1. Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Факультет технической кибернетики и информатики
Направление 210200 «Проектирование и технология электронных средств»
Дисциплина «Информационные технологии электромагнитной совместимости ЭС»
Лекция №7 «Методы анализа электрических
параметров межсоединений»
Автор - Чермошенцев С.Ф.
Казань 2008
2. Методы анализа электрических параметров
межсоединений
1.Метод конечных разностей.
2.Метод граничных элементов.
3.Метод конечных элементов.
4.Погрешности определения емкостей межсоединений различными
методами.
5.Анализ индуктивных параметров межсоединений. Метод участков.
6.Примеры конструкций плат с повышенной помехоустойчивостью.
7.Система опорного потенциала конструктива. Скин-эффект и эффект
близости.
3. 1. Метод конечных разностей.
Метод конечных разностей заключается в преобразовании
дифференциального уравнения в частных производных (2.11) в систему
алгебраических уравнений путем замены дифференциальных операторов
их разностными аналогами. Для получения разностных уравнений выбирается система
узлов и рассчитывается сетка с определенным шагом по каждой координате.
Разностное уравнение для каждого узла сетки связывает между собой значения
искомой функции U в семи соседних точках (семиточечный шаблон). Совокупность
уравнений для всех узлов сетки составляет СЛАУ. При
этом
матрица
коэффициентов является симметричной и ленточной по структуре. Решение СЛАУ
дает распределение потенциала U(x, y, z) во всей рассматриваемой области
конструктива.
4. 2. Метод граничных элементов.
Методом граничных элементов [27, 28, 54] сложно искать решение (2.11), если
рассматриваемая область содержит большое число (10 –
) распределенных
источников при их сравнительно малых размерах. Сложность обусловлена
необходимостью дискретизации области граничными элементами так, чтобы
источники имелись лишь на внешней границе. Последнее обстоятельство создает
чрезвычайные трудности при дискретизации структур конструктивов на элементы
и решении (2.11). Поэтому метод граничных элементов для нахождения
распределения электростатического поля конструктива не применяется, хотя известны
его программные реализации для анализа плоскопараллельных систем проводников
[96, 97].
5. 3. Метод конечных элементов.
Сущность метода конечных элементов [78, 176, 218, 280] заключается в
унифицированной аппроксимации потенциала внутри каждого элемента и подборе
таких распределений потенциала в различных конечных элементах, при которых
сохранялась бы его непрерывность во всей области. Для каждого конечного элемента
выбирается определенное количество узлов и принимается, что каждый элемент
взаимодействует с соседними только в выбранных узлах. В пределах каждого конечного
элемента вводится аппроксимирующая функция, которая определяется через значения
потенциала в узловых точках. Совокупность аппроксимирующих функций, определенных
на множестве конечных элементов, составляет модель искомой непрерывной функции.
Алгоритм МКЭ состоит из следующих этапов:
1) разбиение области конструктива на конечные элементы;
2) построение матричного представления для каждого элемента;
3) объединение всех конечных элементов в ансамбль или глобальную матрицу и
наложение граничных условий;
4) решение результирующей СЛАУ относительно потенциалов в узлах при условии
минимума запасенной энергии.
6. Ряд значений узловых потенциалов является просто компактным
представлением кусочно-планарной поверхности решения, которое дает минимум
энергии. МКЭ позволяет проводить дискретизацию кусочно-однородных областей с
геометрически сложными границами. В задачах анализа конструктивов ЭС возникают
размерности
уравнений. Такие размерности обусловлены желаемой точностью
анализа полей, требующей большой степени дискретизации структур конструктивов по
каждой координате.
В данной работе предлагается использование МКЭ для анализа электро- и
магнитостатических полей конструктивов ЭС. В связи с этим ниже рассматривается
структура, организация и вычислительные возможности специализированного пакета
программ для анализа электрических параметров межсоединений.
Одним из важных вопросов создания пакета программ является разработка
эффективного программного инструмента, сочетающего в себе гибкость по отношению к
типам конструктивов, видам границ структур и краевых условий, реализующих
современные эффективные методы для решения конечно-элементных уравнений.
