Многокутник і його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники

Урок №1
ТЕМА УРОКУ: Многокутник і його елементи. Опуклі й не опуклі
многокутники.
МЕТА УРОКУ : Ввести поняття ламаної, многокутника; навчити розрізняти
опуклі й не опуклі многокутники, навчити учнів зображувати та
знаходити на малюнку многокутники і його елементи.
ТИП УРОКУ :засвоєння нових знань.
ОБЛАДНАННЯ: таблиці ( слайди ).
ХІД УРОКУ:
І. Організаційний момент.
Учитель повідомляє учням нову тему, вимоги до рівня знань і вмінь з цієї
теми, дату проведення тематичної контрольної роботи за темою.
ІІ. Оголошення теми й визначення очікуваних результатів.
ІІІ. Вивчення нового матеріалу (інтерактивна вправа «Ажурна пилка»).
Вчитель на попередньому уроці поділив учнів на групи по 5 учнів у кожній
за карточками певного кольору з номерами від 1 до 5. Кожній групі
підготовити певні завдання.
Завдання :
І група - «Жовті»
1. Яка фігура називається ламаною?
2. Поясніть, що є вершинами ламаної, кінцями ламаної.
ІІ група – «Зелені»
1. Яка ламана називається простою ламаною?
2. Що таке довжина ламаної?
3. Сформулювати і довести властивість ламаної.
ІІІ група – «Сині»
1. Сформулювати означення простої ламаної.
2. Сформулювати означення простої замкненої ламаної.
3. Як її ще можна назвати ?
4. Дати означення елементів многокутника.
ІV група – «Червоні»
1. Сформулювати означення плоского многокутника, або
многокутної області.
2. Опуклий і неопуклий многокутники.

V група – «Білі»
1. Дати означення кута опуклого многокутника.
2. Дати означення зовнішнього кута многокутника.
Після оголошення теми і мети уроку діти діляться на «домашні» групи
відповідно до кольору картки і вони в своїх групах проводять самоопитування -
обговорення даних питань. Потім діляться на «експертні групи» по номерам і
обмінюються інформацією. Першими подають інформацію «жовті», потім
«зелені» і т.д. згідно плану уведення нових термінів, поданою кожній групі
учителем.
Сформувавши знову «домашні групи», учитель перевіряє засвоєння
матеріалу. Відповідає та група, яка першою підняла карточку свого кольору і
демонструє відповідь за допомогою таблиці, підготовленої учителем.
Опитування відбувається по домашнім питанням.
Таблиця.
Ламана.
Проста ( немає самоперетину ) Є самоперетин
А3
А2 (ланка)
А4
А1
А5 (кінець)
А2 А7
А3
А6 А4
А1 А5
Довжина ламаної дорівнює сумі довжин ланок.
L = А1А2 + А2А3 + А3А4 + А4А5
Властивість довжини ламаної
А4 L ≥ А1А5
А3
Доведення:
А1А2 + А2А3 + А3А4 + А4А5 ≥ А1А3 + А3А4 +
А5 А4А5 ≥ А1А4 + А4А5 ≥ А1А5
А2
А1

ОПУКЛІ МНОГОКУТНИКИ
Замкнена ламана
А3 А4
А2
А5
А1 А6
Незамкнена ламана
С3 С4
С2
С5
С1 С6
Проста замкнена ламана
(многокутник)
А3 (сторона) А4
А2 діагональ А5
А1 А7 А6 вершина
( не многокутник)
А2 А3 А4
А1
А6 А5
Плоский многокутник або многокутна
область – скінченна частина площини,
обмежена многокутником.
( многокутник)
Опуклий многокутник Неопуклий многокутник
Кут (внутрішній) опуклого
многокутника (< А2А3А4 )
А2 А3
А1
А5 А4
Зовнішній кут опуклого
многокутника ( < NMK )
L N
F
Е M K

ІV. Засвоєння нових знань, умінь, навичок.
1. За рисунками назвати номери фігур, що є ламаними, простими
ламаними, замкнутими ламаними, многокутником, опуклим
многокутником.
1 2
3
4
6 7
5
9
8
2. Чи можна побудувати многокутник зі сторонами 4, 3, 10, 11, 37 см?
Чому ?
3. Учителем подається таблиця завдань для кожного ряду. Біля дошки
працює три учня з кожного ряду.

