá
ðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ âûãëÿäåëà åñòåñòâåííîé ñ ïîçèöèé ¾ýôèðíûõ¿ òåîðèé,
ââîäèâøèõ ïðåäñòàâëåíèå îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ýôèðå è ðàññìàòðèâàâøèõ
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 7. ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê îñîáîãî ðîäà íàòÿæåíèÿ â íåì (ïî àíàëîãèè ñ íà
òÿæåíèÿìè â óïðóãîé ñðåäå).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äîëæíû
áûòü ñïðàâåäëèâûìè â åäèíñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ ýôèðîì.
Âî âñÿêîé äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýôèð áóäåò äâèãàòüñÿ, ïîýòîìó óðàâíåíèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äîëæíû ñîäåðæàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíî ýôèðà. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëå
íèå îá ýôèðå îêàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòèìûì ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãà
ëèëåÿ. Îäíàêî ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîïûòêè îáíàðóæåíèÿ
ýôèðà (ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå èçâåñòíû îïûò Ìàéêåëüñîíà ïî îáíàðóæå
íèþ ¾ýôèðíîãî âåòðà¿ è îïûò Ôèçî ïî îáíàðóæåíèþ óâëå÷åíèÿ ýôèðà äâè
æóùèìèñÿ òåëàìè) ïîêàçàëè íåóñòðàíèìûå ïðîòèâîðå÷èÿ â ãèïîòåçå ýôèðà è
ïðèâåëè ê îòêàçó îò íåå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå åñòü ñàìîñòîÿòåëüíûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò, íå íóæäàþùèéñÿ â ñïåöèàëü
íîì íîñèòåëå.
Ïîïûòêè èçìåíèòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ êîâàðèàíòíû
ìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ, ïðèâåëè ê òîìó, ÷òî íîâûå óðàâ
íåíèÿ ïðîòèâîðå÷èëè îïûòó.
Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûì îêàçàëñÿ òðåòèé ïóòü: äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ïðèí
öèïà îòíîñèòåëüíîñòè è ýëåêòðîäèíàìèêè ïîòðåáîâàëîñü ïåðåñìîòðåòü èìåâ
øèåñÿ â ôèçèêå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè è çàìåíèòü ïðåîá
ðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [5, Ÿ 1.11.4,
1.71.9].
1.2. Ïðèíöèïû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
 îñíîâó íîâîé òåîðèè áûëè ïîëîæåíû äâà ïîñòóëàòà, êîòîðûå ìîãóò
áûòü ñôîðìóëèðîâàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1. Âñå çàêîíû ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ (à íå òîëüêî çàêîíû ìå
õàíèêè, êàê óòâåðæäàë ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ).
2. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëþáûõ âçàèìîäåéñòâèé êîíå÷íà (íàïîìíèì,
÷òî â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ñ÷è
òàëàñü áåñêîíå÷íîé); ìàêñèìàëüíàÿ (ïðåäåëüíàÿ) ñêîðîñòü ïåðåäà÷è âçàèìî
äåéñòâèé (ñèãíàëîâ) ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â âàêóóìå.
Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ äâóõ ïîñòóëàòîâ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëü
íîñòè Ýéíøòåéíà. Èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè ñëåäóåò, î÷åâèäíî, ÷òî
ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ. Ýòî çíà
÷èò, ÷òî â ïðèðîäå ñóùåñòâóåò ñêîðîñòü, êîòîðàÿ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå
îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãà
ëèëåÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê êëàññè÷åñêîìó çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.2),
îøèáî÷íû.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 8. Íàðÿäó ñ ïîñòóëàòàìè ÑÒÎ ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.  íüþòîíîâñêîé ìåõà
íèêå ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ ïîëàãàëàñü áåñêîíå÷íîé, ïîýòîìó
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà áûëî äîñòàòî÷íî îäíèõ ÷àñîâ.  ÑÒÎ ó÷è
òûâàåòñÿ êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëîâ, ïîýòîìó îäíèìè
÷àñàìè â ñèñòåìå îòñ÷åòà îãðàíè÷èòüñÿ íåëüçÿ.  ÑÒÎ ïðåäïîëàãàþò, ÷òî
â ëþáîé òî÷êå, ãäå îïðåäåëÿåòñÿ âðåìÿ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ, â ïðèíöèïå
äîëæíû áûòü ÷àñû.  ïðåäåëàõ îäíîé ÈÑÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ åäèíîå âðåìÿ
ñ ïîìîùüþ ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ. Ýéíøòåéíîì áûëî ïðåäëîæåíî ïðîâîäèòü
ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ñ ïîìîùüþ ñâåòîâûõ ñèãíàëîâ. Èç òî÷êè A â ìîìåíò
âðåìåíè t1 èñïóñêàåòñÿ êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèãíàë. Óñòàíîâèâ íà ÷àñàõ â òî÷êå
B â ìîìåíò ïðèõîäà ñâåòîâîãî ñèãíàëà âðåìÿ t = t1 +rAB/c (rAB èçâåñòíîå
ðàññòîÿíèå ìåæäó A è B), ñèíõðîíèçèðóåì ÷àñû â B ñ îïîðíûìè ÷àñàìè â A.
Ýéíøòåéíîâñêàÿ ïðîöåäóðà ñèíõðîíèçàöèè òàêîâà, ÷òî ìîæåò áûòü ïðîâåäå
íà â ëþáîé ÈÑÎ. Èòàê, â ðåëÿòèâèñòñêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà âõîäÿò ñèñòåìà
êîîðäèíàò è íàáîð çàêðåïëåííûõ â ýòîé ñèñòåìå ñèíõðîíèçèðîâàííûõ ÷àñîâ.
Ïðèíöèïû ÑÒÎ òðåáóþò îòêàçà îò êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé îá àá
ñîëþòíîì õàðàêòåðå âðåìåíè. Èõ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëü
íîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ìåæäó ñîáûòèÿìè: óòâåðæäåíèå, ÷òî ìåæäó äâó
ìÿ äàííûìè ñîáûòèÿìè ïðîøåë îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïðèîá
ðåòàåò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà óêàçàíî, ê êàêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýòî óòâåð
æäåíèå îòíîñèòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ñîáûòèÿ, îäíîâðåìåííûå â îäíîé ÈÑÎ, áóäóò
íå îäíîâðåìåííûìè â äðóãîé ñèñòåìå.
Äëÿ óÿñíåíèÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü ïîåçä (ñèñòåìà
K′
) äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ïëàòôîðìû (ñèñòåìà K). Â
íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè èç ñåðåäèíû ïîåçäà (òî÷êà A) â åãî íà÷àëî (òî÷êà
C) è êîíåö (òî÷êà B) îòïðàâëÿþòñÿ ñâåòîâûå ñèãíàëû. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà â ñèñòåìå K′
, êàê è âî âñÿêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòå
ìå, ðàâíà c (â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ), òî ñèãíàëû äîñòèãíóò ðàâíîóäàëåííûõ îò
A òî÷åê B è C â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè (â ñèñòåìå K′
). Îäíàêî òå æå
ñàìûå äâà ñîáûòèÿ (ïðèõîä ñèãíàëà â B è C) áóäóò íå îäíîâðåìåííûìè äëÿ
íàáëþäàòåëÿ â ñèñòåìå K. Äåéñòâèòåëüíî, ñêîðîñòü ñèãíàëîâ îòíîñèòåëüíî
K ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè ðàâíà òîìó æå c, è ïîñêîëüêó òî÷êà
B äâèæåòñÿ (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K) íàâñòðå÷ó ïîñëàííîìó â íåå ñèãíàëó,
à òî÷êà C ïî íàïðàâëåíèþ îò ñèãíàëà (ïîñëàííîãî èç A â C), òî â ñèñòåìå
K ñèãíàë ïðèäåò â òî÷êó B ðàíüøå, ÷åì â òî÷êó C.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [2, ãë. 11, Ÿ 1], [3, Ÿ 1], [4, Ÿ 65,66],
[5, ãë. 2, Ÿ 2.12.3].
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 9. 1.3. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Êàê îòìå÷åíî âûøå, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ íå óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâà
íèÿì òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ïîýòîìó îíè äîëæíû áûòü ìîäèôèöèðîâàíû.
Ðåëÿòèâèñòñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå
èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ ìîæíî óñòàíîâèòü èñõîäÿ
èç ïðèíöèïîâ òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ïîñòîÿíñòâà ñêîðîñòè ñâåòà âî âñåõ
ÈÑÎ), à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðî
ñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè (ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáëàäàþò ýòèìè
ñâîéñòâàìè ïî ïðåäñòàâëåíèÿì êàê êëàññè÷åñêîé, òàê è ðåëÿòèâèñòñêîé ôè
çèêè). Îñíîâûâàÿñü íà ýòèõ ïîëîæåíèÿõ, áóäåì ôîðìóëèðîâàòü ìàòåìàòè÷å
ñêèå òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé,
è íà êàæäîì ýòàïå èñêàòü ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà èñêîìûå ôîðìó
ëû, ïîêà ïîëíîñòüþ íå îïðåäåëèì èõ âèä.
