数値解析と物理学
- 10. 微分方程式の離散化
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2𝑡𝑡 + 1, 𝑥𝑥 0 = 0
について,𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛Δ𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛 とする.これは
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡𝑛𝑛)
𝑑𝑑𝑑𝑑
= lim
Δ𝑡𝑡→0
𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛+1 − 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛
Δ𝑡𝑡
= 2𝑡𝑡𝑛𝑛 + 1
とかけるから,Δ𝑡𝑡を0に飛ばさない場合として次の近似を得る:
𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛+1 − 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛
Δ𝑡𝑡
= 2𝑡𝑡𝑛𝑛 + 1
∴ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + (2𝑡𝑡𝑛𝑛 + 1)Δ𝑡𝑡
10
- 11. Euler法
微分方程式
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑡𝑡
について,𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛Δ𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛 とし,𝑥𝑥0が与えられているものとする.
このとき,次のような漸化式で𝑥𝑥𝑛𝑛を順に定めていく:
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑡𝑡𝑛𝑛 Δ𝑡𝑡
▪ひとつ前の時刻での𝑥𝑥の値を用いて次の時刻の𝑥𝑥を求める.
11
- 14. 例:放物運動
▪放物運動の場合,
𝑑𝑑2 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
𝑡𝑡 = 0,
𝑑𝑑2 𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑡𝑡2
𝑡𝑡 = −𝑔𝑔
▪これは次のように書き直せる:
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑣𝑣𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡 = 0
,
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑣𝑣𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡 = −𝑔𝑔
14
- 16. Euler法による運動の時間発展の計算
𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛Δ𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛 , 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑛𝑛 とする.但しΔ𝑡𝑡は刻み幅.このとき,加速
度が運動方程式により𝑎𝑎(𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑣𝑣)として与えられるとすると,
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑣𝑣𝑛𝑛Δ𝑡𝑡
𝑣𝑣𝑛𝑛+1 = 𝑣𝑣𝑛𝑛 + 𝑎𝑎(𝑡𝑡𝑛𝑛, 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑣𝑣𝑛𝑛)Δ𝑡𝑡
▪ひとつ前の時刻での位置と速度のみを用いて次の時刻の位置と速度を求
める.
16
- 21. Euler法の誤差
▪Euler法の𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑡𝑡𝑛𝑛 Δ𝑡𝑡 は,つまり
𝑥𝑥 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 +
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡
(𝑡𝑡)Δ𝑡𝑡
▪一方,Taylor展開(厳密に成り立つ展開式)は
𝑥𝑥 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 +
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑡𝑡 Δ𝑡𝑡 +
1
2
𝑑𝑑2 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑡𝑡2
𝑡𝑡 (Δ𝑡𝑡)2 + ⋯
▪これらはΔ𝑡𝑡の1次の項まで一致している(1次近似).
▪Euler法は1次の数値計算スキームである,などという.
21
- 23. 2次Runge-Kutta法
微分方程式
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑡𝑡
について,𝑡𝑡𝑛𝑛 = 𝑛𝑛Δ𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑛𝑛 とし,𝑥𝑥0が与えられているものとする.
このとき,次のような漸化式で𝑥𝑥𝑛𝑛を順に定めていく:
𝑥𝑥′𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛, 𝑡𝑡𝑛𝑛 Δ𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥′𝑛𝑛+1, 𝑡𝑡𝑛𝑛+1 Δ𝑡𝑡
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 =
1
2
(𝑥𝑥𝑛𝑛+1
′
+ 𝑥𝑥𝑛𝑛+1
′′
)
23
- 33. 何が起きているのか?
▪解析解では相空間での軌道は楕円になるはず.
▪𝐻𝐻 =
1
2
(𝑝𝑝2 + 𝑞𝑞2)とおくと,
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑝𝑝
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑞𝑞
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑝𝑝(−𝑞𝑞) + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0より,
𝐻𝐻は𝑡𝑡に対して一定.これは相空間で楕円軌道を描くことを示す.
▪実は𝐻𝐻はエネルギーであり,これはエネルギー保存則である.
▪数値解の軌道がだんだん大きくなるというのは,系のエネルギーがどん
どん大きくなっていっていることを示している.やばそう!