1 ряд: Накреслити опуклий семикутник n = 7,і провести всі діагоналі
із якої – небудь його вершини. Скільки отримали трикутників і
діагоналей ?
2 ряд: n = 8 (аналогічне завдання).
3 ряд: n = 9 ( аналогічне завдання ).
Учні разом з учителем обговорюють результати трьох задач і роблять
загальний висновок. Учитель задає додаткове питання: скільки діагоналей у
n – кутника ?
V. Підбиття підсумків, оцінювання результатів уроку.
Учні відповідають на запитання:
1. Що нового ви дізнались на сьогоднішньому уроці ?
2. Яким питанням, на вашу думку, треба приділити більше уваги вдома ?
VІ. Домашнє завдання.
1. § 15
2. № 668 І група
№ 671 ІІ група
№ 691 ІІІ група

Урок №2
ТЕМА УРОКУ: Сума кутів опуклого многокутника.
МЕТА УРОКУ : ознайомити учнів з теоремою про суму кутів опуклого
многокутника ; формувати вміння застосовувати її в ході
розв’язування задач.
ТИП УРОКУ : комбінований.
ХІД УРОКУ.
ІІ. Перевірка домашнього завдання і усні завдання.
Правильність виконання домашніх завдань учні проводять за записами,
зробленими на дошці перед уроком.
Усні завдання.
1. Сформулюйте означення ламаної, поясніть, що є вершинами, ланками
ламаної. Що таке кінці ламаної.
2. Яка ламана називається простою і замкненою ?
3. Як знайти довжину ламаної ? В чому полягає основна властивість
ламаної?
4. Сформулюйте означення многокутника, його вершин, сторін і
діагоналей.
5. Чи можуть сторони п’ятикутника мати довжини
( Ні, так як 3 )
6. В чому різниця між поняттями многокутника і плоского многокутника ?
7. Для яких опуклих многокутників правильно, що їх діагоналі
перетинаються ? ( Для чотирикутників ). Чи правильно для будь – якого
опуклого многокутника ? (Ні ). Яку мають властивість діагоналі будь –
якого опуклого чотирикутника ? ( Лежать всередині його ).
8. Який кут називають внутрішнім ? (зовнішнім) кутом многокутника ?
9. Що таке n – кутник ?
10.Скільки n – кутник має діагоналей ?
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.
Нам відомо, що сума кутів трикутника дорівнює 1800
, сума кутів опуклого
чотирикутника – 3600
.
А як же бути у випадку, коли необхідно знайти суму кутів шестикутника,
двадцятикутника, n – кутника ?
ІV. Оголошення теми та мети уроку.

V. Інтерактивна вправа.
І. Завдання : до кожного рисунку, зображеного на дошці ( слайді), знайти
кількість сторін многокутника n і суму його кутів Sn
1. n = 3
S3 = 1800
2. n =
S4 = 1800
* =
3. n =
S5 = 1800
* =
4. n =
S8 = 1800
* =

5. n =
Sn = 1800
* =
….
Усі запропоновані ідеї і способи їх знаходження до рис. 5 ( і правильні, і
неправильні ) записуються на дошці в порядку їх виголошення.
Потім учитель оформлює запис на дошці у вигляді теореми, а учні
записують у зошити.
Теорема 4.1. Сума кутів опуклого n – кутника дорівнює 1800
( n -2 ).
Дано : n – кутник.
Довести : Sn = 1800
( n – 2 ).
Доведення :
1. Для n = 3 теорема справджується, тобтоS3 = 1800
(n - 2 )=
1800
1 = 1800
2. Нехай n>3. Проведемо з однієї вершини всі діагоналі, які
розіб’ють наш опуклий n- кутник на (n – 2 ) трикутники.
S3 = 1800
– сума кутів трикутника.
Sn = 1800
( n – 2 ) – сума кутів ( n – 2 ) трикутників.
Sn = 1800
( n – 2 )
VІ. Завдання класу.
1. Чи може сума кутів многокутника дорівнювати : а) 19800
; б) 80400
?
Якщо може, то знайти кількість діагоналей цього n-кутника.

