Dokumen tersebut membahas tentang medan magnet yang dihasilkan oleh arus listrik dan gaya Lorentz. Secara singkat, dokumen menjelaskan bahwa arus listrik dapat menghasilkan medan magnet dan partikel bermuatan akan merasakan gaya Lorentz yang merupakan kombinasi dari gaya elektrostatik dan gaya magnet.

1. HANDOUT KULIAH
LISTRIK MAGNET II
Oleh:
Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG
2007

2. MATERI KULIAH
1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP
♦ Gaya Lorentz
♦ Momen dipol magnet
♦ Hukum Biot Savart
♦ Medan magnet dalam kawat lurus dan lengkung
2. HUKUM AMPERE
♦ Hukum Ampere
♦ Potensial vektor magnet
♦ Medan magnet dari sirkuit jauh
♦ Potensial skalar magnet
♦ Fluks magnetik

3. 3. BAHAN MAGNETIK
♦ Sifat magnet bahan dengan model arus cincin mikroskopik
♦ Medan polarisasi magnet/magnetisasi
♦ Intensitas medan magnet
♦ Suseptibilitas magnet dan permeabilitas relatif bahan magnet
♦ Diamagnetik, paramagnetik, feromagnetik dan ferit
♦ Syarat batas dua bahan magnetik yang berbeda
♦ Hukum Ampere dalam medan magnet
4. INDUKSI ELEKTROMAGNETIK
♦ Hukum diferensial Faraday
♦ Induksi elektromagnetik
♦ Induktansi diri dan induktansi bolak-balik
5. ENERGI MAGNET
♦ Energi magnet dari pasangan sirkuit
♦ Rapat energi dalam medan magnet
♦ Gaya dan torque pada sirkuit pejal

4. 6. PERSAMAAN MAXWELL
♦ Hukum Ampere dan persamaan kontinuitas arus listrik
♦ Persamaan Maxwell
♦ Energi elektromagnetik
♦ Persamaan gelombang elektromagnetik
♦ Syarat-syarat batas medan
7. RADIASI ELEKTROMAGNETIK
♦ Medan listrik dan magnet dalam bentuk potensial vektor dan
skalar
♦ Persamaan gelombang potensial vektor dan potensial skalar
♦ Vektor Poynting dalam perhitungan daya radiasi dipol dan
antena setengah gelombang.

5. Pustaka
1. J. R. Reitz,” Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-
Wesley Publ., 1993
2. D. J. Griffith,” Introduction to Electrodynamics”, Prentice-Hall Inc.,
1989.
3. J. D. Jackson,” Classical Electrodynamics”, John Wiley & Sons
Inc., 1991.

6. KOMPETENSI DASAR MATA KULIAH
1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP DAN GAYA LORENTZ
Standar kompetensi :
□ Merumuskan gaya Lorentz dan momen dipol magnet
□ Merumuskan hukum Biot Savart
□ Merumuskan medan magnet dalam kawat lurus, dan lengkung
□ Menghitung fluks garis gaya medan magnet dan merumuskan
hukum divergensi nol.
2. HUKUM AMPERE
Standar kompetensi :
□ Mendeskripsikan arus listrik sebagai akibat gerak muatan listrik.
□ Merumuskan hukum Ampere dan aplikasinya pada perhitungan
medan magnet oleh cincin arus, solenoida dan toroida.

7. 3. HUKUM FARADAY DAN ARUS INDUKSI
Standar kompetensi :
□ Merumuskan hukum Faraday tentang perubahan fluks magnet
dan medan listrik induksi tak-konservatif
□ Mendeskripsikan sistem induktor dan menghitung induktansi diri
serta induktansi timbal-balik.
4. BAHAN MAGNET
Standar kompetensi :
□ Mendefinisikan medan polarisasi magnet M, intensitas medan
magnet H, serta merumuskan hukum Ampere dinyatakan
dalam medan H.
□ Mendeskripsikan hubungan antara M dan H
□ Mendeskripsikan tetapan suseptibilias magnet dan permeabilitas
relatif dari bahan magnetik.
□ Mendeskripsikan perbedaan bahan magnet diamagnetik,
paramagnetik, feromagnetik, ferit.
□ Merumuskan rapat enerlis listrik statik
□ Menurunkan syarat batas B dan H pada batas dua bahan
magnet yang berbeda

8. 5. PERSAMAAN MAXWELL
Standar kompetensi :
□ Memahami ketidaktaatan pada asas hukum Ampere dengan
persamaan kontinuitas arus listrik atau hukum kekekalan
muatan listrik.
□ Mendefinisikan arus pergeseran Maxwell dan merumuskan
perluasan hukum Ampere.
□ Merangkumkan keempat hukum dasar listrik-magnet : Gauss
untuk D, divergensi nol untuk B, hukum Ampere yang diperluas
dan hukum Faraday (persamaan Maxwell).
□ Merumuskan energi elektromagnetik
□ Menurunkan persamaan gelombang elektromagnetik dari
persamaan Maxwell.
□ Menurunkan syarat-syarat batas medan B dan E pada
batas/interface dua media berbeda.

9. 6. RADIASI ELEKTROMAGNETIK
Standar kompetensi :
□ Merumuskan medan listrik dan magnet dalam potensial
vektor A dan skalar φ
□ Merumuskan sifat simetri gauge untuk menerapkan syarat
(gauge) Lorentz.
□ Merumuskan persamaan gelombang potensial φ dan A
□ Mendeskripsikan medan potensial retardasi dari φ dan A
□ Mendeskripsikan kasus radiasi dipol dan vektor Poynting
serta menghitung daya radiasi untuk kasus radiasi dipol dan
radiasi antena setengah-gelombang.

10. BAB I
MEDAN LISTRIK ARUS MANTAP
(STEADY CURRENT)

11. MEDAN LISTRIK ARUS MANTAP (STEADY CURRENT)
Persamaan kontinuitas:
r r ∂ρ r
∇•J + =0 dimana: J = rapat arus
∂t
ρ = rapat muatan
Disebut arus mantap, jika rapat muatan tidak berubah terhadap waktu, maka:
∂ρ r r
= 0 ⇒ ∇•J = 0
∂t

12. A. INDUKSI MAGNET
Pandang dua buah muatan titik q dan q1, dimana q1 terletak ti titik O
(titik asal koordinat) dan q terletak pada posisi r dari titik O.
y Jika muatan-muatan q dan q1 diam,
q maka gaya pada muatan q yang
diberikan q1 diungkapkan oleh gaya
r Coulomb:
r
r r
1 qq1 r
O Fe =
x 4πε0 r 2 r
q1 r
r r
= vektor satuan searah r
r
z r
r
=1
r

13. r
Sekarang pandang bahwa muatan q bergerak dengan kecepatan v
r
dan q1 dengan kecepatan v1, maka muatan q akan memperoleh gaya
tambahan:
r r
µ0 qq1  r  r r  µ0
Fm = 2 
v x  v1 x   = 10−7 N.s2 / C2
4π r   r  4π
= gaya magnet
Dalam listrik statik, medan Induksi magnet pada muatan q
elektrostatik didefinisikan : yang diakibatkan q1 di titik O:
r
r F r µ0 q1  r r 
r
E= B= v x 
2  1
q 4π r  r
Jadi medan elektrostatik yang
ditimbulkan oleh muatan q1: Gaya magnet yang bekerja di q:
( )
r r r r
r 1 q1 r Fm = q v x B
E=
4πε0 r 2 r