1. Èç îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè âûòåêàåò, ÷òî ñâÿçü ìåæäó
êîîðäèíàòàìè ñîáûòèÿ â äâóõ ÈÑÎ äîëæíà áûòü ëèíåéíîé:
x′
= αx + α′
y + β′
z + βt + ρ è ò.ä., (1.7)
ãäå α, β, α′
, . . . ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Åñëè áû ýòè âåëè÷èíû áû
ëè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ñâÿçü ìåæäó øòðèõîâàííûìè è
íåøòðèõîâàííûìè âåëè÷èíàìè áûëà íåëèíåéíîé), ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî çà
êîí ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.7) íåîäèíàêîâ äëÿ ðàçíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà è äëÿ
ðàçíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Ýòî ïðîòèâîðå÷èëî áû îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàí
ñòâà-âðåìåíè ïî çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî áûëî áû îòëè÷àòü îäíè
îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (è ìîìåíòû âðåìåíè) îò äðóãèõ. Íî êîýôôèöèåíòû
α, β è ò.ï. ìîãóò çàâèñåòü, ðàçóìååòñÿ, îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
2. Êîíêðåòèçèðóåì òåïåðü ðàññìàòðèâàåìûå ñèñòåìû (ðèñ. 1). Ïóñòü ñî
îòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò â íèõ ïàðàëëåëüíû è îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå
ïðîèñõîäèò âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ V , à íà÷àëà îòñ÷åòà âûáðàíû òàê, ÷òî
ïðè t = 0 òî÷êà x′
= y′
= z′
= 0 (íà÷àëî êîîðäèíàò ñèñòåìû K′
) ñîâïàäàåò ñ
òî÷êîé x = y = z = 0 (íà÷àëîì êîîðäèíàò ñèñòåìû K). ×àñû â ñèñòåìå K′
óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû â ìîìåíò, êîãäà íà÷àëà ñèñòåì êîîðäèíàò ñîâïàäàþò,
îíè ïîêàçûâàëè âðåìÿ t′
= 0.  ýòîì ñëó÷àå ñâîáîäíûå ÷ëåíû â ðàâåíñòâàõ
(1.7) (ρ è ò.ï.) îáðàòÿòñÿ â íóëü.
Ïîñêîëüêó îñè êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì ïàðàëëåëüíû, òî ïëîñêîñòü xy ñîâ
ïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ x′
y′
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè z′
= 0 äîëæíî áûòü è z = 0,
ïðè÷åì ýòè ðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáûõ x′
, y′
, t′
è ñîîòâåò
ñòâåííî x, y, t. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñâÿçü ìåæäó z è z′
èìååò âèä z′
= kz, k = const. Â ñèëó èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà òàêàÿ æå ñâÿçü
ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì k äîëæíà áûòü ìåæäó y è y′
: y′
= ky.
Ñâÿçü x′
è t′
ñ êîîðäèíàòàìè è âðåìåíåì â ñèñòåìå K, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 10. âûøå, èìååò ñëåäóþùèé îáùèé âèä:
x′
= αx + βt + α′
y + β′
z,
t′
= σx + δt + σ′
y + δ′
z.
(1.8)
V
y’
x’
z’z
x
y
Ðèñ. 1
 ïëîñêîñòè x′
= 0 èìååì x = V t ïðè ëþáûõ z è y, òàê êàê ñèñòåìà K′
äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî K ñî ñêîðîñòüþ V . Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ x è x′
â ïåðâîå ðàâåíñòâî (1.8), áóäåì èìåòü α′
= β′
= 0, β = −αV . Íàêîíåö,
îáðàòèìñÿ ê ôîðìóëå äëÿ t′
. ×àñû â ñèñòåìå K′
óñòàíîâëåíû òàê, ÷òîáû ïðè
x = 0 è t = 0 áûëî t′
= 0. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïðè σ′
= δ′
= 0. Â èòîãå
èìååì ñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèé:
x′
= α(V )(x − V t), y′
= k(V )y, z = k(V )z′
,
t′
= σ(V )x + δ(V )t,
(1.9)
ãäå ó êîýôôèöèåíòîâ ÿâíî óêàçàíà çàâèñèìîñòü îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè.
3. Èñïîëüçóåì òåïåðü ðàâíîïðàâèå ñèñòåì K è K′
. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ôîð
ìóëû ïåðåõîäà èç K′
â K äîëæíû ïîëó÷àòüñÿ èç ôîðìóë ïåðåõîäà ( 1.9)
çàìåíîé V íà −V :
x = α(−V )(x′
+ V t′
), y = k(−V )y′
, z = k(−V )z′
,
t = σ(−V )x′
+ δ(−V )t′
.
(1.10)
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ôîðìóëû äëÿ y è z. Ñëó÷àè (1.9) è (1.10) îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî íàïðàâëåíèåì îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, êîòîðàÿ è â òîì è â äðóãîì
ñëó÷àå ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè yz. Íî îáà íàïðàâëåíèÿ ðàâíîïðàâíû
(ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî), ïîýòîìó k(−V ) = k(V ). Ñîâåðøàÿ ïðåîáðàçîâà
íèÿ îò y ê y′
è çàòåì ñíîâà îò y′
ê y, áóäåì èìåòü y = k2
y, ò.å. k2
= 1,
k = ±1. Çíà÷åíèå k = −1 îòâå÷àåò ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè îñåé y è
y′
, à íàøåìó ñëó÷àþ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå k = 1.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 11. Ïîäñòàâèì òåïåðü â ôîðìóëó äëÿ x èç (1.10) çíà÷åíèÿ x′
è t′
èç (1.9):
x = [α(−V )α(V ) − V σ(V )α(−V )]x + α(−V )V [δ(V ) − α(V )]t. (1.11)
×òîáû ýòî ðàâåíñòâî áûëî ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ x è t, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
ñîîòíîøåíèå
δ(V ) = α(V ). (1.12)
Âòîðîå ñîîòíîøåíèå, ñëåäóþùåå èç (1.11), íàì íå ïîòðåáóåòñÿ.
4. Èñïîëüçóåì òåïåðü èíâàðèàíòíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà, ò.å. ïîñòîÿíñòâî åå
âåëè÷èíû â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ. Ïóñòü â ìîìåíò ñîâïàäåíèÿ ñèñòåì K è K′
(t = t′
= 0) èç ñîâïàäàþùèõ íà÷àë îòñ÷åòà èñïóùåí êîðîòêèé ñâåòîâîé ñèã
íàë. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ôðîíòà âîëíû â ñèñòåìå K äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ñî
ñêîðîñòüþ x/t = c. Íî âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñâåòîâîé ñèãíàë ðàñïðîñòðàíÿ
åòñÿ âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, ñêîðîñòü ôðîíòà â
ñèñòåìå K′
áóäåò òîé æå ñàìîé: x′
/t′
= c. Ïîýòîìó, ïîäåëèâ óðàâíåíèÿ äëÿ
x′
íà óðàâíåíèå äëÿ t′
, ïîëó÷àåì èç (1.9):
c =
α(x − V t)
σx + αt
=
α(c − V )
σc + α
.
Îòñþäà
σ(V ) = −
V
c2
α(V ). (1.13)
×òîáû îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò α(V ), ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîãî
âîëíîâîãî ôðîíòà â ñèñòåìàõ K è K′
:
x2
+ y2
+ z2
= (ct)2
, x′2
+ y′2
+ z′2
= (ct′
)2
.
 ýòèõ óðàâíåíèÿõ îïÿòü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè ñêîðîñòè
ñâåòà, ïîýòîìó c îäèíàêîâîå. Ïîñêîëüêó y′
= y, z′
= z, òî
(ct′
)2
− x′2
= (ct)2
− x2
. (1.14)
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ (1.9), (1.12), (1.13) ïîëó÷àåì
α2
(1 − V 2
/c2
)(c2
t2
− x2
) = (ct)2
− x2
,
îòêóäà
α(V ) = ±(1 − V 2
/c2
)−1/2
. (1.15)
Çäåñü ñíîâà ñëåäóåò âçÿòü òîëüêî çíàê ïëþñ, òàê êàê ìèíóñ ñîîòâåòñòâóåò
ïðîòèâîïîëîæíîìó íàïðàâëåíèþ îñåé x è x′
.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 12. Ñîáèðàÿ âìåñòå ðåçóëüòàòû (1.9)(1.15), ïðèõîäèì ê ðåëÿòèâèñòñêèì ôîð
ìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà):
x′
=
x − V t
√
1 − V 2/c2
, y′
= y, z′
= z,
t′
=
t − V
c2 x
√
1 − V 2/c2
.
(1.16)
Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïîçâîëÿþò, çíàÿ êîîðäèíàòû x, y, z è âðåìÿ t ñî
áûòèÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà K, íàéòè êîîðäèíàòû x′
, y′
, z′
è âðåìÿ t′
ñîáûòèÿ â
ñèñòåìå K′
.
Îáðàòíûå ôîðìóëû, âûðàæàþùèå x, y, z, t ÷åðåç x′
, y′
, z′
, t′
, ïðîùå âñåãî
ïîëó÷àþòñÿ çàìåíîé V íà −V (òàê êàê ñèñòåìà K äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî
K′
ñî ñêîðîñòüþ −V ). Ýòè æå ôîðìóëû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðåøàÿ óðàâíåíèÿ
(1.16) îòíîñèòåëüíî x, y, z, t:
x =
x′
+ V t′
√
1 − V 2/c2
, y = y′
, z = z′
,
t =
t′
+ V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
.
(1.17)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ V ≪ c ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
ïåðåõîäÿò â ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ.
Ïðè V c â ôîðìóëàõ (1.17) êîîðäèíàòû x, t ñòàíîâÿòñÿ ìíèìûìè. Ýòî
ñîîòâåòñòâóåò òîìó ôàêòó, ÷òî äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè
ñâåòà, íåâîçìîæíî. Íåâîçìîæíî äàæå èñïîëüçîâàíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà, äâè
æóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ñêîðîñòè ñâåòà, ïðè ýòîì çíàìåíàòåëè â
ôîðìóëàõ (1.17), (1.16) îáðàòèëèñü áû â íóëü.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 1], [5, Ÿ 2.4, 2.5].
1.4. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
1. Ñîêðàùåíèå ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ äâèæóùèõñÿ òåë (ëîðåíöåâî
ñîêðàùåíèå). Ïóñòü â ñèñòåìå K′
ïîêîèòñÿ ëèíåéêà, ïàðàëëåëüíàÿ îñè x.