В последние годы все более широкое распространение при конструировании
численных алгоритмов приобретает МКЭ [78, 193, 218]. Естественная возможность
применения нерегулярных сеток в МКЭ позволяет эффективно аппроксимировать
границы раздела сред и структур, а вариационная формулировка задачи дает
возможность легко учитывать различные типы граничных условий. Достоинством МКЭ
является также возможность автоматического составления системы уравнений
конечных элементов, что достигается независимым рассмотрением каждого элемента в
отдельности и применение процедуры сборки, обеспечивающей непрерывность
функций на межэлементных границах. Для задач, имеющих вариационную
формулировку минимизации функционала, эффективность МКЭ подтверждена
многочисленными теоретическими и практическими исследованиями.
7. На базе МКЭ в настоящее время созданы проблемно-ориентированные пакеты
программ для классов задач [6, 8], среди которых особо следует выделить систему
ANSYS, предназначенную для анализа пространственных электромагнитных полей [13].
Задача расчета трехмерных полей является плохо реализуемой и на практике
приводит к значительным затратам ресурсов всех видов (человеческих, машинных,
временных), что требует разработки экономичных и эффективных процедур решения и
использования более мощных ЭВМ [121].
В связи с этим разработка эффективного программного обеспечения с
возможностями анализа трехмерных электромагнитных полей представляется
актуальной задачей.
Блок-схема пакета программ на языке программирования Фортран для анализа
электрических параметров межсоединений конструктивов ЭС приведена на рис. 2.2.
Пакет программ включает основную программу и 14 подпрограмм. Главная
программа определяет структуру исходных данных и последовательность вызова
подпрограмм.
Такая
организация
программы позволяет заменять отдельные
подпрограммы без влияния этой операции на другие подпрограммы.
Подпрограммы выполняют следующие процедуры:
– считывание исходных данных задачи и хранение их в разных массивах данных;
– проверка правильности обозначения конечных элементов и отсутствия их
перекрытий;
– ввод дополнительных исходных данных и полуавтоматическая генерация сетки
конечных элементов для 2- и 3-мерных задач анализа структур конструктивов;
– обнуление глобальной матрицы энергий элементов;
– вычисление матричного представления каждого конечного элемента из имеющегося
библиотечного набора;
– внесения вклада матрицы отдельного конечного элемента в глобальную матрицу
энергий;
9. – решение СЛАУ соответственно методом Холесского или итерационным методом
Гаусса-Зейделя с переходом к итерациям, дающим квадратичную сходимость;
– построение картины поля, определение максимальных и минимальных значений
поля, других величин, представляющих интерес;
– вычисление значений электрических параметров межсоединений (емкостей,
индуктивностей);
– вывод результатов анализа.
Некоторые задачи теории электромагнитного поля обладают симметрией, которая
позволяет использовать для их описания две, а не три независимые пространственные
координаты. Подобные упрощения возможны для тел вращения с осевым или
периферическим
возбуждением
поля.
Двумерными
моделями
хорошо
аппроксимируются также протяженные цилиндрические объекты с аксиальным
возбуждением.
Однако реальные конструктивы ЭС такой симметрией не обладают, поэтому для их
более точного описания потребуются три независимые пространственные координаты и
соответствующая им трехмерная постановка задачи. Ниже рассматривается
нахождение распределения потенциалов и полей с использованием линейных и
билинейных конечных элементов (рис. 2.3).
Для снижения размерности задачи на этапе выполнения дискретизации структуры
конструктива в пакете программ реализованы плоские и объемные бесконечные
элементы (рис. 2.3). Каждый бесконечный плоский (объемный) элемент в конечноэлементной модели имеет 2 (4) общих узла с одним из обычных элементов первого
порядка. Для бесконечных элементов обеспечивается линейное изменение
аппроксимирующей функции вдоль стороны (грани), смежной с обычным конечным
элементом, и ее линейное уменьшение до нуля вдоль стороны, смежной с бесконечным
элементом. Применение бесконечных элементов в анализе открытых структур СБИС и
печатных плат позволяет снижать число узлов в конечно-элементной модели до 70%.
11. Разбиение структуры конструктива на конечные элементы связано с определением
координат узловых точек элементов. При этом предполагается , что решение задачи с
достаточной полнотой представлено значениями параметров, определенными в этих
узлах. Точность решения задачи будет зависеть от выбора расстояний между узлами и
вида аппроксимирующих функций конечных элементов. Поэтому для решения двух- и
трехмерных задач потребуется использовать соответственно n2 и n3 узлов, где n –
число узлов по одной координате, соответствующее требуемой точности решения.