14. Maka gaya total pada muatan q adalah:
r r r
F = Fe + Fm
( )
r r r
= qE + q v x B
[ (
r r r
= q E+ vxB )] ⇒ gaya Lorentz
Implikasi gaya Lorentz :
1. Gaya Lorentz F selalu tegak lurus dengan kecepatan v.
2. Jika v . Fm = 0 untuk setiap medan B sembarang, maka medan magnet tidak
bekerja pada partikel bermuatan.
1
Definisi : ε0µ0 = 2 , maka :
c
r r r r
1 qq1 v  v1 r 
Fm = 2  x 
4 πε0 r c  c r 
c = 2.9979 x 108 m / s

15. Medan magnet yang dihasilkan oleh partikel q1 yang bergerak secara
seragam adalah :
r
r v1 E
B= x
c c
Gaya magnet bergantung tidak hanya pada kecepatan relatif dari dua muatan,
tetapi juga pada sistem koordinat.
B. GAYA PADA KONDUKTOR BERARUS
Pandang suatu kawat konduktor lurus yang diberi arus I. Di dalam kawat terdiri
dari muatan-muaatan q yang bergerak dengan kecepatan v.
r r
q v I dl
r
Gaya pada muatan q yang bergerak dengan kecepatan v dalam medan
r
magnet dengan induksi magnet B adalah:
( )
r r r
Fm = q v x B

16. Misalkan di dalam kawat terdiri dari N jumlah pembawa muatan q per-
satuan volume, A adalah luas penampang kawat dan setiap pembawa
r
muatan q bergerak dengan kecepatan yang sama v maka muatan
r
dalam elemen panjang d l :
r
dq = N A d l q
r
Maka gaya pada elemen panjang d l :
( ) ( )
r r r r r r
dFm = dq v x B = N A d l q v x B
( )
r r r r r r
d l // v ⇒ dFm = N A q v d l x B
123
4 4
I = arus
( )
r r r
dFm = I d l x B
Gaya pada sirkuit tertutup:
r r r
∫
F = I dl x B
C

17. Jika medan magnet B seragam (tidak bergantung pada posisi), maka :
r  r r
 
∫
F = I d l × B = 0
C 
 
C. TORQUE
Torque adalah momen gaya yang didefinisikan sebagai :
( )
r r r r r r
dτ = r × dF = I r × d l × B
Untuk sirkuit/lintasan tertutup :
∫ ( )
r r r r
τ = I r × dl × B
C
Jika medan magnet B uniform, maka :
r r r r r
d l × B = i (dyBz − dzBy ) + j(dzBx − dxBz ) + k (dxBy − dyBx )

18. [ (
r
r×
r r
dl × B )]
x = y dxBy − y dyBx − z dzBx + z dxBz 

[ (
r
r×
r r
dl × B )]
y

= z dyBz − z dzBy − x dxBy + x dyBx  .....(a )
[ (
r
r×
r r
dl × B )] 
z = x dzBx − x dxBz − y dyBz + y dzBy 

Karena B diasumsikan uniform (tidak bergantung posisi r), maka komponen B
bisa dikeluarkan dari integral.
Untuk menghitung torque, maka kita definisikan dulu integral ruang :
∫ ξ dξ dan ∫ ξ dη
Dimana ξ adalah sistem koordinat dan η juga sistem koordinat lain yang berbeda
dengan ξ.
∫ ξdξ adalah trivial karena menggambarkan integral dari nilai terendah
ξ1 dan nilai tertinggi ξ2 dari ξ d ξ ditambah integral dari ξ2 sampai
ξ1 dari ξd ξ, sehingga akan mengeliminasi enam komponen dari
persamaan (a) diatas.

19. ∫ ξdη Melibatkan dua variabel ξ dan η sehingga tidak mengakibatkan perbedaan
apakah integral diambil melalui lintasan riil C atau proyeksi lintasan tsb
pada bidang ξ-η (lihat gambar dibawah).
η
ζ b ξ = ξ2 (η)
C
ξ = ξ1 (η)
η
a
ξ
Proyeksi lintasan C pada ξ
bidang ξ-η Evaluasi integral
∫ ξdη

20. b a
∫ ξ dη = ∫ ξ (η)dη + ∫ ξ (η)dη
1 2
a b
Persamaan diatas menghasilkan suatu luas daerah yang dilingkupi proyeksi
kurva/lintasan (positif). Jika ξ dan η adalah urutan siklus dalam sistem koordinat
tangan-kanan maka arah dimana jika kontur adalah tertutup akan memberikan
arah-ζ.
∫ ξ dη = Aζ dengan ξ,η, dan ζ adalah siklik permutasi x,y,z.

∫ [ ( )]
r r
x = I (A y Bz − A z By )
r
τx = I r × d l × B
C 
r
= I ∫ [r × (d l × B)]
r r r  r r
τy y = I (A z Bx − A x Bz ) τ = IA × B
C 
∫[ ( )]
r r 
z = I (A x By − A y Bx )
r
τz = I r × d l × B
C 

Dimana vektor A merupakan vektor yang komponen-komponennya adalah luas
yang dilingkupi oleh proyeksi kurva C pada bidang-bidang yz, zx, dan xy.

21. Kuantitas IA merupakan momen dipol magnet sirkuit :
r r
m = IA 
 r 1 r r
1 r r r  m = I r × dl
∫r × dl = A
 2 C ∫ momen dipol magnetik
2C 
Untuk kawat yang berarus, maka :
r r
I d l → J dv
r 1r r
dm = r × J dv Sangat berguna untuk membahas sifat
2 magnetik dari bahan.

22. HUKUM BIOT-SAVART

23. HUKUM BIOT SAVART
Menggambarkan gaya interaksi antara dua sirkuit konduktor berarus.
r r r
d l2 x (r1 − r2 )
r r r
I1
1
d l1 x (r2 − r1 ) 2 I2
r
r r dl2
r2 − r1
r
dl1
r
r r2
r1
O

24. Hukum Ampere:
Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2:
r µ0
r r
[ r r
d l1 x d l2 x ( r1 − r2 ) ]
F1 =
4π
I1I 2 ∫∫
C
r r 3
r1 − r2
1 C2
Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2:
r µ
r
[ r r r
d l2 x d l1 x ( r2 − r1 )] µ0
= 10−7 N / A 2
F2 = 0 I1I 2
4π C
∫∫ r r3
r2 − r1 4π
1 C2
Gaya-gaya diatas merupakan gaya aksi-reaksi, yaitu:
r r Buktikan !!
F1 = − F2
PR

25. Bukti:
( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r
1. A x B x C = B A • C − C A • B
r r
[ r r
] [ r r r r
] [( r
)
r r r
]
d l2 x d l1 x ( r2 − r1 ) = d l1 ( r2 − r1 ) • d l2 − d l1 • d l2 (r2 − r1 )
r r r r r
r µ0 (r2 − r1 ) • d l2 d l − I I
r µ0 (r2 − r1 ) dr • dr
( )
F2 =
4π
I1I 2∫∫ r r3
r2 − r1
1
4π
1 2 ∫∫ r r 3 l1 l2
C1 C2 C1 C2 r2 − r1
Suku pertama:
r r r
(r2 − r1 ) • d l2 dr = − ∇ 1 dr dr
r
∫∫
C1 C2
r r3
r2 − r1
l1 ∫∫
C1 C2
2 r r l2 l1
r2 − r1
r r 1 r
∫ ∫
= − d l1 ∇2 r r d l2
r2 − r1
C 1 C 2