Äëèíà åå, èçìåðåííàÿ â ýòîé ñèñòåìå, ðàâíà l0 = x′
2 − x′
1. Äëèíà ëèíåéêè,
èçìåðåííàÿ â òîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé îíà ïîêîèòñÿ, íàçûâàåòñÿ ñîá
ñòâåííîé äëèíîé. Íàéäåì äëèíó l ëèíåéêè â ñèñòåìå K. Ïî îïðåäåëåíèþ
l åñòü ðàçíîñòü êîîðäèíàò êîíöà è íà÷àëà, âçÿòûõ â îäèí è òîò æå ìîìåíò
âðåìåíè. Èç (1.16) íàõîäèì
x′
2 − x′
1 =
x2 − V t
√
1 − V 2/c2
−
x1 − V t
√
1 − V 2/c2
=
x2 − x1
√
1 − V 2/c2
,
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 13. èëè
l = l0
√
1 − V 2/c2. (1.18)
Ýòîò ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ îáúåêòà óìåíüøàåòñÿ âäîëü
íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Ïîïåðå÷íûå ê ñêîðîñòè ðàçìåðû òåëà íå èçìåíÿþòñÿ,
ïîýòîìó îáúåì óìåíüøàåòñÿ òàê æå, êàê äëèíà:
˜V = ˜V0
√
1 − V 2/c2. (1.19)
2. Ýôôåêò çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî â îäíîì è òîì æå ìåñòå ïðîñòðàíñòâà â K′
ïðîèçîøëè äâà ñîáûòèÿ.
Ïóñòü ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè, èçìåðåííûé ïî ÷àñàì,
ïîêîÿùèìñÿ â K′
, åñòü ∆t′
= t′
2 − t′
1 = τ. Íàéäåì âðåìÿ, êîòîðîå ïðîøëî
ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ñîáûòèÿìè â ñèñòåìå K:
∆t = t2 − t1 =
t′
2 + V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
−
t′
1 + V
c2 x′
√
1 − V 2/c2
=
∆t′
√
1 − V 2/c2
. (1.20)
Âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå ïî ÷àñàì, ïîêîÿùèìñÿ îòíîñèòåëüíî îáúåêòà, íàçû
âàåòñÿ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì ýòîãî îáúåêòà. Ôîðìóëà (1.20) ïîêàçûâàåò,
÷òî ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ìåíüøå ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èçìå
ðåííîãî â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (äâèæóùèåñÿ ÷àñû èäóò ìåäëåííåå
íåïîäâèæíûõ):
τ = ∆t
√
1 − V 2/c2.
Íàãëÿäíûì ïðèìåðîì çàìåäëåíèÿ õîäà äâèæóùèõñÿ ÷àñîâ ÿâëÿåòñÿ ðàñ
ïàä µ-ìåçîíîâ. Ýòè ÷àñòèöû ìîãóò âîçíèêàòü â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ íà âûñîòå
∼ 10 êì íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè è èìåþò âðåìÿ æèçíè τ0 ∼ 2 · 10−6
c. Åñ
ëè áû íå áûëî ýôôåêòà çàìåäëåíèÿ âðåìåíè, òî çà âðåìÿ æèçíè îíè ïðî
õîäèëè áû ðàññòîÿíèå ∼ 600 ì, îäíàêî µ-ìåçîíû ðåãèñòðèðóþòñÿ âáëèçè
çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî τ0 âðåìÿ èõ æèçíè â ñîá
ñòâåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, à ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ íà Çåìëå îíî åñòü
τ0/
√
1 − V 2/c2, è åñëè ñêîðîñòü µ-ìåçîíîâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî îíè ìîãóò
äîñòè÷ü ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
3. Èíâàðèàíòíîñòü èíòåðâàëà. Ïóñòü â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàí
ñòâà x1, y1, z1 â ìîìåíò t1 ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå, à â äðóãîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà x2, y2, z2 â ìîìåíò t2 ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå. Èíòåðâàëîì
ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
s12 =
√
c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2. (1.21)
 ñèñòåìå îòñ÷åòà K′
ñîáûòèå 1 ïðîèçîøëî â òî÷êå x′
1, y′
1, z′
1 â ìîìåíò t′
1, à
ñîáûòèå 2 â òî÷êå x′
2, y′
2, z′
2 â ìîìåíò t′
2. Èíòåðâàë ìåæäó íèìè
s′
12 =
√
c2(t′
2 − t′
1)2 − (x′
2 − x′
1)2 − (y′
2 − y′
1)2 − (z′
2 − z′
1)2.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 14. Íåïîñðåäñòâåííûì ðàñ÷åòîì ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
s′
12 = s12.
Åñëè äâà ñîáûòèÿ áåñêîíå÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó, òî äëÿ èíòåðâàëà ìåæäó
íèìè èìååì
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (1.22)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå l2
12 = (x2 −x1)2
+(y2 −y1)2
+(z2 −z1)2
è çàïèøåì êâàäðàò
èíòåðâàëà â âèäå
s2
12 = c2
(∆t12)2
− l2
12.
Âåëè÷èíà s2
12 ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Åñëè
s2
12 0, òî òàêîé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ âðåìåíèïîäîáíûì (çíàê s2
12 êàê ó ñëà
ãàåìîãî ñî âðåìåíåì), åñëè s2
12 0, òî èíòåðâàë ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûé.
Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû âðåìåíèïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî, î÷åâèäíî,
íåëüçÿ íàéòè ñèñòåìó îòñ÷åòà, â êîòîðîé ñîáûòèÿ ïðîèñõîäèëè áû îäíîâðå
ìåííî. Åñëè ñîáûòèÿ ðàçäåëåíû ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èíòåðâàëîì, òî
òàêóþ ñèñòåìó íàéòè ìîæíî, ñëåäîâàòåëüíî, òàêèå ñîáûòèÿ íå ìîãóò áûòü
ïðè÷èííî îáóñëîâëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè s2
12 0, òî c∆t12 l12 è íèêàêîé
ñèãíàë íå óñïååò ïîïàñòü èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2.
4. Ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé. Íàéäåì ôîð
ìóëû, ñâÿçûâàþùèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K′
. Äëÿ ýòîãî
çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.17) â äèôôåðåíöèàëüíîì âèäå:
dx =
dx′
+ V dt′
√
1 − V 2/c2
, dy = dy′
, dz = dz′
, dt =
dt′
+ V/c2
dx′
√
1 − V 2/c2
.
Ðàçäåëèâ ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà íà ÷åòâåðòîå è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ äëÿ äåêàð
òîâûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìå K
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
, vz =
dz
dt
(1.23)
è â ñèñòåìå K′
v′
x =
dx′
dt′
, v′
y =
dy′
dt′
, v′
z =
dz′
dt′
,
ïîëó÷èì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòåé
vx =
v′
x + V
1 + v′
xV
c2
, vy,z =
v′
y,z
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.24)
 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå c → ∞ ïðåîáðàçîâàíèå (1.24) ïåðåõîäèò â ôîðìóëû
êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè (1.2). Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñóììà äâóõ ñêîðî
ñòåé, ìåíüøèõ èëè ðàâíûõ ñêîðîñòè ñâåòà, åñòü ñíîâà ñêîðîñòü, íå áîëüøàÿ
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 15. ñêîðîñòè ñâåòà. Òàê, åñëè v′
x → c, v′
y = v′
z = 0, òî vy = vz = 0, à
vx =
c + V
1 + V
c
= c. (1.25)
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ñèñòåìó íåèçìåííîé îñòà
åòñÿ òîëüêî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ñâåòà, íàïðàâëåíèå æå åå ìîæåò èçìåíèòüñÿ.
Ðåçóëüòàò (1.25) íå îçíà÷àåò, ÷òî â ÑÒÎ íèêàêèå ñêîðîñòè íå ìîãóò ïðå
âûøàòü ñêîðîñòè ñâåòà. Ñêîðîñòü ñâåòîâîãî çàé÷èêà íà ýêðàíå, äîñòàòî÷íî
óäàëåííîì îò èñòî÷íèêà, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû, ñêîðîñòü ðàçëåòà èëè ñáëè
æåíèÿ ÷àñòèö â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå è ò.ï. ìîãóò áûòü áîëüøå c. ÑÒÎ
óòâåðæäàåò ëèøü, ÷òî ñî ñâåðõñâåòîâûìè ñêîðîñòÿìè íåâîçìîæíà ïåðåäà÷à
èíôîðìàöèè è âçàèìîäåéñòâèé.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 2], [2, ãë. 11, Ÿ 2], [4, Ÿ 6870].
1.5. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
Ìíîãèì ðåçóëüòàòàì ðåëÿòèâèñòñêîé êèíåìàòèêè ìîæíî ïðèäàòü ïðîñòîé
ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Òàêîé ïîäõîä îáëåã÷àåò èíòåðïðåòàöèþ è ïîçâîëÿåò
ðàçâèòü èçÿùíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ÑÒÎ.
Ïîñêîëüêó âðåìÿ â ÑÒÎ òåðÿåò àáñîëþòíûé õàðàêòåð è çàâèñèò îò ñèñòå
ìû îòñ÷åòà, òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé åñòåñòâåííî
èñïîëüçîâàòü ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ¾ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ¿, äëÿ êî
òîðîãî ïðèìåíÿþò òàêæå íàçâàíèå ¾ìèð¿ èëè ¾÷åòûðåõìåðíûé ìèð Ìèíêîâ
ñêîãî¿. Îòäåëüíûå òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè óêàçûâàþò
ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ. Ïîñëåäîâàòåëü
íîñòü êèíåìàòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ëþáîãî òåëà (ò.å. åãî êîîðäèíàòû â ðàçíûå
ìîìåíòû âðåìåíè) èçîáðàæàåòñÿ ìèðîâîé ëèíèåé.
Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Çàïè
øåì èõ äëÿ x è ct (óäîáíî óìíîæèòü âðåìÿ íà c, ÷òîáû âñå êîîðäèíàòû
èìåëè îäèíàêîâóþ ðàçìåðíîñòü):
x′
=
x − V
c ct
√
1 − V 2/c2
, ct′
=
ct − V
c x
√
1 − V 2/c2
. (1.26)
Ýòî ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ïðåîáðàçîâàíèå, íàïîìèíàþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïî
âîðîòà â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Çàïèøåì, íàïðèìåð, ïðåîá
ðàçîâàíèå ïîâîðîòà íà óãîë φ â ïëîñêîñòè xy â îáû÷íîì ïðîñòðàíñòâå:
x′
= x cos φ + y sin φ, y′
= −x sin φ + y cos φ. (1.27)
Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ðàññòîÿ
íèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè:
(x′
2 − x′
1)2
+ (y′
2 − y′
1)2
= (x2 − x1)2
+ (y2 − y1)2
. (1.28)
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 16. Ðàññòîÿíèå r12 =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2 îñòà
åòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîâîðîòà.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ ñõîäñòâà è ðàçëè÷èé ìåæäó ïîâîðîòîì â åâêëèäîâîì ïðî
ñòðàíñòâå è ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà çàïèøåì (1.26) ÷åðåç ãèïåðáîëè÷åñêèå
ôóíêöèè:
x′
= x ch ψ − ct sh ψ, ct′
= −x sh ψ + ct ch φ, (1.29)
ãäå
ch ψ = (1 − V 2
/c2
)−1/2
, sh ψ = (V/c)(1 − V 2
/c2
)−1/2
, (1.30)
ïðè÷åì, êàê è äîëæíî áûòü,
ch2
ψ − sh2
ψ = 1. (1.31)
Ïðåîáðàçîâàíèå (1.29) òàêæå îáëàäàåò ñâîéñòâîì îñòàâëÿòü èíâàðèàíòíîé
íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ êîìáèíàöèþ êîîðäèíàò x è ct èíòåðâàë
s12 =
√
(ct2 − ct1)2 − (x2 − x1)2. (1.32)
Èíòåðâàë s12 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó òî÷êàìè ïëîñ
êîñòè x, ct. Íî êâàäðàò ðàçíîñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò âõîäèò â âû
ðàæåíèå èíòåðâàëà ñî çíàêîì ìèíóñ. Ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ðàññòîÿíèå
ìåæäó òî÷êàìè îïðåäåëåíî ôîðìóëîé (1.32), íàçûâàåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâûì.
Íàðÿäó ñ î÷åâèäíûì ñõîäñòâîì, ìåæäó ïñåâäîåâêëèäîâûì è åâêëèäîâûì ïðî
ñòðàíñòâàìè èìåþòñÿ è ñóùåñòâåííûå ðàçëè÷èÿ. Íàïðèìåð, â åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè r2
12 0, ïðè÷åì ðà
âåíñòâî ýòîé âåëè÷èíû íóëþ îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè 1 è 2 ñîâïàäàþò.  ïñåâäîåâ
êëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå s2
12 ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, à îáðàùåíèå èíòåðâàëà
â íóëü âîçìîæíî è äëÿ äâóõ ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ òî÷åê â ÷åòûðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè.
Ñóùåñòâóåò ñïîñîá ñäåëàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà (1.26), (1.29) ôîð
ìàëüíî òîæäåñòâåííûìè ïðåîáðàçîâàíèþ ïîâîðîòà (1.27) â åâêëèäîâîé ïëîñ
êîñòè. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû ict è
ìíèìîãî óãëà ïîâîðîòà. Çàìåíèì â (1.29) ψ íà −iφ è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìó
ëàìè ch(−iφ) = cos φ, sh(−iφ) = −i sin φ.
Ïîëó÷èì
x′1
= x1
cos φ + x4
sin φ, x′4
= −x1
sin φ + x4
cos φ, (1.33)
ãäå x1
= x, x4
= ict. Èíòåðâàë â ýòèõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä
s2
12 = −(x1
2 − x1
1)2
− (x4
2 − x4
1)2
, (1.34)
ò.å. áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî çíàêîì îò êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ r2
12 ìåæäó òî÷
êàìè åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 17. Íî ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ââåäåíèå ìíèìîé âðåìåííîé êîîðäèíàòû
ïðèâîäèò ëèøü ê ôîðìàëüíîìó ñõîäñòâó ñ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Ãëó
áîêîå âíóòðåííåå ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ãåîìåòðèÿìè åâêëèäîâîé è ïñåâ
äîåâêëèäîâîé ýòèì, ðàçóìååòñÿ, íå óñòðàíÿåòñÿ.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 3].
1.6. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
Ìåõàíèêó, óðàâíåíèÿ êîòîðîé êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâà
íèé Ëîðåíöà, íàçûâàþò ðåëÿòèâèñòñêîé. Ïðè åå ïîñòðîåíèè ïðåæäå âñåãî
íóæíî îïèñàòü äâèæåíèå ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû. Ïðè ýòîì óäîá
íî èñõîäèòü èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó
ëþáàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò êîîð
äèíàò, ñêîðîñòåé è âðåìåíè L(q, ˙q, t), ïðè÷åì äâèæåíèå ñèñòåìû ïîä÷èíåíî
ñëåäóþùåìó óñëîâèþ. Ïóñòü â ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2 ñèñòåìà çàíèìàåò
îïðåäåëåííûå ïîëîæåíèÿ, õàðàêòåðèçóåìûå íàáîðîì êîîðäèíàò q(1)
è q(2)
.
Òîãäà ìåæäó ýòèìè ïîëîæåíèÿìè ñèñòåìà äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
èíòåãðàë
S =
t2∫
t1
L(q, ˙q, t)dt (1.35)
èìåë íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ôóíêöèÿ L(q, ˙q, t) íàçûâàåòñÿ ôóíê
öèåé Ëàãðàíæà äàííîé ñèñòåìû, à èíòåãðàë S äåéñòâèåì. Òàêèì îáðàçîì,
äåéñòâèå ñòàöèîíàðíî íà ôèçè÷åñêèõ òðàåêòîðèÿõ,
δS = 0,
èç ýòîãî óñëîâèÿ âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì äåéñòâèå ðåëÿòè
âèñòñêîé ÷àñòèöû êàê èíòåãðàë ïî òðàåêòîðèè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàí
ñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, ïî ìèðîâîé ëèíèè (òî÷êè ìèðîâîé ëèíèè îïðåäåëÿ
þòñÿ êîîðäèíàòàìè ÷àñòèöû âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè):
S =
b∫
a
dU.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè ïîòðåáóåì, ÷òîáû äåéñòâèå ñâî
áîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû íå ìåíÿëîñü ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöè
àëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé, ò.å. ÷òîáû S áûëî èíâàðèàíòíîé âåëè÷è
íîé. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû åäèíñòâåííàÿ èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòå
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 18. ðèçóþùàÿ åå äâèæåíèå èç òî÷êè a â òî÷êó b, ýòî èíòåãðàë
S = α
b∫
a
ds, (1.36)
ãäå α èíâàðèàíòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èíâàðèàíòíîñòü áåñêîíå÷íî ìàëîãî èí
òåðâàëà
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
îáñóæäàëàñü âûøå. Ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà ds = cdt
√
1 − v2/c2,
ïðèâåäåì (1.36) ê âèäó (1.35):
S =
t2∫
t1
αc
√
1 − v2/c2dt.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
L = αc
√
1 − v2/c2. (1.37)
Çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé α îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ ïåðåõîäà (1.37) ïðè v ≪ c â
êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå
Lêë =
mv2
2
.
Ïðè ìàëûõ v/c èç (1.37) ïîëó÷àåì
L ≈ αc −
αv2
2c
.
Ïîñêîëüêó â êëàññè÷åñêîé ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïîñòîÿííóþ (â äàííîì ñëó÷àå
αc) ìîæíî îïóñòèòü, òî
α = −mc
è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû åñòü
L = −mc2
√
1 − v2/c2. (1.38)
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 8].
1.7. Èìïóëüñ è ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.
Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà
Èç ëàãðàíæåâà ìåòîäà â ìåõàíèêå èçâåñòíî, ÷òî èìïóëüñ ÷àñòèöû âûðà
æàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïî ôîðìóëå
p =
∂L
∂v
= ∇vL.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 19. Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, íàõîäèì
p =
mv
√
1 − v2/c2
. (1.39)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ v ≪ c èç (1.39) ïîëó÷àåòñÿ íåðåëÿòè
âèñòñêîå âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà: p = mv.
Èíîãäà ôîðìóëó (1.39) çàïèñûâàþò â âèäå, àíàëîãè÷íîì íåðåëÿòèâèñò
ñêîìó, p = m′
v, ò.å. ââîäÿò ìàññó äâèæóùåãîñÿ òåëà
m′
=
m
√
1 − v2/c2
(1.40)
â îòëè÷èå îò ìàññû ïîêîÿ m. Ñëåäóåò, îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî ìåæäó ñèëîé,
ìàññîé m′
è óñêîðåíèåì íåò òîé ñâÿçè, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò â êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, åñòü ïðîèçâîäíàÿ
îò èìïóëüñà ïî âðåìåíè. Ïóñòü ñêîðîñòü ÷àñòèöû èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî íà
ïðàâëåíèþ, ò.å. ñèëà íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
|v| ≡ v = const, íåòðóäíî íàéòè
dp
dt
=
m
√
1 − v2/c2
dv
dt
.
Åñëè æå ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ òîëüêî ïî âåëè÷èíå (v/v = const), ò.å. ñèëà íà
ïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè, òî
dp
dt
=
d
dt
(
mv
√
1 − v2/c2
v
v
)
=
m
(1 − v2/c2)3/2
dv
dt
.
Ìû âèäèì, ÷òî â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ îòíîøåíèå ñèëû ê óñêîðåíèþ ðàçëè÷íî.
Ýíåðãèåé E ÷àñòèöû íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
E = v
∂L
∂v
− L = vp − L.