2. Скільки сторін має многокутник, якщо сума його кутів дорівнює
18000
?
3. Скільки сторін має многокутник, якщо кожний його кут дорівнює
1500
?
VІІ. Запитання до класу.
1. Чому дорівнює сума внутрішнього й суміжного з ним зовнішнього
кутів n- кутника ? ( 1800
)
2. Чому дорівнює сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів n- кутника ?
( 1800
n )
3. Чому дорівнює сума всіх внутрішніх кутів n- кутника ?( 1800
( n – 2 ))
4. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів n- кутника ?
Sn = 1800
n – 1800
( n – 2 ) = 3600
Висновок. Сума зовнішніх кутів опуклого n- кутника , взятих при одному
при кожній вершині, дорівнює 3600
.
VІІІ. Завдання класу.
1. Скільки сторін має многокутник, якщо всі його кути рівні й зовнішній
кут при вершині становить 360
?
2. Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, у якого сума
внутрішніх кутів на 10800
більша від суми зовнішніх.
ІХ. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія.
Учитель пропонує учням оцінити результати уроку, відповівши на
запитання :
• Що нового ви дізналися на сьогоднішньому уроці ?
• Чи досягли поставленої мети ?
• Що сподобалось під час уроку ?
Х. Домашнє завдання.
1. § 15
2.
№ 672 (І група)
№ 688 (ІІ група)
№ 692 (ІІІ група)

Урок №3
ТЕМА УРОКУ: Вписані й описані многокутники.
МЕТА УРОКУ : узагальнити знання про вписані й описані трикутники та
чотирикутники; формувати вміння учнів розв’язувати задачі, застосовуючи
отримані знання.
ХІД УРОКУ
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
Двоє учнів біля дошки доводять теореми про суму внутрішніх і
зовнішніх кутів n- кутника. В цей час решта учнів дають відповіді на
запитання вчителя :
1) Чому дорівнює сума внутрішніх кутів n- кутника ?
2) Чому дорівнює сума зовнішніх кутів n- кутника, взятих по одному
при кожній вершині ?
Розв’язки домашніх задач коментуються учнями з місця. Після цього
учні, що працювали біля дошки, пояснюють доведення. Потім проводиться
самостійна робота.
Самостійна робота.
Варіант 1.
. 1. Знайти кути опуклого семикутника, якщо їх градусні міривідносяться як
4: 5 : 6 : 7 : 7 : 8 : 8.
. 2. В опуклому многокутнику сума кутів дорівнює 16200. Знайдіть
кількість його сторін і діагоналей.
. 3. В опуклому многокутнику 77 діагоналей. Знайдіть кількість його сторін

і суму кутів.
Варіант 2.
. 1. Знайдіть кути опуклого дев’ятикутника, якщо їх градусні міри
відносяться як 5 : 6 : 7 : 8 : 8 : 9 : 9 : 9 : 9.
. 2. В опуклому многокутнику сума кутів дорівнює 23400
. Знайдіть
кількість його сторін і діагоналей.
. 3. В опуклому многокутнику 54 діагоналі. Знайдіть кількість його сторін і
суму кутів.
ІІІ. Актуалізація опорних знань учнів.
Запитання до класу.
1. Чи завжди навколо трикутника можна описати коло ?
2. Якщо так, то скільки кіл можна описати навколо трикутника ?
3. Де розміщений центр описаного навколо трикутника кола ?
4. Де розміщений центр описаного навколо трикутника кола у випадку,
якщо трикутник : а) тупокутний; б) гострокутний; в) прямокутний ?
5. Чи завжди в трикутник можна вписати коло ?
6. Якщо так, то скільки кіл можна вписати в трикутник ?
7. Де розташований центр кола, вписаного в трикутник ?
8. У який чотирикутник можна вписати коло ?
9. Навколо якого чотирикутника можна описати коло ?
ІV. Формування теми, мети і завдань уроку.
V. Вивчення нового матеріалу.
На попередніх уроках ви вже мали справу з колами вписаними в многокутник
і описаними навколо многокутника.
1) Сформулюйте означення вписаного і описаного многокутників.
2) Нехай многокутник є вписаним ( дивись рисунок 1). Де лежить
центр описаного кола ? Обгрунтуйте.
Е Д
ОО
А С
F B рис.1