26. Dalil Stokes:
∫( )
r r r r r
∫
C
F • dl =
S
∇ x F • n da
 
r
(r2 − r1 ) • d l2 dr = − dr ∇ x ∇ 1  • n da = 0
r r r r
 r
∫∫ r r3
r2 − r1
l1 ∫
l1  2
 ∫
C2 14 2441
2 r r
r −r 
C1 C2 C1
 4 r 2 3
r
 ∇ x ∇φ=0 
r r
r µ0 (r2 − r1 ) dr • dr .................. (1)
( )
F2 = −
4π
I1I 2 ∫∫ r r 3 l1 l2
r − r1
C 1 C2 2

27. r µ0
r
[r r r
d l1 x d l2 x (r1 − r2 ) ]
2. F1 =
4π
I1I 2 ∫∫
C1 C2
r r 3
r1 − r2
µ0 [
r r r r
]
d l2 d l1 • ( r1 − r2 ) µ0
r r
(r1 − r2 ) dr • dr
( )
=
4π
I1I 2 ∫∫
C1 C2
r r 3
r1 − r2
−
4π
I1I 2 ∫∫ r r 3 l1 l2
C1 C2 r − r2
1
1444 4443 2
=0
r r
r µ (r1 − r2 ) dr • dr ............................(2)
( )
F1 = − 0 I1I 2
4π ∫∫ r r 3 l1 l2
r − r2
C1 C2 1
r r r r
Karena:
(r2 − r1 ) = −(r1 − r2 )
r r r r
r2 − r1 = r1 − r2

28. Maka: r µ0 (r2 − r1 ) (dr
r r r
)
F1 =
4π
I1I 2 ∫ C∫ r2 − r1 3
C r r
l 1 • d l2
1 2
r r
r µ (r2 − r1 ) dr • dr
( )
F2 = − 0 I1I 2
4π ∫∫ r r 3 l1 l2
r − r1
C 1 C2 2
Maka terbukti bahwa :
r r
F1 = − F2
Bagaimana dengan induksi magnetnya?
r r r r r r
∫ ∫
F = I d l x B ⇒ F1 = I1 d l1 x B1
C C1
r r r
∫
F2 = I 2 d l2 x B2
C
2

29. Maka diperoleh Hukum Biot-Savart:
r r r
(r1 ) = µ0 I 2 d l2rx (r1 − r2 )
r r
B
4π C ∫ r1 − r2
r 3 Induksi magnet di sirkuit-1
2
r r r
r r µ0 d l1 x ( r2 − r1 )
B(r2 ) = I1 ∫ r r3
Induksi magnet di sirkuit-2
4π C r2 − r1
1
rr
Untuk arus yang merupakan distribusi kontinu digambarkan oleh rapat arus J ( r )
rr r r
r r µ J (r2 ) x (r1 − r2 )
B(r1 ) = 0 ∫ r r 3 dv 2
4π V r1 − r2
rr r r
r r µ0 J (r1 ) x (r2 − r1 )
B(r2 ) = ∫ r r 3 dv1
4π V r1 − r2

30. Dalam medan magnet bahwa kutub-kutub magnet selalu berpasangan
/dipol (kutub-kutub magnet tidak berdiri sendiri, tidak monopol), maka
harus berlaku:
r r
∇•B = 0
Bukti !! r
r r r µ0 r d l2 x (r − r2 )
r1 r
∇1 • B(r1 ) = ∫
I 2 ∇1 • r r 3
4π C r1 − r2
2
( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r
⇒ ∇• Fx B = G • ∇x F − F• ∇xG
r r
dim ana F = d l2
r (r − r2 )
r1 r r 1
G = r r 3 = −∇1 r r
r1 − r2 r1 − r2
r r r
r r r
∇1 • B(r1 ) =
µ0 (r1 − r2 ) ∇ x dr + µ0 I ∇ x ∇ 1
r r
∫
I 2 r r 3 1 l2
4 π C r1 − r2 1 2 3 4π C
4 4 ∫
2 1 1 r r
r1 − r2
2 =0 2 14 244
4r
r
3
∇ x ∇φ=0
r r r
∇1 • B(r1 ) = 0 ( terbukti)

31. Dengan menggunakan cara yang sama, maka dapat dibuktikan juga bahwa:
r r r
∇2 • B(r2 ) = 0
Secara umum
r r r
∇ • B(r ) = 0

32. APLIKASI HUKUM BIOT-SAVART

33. 1. Kawat konduktor panjang lurus
Suatu kawat panjang lurus tak hingga sejajar dengan sumbu-x diberi arus I.
Tentukan induksi magnet di titik P sejauh a dari kawat tersebut.
Solusi: r r
d l = dx i
r r r r r r
d l x (r2 − r1 ) = dx i x (r2 − r1 )
y
P
r r r
r r r r r = dx r2 − r1 sin θ k
i × ( r2 − r1 ) r2 − r1
a r
r2
I θ
x
−∞ r dx +∞
r1
z

34. y
P
r r
r2 − r1
a
r
r2
I θ
−∞ x
r dx +∞
r1
a
= tan (180 − θ) = − tan θ
z x
cos θ
r r a a x = −a
r2 − r1 = = sin θ
sin (180 − θ) sin θ
 − sin 2 θ − cos2 θ  a
r r3 a3 dx = −a 
 2
dθ =
 2
dθ
r2 − r1 =  sin θ  sin θ
sin 3 θ Maka:
Berapakah nilai: r r r a a r
r dx r2 − r1 sin θk = 2
. . sin θdθk
r r sin θ sin θ
dx r2 − r1 sin θk r
a2
= 2
dθk
sin θ

35. Induksi magnet di titik P adalah:
+∞ r r r
r µ dx i x ( r2 − r1 )
B(a ) = 0 I ∫
4π −∞ ( r2 − r ) 3
r r1
π 2 3
r
µ0 a sin θ dθ k
= I ∫
4π 0 sin 2 θa 3
π
µ0 r
= ∫
I sin θ dθ k
4π 0
µ0 r π
= I k (− cos θ) 0
4 πa
µ0 v
= Ik
2 πa

36. 2. Kawat konduktor melingkar yang berpusat di titik 0 dan berjejari R, diberi arus I
z
r r r
P r1 = R cos θ i + R sin θ j
r r
r r r2 = zk
r r2 − r1 r r r r r
z r2 -x
(r2 − r1 ) = − R cos θ i − R sin θ j + zk
r r
( 2
r2 − r = R + z )
2 1/ 2
r r r
d l = − R sin θ dθ i + R cos θ dθ j
θ dθ y r r
r r r r
r1 r d lx (r2 − r1 ) = R sin θ dθ k + Rz sin θ dθ j
2 2
dl 2 2
r r
x I + R cos θ dθ k + Rz cos θ dθ i
Maka induksi magnet di titik P adalah:
2π r r r
r r µ d lx (r2 − r1 )
B(r2 ) = 0 I ∫
4π 0 r2 − r 3
r r1
µ0 
2π 2π 2π
 R 2dθ r Rz sin θdθ r Rz cos θdθ r