Очевидно, что при расчете конечно-элементной модели в трехмерном случае
потребуются значительно большие затраты ресурсов ЭВМ.
Следует отметить, что время, необходимое для генерации глобальной матрицы
энергий, невелико по сравнению с полным временем решения задачи. Основную долю
машинных затрат дает этап решения СЛАУ. Обычно решение
двумерных полей печатных плат приводит к матричным уравнениям с 102…104
переменными, а для расчета трехмерных полей в геометрически сложных структурах
может потребоваться 103…106 переменных.
Дискретизация дифференциальных уравнений МКЭ дает разреженные матрицы, так
как любая узловая переменная связывается только с узловыми переменными того же
конечного элемента. Следовательно, количество нулевых элементов в строке матрицы
зависит от типа используемых конечных элементов и мало зависит от задачи. Поэтому
большие системы уравнений, полученные дискретизацией дифференциальных
уравнений, очень разрежены.
Для реализации МКЭ наибольшее распространение нашли программы [69],
включающие тот или иной вариант метода Гаусса, состоящего из прямого исключения
и обратной подстановки.
12. В ряде программ [218, 345] применяется метод Холесского на основе разложения
глобальной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. После выполнения
разложения Холесского проводится исключение переменных и обратная подстановка.
При решении СЛАУ больших размерностей используется технология разреженных
матриц [191], предполагаются различные способы хранения матричной информации.
Наиболее распространенными формами хранения информации в разреженной матрице
являются ленточный и профильный методы.
Преимуществом ленточной записи является простота: необходим лишь один новый
информационный параметр – полуширина или ширина ленты. Однако эта форма записи
оказывается относительно малоэффективной, так как многие строки содержат еще нули.
В методах профильной записи число хранимых нулевых элементов можно сократить.
Для этого записываются только те члены в каждой строке матрицы, которые расположены,
например, между самым левым ненулевым элементом в строке и диагональным. Однако
применение профильных методов осложнено организацией динамического изменения
профиля из-за появления вторичных ненулевых элементов при прямом исключении.
Прямые методы решения СЛАУ, реализуемые в алгоритмических программах МКЭ,
позволяют получать решение систем при фиксированной форме хранения информации в
разреженной матрице коэффициентов. Поэтому вначале должна исследоваться структура
разреженной матрицы и подбираться форма ее хранения, а затем производиться решение
СЛАУ.
Произвольная нумерация в конечно-элементной модели довольно редко приводит к
хорошей структуре разреженной матрицы. В большинстве программ МКЭ проводится
сначала случайная нумерация узлов, а затем применяются специальные методы для
улучшения структуры разреженной матрицы. В методах перенумерации не учитываются
численные значения элементов глобальной матрицы, а принимается во внимание лишь
структура матрицы.
13. Известен единственный способ [218], действительно гарантирующий получение
минимальной ширины матрицы, – это перебор всех возможных нумераций. Метод
непосредственного перебора неэффективен, так как в задаче с N переменными
имеется N! возможных нумераций. С другой стороны, существует несколько
алгоритмов, обеспечивающих для большинства задач близкую к минимальной ширину
ленты. Поэтому при создании универсальных вычислительных алгоритмов,
предназначенных для оптимальной нумерации узлов сетки, целесообразно отказаться
от перебора возможных вариантов с целью отыскания абсолютного минимума ширины
ленты и выбрать путь целенаправленной минимизации, приводящий к минимуму, но не
обязательно абсолютному.
В работе [6] изложены алгоритмы перенумерации, базирующиеся на
последовательном удовлетворении некоторым критериям, характеризующим качество
нумерации. Благодаря эффективности и наглядности большую популярность завоевал
безытерационный алгоритм, называемый фронтальным. Названием данный алгоритм
обязан специфике перенумерации, ведущейся от некоторой вершины таким образом,
что последовательно занумерованные узлы образуют фронт, который подобно бегущей
волне распространяется по сетке до полной перенумерации всех узлов.
В [6] представлено сравнение 5 наиболее распространенных алгоритмов (Катхилла и
Мак-Ки, Розена, Акьюца и Утку, Грумса, Коллинза) для минимизации ширины ленты
системы уравнений МКЭ применительно к 10 примерам. Результаты свидетельствуют о
преимуществах фронтального (Коллинза) алгоритма в формировании ленты
минимальной ширины при наименьших затратах времени ЭВМ. Этот алгоритм
позволяет уменьшать первоначальную ширину ленты в 2 – 10 раз.