3) Нехай многокутник є описаним ( див.рис. 2 ). Де знаходиться центр
вписаного кола ? Обгрунтуйте.
B
K L
A
N
D
M C рис.2
4) При яких значеннях n многокутник являється як вписаним, так і
описаним ? ( n = 3 ).
5) Сформулюйте необхідну і достатню умову того, щоб чотирикутник
був: а) вписаним; б) описаним.
Для многокутників, починаючи з n = 5 важко сформулювати необхідну і
достатню умову того, щоб n – кутник був вписаним або описаним . Тому
розглядатимемо многокутники, які є вписаними, так і описаними. Це є
правильними многокутниками.
Доведення. О
Нехай многокутник АВСД… - правильний
( див.рис.3 ). Проведем бісектриси кутів А і В. Д
Так як кут многокутника менший 1800
, то ці
Бісектриси перетинаються в деякій точці О, Р
Причому трикутник АВС - рівнобедрений.
З’єднаємо точку О з іншими вершинами С
многокутника. АОВ = ВОС ( за І озна- К
кою рівності трикутників). Тому ВОС – А М В
рівнобедрений, причому ОС = ОВ = ОА і
< ОСВ = < ОВС = < ОВА. Аналогічно, ВОС = СОД і т.д.
Із рівності цих трикутників випливає, що точка О рівновіддалена від
вершини многокутника, а значить, що існує коло з центром в точці О , яке
проходить через всі вершини даного многокутника. Із рівності висот,
проведених до основ цих рівних трикутників, слідує, що точка О
рівновіддалена від всіх сторін даного многокутника, тому існує коло, яке
дотикається до всіх його сторін.
Даний многокутник являється як вписаним так і описаним і центри
вписаних і описаних кіл співпадають. Ця точка називається ЦЕНТРОМ
ПРАВИЛЬНОГО МНОГОКУТНИКА.
Центр О правильного многокутника являється точкою перетину бісектрис
всіх його кутів, так і точкою перетину серединних перпендикулярів проведених
до його сторін.

ОА = ОВ = ОС … = R ; ОМ = ОК = ОР … = r .
< АОВ = ; < АОМ =
Для допитливих . Учитель показує таблицю ( слайд ).
r1 + r2 + r3 + r4 = r1 + r2 + r3 + r4
Японська теорема стверджує, що незалежно від того як ми розіб’ємо на
трикутники вписаний в коло многокутник , сума радіусів вписаних в
трикутники кіл величина стала.
І навпаки, якщо сума радіусів вписаних в трикутники кіл не залежить від
способу тріангуляції , то многокутник можна вписати в коло. Японська теорема
випливає з теореми Карсю, це є одна із задач Сангаку.
VІ. Закріплення нових знань і вмінь учнів.
Задача 1. В АВС точка О – точка перетину бісектрис трикутника.
< ВАО = 200
., < АВО = 400
. Знайдіть градусну міру кута С.
В
А
С
Роз’яснення. Оскільки точка О – точка перетину бісектрис трикутника АВС,
то < А = 2 < ВАО = 400
.
< В = 2 < АВО = 800
, < С = 1800
– ( < А + < В ) = 1800
– 1200
= 600
Задача 2. Дано трикутник зі сторонами а см, а см, в см. Знайт радіус кола
описаного навколо трикутника і радіус кола вписаного в даний трикутник.
Обчислити, якщо а = 10 см, в = 12 см

Вказівки до розв’язання. Сформулювати теорему Піфагора ( без доведення ) і
пояснити учням, що з доведенням цієї теореми вони ознайомляться пізніше
( доцільно було б при вивченні теми «Подібність трикутників» розглянути
теорему Піфагора задачею ).
1) В ОК = ВК – ОВ = Н – R ; АО2
= ОК2
+ АК2
АК = ; R2
= ( Н – R2
) + ( )2
2НR = Н2
+ ( )2
= а2
А С
R =
2) В За властивістю бісектриси
а а = = r =
А С
в F
VІІ. Підсумок уроку. Домашнє завдання.
1. § 16
2. № 704 (І група)
№ 718(ІІ група)
№ 724(ІІІ група)
При наявності на уроці вільного часу можна учням запропонувати додаткові
завдання.
Додаткові завдання.
Задача 1. Пятикутник АВСДЕ вписаний в коло діаметром 4.
І АВ І = 2 , І ВС І = І СД І = І ДЕ І = І ЕА І

Знайти периметр АВСДЕ і його кути.
Д
АОВ : І ОА І = І ОВ І = 2
ОL = = = 1 ;
Е С < ОАВ = < ОВА = 300
ВОС = СОД = ДОЕ = ЕОА ( за ІІІ
ознакою).
Нехай х – кут при основі, тоді 8х + 600
=
5400
, х = 600
. ВОС – рівносторонній
(< ВСД = < СВД = 600
), тому І ВС І = І ОВ І
А В = 2
Р = 2 ( 4 + ); три кута по 1200
і два кута по
900
.
Задача 2. Сторони п’ятикутника, взяті послідовно, рівні 4,6,8, 7 і 9 см. Чи
можна в цей п’ятикутник вписати коло ?
Відповідь: Ні. Нехай в п’ятикутнику АВСДЕ : АВ = 4 см, ВС = 6 см, СД = 8 см,
ДЕ = 7 см, ЕА = 9 см. Припустимо, що в нього можна вписати коло, тоді точки
дотику цього кола зі сторонами п’ятикутника : КLМ і Р. За властивістю
дотичних, проведених із однієї точки до кола:
АР = АК = х; ВК = ВL = 4 – х; СL = СМ = 2 + х; ДМ = ДN = 6 – х і ЕN = ЕР = 1
+ х, 1 + 2х = 9< = > х = 4,
І ВК І = 0 – протиріччя !