= I ∫(
4π  0 R 2 + z 2 3 / 2
k+
) ∫(
R 2 + z2 )
3/ 2
i+ ∫(R 2 + z2 )
3/ 2
i

 0 0 

37. r r µ0 R 2 I r 2π µ0 RzI r 2π
B( r2 ) = kθ + i sin θ
(
4π R 2 + z 2 )3/ 2
0 (
4π R 2 + z 2 )
3/ 2
0
r 2π
µ0 RzI
− j cos θ
(
4π R + z 2
)
2 3/ 2
0
µ0I R2 r
= k Arah induksi magnet sejajar dengan sumbu-z
2 R 2 + z2 ( )3/ 2
r µ0I R2 r
x B(z ) = k
2 R 2 + z2 ( )
3/ 2
R Bila kawat terdiri dari N buah
P
lilitan, maka induksi magnet
menjadi:
z
z
r µ0 NI R2 r
B(z ) = k
y 2 R 2 + z2 ( )
3/ 2

38. Lilitan Helmholtz
Dua buah kawat melingkar yang sesumbu, masing-masing terdiri dari N-
buah lilitan dan diberi arus I yang searah.
x 2b x
Jika titik P berada di
tengah-tengah
kumparan (z = b), maka
R R
karena arusnya searah,
P induksi magnet di titik P
I I sama dengan nol.
z z
y y
N-lilitan N-lilitan
Induksi magnet di titik P:
µ0 NIR 2 
 1 1 

Bz (z ) =  2 + 
2 (
 R + z2
 )
3/ 2
[
(2b − z ) + R 
2
]
2 3/ 2


39. µ 0 NIR 2 
 1 

1
Bz (z ) =  2 + 
2 (
 R + z2
 )3/ 2
[
(2b − z ) + R
2 2 3/ 2

 ]
Turunan pertama dari Bz terhadap z adalah:
dBz µ0 NIR 2  3
 2z 3 2(z − 2b ) 

=  − − 5/ 2 
dz 2 (
 2 R 2 + z2
 )5/ 2
[
2 (2b − z )2 + R 2 ] 

Di z = b, turunan ini sama dengan nol.
Turunan kedua dari Bz terhadap z adalah:
d 2 Bz 3µ0 NIR 2 
 1 5 2z 2 1 5 2(z − 2b )2 

=−  2 − + − 7/2 
dz 2
2 (
 R + z2
 )
5/ 2
(
2 R 2 + z2 )
7/2
[(2b − z ) + R ]
2 2 5/ 2
[
2 (2b − z )2 + R 2 ] 

Di z = b, maka:
d 2 Bz 3µ 0 NIR 2  2 R 2 − 8b 2 
 
=−  2 
dz 2 z =b 2 (
 R +z
 )
2 7/2



40. d 2 Bz 3µ 0 NIR 2  2 R 2 − 8b 2 
 
=−  2 
dz 2 z =b 2 (
 R +z
 )
2 7/2


Turunan ini menjadi nol, jika R2 - 4b2 = 0, maka jarak kedua kumparan adalah:
2b = R
Berarti bahwa jarak antara kedua kumparan harus sama dengan jari-jari
kumparan. Sehingga induksi magnet di titik P menjadi:
µ0 NI 8
Bz =
R 53 / 2
Dalam eksperimen penentuan muatan spesifik dari elektron, diketahui bahwa
hubungan antara medan magnet dan arus listrik adalah:
B = const. I
N
Maka besarnya konstanta adalah: const. = 0.72µ 0
R

41. Setup eksperimen untuk penentuan muatan spesifik
elektron menggunakan lilitan Helmholtz

42. Diagram lintasan elektron dalam eksperimen penentuan muatan
spesifik elektron dengan lilitan Helmholtz
Lilitan Helmholtz
datas
Tabung gelas
lintasan elektron
Tegangan
pemercepat elektron ve
Anoda
Tegangan Fokus Fsentrifugal
FLorentz
pemfokusan elektron
elektron
Tegangan dbawah
filamen

43. Berdasarkan kesetimbangan gaya, bahwa gaya Lorentz harus sama
dengan gaya putaran (sentrifugal).
FLorentz = Fsentrifugal
me v 2
q.v.B =
r
q v
=
m e r. B
Kecepatan elektron v akibat dipercepat oleh anoda menjadi :
1
E k = U = me v 2
2
Dengan kombinasi kedua persamaan diatas, maka :
me U
r2 = 2 . 2
q B

44. Dengan menggambarkan grafik hubungan r2 dengan U/B2 , diperoleh
gradien b, sehingga muatan spesifik elektron menjadi :
2 q
=
b me
dimana:
45
B = const.I m
40
 2me 
b=
 q  
  35
r [10 m ]
2
30
-4
25
2
20
15 20 25 30 35 40
2 7 2
U/B [10 V/T ]

45. Solenoida
Suatu silinder berjari-jari R dan panjang L, diberikan lilitan sebanyak N-lilitan dan
diberi arus listrik I. Berapakah induksi magnet di titik P di dalam selenoida ?
dz
R α1 P α
2
R z0
L L
Induksi magnet di titik P (z0) diperoleh dengan membagi panjang silinder L menjadi
elemen-elemen panjang dz, dimana setiap dz mengandung Ndz/L lilitan.
L
µ0 NI R 2 dz
Bz ( z 0 ) =
L 2 ∫ [(z − z) + R
2
]
2 3/ 2
0 0

46. dz
L
α µ0 NI R 2 dz
R
z
α1 α2 Bz ( z 0 ) =
L 2 ∫ [(z − z) + R
2
]
2 3/ 2
z0 P 0 0
L Maka induksi magnet di titik P:
µ NI R 2 α2
(R / sin α) dα
2
R = z 0 tan α1 Bz ( z 0 ) = − 0
L 2 ∫ (R / sin α)3
R = (L − z 0 ) tan α2 π −α1
π− α1
z − z 0 = R cot α µ0 NI
R
dz = − 2 dα
=
2L ∫ sin α dα
α2
sin α
µ0 NI
[− cos(π − α1 ) + cos α2 ]
[(z ]
3
2 3/ 2  R  =
0 − z) + R
2
=  2L
 sin α 
µ NI  cos α1 + cos α2 
= 0  
L  2 

47. Jika panjang solenoid lebih besar dibandingkan dengan jari-jari dan z0 tidak
mendekati nol atau L, maka sudut α1 dan α2 kesil dan bisa didekati dengan :
R R
α1 ≅ ; α2 ≅
z0 L − z0
Sehingga :
µ0 NI  R 2 R2 
Bz (z 0 ) ≅ 1 − 2 − 
L  4z 0 4(L − z 0 )2 
Jika radius solenoida kecil, maka medan magnet menjadi :
µ 0 NI
Bz (z 0 ) ≅
L

48. BAB II
HUKUM SIRKUIT AMPERE

49. r r
Untuk arus mantap: ∇ • J = 0
r r
∇xB mempunyai nilai tertentu yang dapat dinyatakan sebagai:
r r r rr
∇xB( r ) = µ0 J (r )
Dalam Hukum Biot-Savart, induksi magnet di sirkuit-1 akibat pengaruh sirkuit-2
adalah:
r r r
r r µ d l2 x (r1 − r2 )
B( r1 ) = 0 I 2
4π c ∫ r r 3
r1 − r2
2
r r
Dengan mengubah I 2d l2 = J (r2 ).dV2 maka:
rr r r
r r µ J (r2 )x (r1 − r2 )
B( r1 ) = 0
4π V ∫ r r 3 dV2
r1 − r2
2

50. Nilai Curl dari B, diperoleh:
r
r r r µ r  J ( r2 ) x (r − r2 )
r r1 r
∇1x B(r1 ) = 0 ∇1x ∫ r r 3  dV2
4π V  r1 − r 
2  
Ingat :
( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r r r r r r r
∇1x ( FxG ) = G • ∇1 F + ∇1 • G F − F • ∇1 G − ∇1 • F G
r rr
F = J (r2 )
r (r − r2 )
r1 r r 1
G = r r 3 = −∇1 r r
r1 − r r1 − r2
maka :
r r r  r r r r
( ) 1 r r r2 1
 − ∇1 r r • ∇1  J (r2 ) = − J (r2 ) ∇1 r r
G • ∇1 F = 
r1 − r2  r1 − r2
 
