1. Кинематика Лекция 10
1.
Вычисление ускорения при естественном способе задания
движения

При естественном способе задания
aτ
движения,
ускорение
точки

τ
определяется как векторная сумма
+
его касательной и нормальной
M

составляющих:
a
 



a = aτ + an = aτ τ + an n.

O
  
ϒ
n
aτ = a ⋅ τ = Vτ = σ ,
–
  V2
an = a ⋅ n =
ρ
Модуль ускорения равен
a=

an
2
aτ2 + an ,
а его направление с направлением главной нормали составляет угол γ
a
tg γ = τ
an

2. Кинематика Лекция 10
2. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Основными задачами кинематики твердого тела являются установление
способа задания его движения и выяснение законов распределения
скоростей и ускорений для всех его точек.
2.1. Задание движения твердого тела
Задать движение твердого тела – значит указать способ определения
положения любой его точки в любой момент времени в выбранной
системе отсчета.
Так как расстояния между точками
M
твердого тела не изменяются, то
координаты
точек
должны
B
удовлетворять уравнениям
( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2 + ( z A − z B ) 2 = ( AB ) 2 ,
( x A − xC ) + ( y A − yC ) + ( z A − zC ) = ( AC ) ,
( xB − xC ) 2 + ( y B − yC ) 2 + ( z B − zC ) 2 = ( BC ) 2 .
2
2
2
2
Число независимых координат x
равно s = 3n − h = 3 ⋅ 3 − 3 = 6.
C
z
A
О
y

3. Кинематика Лекция 10
Число независимых параметров, однозначно определяющих
положение твердого тела, называется числом степеней свободы
твердого тела.
Твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы, и в
общем случае задать движение твердого тела можно шестью
независимыми параметрами.
В частных случаях, когда на движение твердого тела накладываются
дополнительные ограничения, его число степеней свободы уменьшается
на число этих ограничений. В каждом отдельном случае движения
твердого тела независимые параметры будут выбираться исходя из
соображений простоты и удобства определения кинематических
характеристик движения.

4. Кинематика Лекция 10
2.1. Теорема о проекциях скоростей
Теорема. При любом движении твердого тела проекции скоростей двух
любых его точек на прямую, соединяющие эти точки, равны между
собой:


Пp ABV A = Пp ABVB .
(2.1)
Доказательство.

 
rB = rA + AB,
(2.2)
VA
A
где вектор AB связан с твердым телом,
α
его длина остается постоянной, т.е.

2
rA
AB ⋅ AB = ( AB ) = const
(2.3)

В
rB
Продифференцируем (2.3) по времени
d AB
d AB
β
O
⋅ AB + AB ⋅
= 0,

dt
dt
VB
отсюда следует что
d AB
dt
⋅ AB = 0 .
(2.4)

5. Кинематика Лекция 10
Дифференцируя уравнение (2.3), получим


d rB d rA d AB
=
+
.
dt
dt
dt
Умножим это равенство скалярно на AB


d rB
d rA
d AB
⋅ AB =
⋅ AB +
⋅ AB.
dt
dt
dt




d rB = V , d rA = V ,
Учитывая (2.4) и то, что
dt B
dt A получим


VB ⋅ AB = V A ⋅ AB
Тогда, раскрывая скалярные произведения и сокращая на АВ,
получим


Пp ABV A = Пp ABVB .
VB cosβ= V A cosα
или

6. Кинематика Лекция 10
Дифференцируя уравнение (2.3), получим


d rB d rA d AB
=
+
.
dt
dt
dt
Умножим это равенство скалярно на AB


d rB
d rA
d AB
⋅ AB =
⋅ AB +
⋅ AB.
dt
dt
dt




d rB = V , d rA = V ,
Учитывая (2.4) и то, что
dt B
dt A получим


VB ⋅ AB = V A ⋅ AB
Тогда, раскрывая скалярные произведения и сокращая на АВ,
получим


Пp ABV A = Пp ABVB .
VB cosβ= V A cosα
или