33
- 45. 作用とは何ぞや
▪そのような𝒒𝒒(𝑡𝑡)に対し,Lagrangian 𝐿𝐿(𝒒𝒒 𝑡𝑡 , ̇𝒒𝒒 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡)を決める.
▪Lagrangianの決め方は後述.
▪そのようにLagrangianを決めると,作用𝑆𝑆[𝒒𝒒]を与えることができる:
𝑆𝑆 𝒒𝒒 = �
𝑡𝑡1
𝑡𝑡2
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿(𝒒𝒒 𝑡𝑡 , ̇𝒒𝒒 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡)
▪ 𝑆𝑆[𝒒𝒒]は函数𝒒𝒒(𝑡𝑡)によって変化する函数のようなもの(汎函数).
45
- 50. 例:一次元調和振動子
𝐿𝐿 𝑥𝑥(𝑡𝑡), ̇𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚{ ̇𝑥𝑥 𝑡𝑡 }2−
1
2
𝑘𝑘{𝑥𝑥(𝑡𝑡)}2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥
よって,Euler-Lagrange方程式は
−𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = 0
50
- 51. 例:一次元調和振動子
𝐿𝐿 𝑥𝑥(𝑡𝑡), ̇𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚{ ̇𝑥𝑥 𝑡𝑡 }2−
1
2
𝑘𝑘{𝑥𝑥(𝑡𝑡)}2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥
よって,Euler-Lagrange方程式の1つめは
−𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = 0
51
Newtonの運動方程式
𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = −𝑘𝑘𝑘𝑘
同じ!
- 52. 例:放物運動
𝐿𝐿 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, ̇𝑥𝑥, ̇𝑦𝑦, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚( ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 0
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥
よって,Euler-Lagrange方程式の1つめは
−𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = 0
52
- 53. 例:放物運動
𝐿𝐿 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, ̇𝑥𝑥, ̇𝑦𝑦, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚( ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 0
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥
よって,Euler-Lagrange方程式の1つめは
−𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = 0
53
Newtonの運動方程式
𝑚𝑚 ̈𝑥𝑥 = 0
同じ!
- 54. 例:放物運動
𝐿𝐿 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, ̇𝑥𝑥, ̇𝑦𝑦, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚( ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑦𝑦
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 ̈𝑦𝑦
よって,Euler-Lagrange方程式の2つめは
−𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ̈𝑦𝑦 = 0
54
- 55. 例:放物運動
𝐿𝐿 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, ̇𝑥𝑥, ̇𝑦𝑦, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚( ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑦𝑦
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚 ̇𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 ̈𝑦𝑦
よって,Euler-Lagrange方程式の2つめは
−𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ̈𝑦𝑦 = 0
55
Newtonの運動方程式
𝑚𝑚 ̈𝑦𝑦 = −𝑚𝑚𝑚𝑚
同じ!
- 58. 例:時間並進不変性
▪時間並進:𝑡𝑡 → 𝑡𝑡′ = 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎という,時間をずらす変換.
▪時間並進不変性:𝒒𝒒(𝑡𝑡)がEuler-Lagrange方程式の解であるとき,
𝒒𝒒(𝑡𝑡′)も解になること.
▪Lagrangianが時間並進に対して不変であれば上は満たされる.
▪Lagrangianが時間𝑡𝑡に対して陽に依存しないとき,すなわちLagrangianの
表式に𝑞𝑞 𝑡𝑡 , ̇𝑞𝑞(𝑡𝑡)以外の形で𝑡𝑡がでるということのないような場合,
Lanrangianは時間並進に対して不変となる.
58
- 60. 例:空間並進不変性
▪空間並進:𝒙𝒙𝑘𝑘 → 𝒙𝒙𝑘𝑘′ = 𝒙𝒙𝑘𝑘 + 𝒂𝒂という空間を平行移動する変換.
(𝒙𝒙𝑘𝑘は𝑘𝑘番目の粒子の3次元空間における座標)
▪空間並進不変性:𝒙𝒙(𝑡𝑡)がEuler-Lagrange方程式の解であるとき,
𝒙𝒙𝒙(𝑡𝑡)も解になること.