14. Для ряда выполненных расчетов полей в печатных платах ЭС уменьшение ширины
ленты матрицы энергий в 2 – 5 раз дает в последующем выигрыш при решении СЛАУ
методом Холесского от 3 до 15 раз. Затраты машинного времени на решение СЛАУ
методом Холесского при различных величинах ширины ленты (9, 17, 25) и размерностях
до 104 являются приемлемыми. Однако исследование фронтального алгоритма
перенумерации показывает его принципиальную ограниченность в получении ленты
минимальной ширины, т.е. лучше, чем 0,08 – 0,12 от размерности СЛАУ.
Хранение первоначальной ленты (до перенумерации) требует значительных затрат
памяти ЭВМ, а при размерностях СЛАУ 103 – 104 уже ограничивается физической
оперативной памятью ЭВМ. Указанные недостатки не позволяют эффективно
проводить расчеты конечно-элементных моделей структур печатных плат с
использованием прямых методов при числе узлов сетки свыше 1000.
Эффективный подход в разработке программного обеспечения для задач
конечно-элементного анализа состоит в использовании матричного процессора в
плане ускорения вычислений. В этом случае особо длительные вычислительные
процедуры, связанные с обширными и повторяющимися операциями над векторами
(разложение матриц, прямая и обратная подстановка), перекладываются на матричный
процессор. Это дает ускорение в десятки раз. Однако применение неускоряемых
операций (чтение матриц, запись матриц) снижает общий коэффициент ускорения
решения СЛАУ до нескольких раз.
15. Другим возможным подходом к снижению затрат при решении СЛАУ является
применение итерационных методов решения [169, 172]. Вычислительный процесс в
итерационных методах (простой итерации,
Гаусса-Зейделя, последовательной
верхней релаксации) начинается с задания начального приближения решения,
выполнения ряда итераций и заканчивается когда разница между решениями,
полученными в двух последовательных приближениях, станет меньше некоторой
заданной величины. На каждом шаге итерационного алгоритма необходимо проводить
проверку точности полученного решения и невязок правой части. Важно, чтобы
итерационный процесс был сходящимся к решению.
Условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы из N
уравнений и с N неизвестными выполняется, если: 1) абсолютные значения
диагональных элементов больше или равны сумме модулей членов строки для всех
строк; 2) по крайней мере для одной строки значение диагонального элемента по
модулю больше суммы абсолютных значений всех элементов строки. Первое условие
выполняется для всех строк в глобальной матрице энергий, соответствующих
свободным узловым потенциалам, а второе условие соблюдается для строк с
фиксированными потенциалами (граничные узлы и узлы, принадлежащие элементам
источникам). Так как задачи анализа полей в печатных платах имеют всегда свободные
узлы и хотя бы один фиксированный узел, то итерационный процесс по методу ГауссаЗейделя сходится.
Особенностью итерационного метода является возможность хранения только
ненулевых элементов. При этом число элементов в строке матрицы энергий
определяется типом используемых КЭ и составляет 9, 13, 17 и 25 (табл. 2). Также в
пакете анализа электрических параметров межсоединений конструктивов не
выполняется перенумерация узлов конечно-элементной модели, а элементы матрицы
энергий в строке хранятся без упорядочивания их индексов. Для хранения индексов
элементов матрицы энергий введен специальный массив.
16. Выполненные тестовые расчеты КЭ моделей структур [134] с помощью пакета
программ анализа параметров межсоединений показывают, что итерационный процесс
по методу Гаусса-Зейделя сходится за 8 –15 итераций при относительной точности
0,01 – 0,001%. Скорость сходимости практически мало зависит от начального
приближения. Однако при поиске решения от начальных значений, превышающих
наибольший корень, процесс сходится за меньшее число итераций. Скорость
сходимости зависит от нумерации узлов в конечно-элементной модели и процесс
сходится на 10 – 30% быстрее, если в строках матрицы энергий увязаны КЭ, имеющие
близкие по величине номера узлов.