Урок №4
ТЕМА : Площа многокутника.
МЕТА УРОКУ : ввести поняття «площа многокутника», розглянути
властивості площі многокутника; формувати вміння визначати площу
прямокутника й квадрата, нагадати учням уже відомі їм формули площ.
ХІД УРОКУ.
Двоє учнів працюють біля дошки. Один з них доводить , що правильний n –
кутник є вписаним в коло, а другий – описаним. На дошці заздалегідь
заготовлені рисунки та короткі розв’язки для перевірки розв’язання домашніх
задач. Ще двоє учнів викликаються до дошки для пояснення розв’язків даних
задач.
В звичайному житті на кожному кроці ми зустрічаємося з поняттям
«площа». Що таке «площа» знає кожен. Всі розуміють зміст слів : площа

кімнати, площа садової ділянки.. Поміркуйте і самостійно дайте відповідь на це
питання, що таке «площа» ? І ви помітите, що не так це просто. Навіть
математики змогли створити відповідну математичну теорію порівняно
недавно. Правда, це нікому не заважало успішно використовувати поняття
площа і в науці, і на практиці з давніх часів. Вимірювання площі вважається
одним із самих стародавніх розділів геометрії, так як назва «геометрія»( т.т.
«землемірство» ) зв’язана саме з вимірюванням площ. Згідно легенді, ця наука
виникла в стародавньому Єгипті, де після кожного розливу річки Ніл
приходилось знову робити розмітки ділянок, покритих плодючим мулом , і
обчислювати їх площі. В стародавні часи вважалося, що площі чотирикутників,
сторони яких послідовно мали довжини a,b,c,d , можна знаходити за
формулою S = • . Ця формула знайдена дослідним шляхом ,
неправильна. В цьому ми зможемо впевнитись на прикладі, коли, наприклад,
будемо обчислювати площу паралелограма. Напевно, в стародавні часи
приходилось розглядати ділянки, які мало відрізнялися від прямокутної форми,
а для них похибка була невелика. Лише пізніше були отримані точні формули
для знаходження площ.
Згадаємо фігури, властивості яких ми вивчили. Учні називають і дають
визначення кожної намальованої фігури і називають їх властивості. Учитель
показує таблицю ( слайд ).
Чотирикутник
Паралелограм Трапеція
Квадрат Прямокутник Ромб
На наступних уроках ми виведемо формули площі для даних намальованих
фігур.
Перш, ніж перейти до нового матеріалу, виразіть площу в казаних
одиницях :
36 см2
= … мм2
54 см2
= …дм2
8 см2
= … м2
ІV. Вивчення нового матеріалу.

Учитель викладає матеріал за підручником, використовуючи таблиці
( слайди ).
Таблиця 1 Таблиця 2 Таблиця 3
1. Властивість
Якщо F1 =F2 , то
S(F1) = S(F2)
F1
F2
S(F) = S(F1) +S(F2) +
S(F3)
F1
F2
F3
Sa = a2
a
a

V. Закріплення знань.
Усні вправи. Учитель учням показує рисунки ( слайди).
Задача 1. Знайти площу фігури.
Задача 2. Знайти площу зафарбованої фігури.
Задача 3. Серед наведених фігур вказати :
а ) рівні фігури;
б ) назвати рівновеликі фігури;
в ) площу фігури, яка складається з фігур А і Г.
Задача 4. Площа паралелограма АВСD дорівнює S. Знайти площі трикутників
АВС і АВD.
Задача 5. Площа прямокутника АВСD рівна Q. Знайти площу трикутника
AMD.