▪Lagrangianが座標𝒙𝒙𝑘𝑘に依存しないか,依存するとしても座標同士の差
𝒙𝒙𝑘𝑘 − 𝒙𝒙𝑙𝑙 (𝑘𝑘 ≠ 𝑙𝑙)にのみ依存するとき,その系は空間並進不変性をもつ.
(但し必要条件ではない)
60
- 66. 運動量とHamiltonianの定義
▪例 調和振動子
𝐿𝐿 𝑥𝑥, ̇𝑥𝑥, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥2 −
1
2
𝑘𝑘𝑥𝑥2
𝑝𝑝 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
= 𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥
𝐻𝐻 𝑥𝑥, 𝑝𝑝, 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 ̇𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 =
1
2
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥2 +
1
2
𝑘𝑘𝑥𝑥2 =
𝑝𝑝2
2𝑚𝑚
+
1
2
𝑘𝑘𝑥𝑥2
66
- 67. 運動量とHamiltonianの定義
▪例 放物運動
𝐿𝐿 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, ̇𝑥𝑥, ̇𝑦𝑦, 𝑡𝑡 =
1
2
𝑚𝑚( ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2) − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑝𝑝𝑥𝑥 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑥𝑥
= 𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥, 𝑝𝑝𝑦𝑦 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 ̇𝑦𝑦
= 𝑚𝑚 ̇𝑦𝑦
𝐻𝐻 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑝𝑝𝑥𝑥, 𝑝𝑝𝑦𝑦, 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑥𝑥 ̇𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 ̇𝑦𝑦 − 𝐿𝐿 =
1
2
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑝𝑝𝑥𝑥
2
+ 𝑝𝑝𝑦𝑦
2
2𝑚𝑚
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
67
- 69. 正準方程式
̇𝑞𝑞𝑖𝑖 =
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑞𝑞, 𝑝𝑝, 𝑡𝑡
𝜕𝜕𝑝𝑝𝑖𝑖
, ̇𝑝𝑝𝑖𝑖 = −
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑞𝑞, 𝑝𝑝, 𝑡𝑡
𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖
(𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛)
▪これが正準方程式(Hamiltonの運動方程式)で,Hamilton形式における
運動方程式.
▪Euler-Lagrange方程式と等価.
69
- 70. 例:調和振動子
𝐻𝐻 𝑥𝑥, 𝑝𝑝, 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 ̇𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 =
1
2
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥2 +
1
2
𝑘𝑘𝑥𝑥2 =
𝑝𝑝2
2𝑚𝑚
+
1
2
𝑘𝑘𝑥𝑥2
これに対する正準方程式は,
̇𝑥𝑥 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝑝𝑝
𝑚𝑚
, ̇𝑝𝑝 = −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑘𝑘𝑘𝑘
▪これはNewton運動方程式と同じ.
70
- 71. 例:放物運動
𝐻𝐻 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑝𝑝𝑥𝑥, 𝑝𝑝𝑦𝑦, 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑥𝑥 ̇𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑦𝑦 ̇𝑦𝑦 − 𝐿𝐿 =
1
2
𝑚𝑚 ̇𝑥𝑥2 + ̇𝑦𝑦2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝑝𝑝𝑥𝑥
2
+ 𝑝𝑝𝑦𝑦
2
2𝑚𝑚
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
̇𝑥𝑥 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑝𝑝𝑥𝑥
=
𝑝𝑝𝑥𝑥
𝑚𝑚
, ̇𝑝𝑝𝑥𝑥 = −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 0
̇𝑦𝑦 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑝𝑝𝑦𝑦
=
𝑝𝑝𝑦𝑦
𝑚𝑚
, ̇𝑝𝑝𝑦𝑦 = −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝑚𝑚𝑚𝑚
▪これもまたNewton方程式と同じ.
71
- 73. 正準変換
▪一般化座標と一般化運動量の組(𝒒𝒒, 𝒑𝒑)および時刻𝑡𝑡から,新しい組(𝑸𝑸, 𝑷𝑷)を
つくる写像のうち, (𝑸𝑸, 𝑷𝑷)がまた新たな一般化座標と一般化運動量の組
とみなせるようなものを正準変換という.