( ) ( )
r r r r rr r 1 r r r2 1
∇1 • F G = − ∇1 • J (r2 ) ∇1 r r = − J (r2 ) ∇1 r r
r1 − r2 r1 − r2
sehingga :
( ) ( )
r r r r r r r r r
∇1x ( FxG ) = ∇1 • G F − F • ∇1 G..................................(# )

51. Dengan demikian maka:
r r r µ r (r − r2 ) r
r r µ r r r (r − r2 )
r r
∇1x B(r1 ) = 0 ∇1 • r1 r 3 J (r2 ) dV2 − 0 J (r2 ) • ∇1 r1 r 3 dV2
∫ ∫
4π V r1 − r2 4π V r1 − r2
2 2
µ0 r r 1 r
= ∫∇1 • ∇1 r r J (r2 ) dV2 − 0
4π V r1 − r2
2
µ0 r 2 1 r
= ∫∇1 r r J (r2 ) dV2
4π V r1 − r2
2
µ0 r r r
= ∫ 4π δ(r1 − r2 ) J (r2 ) dV2
4π V
2
rr
= µ0 J (r1 )
Sehingga diperoleh Hukum Sirkuit Ampere:
r r r rr
∇1xB(r1 ) = µ0 J (r1 )

52. Hukum Ampere dalam bentuk lain:
∫( )
r r r r r
S
∇xB • n da = µ0 J • n da∫
S
Dalil Stokes
r r r r
∫
C
∫
B • d l = µ0 J • n da
S

53. Contoh:
1. Suatu kawat lurus panjang yang diberi arus listrik I, diletakkan dalam suatu
sirkuit tertutup, berapakah induksi medan magnet di dalam sirkuir tersebut ?
I r Pada kasus kawat panjang lurus, diperoleh:
dl
dθ r r µ0I r
B(a ) = k
2 πa
r µ0I
B=
2 πr
Maka:
r r 2 π µ0I
Hukum Ampere:
r r r r
∫ B • dl = ∫2 πr
r dθ = µ0 I
C 0
∫C
∫
B • d l = µ0 J • n da
S
; dl = rdθ 2 πr B = µ 0 I
r r r µ0I
∫ B • dl = ∫ B r dθ B=
2 πr
C C

54. 2. Medan magnet dari suatu kawat konduktor koaksial dengan jari-jari bagian
dalam a dan bagian luar b.
Untuk lingkaran yang berjejari r, maka :
r r
∫
b
B • d l =2πrB
a
Maka medan magnet masing-masing daerah adalah :
2πrB = µ0I ;a<r<b
2πrB = 0 ;r>b

55. POTENSIAL VEKTOR MAGNET

56. Untuk memudahkan perhitungan induksi magnet, kita kembali ke permasalah listrik
statik, dimana :
r r
∇x E = 0
r r r r
Di dalam medan magnet, kita ketahui bahwa: ∇ x B ≠ 0 namun ∇ • B = 0
Sehingga secara umum, bahwa:
r r r
∇•∇x F = 0 dimana F adalah vektor sembarang
Dengan demikian dapat didefinisikan bahwa:
r r r
∇ • (∇ x A ) = 0
r r r
B = ∇xA
Dengan syarat bahwa: r r r
∇ x B = µ0J
( )
r r r r
∇ x ∇ x A = µ0J
( )
r r r r2r r
∇ ∇ • A − ∇ A = µ 0 J .......... .......... .....( 1)

57. Telah kita ketahui bahwa:
r r
∇•B = 0
( )
r r r
∇• ∇xA = 0
r r
Dengan mendefinisikan bahwa ∇ • A = 0 maka:
r2r r
∇ A = −µ0 J
Dimana A adalah potensial vektor magnet. Pertanyaannya adalah bagaimana
formula untuk A:
Solusi:
r r r
r r µ0 d l1 x (r2 − r1 )
B(r2 ) = I1 ∫ r r3
4π C r2 − r1
1
rr r r
µ0 J (r1 ) x (r2 − r1 ) µ0 r r r 1
= ∫ r r3 dV1 = − ∫ J (r1 ) x ∇2 r r dV1
4π V r2 − r1 4π V r2 − r1
1 1

58. Ingat: r r r r r r 1 r r
∇ x αF = α∇ x F + ∇αF ;α= r r dan F = J
r2 − r1
rr
r J (r1 ) 1 r rr r 1 rr
∇2 x r r = r r ∇2 x J (r1 ) + ∇2 r r x J ( r1 )
r2 − r1 r2 − r1 r2 − r1
rr rr
r r µ0 r J (r1 ) r  µ0 J (r1 ) 
Maka: B( r2 ) =
4π V∫ ∇2 x r r dV1 = ∇2 x 
r2 − r1 ∫
r r dV1 
 4π V r2 − r1 
1  1 
Potensial vektor magnet didefinisikan sebagai:
r r r r r
B(r2 ) = ∇2 x A(r2 ) ; maka :
rr
r r µ J (r )
A(r2 ) = 0 r 1 r dV1
∫
4π V r2 − r1
1
rr
r r µ J (r )
A(r1 ) = 0 r 2r dV2
∫
4π V r1 − r2
2

59. MEDAN MAGNET PADA RANGKAIAN JARAK JAUH
r r
Sirkuit jauh artinya: r2 >> r1
r
r1 r
r2
I ∞
r r
1
r2 − r1
r r −1
( r r
= r2 − r1 = r2 + r12 − 2 r1 • r2
2
)
−1 / 2
r r r −1/ 2 Diuraikan dalam bentuk
1  2 r1 • r2 r1 
= 1 − 2
+ 2 deret Binomial
r2  r2 r2 
2 r r
r2 = r2 • r2
r r
r12 = r1 • r1

60. Deret Binomial:
n n −1 n( n − 1) n −2 2
(a + b ) = a + a b +
n n
a b + ... + b n
1! 2!
r r
r •r 1
Dengan harga-harga: a = 1 ; b = −2 1 2 2 ; dan n = −
r2 2
r r r r
1 1  1 2 r1 • r2  1 r1 • r2
r r = 1 + 2 = + 3
r2 − r1 r2  2 r2  r2 r2
r r r
J (r1 ) dV1 → I1 d r1
Maka potensial vektor magnet:
r r r
µ dr
A(r2 ) = 0 I1 r 1 r
∫
4π C r2 − r1
µ0 r r r 1 r r
=−
4πr2
I r xS ; S = −
3 1 2
2 ∫
d r1 x r1 = luas sirkuit
Penurunan rumus dapat dilihat di buku J.R. Reitz dkk,”Dasar Teori Listrik-Magnet.” hal. 221.