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ (1.38) è (1.39) äëÿ L è p, ïîëó÷èì
E =
mc2
√
1 − v2/c2
. (1.41)
Ýòà âàæíàÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõà
íèêå ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íå îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè v = 0, à îñòàåòñÿ
êîíå÷íîé âåëè÷èíîé, ðàâíîé mc2
. Åå íàçûâàþò ýíåðãèåé ïîêîÿ E0:
E0 = mc2
. (1.42)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 20. Ôîðìóëó (1.42) íàçûâàþò ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà.
Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ (v ≪ c), ðàçëàãàÿ (1.41) ïî ñòåïåíÿì v/c,
E ≈ mc2
+
mv2
2
, (1.43)
èìååì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè ÷àñòèöû. Íàïîìíèì çäåñü, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå ýíåðãèÿ
îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî è ïîñòîÿííóþ mc2
â (1.43) ìîæíî îïóñòèòü.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî õîòÿ âûøå ãîâîðèëîñü î ÷àñòèöå, åå ýëåìåíòàðíîñòü íè
ãäå íå èñïîëüçîâàëàñü. Ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïðèìåíèìû ê ñëîæíî
ìó òåëó, ñîñòîÿùåìó èç ìíîãèõ ÷àñòèö, ïðè÷åì ïîä m íàäî ïîíèìàòü ïîëíóþ
ìàññó òåëà, à ïîä v ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ êàê öåëîãî.  ÷àñòíîñòè, ôîð
ìóëà (1.42) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî ïîêîÿùåãîñÿ êàê öåëîå òåëà.
Ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà ñîäåðæèò â ñåáå, ïîìèìî ýíåðãèé ïîêîÿ âõî
äÿùèõ â íåãî ÷àñòèö, òàêæå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèö è ýíåðãèþ èõ
âçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì:
mc2
=
∑
a
mac2
+ êèí. ýí. + ïîò. ýí. (1.44)
Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ ïîêîÿ òåëà íå ðàâíà ñóììå ýíåðãèé ïîêîÿ åãî
÷àñòåé
mc2
̸=
∑
mac2
, (1.45)
ïîýòîìó è ìàññà òåëà íå àääèòèâíà
m ̸=
∑
a
ma. (1.46)
Òàêèì îáðàçîì, â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå íå èìååò ìåñòà çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ìàññû: ìàññà ñëîæíîãî òåëà íå ðàâíà ñóììå ìàññ åãî ÷àñòåé. Âìåñòî ýòîãî
èìååò ìåñòî òîëüêî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, â êîòîðóþ âêëþ÷àåòñÿ òàêæå
è ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÷àñòèö.
Ðàçíîñòü ìåæäó ìàññîé ñâÿçàííîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö
(òåë) è ñóììîé èõ ìàññ â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè
∆m =
∑
ma − m
íàçûâàåòñÿ äåôåêòîì ìàññû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå âåëè÷è
íó èçìåíåíèÿ ìàññû ïîêîÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåâðàùåíèÿõ.
Ïðè ñæèãàíèè îáû÷íîãî (õèìè÷åñêîãî) òîïëèâà â ðåàêöèè òèïà
C + O2 = CO2 + Q
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 21. íà îäèí àêò âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ Q â ôîðìå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóëû
CO2 èëè ôîòîíîâ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîíâîëüò. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàññà
îáðàçîâàâøåéñÿ ìîëåêóëû CO2 ìåíüøå ñóììû ìàññ ìîëåêóë C è O2 íà âå
ëè÷èíó ∆m = Q/c2
. Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ìîëåêóëû CO2 ñîñòàâëÿåò E0 = mc2
≈
≈ 4 · 109
ýÂ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ïîêîÿ ðàâíî
∆m/m ∼ 10−9
, ò.å. ýòà âåëè÷èíà ñîõðàíÿåòñÿ ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ. Ïî
ýòîìó ïðè èçó÷åíèè ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ñ íåðåëÿòèâèñòñêèìè ÷àñòèöà
ìè (õèìè÷åñêèå ïðåâðàùåíèÿ, íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä è
äð.), ñîõðàíåíèå ìàññû ó÷àñòâóþùèõ â íèõ ÷àñòèö ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷íûì
çàêîíîì ïðèðîäû.
Ïðè ÿäåðíûõ ðåàêöèÿõ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû çíà÷èòåëüíî áîëü
øå. Íàïðèìåð, â ðåàêöèè òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà
2
H + 3
H = 4
He + n + Q
ÿäðî ãåëèÿ 4
He (α-÷àñòèöà) è íåéòðîí ïîëó÷àþò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Q ≈
≈ 17.6 ÌýÂ. Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ìàññû ∆m/m = 3 · 10−3
.
 ïðèðîäå ïðîèñõîäÿò è òàêèå ïðîöåññû, â êîòîðûõ ∆m/m äîñòèãàåò äå
ñÿòêîâ ïðîöåíòîâ è äàæå ìîæåò áûòü ∆m/m = 1, ò.å. ÷àñòèöû ñ îòëè÷íîé îò
íóëÿ ìàññîé ïîêîÿ ïðåâðàùàþòñÿ â áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. Ïðèìåðîì ìîæåò
ñëóæèòü ïðåâðàùåíèå ýëåêòðîííî-ïîçèòðîííûõ ïàð â ãàììà-êâàíòû
e+
+ e−
→ 2γ.
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ìàññà ïîêîÿ ÷àñòèö (à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàê
ðîñêîïè÷åñêèõ òåë) íå ñîõðàíÿåòñÿ.
Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ïðîöåññàõ òà èëè èíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè ïîêîÿ èñõîä
íûõ ÷àñòèö ∆E0 = ∆mc2
ïðåâðàùàëàñü â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îáðàçîâàâ
øèõñÿ ÷àñòèö (âêëþ÷àÿ ôîòîíû) è ÷åðåç íåå â äðóãèå âèäû ýíåðãèè. Ýòî
ïîêàçûâàåò ôèçè÷åñêóþ ðåàëüíîñòü ýíåðãèè ïîêîÿ.
Âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèÿì äëÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Èç
(1.39), (1.41) èìååì
E2
c2
=
m2
c2
1 − v2/c2
, p2
=
m2
v2
1 − v2/c2
.
Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå ñîîòíîøåíèå
E2
c2
= p2
+ m2
c2
. (1.47)
Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç èìïóëüñ, åñòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
H, òî
H = c
√
p2 + m2c2. (1.48)
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 22. Ïðè íåðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè v ≪ c è
H ≈ mc2
+
p2
2m
, (1.49)
ò.å. ïîëó÷àåì, çà âû÷åòîì ýíåðãèè ïîêîÿ, èçâåñòíîå âûðàæåíèå íåðåëÿòèâèñò
ñêîé ìåõàíèêè.
Óêàæåì åùå îäíî ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ÷àñòèöû,
êîòîðîå ëåãêî ïîëó÷èòü èç (1.39), (1.41):
p =
Ev
c2
. (1.50)
Èç (1.41) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé ïîêîÿ, m ̸= 0,
ïðè ñòðåìëåíèè ñêîðîñòè ÷àñòèöû ê ñêîðîñòè ñâåòà v → c ýíåðãèÿ ÷àñòè
öû âîçðàñòàåò äî áåñêîíå÷íîñòè: E → ∞. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé ðåçóëüòàò
ïîêàçûâàåò íåâîçìîæíîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ m ̸= 0 ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà
(÷àñòèöå íåëüçÿ ñîîáùèòü áåñêîíå÷íóþ ýíåðãèþ). Åñëè æå ÷àñòèöà èìååò ñêî
ðîñòü v = c, òî åå ìàññà ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (1.50) èìïóëüñ
è ýíåðãèÿ òàêîé ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
p =
E
c
, (1.51)
è èç (1.47) ñëåäóåò, ÷òî m = 0.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 5], [2, ãë. 11, Ÿ 5], [3, Ÿ 9].
1.8. ×åòûðåõìåðíûå âåêòîðû è òåíçîðû
Âðåìÿ è êîîðäèíàòû ñîáûòèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîîðäèíàòû òî÷
êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïåðåíóìåðóåì èõ âåðõíèìè èíäåêñàìè îò
0 äî 3:
x0
= ct, x1
= x, x2
= y, x3
= z. (1.52)
Ïî îïðåäåëåíèþ íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí xi
(i = 0, 1, 2, 3) íàçûâàåòñÿ ÷å
òûðåõìåðíûì ðàäèóñ-âåêòîðîì (èëè, ñîêðàùåííî, 4-ðàäèóñ-âåêòîðîì). Äëÿ
4-ðàäèóñ-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå xi
= (ct, r). Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé
ñèñòåìå îòñ÷åòà êîìïîíåíòû 4-ðàäèóñ-âåêòîðà ïðåîáðàçóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè
ñ (1.16):
x′i
=
3∑
i=0
αi
kxk
. (1.53)
Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïî âñÿêîìó èíäåêñó, ïîâòîðÿþùåìóñÿ â äàí
íîì âûðàæåíèè äâàæäû, ïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå (ýòè èíäåêñû íàçûâà
þò íåìûìè ), à çíàê ñóììû îïóñêàåòñÿ. Ïðè ýòîì â êàæäîé ïàðå îäèíàêîâûõ
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 23. èíäåêñîâ îäèí äîëæåí ñòîÿòü ââåðõó, à äðóãîé âíèçó. Â ñîîòâåòñòâèè ñ
ýòèì ïðàâèëîì âìåñòî (1.53) ïèøåì
x′i
= αi
kxk
. (1.54)
Ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ αi
k íàéäåì, ñðàâíèâàÿ (1.54) ñ (1.16):
αi
k =
1
√
1 − V 2/c2
−
V/c
√
1 − V 2/c2
0 0
−
V/c
√
1 − V 2/c2
1
√
1 − V 2/c2
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
. (1.55)
Îïðåäåëèì òåïåðü ïðîèçâîëüíûé 4-âåêòîð êàê íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí
Ai
= (A0
, A1
, A2
, A3
), êîòîðûå ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò (ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê êîìïîíåíòû
4-ðàäèóñ-âåêòîðà:
A′i
= αi
kAk
. (1.56)
Äëÿ 4-âåêòîðà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå Ai
= (A0
, A). Êîìïîíåíòà
A0
íàçûâàåòñÿ âðåìåííîé, êîìïîíåíòû A1
, A2
, A3
ïðîñòðàíñòâåííûìè.