Таблица 2
Соответствие между типом применяемых КЭ в модели и числом ненулевых элементов в
стороке матрицы энергий
Тип КЭ
Число
ненулевых
элементов
Линейный
плоский
Билинейный
плоский
Линейный
объемный
Билинейный
объемный
Плоский
бесконеч
ный
Объемный
бесконечный
17
9
25
13
9
13
17. .
Учитывая, что значения вектора неизвестных при решении СЛАУ могут быть
подобраны близкими по величине друг к другу (обусловленность не хуже 10-1),
вопрос сходимости решения при различных обусловленностях системы не
исследовался.
Одним из эффективных способов ускорения сходимости в итерационных
методах является применение алгоритмов решения со сверхлинейной и
квадратичной сходимостью. Однако применение таких алгоритмов возможно, если
только процесс уже начал сходиться в нескольких последовательных итерациях. В
работе [428] предложено эффективное выражение, использующее для вычисления
решения на К-й итерации комбинацию из значений потенциалов, полученных на (К1), (К-2) и (К-3) итерациях:
( X K −1 − X K − 2 ) 3
X K = X K −1 −
( X K −3 + X K −1 )( X K − 3 − 2 X K − 2 + X K −1 )
По этому выражению в предложенном пакете программ выполняется вычисление
неизвестных потенциалов в области устойчивой сходимости решения. Применение
данного алгоритма позволяет сократить число итераций в 2 – 4 раза.
Сравнение машинных затрат при решении СЛАУ типичных КЭ моделей структур
печатных плат методом Холесского и итерационным методом
Гаусса-Зейделя с
переходом на итерации по алгоритму квадратичной сходимости подтверждает
выигрыш последнего свыше 10 раз.
Таким образом, решение СЛАУ при анализе электро- и магнитостатических
полей структур печатных плат методом конечных элементов предлагается
проводить итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации (после
нескольких подряд сходящихся итераций) по алгоритму с квадратичной
сходимостью.
Применение метода конечных элементов при анализе электро- и
магнитостатических полей в конструктивах ЭС возможно при условии приемлемой
точности в определении электрических параметров межсоединений.
18. 4. Погрешности определения емкостей межсоединений
различными методами.
В работе [354] приводится тестовая структура СБИС (рис. 2.4) и результаты
сравнения относительной точности определения емкости межсоединения
подходами, предложенными следующими авторами: Chang (использование
конформных
преобразований);
Elmasry
(аналитическая
формула);
Yuan
(аналитическая аппроксимация);
Sakurai
(эмпирическая
формула);
Meijs
(эмпирическое выражение) и по формуле плоского конденсатора. Вычисления,
выполненные по методу конечных элементов и подходу, изложенному в данной
работе, дают относительную погрешность ±2% и приведены на рис. 2.5.
В качестве примера приведем результаты моделирования емкостных
параметров печатной платы с одним слоем сигнальных проводников и двумя
потенциальными слоями [326]: ε=1; t=0,1 мм; W=0,5 мм; 2d=0,5 мм. Для сравнения
результатов анализа использован метод конформных преобразований [86], при этом
использовалась модель печатной платы (рис. 2.6), в которой проводники заменены
проводящими пластинами.
19. w
E
t
h
Рис. 2.4. Тестовая структура СБИС: t – толщина и w – ширина межсоединения;
h – толщина окисла; E- напряженность электрического поля
Относительная ошибка, %
t = 1,3 мкм
15
h = 0,75 мкм
10
5
0
-5
1 2 3 5 10
100
500 W, мкм
-10
-15
Формула
-20
плоского
-25
конденсатора
Рис. 2.5. Относительная ошибка определения емкости
межсоединения различными методами
20. G1
G2
1 t
3
2
G2
2h
w
3
2d
w
G1
Рис. 2.6. Сечение МПП: 1,2 – проводники; 3 – слои земли
На рис. 2.7 приведены графики зависимости взаимной емкости между
проводником и слоем земли печатной платы, иллюстрирующие точность
проведенного
моделирования
емкостных
параметров.
Результаты
сравнительного моделирования емкостей межсоединений двумя методами
показывают хорошее совпадение значений (погрешность ±5%) в широком
диапазоне параметров проводников.
Другой, более сложный пример моделирования представлен на рис. 2.8;
рассматривается печатная плата, имеющая четыре слоя (два слоя сигнальных
проводников и два потенциальных слоя) с тремя прокладками (толщина 0,5 мм)
из материалов с разной диэлектрической проницаемостью (2, 4, 3) и
параметрами: t=0,1 мм; W=0,5 мм; 2d=0,5 мм.