61. r r µ0 r r r r
A(r2 ) = − r x m ; m = I1S = momen magnet
3 2
4πr2
r r µ0 r r Artinya bahwa untuk di titik jauh dari sirkuit,
A(r2 ) = 3
m x r2 potensial vektor magnet bergantung pada
4πr2 momen magnetnya
Bagaimana dengan induksi magnetnya ?
r r r r r
B(r2 ) = ∇2 x A( r2 )
r
µ0 r  r r2 
= ∇2 x  m x 3 

4π  r2 

( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r r r r r r r
Gunakan: ∇2 x ( FxG ) = G • ∇2 F + ∇2 • G F − F • ∇2 G − ∇2 • F G
r r
dim ana : F = m
r r2r
G= 3
r2

62. r r r r r
 r2 r  r  r r
( ) ( )
r r r2 r r r r2 r r r2
∇2 x ( m x 3 ) =  3 • ∇2  m +  ∇2 • 2  m − m • ∇2 3 − ∇2 • m 3
r  
r2  2   r2 
3
 r2 r2
r
( r r r2
)
= 0 + 0 − m • ∇2 3 − 0
r2
r r2
( r
= − m • ∇2 3)r
r2
r r r r 1 r2 1
r2
⇒ ∇2 • 3 = −∇2 • ∇2 = −∇ 2 = 0 ; jika r2 ≠ 0
r2 r2 r2
r
(
r r r2
)
⇒ m • ∇ 2 3 = −3
(m • r2 ) r + m
r
r
r2
r
5 3
r2 r2 r2
Maka induksi magnet di sirkuit jauh (dipol magnet) adalah:
r r r
r r µ0  (m • r2 ) r m 
B(r2 ) = 3 5
r2 − 3 
4π  r2 r2 

63. r
Induksi magnet di titik r dari sebuah dipol magnet yang terletak di titik
nol (0):
r r
()
Br =
µ0
r r
(
 m • r r mr
r − 3
)
3 5
4π 
 r r 
Dalam medan magnet, kita mempunyai 2 (dua) potensial yakni: potensial
vektor dan potensial skalar magnet. Sedangkan dalam elektrostatik, kita
hanya mempunyai potensial skalar saja.

64. POTENSIAL SKALAR MAGNET

65. POTENSIAL SKALAR MAGNET
r r r
∇ x B = µ0 J
Persamaan diatas menunjukkan bahwa curl dari induksi magnet sama dengan
nol, jika rapat arusnya nol. Sehingga induksi magnetnya dapat diungkapkan
sebagai gradien dari potensial skalar.
r r
r r * ∇x B = 0
B = −µ0∇φ r r
∇ x ∇φ = 0
Dimana φ* adalah potensial skalar magnet.
r r
Disisi lain bahwa: ∇•B = 0
( )
r r r2
∇ • − µ0∇φ * = −µ0∇ φ* = 0
r2
∇ φ* = 0
Dalam daerah yang tidak mempunyai rapat arus, potensial skalar magnet
memenuhi persamaan Laplace. Sehingga solusinya sama dengan dalam problem
listrik statik.

66. Namun, kita harus hati-hati dalam menerapkan syarat batas. Nilai φ* dari suatu
lintasan/sirkuit yang membawa arus bukan merupakan fungsi yang berharga
tunggal.
Ungkapan potensial skalar dari suatu dipol magnet sangat berguna.
r r r
r r µ0  (m • r2 ) r m 
B(r2 ) = 3 5
r2 − 3 
4π  r2 r2 
Dapat ditulis dalam bentuk :
r r r  m • r2  
r
r
B(r2 ) = −µ0∇  
3 
 4πr2  
r r r 
B(r2 ) = −µ0∇φ * 
maka :
r r
r m • r2
φ * (r2 ) = 3
untuk suatu dipol magnet m.
4πr2

67. POTENSIAL SKALAR DARU SUATU DIPOL MAGNET
Pandang suatu sirkuit besar C yang dibagi-bagi menjadi elemen-elemen kecil
(sirkuit C1), dimana setiap elemen kecil mengalirkan arus yang sama seperti yang
diberikan oleh sirkuit C, maka pada daerah yang berbatasan, arusnya akan saling
menghilangkan, sehingga muatan hanya mengalir (arus) pada sirkuit C saja.
P Potensial skalar magnet di titik nol:
r
r r
() µ
B r = 0 3
r r
(
 m • r r m r
r − 3
)
r 4π  r 5
r 
 
r r
µ0 r m • r
=− ∇ 3
C1 4π r
yang memenuhi:
C
( ) ( )
r r r r r r r r r
∇ (F • G) = G • ∇ F+Gx ∇x F
(
r r
) ( )
r r r r
I + F•∇ G + Fx ∇xG

68. Maka potensial skalar magnet untuk sirkuit kecil C1:
r r
dm • r
dφ* =
m
4 πr 3
Dalam satu sirkuit kecil, arus saling menghilangkan sehingga setiap sirkuit dapat
dianggap sebagai sebuah dipol magnet dengan momen dipol:
r r r
dm = I n da n = vektor normal elemen sirkuit da
Jadi potensial skalar untuk satu sirkuit :
r r
In• r
dφ* =
m 3
da
4 πr
Sehingga potensial skalar untuk sirkuit besar C adalah:
r r Potensial skalar magnet dapat digunakan
* r I n•r
φm (r ) = ∫ 3
da untuk menghitung medan magnet yang
4π r ditimbulkan oleh rangkaian berarus atau
oleh lapisan dipol magnetik (menangani
bahan-bahan magnet).

69. FLUKS MAGNET
r r r r
∫ ∫
Identik dengan fluks listrik φ el = E .d A = E • n da , fluks magnet [Weber, Wb]
didefinisikan sebagai banyaknya garis-garis gaya magnet yang melewati suatu
permukaan dengan luas A.
r r
∫
Φ = B • n da
S
Karena semua garis-garis gaya magnet adalah tertutup, maka total fluks magnet
yang melalui suatu permukaan tertutup A dari suatu volume V harus nol. Hal ini
akibat dari jumlah garis-garis medan yang masuk sama dengan jumlah garis-
garis medan yang keluar dari suatu permukaan tertutup A.
r
dA
r
dA
N S
r r r r
a) dΦ = B.dA ∫
b) Φ = B.dA = 0 c) Φ=0

70. Untuk permukaan tertutup berlaku:
r r r r
∫ ∫
Φ = B • n da = ∇ • B da = 0
S V
Sehingga:
r r yang merupakan bentuk matematik dari
∇⋅B = 0 fenomena fisika, bahwa tidak ada magnet
satu kutub; selalu ada dua kutub yaitu kutub
Utara dan kutub Selatan.

71. BAB III
SIFAT MAGNET DARI BAHAN

72. Setiap bahan tersusun dari atom-atom.
Setiap atom terdiri dari elektron yang dapat bergerak.
Elektron-elektron ini bergerak dalam suatu atom tunggal sehingga
menghasilkan arus yang disebut arus atom (arus sirkulasi).
Elektron-elektron yang bebas atau ion-ion bermuatan bergerak
menimbulkan arus yang disebut arus transport.
Arus atom dan arus transport akan mengakibatkan
medan magnet.

73. A. MAGNETISASI
Setiap arus atom dapat dianggap sebagai dipol magnet secara makroskopis
sehingga setiap atom dapat dinyatakan dengan momen dipolnya:
r
mi = momen dipol ke − i
Maka momen dipol dari suatu elemen volume ∆V ditulis:
r
∑ mi yang meliputi ∆V
Magnetisasi didefinisikan sebagai momen dipol magnet per-satuan volume:
r lim 1 r
M=
∆V → 0 ∆ V ∑i
mi
Secara makroskopis, ∆V sangat kecil akan tetapi secara statistik mengandung
banyak atom.

74. 1. Jika bahan tidak dimagnetisasi, arah dari momen dipol bersifat acak, sehingga:
r r
∑i
mi = 0 ⇒M = 0
2. Untuk bahan yang dimagnetisasi:
r
∑i
mi ≠ 0
Magnetisasi merupakan fungsi dari posisi.