Задача 6. За даними на рисунку знайти сторону квадрата а.
Письмові вправи.
Задача 7. Відношення периметрів двох квадратів дорівнює 8. Знайдіть
відношення їх площ.
Розв’язання.
рис. до зад. 1
- 1 см2
3 4
3
4
В
А Б
Г
рис. до зад.4
В С
А Д
С
Д М
R
А В
8
S1 2 a S2
a
S1 = S2

= 8 ; = 8 ; а1 = 8а2 ; S1 = а1
2
; S2 = а2
2
.
S1 = 64а2
2
; = 64
Задача 8. АВСД – рівнобічна трапеція з основами ВС і АД і взаємно
перпендикулярними діагоналями, середня лінія трапеції дорівнює m. Знайти
площу чотирикутника, вершини якого є серединами сторін трапеції.
Розв'язання.
Нехай АВСД – рівнобічна трапеція ( ВС ІІ АД ), ВД АС за умовою. Нехай
B L C KLMN середини сторін АВ, ВС, СД, АД
відповідно. KL є середньою лінією АВС,
а тому KL ІІ АС. Аналогічно з АСД МN
ІІ АС . Отже, KL ІІ MN , а LM ІІ KN (
K M аналогічно ).
Отже, KLMN – паралелограм. Оскільки ВD
АС, то LM MN , тобто KLMN –
прямокутник, а оскільки трапеція
A N D рівнобічна, то BD = AC , звідси випливає,
що LM = MN , а отже, KLMN – квадрат. З
прямокутного трикутника K LM , де KM =
m ( як середня лінія трапеції ) KL2
+ LM2 =
KM2
і 2KL2
= m;
KL2
= . = KL2
= .
VІ. Підбиття підсумків уроку.
Запитання до класу.
1. Про що нове ви дізналися сьогодні на уроці ?
2. Що повторили сьогодні ?
3. Як зміниться площа квадрата, якщо його сторону :
а) збільшити в 5 разів ;
б) зменшити в n разів.
4. Як зміниться площа прямокутника, якщо :
а) збільшити одну з його сторін у 3 рази ;
б) збільшити кожну з його сторін у 2 рази.
5. Чи правильно, що якщо фігури мають однакові площі, то вони рівні ?
6. Чи можуть квадрати, що мають рівні площі , бути не рівними ?
= k , = k2

VІІ. Домашнє завдання.
1. § 17. 2. № 753 , № 765. , № 773.
Урок №5
ТЕМА : Площа паралелограма.
МЕТА УРОКУ : вивести формулу для знаходження площі паралелограма;
формувати навички розв'язання задач із використанням отриманої формули.
ТИП УРОКУ : засвоєння нових знань.
ХІД УРОКУ
ІІ. Перевірка домашнього завдання. Учитель відповідає на запитання учнів, що
виникли в ході виконання домашнього завдання. Після цього учні пишуть
математичний диктант. Після закінчення диктанту учні здійснюють
самоперевірку, дивлячись на правильні відповіді записані на дошці учителем.
Математичний диктант.
Варіант 1.
1. Площа однієї з фігур дорівнює 10 см2
. Чому дорівнює площа рівної їй
фігури ?
2. Фігура розбита на дві прості фігури, площі яких дорівнюють 25 см2
і 10
см2
. Якою є площа цієї фігури ?
3. Чи може площа фігури бути ірраціонально позитивним числом ?
4. Обчисліть площу квадрата зі стороною 1,2 дм.
5. Обчисліть площу прямокутника зі сторонами 0,3 дм і 0,4 дм .
6. Периметр квадрата дорівнює 20 см. Чому дорівнює його площа ?
7. Периметр прямокутника дорівнює 24 см, а одна з його сторін дорівнює 8
см. Знайдіть площу прямокутника .
8. Як зміниться площа прямокутника, якщо одну з його сторін збільшити в
три рази ?
9. Квадрат і прямокутник є рівновеликими. Сторона квадрата дорівнює 6 см,
а одна зі сторін прямокутника - 12 см. Знайдіть другу сторону
прямокутника.
10.Як зміниться площа прямокутника, якщо одну з його сторін збільшити в
m разів, а іншу зменшити в n разів ?
Варіант 2.
1. Площа однієї із двох рівних фігур дорівнює 20 см2
. Чому дорівнює площа
другої фігури ?