▪つまり, 𝒒𝒒(𝑡𝑡), 𝒑𝒑(𝑡𝑡) ↦ 𝑸𝑸, 𝑷𝑷 = (𝑸𝑸(𝒒𝒒 𝑡𝑡 , 𝒑𝒑 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡), 𝑷𝑷(𝒒𝒒 𝑡𝑡 , 𝒑𝒑 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡))のうち,
次のような新Hamiltonian 𝐾𝐾(𝑄𝑄, 𝑃𝑃, 𝑡𝑡)の存在するものを正準変換という:
̇𝑄𝑄𝑖𝑖 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑃𝑃𝑖𝑖
, ̇𝑃𝑃𝑖𝑖 = −
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑄𝑄𝑖𝑖
(𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛)
73
- 76. Euler法(再)
▪Euler法:
𝒒𝒒𝑛𝑛+1 = 𝒒𝒒𝑛𝑛 + ℎ
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝒑𝒑
𝒒𝒒𝑛𝑛, 𝒑𝒑𝑛𝑛
𝒑𝒑𝑛𝑛+1 = 𝒑𝒑𝑛𝑛 − ℎ
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝒒𝒒
(𝒒𝒒𝑛𝑛, 𝒑𝒑𝑛𝑛)
但し,
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝒑𝒑
=
𝑡𝑡
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑝𝑝1
, … ,
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑝𝑝𝑛𝑛
のようにして略記した.
76
- 80. Euler法の逆誤差解析
̇𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 𝑡𝑡0 = 𝑥𝑥0
について,刻み幅ℎのEuler法は,
̇𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 −
ℎ
2
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 𝑡𝑡0 = 𝑥𝑥0
に2次まで等しく,
̇𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 −
ℎ
2
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 +
ℎ2
12
(𝑓𝑓′′+𝑓𝑓2 + 4𝑓𝑓′2 𝑓𝑓)(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 𝑡𝑡0 = 𝑥𝑥0
に3次まで等しい.
80
- 82. symplectic Euler法の逆誤差解析
▪1変数のHamiltonian 𝐻𝐻(𝑞𝑞, 𝑝𝑝)に対するsymplectic Euler法
𝑞𝑞𝑛𝑛+1 = 𝑞𝑞𝑛𝑛 + ℎ
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑞𝑞𝑛𝑛+1, 𝑝𝑝𝑛𝑛
𝑝𝑝𝑛𝑛+1 = 𝑝𝑝𝑛𝑛 − ℎ
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
(𝑞𝑞𝑛𝑛+1, 𝑝𝑝𝑛𝑛)
は
𝐻𝐻 2 = 𝐻𝐻 +
ℎ
2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
+
ℎ2
12
𝜕𝜕2 𝐻𝐻
𝜕𝜕𝑝𝑝2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑞𝑞
2
+
𝜕𝜕2 𝐻𝐻
𝜕𝜕𝑞𝑞2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
2
+ 4
𝜕𝜕2 𝐻𝐻
𝜕𝜕𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
をHamiltonianとする系の解に3次まで一致する.
82
- 83. symplectic Euler法の逆誤差解析
▪定理 任意の整数𝑁𝑁 ≥ 1に対して,1変数のsymplectic Euler法を𝑁𝑁 + 1次ま
で近似する方程式として,
𝐻𝐻 𝑁𝑁 𝑞𝑞, 𝑝𝑝 = 𝐻𝐻 𝑞𝑞, 𝑝𝑝 + �
𝑘𝑘=1
𝑁𝑁
ℎ𝑘𝑘 𝐻𝐻𝑘𝑘(𝑞𝑞, 𝑝𝑝)
(但し𝐻𝐻𝑘𝑘(𝑞𝑞, 𝑝𝑝)は𝑞𝑞, 𝑝𝑝の函数)
の形にかける𝐻𝐻 𝑁𝑁 𝑞𝑞, 𝑝𝑝 をHamiltonianとするものが存在する.
▪更に一般的にもいえるらしい.つよい!
83