75. Model sederhana dari bahan yang dimagnetisasi segaram
Arus di perbatasan akan saling menghilangkan (tak
ada arus). Arus hanya akan ada di permukaan saja.
Arus permukaan ini mengakibatkan medan magnet.

76. Bahan dimagnetisasi tak-segaram
Bila bahan dimagnetisasi tak-
segaram, kerapatannya berbeda
sehingga terdapat resultan arus
IM (arus magnetisasi).
IM

77. Hubungan antara magnetisasi dan rapat arus magnetisasi
z
1 2
Magnetisasi dalam elemen
∆z
volume 1:
r
∆x M (x ' , y' , z ' )
Magnetisasi dalam elemen
∆y
volume 2:
y r r
 ∂M 2
∂ M 2 
(x’,y’,z’)  M (x ' , y' , z ' ) + ∆y + ∆y + ...
 ∂y ∂y 2 
≈
x r
 ∂M 
 M (x ' , y' , z ' ) + ∆y 
 ∂y 

78. Momen magnet elemen volume 1:
r
M ∆x ∆y ∆z
Momen magnet elemen volume 2:
r
 r ∂M 
 M + ∂y ∆y  ∆x ∆y ∆z
 
 
Komponen-x dari momen
magnet elemen volume 1:
Ia’ Ia”
M x ∆x ∆y ∆z = I' a∆y∆z
Komponen-x dari momen
magnet elemen volume 2: Mx  ∂M x 
 Mx +
 ∆y 

 ∂M x   ∂y 

 Mx + ∆y  ∆x ∆y ∆z = Ia" ∆y∆z

 ∂y 

79. Ia’ Ia”
Mx  ∂M x 
 Mx +
 ∆y 

 ∂y 
Arus magnetisasi ke atas:
 ∂M x 
Ia '− Ia" = M x ∆x −  M x +
 ∆y  ∆x

 ∂y 
∂M x
=− ∆x ∆y
∂y

80. Dengan cara yang sama, kita dapat mengambil elemen volume dalam
arah sumbu-y, sehingga arus magnetisasi keatas adalah:
∂M y
∆x ∆y
∂x
Ia”
 ∂M y 
Ia’  My +
 ∆x 

 ∂x 
My
Kedua arus tersebut menimbulkan arus magnetisasi keatas sebesar:
 ∂M y ∂M x 
Ia = 
 ∂x − ∂y  ∆x ∆y

 
Dimana ∆x∆y adalah luas yang dilalui arus Ia.

81. Rapat arus magnetisasi didefinisikan sebagai:
Ia  ∂M z ∂M y 
(J M )x = = ∂y − ∂z  
∆x ∆y  
 ∂M x ∂M z 
(J M )y = − 
 ∂z ∂x 
 ∂M y ∂M x 
(J M )z =
 ∂x − ∂y  
 
Sehingga rapat arus magnetisasi total adalah curl dari magnetisasi:
r r r
JM = ∇ x M

82. B. INDUKSI MAGNET DARI BAHAN DIMAGNETISASI
Titik medan
r
r : Vektor posisi titik pengamat
r
r' : Vektor posisi titik/sumber medan
r Momen magnet dari elemen volume ∆V’
r r
r − r'
r'
r r
∆m(x ' , y' , z ' ) = M (x ' , y' , z ' )∆V'
r
∆V’
r
r
M
V0

83. 1. Kita tentukan dahulu potensial vektor magnetnya.
Potensial vektor magnet dari dipol magnet diberikan oleh:
r µ0 r r
A= 3
mx r
4 πr
Potensial vektor magnet dari elemen volume ∆V’:
r µ 0 r (r − r ' ) µ 0 r (r − r ' )
r r r r
∆A = ∆m x r r 3 = M x r r 3 ∆V '
4π r − r' 4π r − r'
r
r µ 0 M x (r − r ' )
r r
A= ∫ r r 3 dV'
4π V ' (r − r ')
µ0 r r 1
= ∫
4π V '
M x ∇' r r dV'
r − r'

84. r r r r r r
Ingat !!! ∇ x αF = α ∇ x F − F x ∇α
r
r M 1 r r r r 1
∇' x r r = r r ∇' x M − M x ∇' r r
r − r' r − r' r − r'
r r r
Maka: r r µ 0 ∇' x M µ0 r M
A(r ) = ∫ r r dV' − ∫
∇ x r r dV'
4π V ' r − r ' 4π V ' r − r'
Kesamaan vektor :
r r r r
∫
V
∫ ∫
∇ x F dV = n x F da = − F x n da
S S
Maka :
r r r r
r r µ 0 ∇' x M µ Mxn
A(r ) = ∫ r r dV' + 0 ∫ r r da '
4π V ' r − r ' 4π S r − r'

85. Dengan mendefinisikan rapat arus magnetisasi permukaan (arus
magnetisasi per-satuan panjang yang mengalir melalui permukaan):
r r r
jm = M x n
Maka potensial vektor magnet menjadi:
r r
r r µ0 JM µ0 jm
A(r ) = ∫ r r dV' + ∫
r r da '
4π V ' r − r ' 4π S r − r '
2. Kita tentukan induksi magnetnya.
r
r r µ 0 M x (r − r ' )
r r µ0 r r 1
A(r ) = ∫ ∫
r r 3 dV' = − 4π M x ∇ r − r ' dV'
4π V ' (r − r ') V'
r r
r r r r r µ0 r  r r 1 
B(r ) = ∇ x A (r ) = − ∫ ∇ x  M x ∇ r r  dV'

4π V '  r − r' 


86. r r r r r µ0 r  r r 1 
B(r ) = ∇ x A(r ) = − ∫ ∇ x  M x ∇ r r  dV'

4π V'  r − r' 

∫( )
µ0 r r 2 1 µ0 r r r 1
= ∫
4π V '
M ∇ r r dV' −
r − r' 4π V'
M • ∇ ∇ r r dV'
r − r'
1444r 444 2 3 1444 24444
4r 3
B1 B1
r µ0 r r 2 1 µ0 r r r r
B1 = ∫ M ∇ r r dV' = M 4π δ(r − r ' ) dV' = µ0 M
∫
4π V ' r − r' 4π V '
 
r r 
µ0 r  r (r − r ') µ0 r  r r 1 
∫( )
r µ0 r r r 1
B2 =
4π V '
M • ∇ ∇ r r dV' =
r − r' ∫ ∇  M • r r 3  dV'−
4π V'  r − r' 
∫
4π V'
M x ∇ x∇ r r  dV'
r − r'
 14243 
 

 =0 

 
r  1 r (r − r ' )
 r r

 r *r
= µ 0∇  ∫M • r r 3 dV'  = µ0∇φ ( r )
4π V −
 14'44 r 4r ' 4 
2 4 3
 potensial skalar magnet 
 

87. Maka induksi magnet dari bahan yang dimagnetisasi
r r
[r r r *r
]
B(r ) = µ 0 M ( r ) − ∇φ (r )
Untuk bahan yang tidak dimagnetisasi:
r r r r *r
M = 0 ⇒ B(r ) = −µ0∇φ (r )
3. Kita tentukan potensial skalar magnetnya.
* r 1 r (r − r ' )
r r 1 r r 1
φ (r ) = ∫ M • r r 3 dV' = ∫
M • ∇' r r dV'
4π V ' r − r' 4π V ' r − r'
( )
r' r r' r r' r
Gunakan : ∇ • αF = α ∇ • F + ∇ α • F
1 r
α= r r ;F=M
r − r'