2. Фігура площею 75 дм2
розбита на дві прості фігури. Площа однієї з них
дорівнює 12 дм2
. Чому дорівнює площа другої фігури ?
3. Чи може площа фігури бути дробовим позитивним числом ?
4. Обчисліть площу квадрата зі стороною 1,5 дм.
5. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 0,5 м і 0,6 м.
6. Периметр квадрата дорівнює 24 см. Якою є його площа ?
7. Площа прямокутника дорівнює 32 см2
, а одна з його сторін 8 см. Знайдіть
периметр прямокутника.
8. Як зміниться площа прямокутника, якщо його сторону зменшити у два
рази ?
9. Прямокутник і квадрат є рівновеликими. Сторони прямокутника
дорівнюють 16 см і 4 см. Знайдіть сторону квадрата.
10.Як зміниться площа прямокутника, якщо одну з його сторін зменшити в k
разів, а іншу збільшити в n разів ?
Відповіді, які вчитель показує учням записані на дошці ( слайді ) після
закінчення математичного диктанту.
№
завдання
Варіант 1 Варіант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 см2
35 см2
Так (площа може бути
виражена будь-яким
позитивним числом)
1,44 дм2
0,12 дм2
25 см2
(20: 4 = 5 см – сторона
квадрата)
32 см2
(24 : 2 – 8 = 4 см – друга
сторона )
Збільшиться в три рази
3 см (Sкв = Sпр =36 см2
)
Зміниться в разів
Якщо m> n, то збільшиться,
якщо m< n, то зменшиться.
20 см2
62 дм2
Так ( площа може бути виражена
будь-яким позитивним числом )
2,25 дм2
0,3 м2
36 см2
(24 : 4 = 6 см – сторона
квадрата )
24 см ( 32 : 8 = 4 см – друга
сторона )
Зменшиться у два рази
8 см ( Sпр. = 16• 4 = 64 см2
= Sкв. )
Зменшиться в разів
Якщо n> k, то збільшиться, якщо
n < k, то зменшиться
Перед доведенням формули площі паралелограма корисно запропонувати
учням розв’язати задачу.
Задача. Дано : АВСД – паралелограм.

А В АЕ ДС, BF DC ( E є DC, F є DC )
Довести : AED = BFC.
E Д F C
ІV. Вивчення нового матеріалу.
На дошці заздалегідь учитель записує план доведення і рисунок до нього.
План доведення. B C
1. Проведіть висоти паралелограма BЕ
( BE AD ) ; CF ( CF AD ).
2. Розгляньте трикутники ABE і DCF.
3. Доведіть, що ABE = DCF.
4. Позначивши = S1 ; = S2 ;
= S3 , виразіть і через A E D F
S1 , S2 , S3 .
5. Використайте рівність трикутників ABE
і DCF і властивість площ рівних фігур.
6. Зробіть висновок про і
7. Запишіть площу прямокутника EBCF.
8. Запишіть площу паралелограма.
V. Закріплення знань.
Задача 1. ( наслідок із формули площі паралелограма )
Доведіть, що висоти паралелограма обернено пропорційні сторонам, яким вони
відповідають.
Розв'язання :
A B І спосіб.
= a •
= > aha = bhb = > =
= b •
ІІ спосіб.

АЕД AFB як прямокутні
трикутники з рівним гострим кутом (
В = < Д ), отже,відповідні сторони
пропорційні : =
Задача 2. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 15 см, а висота, проведена
до більшої сторони, дорівнює 3 см. Знайдіть другу висоту паралелограма.
Задача 3. Доведіть, що паралелограми, які мають дві рівні сторони, що
належать спільним паралельним прямим, рівновеликі.
B C B1 C1 b
h1
a
A D A1 D1
Дано : АВСД, А1В1С1Д1 – паралелограми.
І АД І = І А1Д1 І ; ( АД ) ( А1 Д1 ) ; ( ВС ) ( В1С1 )
Довести : =
Доведення :
Нехай сторони АД і А1Д1 даних паралелограмів знаходяться на прямій а , а
сторони ВС і В1С1 – на прямій b . Довжини сторін АД і А1Д1 заданих
паралелограмів одинакові, а висоти h і h1 , проведені до цих сторін, є
відстанню між паралельними прямими а і b , тоді :
= І AD І • h = І A1D1 І •h1 =
Задача 4. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого
кута, дорівнює 300
. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти
дорівнюють 8 см і 12 см.

Задача 5. Доведіть, що пряма, яка проходить через точку перетину діагоналей
паралелограма, поділяє його на дві рівновеликі фігури.
B N C
A M D
Дано : АВСД – паралелограм ; О – точка перетину діагоналей.
Довести , що : =
1)
АОМ = СОN (за ІІ ознакою рівності трикутників );
= ;
2)
ВОА = ДОС ( за ІІІ ознакою рівності трикутників )
=
3)
( за ІІ ознакою рівності трикутників )
=
4)
= + +
=
Задача 6. Площа паралелограма дорівнює 45 см2
, а його висота на 3 см більша
від сторони, до якої вона проведена. Знайдіть цю сторону паралелограма та
висоту, проведену до неї.
B C
F
A D
Дано : АВСД – паралелограм; S = 54 см2
;
BF BF – CD = 3 см
Знайти : СД і ВF