Çàïèøåì â ÷åòûðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ êâàäðàò èíòåðâàëà (1.21):
s2
= (x0
)2
− (x1
)2
− (x2
)2
− (x3
)2
. (1.57)
Íàïîìíèì, ÷òî s2
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì (ò.å. íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçî
âàíèè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò), ïîýòîìó èíâàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ
ñëåäóþùàÿ êîìáèíàöèÿ êîìïîíåíò ëþáîãî 4-âåêòîðà
(A0
)2
− (A1
)2
− (A2
)2
− (A3
)2
. (1.58)
Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè âûðàæåíèé òèïà (1.57), (1.58) ââîäÿò äâà ñîðòà êîì
ïîíåíò 4-âåêòîðîâ êîíòðàâàðèàíòíûå è êîâàðèàíòíûå. Êîíòðàâàðèàíòíûå
êîìïîíåíòû (òå, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü âûøå) îáîçíà÷àþòñÿ âåðõíèìè èí
äåêñàìè (Ai
), à êîâàðèàíòíûå íèæíèìè èíäåêñàìè (Ai). Ïðè ýòîì ïî îïðå
äåëåíèþ
A0 = A0
, A1,2,3 = −A1,2,3
. (1.59)
Çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà äëÿ êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà:
A′
i = αi
k
Ak. (1.60)
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 24. Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ
αi
k
=
1
√
1 − V 2/c2
V/c
√
1 − V 2/c2
0 0
V/c
√
1 − V 2/c2
1
√
1 − V 2/c2
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
. (1.61)
Ñ ïîìîùüþ êî- è êîíòðàâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò s2
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
s2
= xi
xi = x0
x0 + x1
x1 + x2
x2 + x3
x3. (1.62)
Ïî îïðåäåëåíèþ ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà.
Êâàäðàò ïðîèçâîëüíîãî 4-âåêòîðà Ai åñòü
Ai
Ai = A0
A0 + A1
A1 + A2
A2 + A3
A3. (1.63)
Àíàëîãè÷íî êâàäðàòó 4-âåêòîðà ñîñòàâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ
ðàçíûõ 4-âåêòîðîâ Ai
= (A0
, A) è Bi
= (B0
, B):
Ai
Bi = A0
B0 + A1
B1 + A2
B2 + A3
B3 = A0
B0
− AB. (1.64)
Èç ôîðìóë (1.59) ñëåäóåò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîðèçâåäåíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê
â âèäå Ai
Bi, òàê è â âèäå AiBi
, ðåçóëüòàò îò ýòîãî íå ìåíÿåòñÿ. Ñêàëÿð
íîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì
Ëîðåíöà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî, íî îíî çà
ðàíåå î÷åâèäíî (èç àíàëîãèè ñ êâàäðàòîì Ai
Ai), ïîñêîëüêó âñå 4-âåêòîðû
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî îäèíàêîâîìó çàêîíó. Òåðìèí ¾ñêàëÿð¿ ÿâëÿåòñÿ ñèíîíè
ìîì òåðìèíà ¾èíâàðèàíò¿ âåëè÷èíû, èìåþùåé îäíî è òî æå çíà÷åíèå âî
âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, A′i
A′
i = Ai
Ai è ò.ä.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ìàòðèö ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
1. Èç (1.55) è (1.61) ñëåäóåò ñèììåòðèÿ
αi
k = αk
i, αi
k
= αk
i
. (1.65)
2. Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà äëÿ êîíòðàâàðè
àíòíîãî âåêòîðà (1.56), çàïèøåì êàê
Ai
= (α−1
)i
kA′k
. (1.66)
Íî èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé î÷åâèäíî, ÷òî α−1
(V ) = α(−V ) [ñì. (1.17),
(1.16)], ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (1.55) è (1.61), èìååì
(α−1
(V ))i
k = (α(−V ))i
k = α(V )i
k
,
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 25. èëè
(α−1
)i
k = αi
k
. (1.67)
Òàêèì îáðàçîì, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà
ñîâïàäàåò ñ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì äëÿ êîâàðèàíòíîãî âåêòîðà.
3. Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû (1.55),
(1.61) èìåþò åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò
det(αi
k) = 1. (1.68)
Ðàññìîòðèì, êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ýëåìåíò ÷åòûðåõìåðíîãî îáúåìà
dΩ = dx0
dx1
dx2
dx3
= cdtd˜V (1.69)
ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà. Ýëåìåíò dΩ′
ñâÿçàí ñ dΩ ÷åðåç ÿêîáèàí ïðåîá
ðàçîâàíèÿ (1.54)
dΩ′
=
∂(x′0
, x′1
, x′2
, x′3
)
∂(x0, x1, x2, x3)
dΩ.
Âû÷èñëÿÿ ÿêîáèàí
∂(x′0
, x′1
, x′2
, x′3
)
∂(x0, x1, x2, x3)
=
∂x′0
∂x0
∂x′0
∂x1
∂x′0
∂x2
∂x′0
∂x3
∂x′1
∂x0
∂x′1
∂x1
∂x′1
∂x2
∂x′1
∂x3
∂x′2
∂x0
∂x′2
∂x1
∂x′2
∂x2
∂x′2
∂x3
∂x′3
∂x0
∂x′3
∂x1
∂x′3
∂x2
∂x′3
∂x3
= det(αi
k)
è ó÷èòûâàÿ (1.68), óáåæäàåìñÿ, ÷òî
dΩ′
= dΩ. (1.70)
Ïðèìåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: 4-òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà íàçûâàåòñÿ ñîâî
êóïíîñòü 16 âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïåðåõîäå â äðóãóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò äâóõ 4-âåêòîðîâ. Ìîæíî îïðå
äåëèòü è 4-òåíçîð n-ãî ðàíãà êàê ñîâîêóïíîñòü 4n
âåëè÷èí, êîòîðûå ïðè ïðå
îáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ êîìïîíåíò n 4-âåê
òîðîâ. Ïðè n = 0 ââåäåííàÿ òàê âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, ïðè n = 1
âåêòîðîì, ïðè n = 2 òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà, ïðè n = 3 òåíçîðîì 3-ãî ðàíãà
è ò.ä.
Âåðíåìñÿ ê òåíçîðó 2-ãî ðàíãà. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå êîìïîíåíò äâóõ
âåêòîðîâ Ai
è Bk
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê
A′i
B′k
= αi
mαk
nAm
Bn
, (1.71)
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 26. òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ,
T′ik
= αi
mαk
nTmn
. (1.72)
Òåíçîðû 2-ãî ðàíãà ìîãóò áûòü òðåõ âèäîâ: êîíòðàâàðèàíòíûå (Tik
), êîâàðè
àíòíûå (Tik) è ñìåøàííûå (Ti
k è Ti
k
). Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, Ti
k ̸= Ti
k
,
ïîýòîìó íàäî ñëåäèòü çà òåì, êàêîé èíäåêñ ïåðâûé èëè âòîðîé ñòîèò
ââåðõó, à êàêîé âíèçó. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì âîçìîæíû ñëåäóþùèå çàêîíû
ïðåîáðàçîâàíèÿ 4-òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà:
T′ik
= αi
mαk
nTmn
, T′
ik = αi
m
αk
n
Tmn,
T′i
k = αi
mαk
n
Tm
n, T′
i
k
= αi
m
αk
nTm
n
.
(1.73)
Ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ ïî îáùåìó ïðà
âèëó: ïîäíÿòèå èëè îïóñêàíèå âðåìåííîãî èíäåêñà (0) íå ìåíÿåò, à ïîäíÿòèå
èëè îïóñêàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî èíäåêñà (1,2,3) ìåíÿåò çíàê êîìïîíåíòû.
Òàê,
T00 = T00
, T01 = −T01
, T11 = T11
, . . . ,
T0
0
= T00
, T0
1
= T01
, T0
1 = −T01
, T1
1
= −T11
, . . .
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî âî âñÿêîì òåíçîðíîì ðàâåíñòâå âûðàæåíèÿ ñ îáå
èõ åãî ñòîðîí äîëæíû ñîäåðæàòü îäèíàêîâûå è îäèíàêîâî ðàñïîëîæåííûå
(ââåðõó èëè âíèçó) ñâîáîäíûå, ò.å. íå íåìûå, èíäåêñû. Ñâîáîäíûå èíäåêñû â
òåíçîðíûõ ðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåìåùàòü (ââåðõ èëè âíèç), íî îáÿçàòåëüíî
îäíîâðåìåííî âî âñåõ ÷ëåíàõ óðàâíåíèÿ.
Èç êîìïîíåíò òåíçîðà Aik
ìîæíî ïîëó÷èòü ñêàëÿð ïóòåì îáðàçîâàíèÿ
ñóììû
Ai
i = A0
0 + A1
1 + A2
2 + A3
3
(ïðè ýòîì, êîíå÷íî, Ai
i = Ai
i
). Òàêóþ ñóììó íàçûâàþò ñëåäîì òåíçîðà, à
îá îïåðàöèè åãî îáðàçîâàíèÿ ãîâîðÿò êàê î ñâåðòûâàíèè èëè óïðîùåíèè
òåíçîðà.