88. r r' r
* r 1 r'  M  1 ∇ •M
φ (r ) = ∫  r r  dV'−
∇ •  r r dV' ∫
4π V '  r − r'  4π V ' r − r '
r r r r
Teorema divergensi:
∫
V
∫
∇ • F dV = F • n da
S
* r
φ (r ) =
1 M•n
r r
1
r' r
−∇ •M ( )
∫r r da '+
4 π S' r − r ' ∫
r r dV'
4π V ' r − r '
r r
Definisikan: ρ M = −∇'• M = Rapat kutub magnet
r r
σM = M • n = Rapat permukaan kuat kutub magnet
Maka potensial skalar magnet menjadi:
r 1 ρM 1 σM
φ* (r ) = ∫ r r dV'+ ∫
r r da '
Analog dengan potensial
4π V ' r − r ' 4 π S' r − r ' listrik statik (elektrostatik)

89. Sehingga induksi magnetnya menjadi:
r r
[ r r r *r
]
B(r ) = µ 0 M (r ) − ∇φ (r )
r µ0  r r 1 r r 1 
= µ0 M −  ρ M (r ' )∇ r r dV'+ σ M (r ' )∇ r r da '
∫ ∫
4π V ' r − r' r − r' 
 S' 
r r r r
r µ0 r (r − r ' ) µ r (r − r ' )
= µ0 M + ∫ρ M ( r ' ) r r 3 dV'+ 0 σ M (r ' ) r r 3 da '
∫
4π V ' r − r' 4 π S' r − r'

90. Contoh:
Suatu bahan berbentuk silinder yang dimagnetisasi segaram searah
panjangnya. r
n r
M r
r r n r
n M M
r r
ρ M = −∇'• M = 0
r r r r
σ M = M • n = 0 jika M⊥n
r r r r
= M • n ≠ 0 jika M tidak ⊥ n
Jadi di selubung permukaan tak ada medan magnet. Kutub magnet hanya
terletak di ujung kiri dan kanan dari bahan.
N S

91. C. INTENSITAS MAGNET; SUMBER MEDAN MAGNET
Medan magnet dapat bersumber dari: arus transport dan bahan yang
dimagnetisasi. Jika kedua sumber tersebut ada, maka induksi magnet dapat
dinyatakan sebagai:
rr
r r µ 0 j( r ' ) x (r − r ' )
B(r ) = ∫
4π V '
r r
[
r r r *r
r r 3 dV' + µ 0 44) −4φ 4)
1 4
M (r ∇ (r
2 43
]
r − r'
14444244443 dari bahan yang dim agnetisasi
dari arus transport
rr r r
Jika arus transport j ( r ' ) dan M ( r ' ) sudah ditentukan, maka induksi magnet dapat
dihitung.
r r
Jika M ( r ' )diketahui, maka rapat kutup magnet ρM dan rapat permukaan kutub
magnet σM dapat dihitung, sehingga potensial skalar magnet dapat ditentukan.
Dalam realita, magnetisasi merupakan fungsi dari medan luar, sehingga:
()
r r r
M=MB

92. Maka induksi magnet sulit dihitung, karena magnetisasinya sendiri
merupakan fungsi dari medan luar. Karena itu dibuat definisi, bahwa:
1 r r r r r r
B(r ) − M (r ) = H (r )
µ0
r r
H (r ) adalah intensitas magnet. Dengan demikian maka:
rr r r
r r j(r ' ) x (r − r ' ) r *r
H (r ) =∫ r r 3 dV' − ∇φ (r )
V' r − r'

93. D. PERSAMAAN MEDAN
Persamaan medan:
r r
∇ • B = 0 berlaku umum, jadi sumbernya tidak hanya dari arus transport
r r r r
∇ x B = µ0 J ( J = arus total)
r r r
J= j
{ + jM
{
arus transport arus magnetisasi
( )
r r r r
∇ x B = µ0 j + jM
Sehingga:
r r r r
∇ x B = µ0 j + µ0 jM
( )
r r r r r
= µ0 j + µ0 ∇ x H ⇒ jM = ∇ x H

94. Maka:
r
( )
r r r
∇ x B − µ0 M = µ0 j
1 24
4 3
µ Hr
0
r r r
∇x H = j (arus transport saja )
Dalam bentuk integral:
∫( )
r r r r r
∫
∇ x H • n da = j • n da
S S
r r
∫
= H • dl
C
Teorema Stokes

95. r
n C adalah lengkungan yang membatasi
permukaan S
C r r r r
∫
C
∫
H • d l = j • n da
S
S
da r r
∫
I = j • n da (arus transport yang melalui S)
S
dl Maka :
r r
∫
C
H • dl = I
Persamaan-persamaan medan menjadi:
Untuk induksi magnet:
r r r r r r
∫ B • n da = 0 ∇•B = 0

∫
B • n da = 0
 ⇒ r r
S S
r r r
∇ x H = j ∫H • dl = I
C

96. SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS
MAGNET

97. I. SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS MAGNET
Diperlihatkan hubungan antara induksi magnet dan intensitas magnet serta juga
magnetisasi untuk memecahkan persoalan dalam teori magnet. Hubungan ini
bergantung pada bahan magnetnya yang dapat diperoleh dari eksperimen.
Dalam kuliah ini kita batasi pada bahan magnet isotrop dan linier, yaitu:
r r
M = χm H
χm adalah suseptibilitas magnet bahan (besaran tidak berdimensi)
Ada tiga kelompok bahan menurut nilai suseptibilitas magnetnya:
1. χm < 0 : bahan diamagnetik
2. χm > 0 , namum χm << 1 : bahan paramagnetik
3. χm > 0 , dan χm >> 1 : bahan ferromagnetik

98. Bila magnetisasi linier terhadap intensitas magnet:
r r
M = χm H
Maka induksi magnet juga linier terhadap intensitas magnet, melalui:
r r r
B = µ0 H + µ0 M
r r
= µ0 H + µ0 χm H
r
= µ0 (1 + χ m )H
r
=µH
µ disebut permeabilitas magnet bahan.
Permeabilitas nisbi (relatif) diberikan oleh:
µ
Km = = 1 + χm
µ0

99. Magnetisasi M sebagai fungsi dari kuat medan H
M M r
B
r
M
r χm < 0
ferromagnetik Bi
r
100 0.01 B
r
M
paramagnetik
r χm > 0
Bi
H
diamagnetik

100. A. BAHAN DIAMAGNETIK
Bahan diamagnetik terdiri atas atom-atom atau molekul-molekul yang
tidak memiliki dipol magnet permanen.
Jika bahan tsb di dalam medan magnet, sehingga terinduksi momen
dipol sedemikian rupa sehingga meda magnet di dalam bahan Bi lebih
kecil daripada medan luar B.
r r
M = χm H
r
B
r
M
r χm < 0
Bi

101. Contoh beberapa bahan diamagnetik (memperlemah medan magnet)
Bahan χm
Bismut -16.4 x 10-5
Tembaga -0.98 x 10-5
Intan -2.2 x 10-5
Air raksa (Hg) -2.8 x 10-5
Perak -2.4 x 10-5
Emas -3.5 x 10-5
Hidrogen (1 atm) -0.22 x 10-8
Nitrogen (1 atm) -0.67 x 10-8
Karbondioksida (1 atm) -1.19 x 10-8
Suseptibilitas magnet diperoleh pada temperatur kamar