21. С, пФ/м
100
80
60
40
1
20
0,1
2
0,3
0,5
0,7
0,9
-2
1,1 h, 10 м
Рис. 2.7. Зависимости взаимной емкости между проводником и слоем земли:
1 – метод конформных преобразований;
2 – метод конечных элементов
4
2
ε
1
ε
2
1
ε
3
w
t
3
2d
4
Рис. 2.8. Сечение МПП: 1, 2, 3 – проводники; 4 – слои земли
22. Моделируется распределение потенциала в плоскости сечения МПП при
заданных значениях потенциалов на трех проводниках и на слоях земли, а также
частичные емкости проводников. Разбиение сечения МПП содержит около 1700
треугольных конечных элементов. В табл. 3 приведены значения взаимных
частичных емкостей на единицу длины проводников в пФ/м.
Таблица 3
Значения взаимных частичных емкостей
проводников
С14
С24
С34
С12
С13
С23
97,5
69,3
77,6
11,7
0,23
9,69
23. 5. Анализ индуктивных параметров межсоединений.
Метод участков.
В отличие от анализа емкостных параметров межсоединений, при
определении
собственных
и взаимных индуктивностей проводников
в конструктивах не учитывается присутствие диэлектрика, так как его магнитная
проницаемость m = 1, и поэтому структура конструктива является однородной.
Другой
отличительной
особенностью
является
то,
что внесение
дополнительного
проводника
в
систему нескольких межсоединений
приводит не к
изменению
взаимоиндуктивностей между проводниками в
системе, а к возникновению новых взаимоиндуктивностей между внесенным
проводником и каждым межсоединением системы.
Анализу индуктивных параметров межсоединений посвящен ряд работ [91,
113, 271, 337, 338]. В них рассматриваются контуры, состоящие из сигнальных
проводников и возвратных шин земли. При этом выделяют три вида
взаимодействующих контуров:
1) более чем с одним возвратным проводником;
2) без общих возвратных проводников;
3) с одним общим возвратным проводником или шиной.
24. Известны конструкции плат с повышенной помехоустойчивостью топологии
межсоединений [4]. Поставленная цель достигается тем, что в монтажной плате,
содержащей диэлектрическое основание с парами равных по длине проводников,
перекрещивающихся в параллельных плоскостях с образованием контуров, проводники
расположены на одной стороне диэлектрического основания, причем пары проводников
с меньшим расстоянием один от другого образуют контуры, расположенные внутри
контуров, образованных парами проводников с большими расстоянием один от другого,
а количество внутренних контуров кратно четному числу.
Расположение проводников на одной стороне основания с формированием
системы внутренних и внешних контуров, в которых один проводник является
сигнальным, а другой «земляным», создает условие, при котором в каждом контуре
протекают встречнонаправленные токи. Поскольку контуры с равноудаленными
проводниками имеют одинаковые площади, а количество внутренних контуров – четное
число, то, с одной стороны, исключается влияние импульса помехи от внешнего
магнитного поля, с другой стороны, компенсируется паразитное магнитное воздействие
проводников внутренних контуров на проводники внешних. Влияние паразитных
взаимоемкостных связей значительно уменьшается (в 1,5 – 2 раза) благодаря
размещению «земляных» проводников между сигнальными.
На рис. 2.9, а представлен участок монтажной платы (общий вид);
на рис. 2.9, б – топологический рисунок проводников. Монтажная плата содержит
диэлектрическое основание 1, внутренние 2 и внешние 3 контуры, электропроводящую
пластину 4, элементы 5, пары проводников 6 и 7, 8 и 9, 10 и 11. Принцип работы платы
заключается в следующем. Внутренний 2 и внешний 3 контуры содержат взаимно
симметрично перекрещивающиеся проводники 6 и 7, 8 и 9, 10 и 11 равных длин.
Причем по перекрещивающимся проводникам 8 и 9, 6 и 7 внутреннего контура 2 и 10 и
11 внешнего контура 3 протекают встречно направленные токи.