Îïåðàöèåé ñâåðòûâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ è ðàññìîòðåííîå âûøå îáðàçîâàíèå ñêà
ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ 4-âåêòîðîâ: ýòî åñòü îáðàçîâàíèå ñêàëÿðà Ai
Bi
èç òåíçîðà Ai
Bk. Âîîáùå, âñÿêîå ñâåðòûâàíèå ïî ïàðå èíäåêñîâ ïîíèæàåò
ðàíã òåíçîðà íà 2. Íàïðèìåð, Ai
kli åñòü òåíçîð 2-ãî ðàíãà, Ai
kBk
4-âåêòîð,
Aik
ik ñêàëÿð è ò.ä.
Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé
òåíçîð gik :
gik =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (1.74)
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 27. Ïðåîáðàçóÿ ýòîò òåíçîð ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû (1.61) ê äðóãîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå
g′
ik = αi
m
αk
n
gmn,
ïîëó÷èì g′
ik = gik (ïðîäåëàéòå âû÷èñëåíèÿ!). Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð gik èí
âàðèàíòíûé, åãî êîìïîíåíòû îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ïîäíèìàÿ
îäèí èíäåêñ ó gik ïî ïðàâèëó (1.59), ïîëó÷àåì åäèíè÷íûé òåíçîð δi
k :
gi
k =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
≡ δi
k. (1.75)
Ðàñïîëîæåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî èíäåêñîâ ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû, ðàçóìååò
ñÿ, ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå δi
k. Êîìïîíåíòû òåíçîðà
δi
k, êàê è êîìïîíåíòû gik, îäèíàêîâû âî âñåõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Åñëè ïîä
íÿòü îáà èíäåêñà ó ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà, òî ïîëó÷èì gik
= gik êîíòðàâà
ðèàíòíûå êîìïîíåíòû ñîâïàäàþò ñ êîâàðèàíòíûìè.
Ñ ïîìîùüþ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïðîèçâîäèòñÿ îïóñêàíèå è ïîäíÿòèå
èíäåêñà ó ëþáîãî 4-âåêòîðà èëè 4-òåíçîðà: èç (1.59), (1.74) ñëåäóåò, ÷òî
Ai = gikAk
, Ai
= gik
Ak.
Êâàäðàò èíòåðâàëà ìîæåò áûòü çàïèñàí ÷åðåç gik êàê
s2
= gikxi
xk
, (1.76)
à ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê
AiBi
= gikAi
Bk
. (1.77)
Ôîðìóëà (1.76) ïîÿñíÿåò, ïî÷åìó òåíçîð gik íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì: îí
ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü èíâàðèàíòíîå ¾ðàññòîÿíèå¿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â
÷åòûðåõìåðíîì ïñåâäîåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, èëè, êàê ãîâîðÿò, óñòàíî
âèòü ìåòðèêó ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Íàðÿäó ñ òåíçîðàìè δi
k, gik
, gik, îäèíàêîâûå êîìïîíåíòû âî âñåõ ñèñòåìàõ
êîîðäèíàò èìååò ñîâåðøåííî àíòèñèììåòðè÷íûé åäèíè÷íûé 4-òåíçîð ÷åòâåð
òîãî ðàíãà eiklm
. Îí îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì òðåõìåð
íûì òåíçîðîì eαβγ äâóìÿ óñëîâèÿìè:
1) e0123
= 1;
2) eiklm
ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ èíäåêñîâ.
 ðåçóëüòàòå îñòàþòñÿ îòëè÷íûìè îò íóëÿ (è ðàâíûìè ±1) òîëüêî òå
êîìïîíåíòû, ó êîòîðûõ âñå 4 èíäåêñà ðàçëè÷íû; èõ ÷èñëî ðàâíî 4! = 24.
4-òåíçîð Tik...lm
íàçûâàåòñÿ èñòèííûì, èëè ïðîñòî òåíçîðîì, åñëè ïðè èí
âåðñèè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (ïðåîáðàçîâàíèå x′0
= x0
, x′α
= −xα
,
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 28. α = 1, 2, 3) îí ïðåîáðàçóåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå êîîðäèíàò xi
xk
. . . xl
xm
. Åñëè
æå ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òåíçîð ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíûé ìíîæè
òåëü −1, îí íàçûâàåòñÿ ïñåâäîòåíçîðîì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì
gik èñòèííûé òåíçîð, à eiklm
ïñåâäîòåíçîð (ïðîâåðüòå!).
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 73].
1.9. Òåíçîðíûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé
Ðàññìîòðèì îïåðàòîðû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî êîíòðàâàðèàíòíûì êîì
ïîíåíòàì 4-ðàäèóñ-âåêòîðà
∂
∂xi
, i = 0, 1, 2, 3,
è íàéäåì, êàê îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ïî
ïðàâèëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
∂
∂x′i
=
∑
k
∂xk
∂x′i
∂
∂xk
.
Âû÷èñëèì
∂xk
∂x′i
. Ñ ýòîé öåëüþ çàïèøåì ïðàâèëî îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
äëÿ êîíòðàâàðèàíòíîãî âåêòîðà (1.66)
xk
= (α−1
)k
ix′i
,
òîãäà
∂xk
∂x′i
= (α−1
)k
i.
Íî ïî ñâîéñòâàì (1.67), (1.65)
(α−1
)k
i = αk
i
= αi
k
,
òàê ÷òî
∂
∂x′i
= αi
k ∂
∂xk
. (1.78)
Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ (1.60), âèäèì, ÷òî çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðîèçâîäíûõ (1.78) òàêîé æå, êàê ó êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò 4-âåêòîðà; ñëå
äîâàòåëüíî, îïåðàòîð ∂/∂xi
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Åãî
ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ îïåðàòîðîì ∇, à âðåìåííàÿ ïðåäñòàâëÿ
åò ñîáîé ∂/∂x0
:
∂
∂xi
=
(
1
c
∂
∂t
, ∇
)
. (1.79)
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 29. Ñîîòâåòñòâåííî,
∂
∂xi
=
(
1
c
∂
∂t
, −∇
)
. (1.80)
Òåïåðü ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. Åñëè φ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, òî
∂φ
∂xi
êîâàðèàíòíûé âåêòîð. Ýòîò
ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü èç äðóãèõ ðàññóæäåíèé. Çàïèøåì äèôôåðåíöèàë
φ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì:
dφ =
∂φ
∂xi
dxi
.
Èç âèäà ïðàâîé ÷àñòè (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4-âåêòîðîâ) ñëåäóåò, ÷òî
îïåðàòîð ∂/∂xi
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîâàðèàíòíûé âåêòîð.
2. Ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xk
ñìåøàííûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xk∂xl
ñìåøàííûé òåíçîð 3-ãî ðàíãà.
3. Ïðîèçâîäíàÿ
∂Ai
∂xi
÷åòûðåõìåðíàÿ äèâåðãåíöèÿ åñòü ñêàëÿðíàÿ (èí
âàðèàíòíàÿ) âåëè÷èíà.  îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ
∂Ai
∂xi
=
1
c
∂A0
∂t
+ div A. (1.81)
4.
∂2
∂xi∂xi
ñêàëÿðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ çíàêîì îò îïåðàòî
ðà Äàëàìáåðà:
∂2
∂xi∂xi
=
1
c2
∂2
∂t2
− ∇2
= − . (1.82)
Îïåðàòîð Äàëàìáåðà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðè
ìåíåíèå åãî ê íåêîòîðîé âåëè÷èíå íå ìåíÿåò çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîé
âåëè÷èíû: f ñêàëÿð, Ai êîâàðèàíòíûé âåêòîð è ò.ä.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 3], [3, Ÿ 6], [4, Ÿ 74].
1.10. Ïðèìåðû ÷åòûðåõìåðíûõ âåêòîðîâ
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû 4-âåêòîðîâ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé
ìåõàíèêå è ýëåêòðîäèíàìèêå.
1. Íàáîð ÷åòûðåõ âåëè÷èí 4-ðàäèóñ-âåêòîð
xi
= (ct, r)
ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì ïî îïðåäåëåíèþ.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 30. 2. Èìåÿ 4-ðàäèóñ-âåêòîð, ââåäåì ÷åòûðåõìåðíóþ ñêîðîñòü (4-ñêîðîñòü).
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè äåëåíèè dxi
íà dt áóäåò ïîëó÷åíà âåëè÷èíà
dxi
dt
, êîòîðàÿ
íå ÿâëÿåòñÿ 4-âåêòîðîì (ïîñêîëüêó dxi
4-âåêòîð, à dt íå ñêàëÿð). Âåëè÷è
íó ñ íóæíûìè òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè è ðàçìåðíîñòüþ ñêîðîñòè
ïîëó÷èì ïðè äåëåíèè dxi
íà èíâàðèàíò ds/c = dτ, ãäå
ds =
√
c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = cdt
√
1 − v2/c2
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé èíòåðâàë, dτ = dt
√
1 − v2/c2 ñîáñòâåííîå âðåìÿ.
Ïðîèçâîäíóþ
ui
=
dxi
dτ
=
1
√
1 − v2/c2
dxi
dt
(1.83)
íàçûâàþò ÷åòûðåõìåðíîé ñêîðîñòüþ. Çàïèøåì êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè ÷åðåç
òðåõìåðíóþ ñêîðîñòü
ui
=
(
c
√
1 − v2/c2
,
v
√
1 − v2/c2
)
. (1.84)
Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì
ui
ui = c2
. (1.85)
Êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè â ñèñòåìå K′
ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç êîìïîíåí
òû â ñèñòåìå K ïî îáùåìó ïðàâèëó
u′i
= αi
kuk
.
Íà ïðàêòèêå óäîáíî íå âû÷èñëÿòü u′i
ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ
αi
k (1.55), à çàìåíèòü â ôîðìóëàõ (1.17) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà
t →
1
√
1 − v2/c2
, r →
v
√
1 − v2/c2
.
Òðàíñôîðìàöèîííûå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò 4-ñêîðîñòè îïðåäåëÿþò, î÷å
âèäíî, ðåëÿòèâèñòñêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíò òðåõìåðíîé ñêîðîñòè ïðè
ïåðåõîäå â äðóãóþ ÈÑÎ, ò.å. ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü (ïðîâåðüòå!) çàêîí ñëîæå
íèÿ ñêîðîñòåé (1.24).
