2. Abbiamo visto che i solidi si suddividono
in…
Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente
da poligoni
Solidi a superficie curva se, la sua superficie è
parzialmente curva
3. Poliedri regolari
Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni
regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono
congruenti fra loro
I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di
solidi platonici
4.
5.
6. Un prisma è
Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti
su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i
lati di ciascuno dei due poligoni di base
I poligoni di base danno il nome al prisma
8. Le parti di un prisma
Base
Altezza
Spigolo
laterale
Faccia
laterale
d= diagonale
Spigolo di base
• L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di
SUPERFICIE LATERALE
• L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di
Superficie di base Sb
• L ’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il
nome di SUPERFICIE TOTALE
9. • Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e
l’altezza non coincide con uno degli spigoli
• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e
l’altezza coincide con uno degli spigoli
• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce
laterali sono rettangoli uguali fra loro).
10. La superficie di un solido
Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una
operazione chiamata “sviluppo sul piano del solido”
e ci permette di capire come si calcola la misura dell’area di
un solido.
Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene
riportando su un piano le facce che lo compongono.
Lo sviluppo di un solido consiste nel distendere su una
superficie piana tutte le facce, laterali e di base, del solido.
11.
12. Superficie laterale e totale dei prismi
Osservando lo sviluppo sul piano del
prisma ci accorgiamo che la superficie
laterale del prisma coincide con il
rettangolo ABCD.
D
C
Questo rettangolo ha la base AB
congruente al perimetro di base del
prisma e l’altezza AD congruente
all’altezza del prisma.
A
B
13. In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene
moltiplicando il perimetro del poligono di base del prisma
per l’altezza:
Sl = p x h
P= Sl : h
h = Sl : p
P.s. ricorda dire superficie o dire Area è la stessa cosa
14. Superficie totale
La superficie totale è data dalla somma della superficie
laterale e dell’area delle due basi:
St = Sl + 2Ab
Formule inverse
Sl = St – 2Ab
Ab = (St – Sl )/2
15. Il volume dei prismi
Per comprendere la formula che ci permette di
calcolare il volume di un prisma, consideriamo il caso
di un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni
di base di 4 cm e 6 cm e l’altezza di 5 cm. Scegliamo
come unità di misura il cm3, calcolare il volume del
parallelepipedo significa trovare quanti cubetti con lo
spigolo da 1 cm3, esso può contenere.
16. = 1 cm3
5 cm
4 cm
6 cm
6 cm x 4 cm = 24 cm x 5 cm = 120cm3
In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare
l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del
prisma
V = Abase ∙ h da cui
Abase = V / h
h = V/ A base
17. Avvertimento !!!!!
Quando devi trovare il Volume dei solidi ricordati che
devi stare attento all’unità di misura
Se V è in
Allora P è in
E Ps è in
dm3
Kg
Kg/dm3
cm3
g
g/cm3
m3
t
t/m3
18. Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il
nome di peso specifico (ps)
Ps = P/V
P = Ps x V
V = P / Ps
Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso
specifico della sostanza
19. il parallelepipedo rettangolo
Se i poligoni di base sono dei
rettangoli abbiamo il
c
parallelepipedo rettangolo, tutte e
6 le facce sono quindi dei
rettangoli a due a due congruenti e
paralleli. I tre spigoli che escono
b
a
da uno stesso vertice si chiamano
V=a∙b∙c
dimensioni del parallelepipedo e
a = V / b∙c
sono lunghezza larghezza e altezza
b = V / a∙c
c = V / a ∙b
20. Il cubo è un particolare
parallelepipedo rettangolo
avente le tre dimensioni
congruenti
Nel caso del cubo, poiché le facce
sono quadrati congruenti sarà
sufficiente trovare l’area di una
faccia e moltiplicarla per 4 per
avere l’area della superficie
laterale e per 6 per avere l’area
della superficie totale
Slaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4
l=
Stotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6
l=
22. Si dice piramide un
poliedro limitato da un
poligono qualunque,
detto base, e da tanti
triangoli quanti sono i lati
del poligono, aventi tutti
un vertice comune.
faccia
laterale
Una piramide prende
il nome dal numero
di lati del poligono
di base.
PIRAMIDE
TRIANGOLARE
PIRAMIDE
QUADRANGOLARE
PIRAMIDE
PENTAGONALE
23. Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrittibile
a una circonferenza, il cui centro
coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare
se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
PENTAGONO
REGOLARE
24. Il solido P è una piramide quadrangolare
regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza
coincide con il centro della circonferenza
inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono
quattro triangoli T isosceli congruenti,
la sua base è un quadrato Q.
25. In una piramide retta le facce
triangolari laterali hanno tutti la
stessa altezza, che prende il nome di
apotema
ATTENZIONE!!!! Non confondere
l’apotema della piramide con
l’apotema del poligono di base che
coincide con il raggio della
circonferenza
26. Come avrai notato l’apotema di
una piramide coincide con
l’ipotenusa di un triangolo
rettangolo che ha come cateti
l’altezza della piramide e il raggio
della circonferenza inscritta nel
altezza
apotema
poligono.
raggio
LO HAI NOTATO?!!!!?
POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL
TEOREMA DI PITAGORA PER
TROVARE I TRE SEGMENTI?
27. Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie laterale è
formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base.
Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide).
Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del poligono di
base e per altezza l’apotema della piramide.
28. Poiché l’area del triangolo è
A = (b ∙ h) : 2
la superficie laterale è
Sl = (2p ∙ a) : 2
da cui
2p = (2 ∙ Sl) : a
a = (2 ∙ Sl ) : 2p
La superficie totale si trova come nei prismi
29. Il volume della
piramide
Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un
esperimento.
Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa
altezza.
Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.
Che cosa noti?
Poiché il volume del prisma si ottiene
V = Abase ∙ h
Il volume della piramide è
V = (Abase ∙ h) : 3