25. Это объясняется тем, что один из проводников контура является прямым
сигнальным 8, а второй – возвратным «земляным» проводником 9. Проводники
могут быть печатными с изоляцией в точках перекрещиваний либо выполненными
из изолированного провода. Перекрещивающиеся проводники 8 и 9 и 6 и 7 образуют
петли равных площадей. Паразитное магнитное взаимное влияние проводников в
плате следует рассматривать через взаимные магнитные потоки или через
взаимоиндуктивности.
При рассмотрении системы проводников в конструктиве используется понятие о
собственных и взаимных индуктивностях [91].
2
1
6
3
3
8
11
5
9 7
10
4
а
б
Рис. 2.9. Монтажная плата (а) и топология проводников (б)
26. Отношение потока самоиндукции контура к току в нем называют собственной
индуктивностью, а отношение потока взаимной индукции одного из двух контуров к
силе обусловливающего его тока в другом контуре – взаимной индуктивностью этих
контуров. Пользуясь понятиями о собственной и взаимной индуктивностях контуров
(участков), следует отметить, что они имеют смысл лишь при условии, что
в любой момент времени ток можно считать одинаковым для всех сечений каждого
контура (участка). Следовательно, эти понятия применимы лишь тогда, когда
электромагнитное поле в конструктиве квазистационарно, то есть когда длина
волны электромагнитных колебаний в структуре много больше размеров контуров и
расстояний между ними.
Взаимная
индуктивность
двух
нитей
(проводник
разбивается на
бесконечно тонкие продольные нити) может быть найдена по формуле из [91]:
μ0
dl ′dl ′′
M =
cos θ,
4π l ′ l ′′ D
∫∫
где dl' и dl'' – элементы длины нитей l' и l'';
D – расстояние между этими элементами;
θ – угол между ними;
µ0 – магнитная проницаемость воздуха.
(2.14)
27. Переменный ток, проходя по проводнику конструктива, распределяется по его
сечению неравномерно. Это явление, известное под названием поверхностного
эффекта
(или
эффекта
близости,
когда
речь
идет
о
влиянии
тока в одном из проводников на распределение тока в другом), приводит
к тому, что значения индуктивностей при переменном токе отличаются от их
значений при постоянном. При высокой частоте неравномерность распределения
тока значительна
и
должна
учитываться
при
расчете индуктивных
параметров. По результатам экспериментальных оценок [37] учет влияния
возвратного проводника в виде сплошного слоя земли в печатной плате приводит к
уменьшению собственной индуктивности сигнального проводника в 1,2 – 2,8 раза.
За немногими исключениями система опорного потенциала (также
называемая нулевым проводом или массой) служит на плате общим обратным
проводом для различных контуров тока. Отклонения потенциала от нулевого можно
избежать только при малом полном сопротивлении структуры системы опорного
потенциала [334]. Требованию малой индуктивности системы удовлетворяет ее
плоское выполнение. Оптимальное плоское исполнение может быть реализовано на
двухслойной печатной плате (одна сторона платы – это система опорного
потенциала схемы) или в МПП (несколько слоев используются в качестве системы
опорного потенциала).
Так как вследствие эффекта близости даже в широком обратном проводе ток
течет только по такому же пути, как и в лежащем над ним прямом проводе (рис.
2.10), то соответствующее разделение системы опорного потенциала
на меньшие поверхности или слои, например в МПП, представляет собой
удовлетворительное компромиссное решение.
28. Собственная индуктивность контура и взаимная индуктивность контуров
межсоединений определяется по формулам:
L=
1
di ′ M di ′′,
2
i1 i
i
(2.15)
1
di ′ M di ′′,
i1i2 i
i
(2.16)
∫ ∫
1
M =
1
∫ ∫
1
где di', di'' – токи нитей;
i1, i2 – значения токов в контурах 1 и 2.
2
Рис. 2.10. К пояснению эффекта близости на двухслойной печатной плате
с плоскостью в качестве обратного провода (а) и сечение печатной платы (б):
1 – сигнальный проводник (прямой провод с током Iпр);
2 – слой опорного потенциала (обратный провод с током Iобр)
29. При определении собственных и взаимных индуктивностей контуров
межсоединений, состоящих из нескольких участков, полезен метод участков. Метод
участков состоит в том, что контур или контуры межсоединений сложной формы
разбивают на отдельные участки, каждый из которых имеет сравнительно простую
форму, после чего
определение
индуктивностей сложных контуров сводится
к вычислению собственных и взаимных индуктивностей отдельных участков
межсоединений. Для собственной индуктивности контура межсоединения,
состоящего из n участков, и взаимной индуктивности двух контуров, состоящих из n
и m участков, записывают
L=
n
n
n
∑ L + ∑∑ M
k
k =1
M =
k =1 i =1
n
ki
,
(2.17)
n+ m
∑ ∑M
ki
,
(2.18)
k =1 i = n +1
где Lk и Mki – интегралы вида (2.15) и (2.16), соответствующие отдельным участкам
контуров межсоединений.