3. Óìíîæèâ 4-ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà åå ìàññó, ïîëó÷èì 4-âåêòîð, êîòîðûé
íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõìåðíûì èìïóëüñîì:
pi
= mui
, (1.86)
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 31. èëè â ðàçâåðíóòîé çàïèñè
pi
=
(
mc
√
1 − v2/c2
,
mv
√
1 − v2/c2
)
. (1.87)
Ïîñêîëüêó
mc2
√
1 − v2/c2
= E,
mv
√
1 − v2/c2
= p,
òî ÷åòûðåõìåðíûé èìïóëüñ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
pi
=
(
E
c
, p
)
. (1.88)
Äðóãèìè ñëîâàìè, ýíåðãèÿ (äåëåííàÿ íà c) è òðåõìåðíûé èìïóëüñ îáðàçóþò
÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ 4-èìïóëüñîì.
Ýòîò íåòðèâèàëüíûé ôàêò ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü, îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà
4-âåêòîðîâ, ðÿä ñîîòíîøåíèé, â êîòîðûå âõîäÿò ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ÷àñòè
öû. Íàïðèìåð, âû÷èñëÿÿ êâàäðàò 4-èìïóëüñà è èñïîëüçóÿ äëÿ pi
ôîðìóëó
(1.88), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (1.47)
E2
c2
− p2
= m2
c2
. (1.89)
Èñïîëüçóÿ òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà 4-âåêòîðîâ, ìîæíî íàéòè çàêîí
ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìû ê äðóãîé. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì â ( 1.17) t → E/c2
, r → p, ÷òî
ïðèâîäèò ê
E
c2
=
E′
c2 + V
c2 p′
x
√
1 − V 2/c2
, px =
p′
x + V E′
c2
√
1 − V 2/c2
, py = p′
y, pz = p′
z. (1.90)
Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ÷àñòèöû (v ≪ c) è ñèñòåìû K′
(V ≪ c), ÷òî îçíà÷à
åò òàêæå v′
≪ c, ôîðìóëû (1.90) ïåðåõîäÿò â èçâåñòíûå íåðåëÿòèâèñòñêèå
ôîðìóëû. Çàïèñàâ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà
E ≈ mc2
+
mv2
2
, E′
≈ mc2
+
mv′2
2
è ó÷èòûâàÿ â (1.90) òîëüêî ãëàâíûå ïî v/c ÷ëåíû, ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêèå
çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ èìïóëüñà
pêë = p′
êë + mV
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 32. è ýíåðãèè (òåîðåìó Êåíèãà)
mv2
2
=
mv′2
2
+ p′
xV +
mV 2
2
.
4. ×åòûðåõìåðíûì óñêîðåíèåì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ 4-ñêîðîñòè ïî ñîá
ñòâåííîìó âðåìåíè
wi
=
dui
dτ
. (1.91)
Äèôôåðåíöèðóÿ ïî τ êâàäðàò 4-ñêîðîñòè ui
ui = c2
d
dτ
(ui
ui) = 2ui
wi = 0,
ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ÷åòûðåõìåðíûå ñêîðîñòü è óñêîðåíèå îðòîãî
íàëüíû äðóã äðóãó.
5. ×åòûðåõìåðíîé ñèëîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
gi
=
dpi
dτ
. (1.92)
×òîáû âûðàçèòü êîìïîíåíòû gi
÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû, èñïîëüçóåì ðà
âåíñòâî
dpi
dτ
=
dpi
dt
dt
dτ
=
1
√
1 − v2/c2
dpi
dt
.
Íî, íàïðèìåð,
dp1
dt
=
dpx
dt
= Fx,
òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òðåõìåðíóþ ñèëó
dp/dt = F. Âðåìåííàÿ êîìïîíåíòà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ îò ýíåð
ãèè ïî âðåìåíè:
dp0
dt
=
1
c
dE
dt
.
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòó âåëè÷èíó, ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ñîîòíî
øåíèå (1.89):
E
c2
dE
dt
= p
dp
dt
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p =
Ev
c2
, íàõîäèì
dE
dt
= Fv. (1.93)
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå èçìåíåíèå ýíåðãèè ÷åðåç ðàáîòó ñèëû
(îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî îíî íå ñîäåðæèò c), ñïðàâåäëèâî è â íüþòîíîâñêîé
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 33. ìåõàíèêå. Òåïåðü èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòûðåõìåðíîé ñèëû â
çàïèñè ÷åðåç òðåõìåðíûå âåëè÷èíû:
gi
=
(
Fv
c
√
1 − v2/c2
,
F
√
1 − v2/c2
)
. (1.94)
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1, ÷. I, Ÿ 4], [2, ãë. 11, Ÿ 4], [3, Ÿ 7], [4, Ÿ 77].
1.11. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïðèðîäà ñèëû Ëîðåíöà
Íàéäåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåõìåðíîé ñèëû F ïðè ïå
ðåõîäå ê äðóãîé ÈÑÎ, îïèðàÿñü íà òî, ÷òî êîìïîíåíòû gi
îáðàçóþò 4-âåêòîð.
Ïîñêîëüêó g1,2,3
ïðåîáðàçóþòñÿ êàê x, y, z ñîîòâåòñòâåííî, ìîæåì çàïèñàòü:
Fx
√
1 − v2/c2
=
F′
x√
1−v′2/c2
+ V
c
F′
v′
c
√
1−v′2/c2
√
1 − V 2/c2
,
Fy,z
√
1 − v2/c2
=
F′
y,z
√
1 − v′2/c2
.
Ïðåîáðàçóåì ýòè ôîðìóëû. Èñïîëüçóåì ñíà÷àëà òðàíñôîðìàöèîííîå ïðàâè
ëî äëÿ êîìïîíåíò ui
:
vy
√
1 − v2/c2
=
v′
y
√
1 − v′2/c2
.
Îòñþäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé
(1.24), èìååì √
1 − v2/c2
√
1 − v′2/c2
=
vy
v′
y
=
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.95)
Ñîáèðàÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àåì
Fx =
F′
x + (F′
v′
)V
c2
1 + v′
xV
c2
, Fy,z = F′
y,z
√
1 − V 2/c2
1 + v′
xV
c2
. (1.96)
Çàêîí (1.96) ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò ñèëû ïîçâîëÿåò ïðîäåìîíñòðèðî
âàòü ðåëÿòèâèñòñêóþ ïðèðîäó ñèëû Ëîðåíöà. Ðàñêðîåì ñêîáêè â ñêàëÿðíîì
ïðîèçâåäåíèè â (1.96)
Fx = F′
x +
v′
y
1 + v′
xV
c2
F′
y
V
c2
+
v′
z
1 + v′
xV
c2
F′
z
V
c2
.
Âûðàçèì ïðàâóþ ÷àñòü ÷åðåç êîìïîíåíòû ñêîðîñòè v, à íå v′
. Ïîñêîëüêó èç
(1.95) ñëåäóåò ðàâåíñòâî
v′
y,z
1 + v′
xV
c2
=
vy,z
√
1 − V 2/c2
,
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- 34. òî äëÿ Fx ïîëó÷àåì
Fx = F′
x +
vy
c
F′
yV/c
√
1 − V 2/c2
+
vz
c
F′
zV/c
√
1 − V 2/c2
. (1.97)
×òîáû âûðàçèòü ÷åðåç íåøòðèõîâàííóþ ñêîðîñòü êîìïîíåíòû Fy,z, èñ
ïîëüçóåì ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (1.24). Ïðåîáðàçóÿ çíà
ìåíàòåëü â (1.96)
1 +
v′
xV
c2
= 1 +
vx − V
1 − vxV
c2
V
c2
=
1 − V 2
/c2
1 − vxV
c2
,
ïðèâîäèì Fy,z ê âèäó
Fy,z =
F′
y,z
√
1 − V 2/c2
−
vx
c
F′
y,z
V
c
√
1 − V 2/c2
. (1.98)
Ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.97), (1.98) ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíîì âèäå (ïðîâåðüòå!):
F = Φ +
1
c
[vG], (1.99)
Φ = (F′
x,
F′
y
√
1 − V 2/c2
,
F′
z
√
1 − V 2/c2
), G = (0,
−V
c F′
z
√
1 − V 2/c2
,
V
c F′
y
√
1 − V 2/c2
).
(1.100)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ñèñòåìå K′
ñèëà F′
íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû.
Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1.99), (1.100) â ñèñòåìå K âîçíèêàåò çàâèñèìîñòü ñèëû
îò ñêîðîñòè, ïðè÷åì ÷àñòü ñèëû, çàâèñÿùàÿ îò ñêîðîñòè v, ïåðïåíäèêóëÿðíà
v. Óêàçàííûé ýôôåêò ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì è èñ÷åçàåò ïðè v/c → 0.
Ïðèìåíèì ýòîò ðåçóëüòàò ÑÒÎ ê ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïóñòü â ñèñòåìå K′
íà
çàðÿä e äåéñòâóåò òîëüêî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ñèëà F′
= eE′
. Ñèëà, äåéñòâóþ
ùàÿ íà çàðÿä â ñèñòåìå K, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îí äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v, äàåòñÿ ôîðìóëîé (1.99). Âûäåëèâ â Φ è G ìíîæèòåëü e, êîòîðîìó, î÷å
âèäíî, ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëà F,
Φ = eE, G = eB,
ïîëó÷èì ñèëó Ëîðåíöà:
F = eE +
e
c
[vB].
Ïðè ýòîì èç (1.100) âèäíî, ÷òî íàïðÿæåííîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó
E = (E′
x,
E′
y
√
1 − V 2/c2
,
E′
z
√
1 − V 2/c2
), B = (0,
−V
c E′
z
√
1 − V 2/c2
,
V
c E′
y
√
1 − V 2/c2
)
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»