При вычислении по формулам (2.17) и (2.18) за положительное направление
обхода контуров принимается направление протекающих по ним токов. Величина
собственной индуктивности контура межсоединения всегда положительна, а
взаимная индуктивность двух контуров может быть как положительной, так и
отрицательной величиной и изменяет свой знак при изменении направления тока
одного из контуров. Индуктивности L и M определяются формой и геометрическими
размерами контуров, магнитной проницаемостью проводников и структуры
конструктива, а также характером распределения тока по сечению межсоединения.
Взаимная индуктивность зависит еще и от взаимного расположения контуров.
30. При анализе разветвленных межсоединений, входящих в контуры, индуктивные
параметры
необходимо
определять
для
каждого
контура, содержащего
сигнальное межсоединение и соответствующий ему возвратный проводник земли [337].
Исследование магнитного взаимодействия активного контура с пассивным [248] при
использовании дополнительно установленной компенсирующей рамки и нелинейного
элемента показало, что компенсация связана с усложнением межсоединения и
приемлема лишь при повышенных требованиях по ЭМС.
В случае СБИС (см. рис. 1.3) [200] следует обратить внимание на то, что как элемент,
формирующий паразитную емкость межсоединения, кремниевая пластина ведет себя
подобно заземленному электроду, а при ее оценке в качестве элемента, формирующего
паразитную индуктивность, ее нельзя считать проводником. Это объясняется тем, что
толщина кремниевой пластины меньше эффективной глубины действия скин-эффекта
для длин волн сигналов, передаваемых по проводникам в СБИС.
В МПП (см. рис. 1.4) при определении электрических параметров межсоединений
возникает необходимость в вычислении индуктивности контура, содержащего печатный
проводник и проводящий слой земли, а также индуктивности проводящего слоя
произвольной формы.
Для определения вычислительной точности при анализе магнитостатических полей
была решена классическая задача из [218] по расчету векторного потенциала
магнитного поля, создаваемого током проводимости полого проводника. С учетом
асимметричности структуры анализ проводился для сектора круга с использованием
плоских линейных, билинейных и бесконечных элементов. Погрешность в определении
индуктивности проводника относительно аналитического результата составила ±2%.
Таким образом, приведенные результаты свидетельствуют о приемлемой точности
определения электрических параметров межсоединений печатных плат на основе
анализа электро- и магнитостатических полей методом конечных элементов.
31. Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Назовите основные этапы метода конечных разностей.
Охарактеризуйте метод граничных элементов.
Поясните сущность и этапы метода конечных элементов.
Сравните метод конечных разностей, конечных и граничных элементов.
Охарактеризуйте формы матриц в методе конечных разностей, конечных и
граничных элементов.
6. Назовите основные этапы алгоритма программы для анализа электрических
параметров межсоединений конструктива.
7. Назовите типы конечных элементов.
8. Охарактеризуйте алгоритмы для минимизации ширины ленты системы
уравнений.
9. Сравните эффективность решения СЛАУ прямым методом и итерационным.
10. Сравните емкость межсоединения тестовой структуры СБИС полученной
различными методами.
32. Контрольные вопросы
11. Охарактеризуйте погрешности емкостных параметров межсоединений тестовых
структур МПП.
12. Какие варианты видов взаимодействующих контуров имеются в монтажных
платах?
13. Приведите пример платы с повышенной помехоустойчивостью топологии
межсоединений.
14. Охарактеризуйте понятия собственной и взаимной индуктивности контуров.
15. Охарактеризуйте понятие квазистационарности электромагнитного поля в
конструктиве.
16. Поясните смысл скин-эффекта или поверхностного эффекта в проводнике.
17. Метод участков.
18. Поясните эффект близости на примере двухслойной печатной платы.
19. Как ведёт себя кремниевая пластина СБИС при оценке емкостей и
индуктивностей межсоединений?