Розв'язання : СД = х см, тоді ВF = ( х + 3) см, маємо S = х ( х + 3 );
х2
+ 3х – 54 = 0; х1 = -9, х2 = 6; CD = 6 (см) , BF = 6 + 3 = 9 ( см ).
1. Як знайти площу паралелограма ?
2. Який наслідок випливає з формули знаходження площі паралелограма ?
3. Чи існує паралелограм, сторони якого дорівнюють 4 см і 6 см, а
відповідні висоти 5 см і 3 см?
4. Дано АВСД – ромб. Знайти його площу, якщо АМ = 9 см, ДМ = 4 см.
B C ОМ = = 6 (см)
h = 2OM = 12(cм )
S = AD
A 9 M 4 D
5. Які з паралелограмів, зображених на рисунку рівновеликі ?
1 2 3 4 5
VІІ. Домашнє завдання.
1. § 18, запитання № 1,2,5 на ст.. 166
2.
№ 791
№ 823
№ 829

Урок № 6
ТЕМА : Площа трапеції.
МЕТА УРОКУ : вивести формулу для обчислення площі трапеції; формувати
вміння застосовувати отриману формулу для розв’язування задач.
ХІД УРОКУ
ІІ. Перевірка домашнього завдання .
Учитель перевіряє наявність домашнього завдання й за необхідністю відповідає
на запитання учнів, які виникли при виконанні домашнього завдання до № 791 і
№ 823. В цей час один з учнів виводить формулу площі паралелограма, а інший
записує план розв'язку до задачі № 829.

Розв'язування задач за готовими рисунками. Учні протягом 5 хвилин
обмірковують в парах відповіді на запропоновані задачі. Після закінчення часу,
один з учнів, на якого вказує вчитель, розв’язує першу задачу. Інші слухають
відповідь, в парах рецензують її, ставлять додаткові запитання.
Задачі.
1. На рисунку 1АВСД – квадрат. Знайдіть .
2. На рисунку 2 АВСД – паралелограм. Знайдіть .
3. На рисунку 3 АВСД – прямокутник. Знайдіть .
4. На рисунку 4 АВСД – ромб. Знайдіть .
B C B 12 C B C B
6
A
A D A E D A D
Рис. 1 рис. 2 рис. 3
D
Рис.4
ІV. Формулювання теми, мети і завдання уроку.
V. Вивчення нового матеріалу. Учні самостійно опановують новий матеріал за
підручником.
VІ. Закріплення нового матеріалу.
Задача 1. Знайти ( див.рис. 5 )
Розв'язок :
В 8 С = 4 = 38
А Е 11 Д рис.5

Задача 2. Знайдіть площу рівнобічної трапеції , діагоналі якої перпендикулярні,
а основи дорівнюють 14 см і 18 см.
Дано : АВСД – рівнобічна трапеція.
В М С АД і ВС – її основи.
АД = 18 см, ВС = 14 см,
АС ВД.
Знайти :
Розв'язання : Через точку О – точку
перетину діагоналей трапеції АВСД
проведемо пряму MN, MN AD. Так як
AC BD, то MN = = = 16
( см );
= MN = 16 = 256 ( см ).
Задача 3. Різниця основ прямокутної трапеції дорівнює 10 см, а різниця бічних
сторін – 2 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша діагональ дорівнює
30 см.
Дано : АВСД – прямокутна трапеція ( < А =
B C 900
) з основами ВС і АД, і більшою
діагоналлю ВД = 30 см, АД – ВС =
10см, СД – АВ = 2 см,
Знайти : .
1. Нехай АВ = х, тоді СД = х + 2; ДС1 =
10 см.
З прямокутного трикутника С1СД за
A C1 D теоремою Піфагора СД2
= СС1
2
+ ДС1
2
;
( х + 2 )2
= х2
+ 100; звідси х = 24 ( см ).
2. АВ = 24 см. З прямокутного трикутника
АВД
АД2
= ВД2
– АВ2
= 900 – 576 = 324,
АД = 18 ( см ).
3.ВС = АД – ДС1 = 18 – 10 = 8 ( см ).
= АВ = 24 = 312 ( см2
).
Задача 4. У рівнобічну трапецію вписано коло, точка дотику якого з бічною
стороною трапеції поділяє її на відрізки 3 см і 12 см. Знайдіть площу трапеції.

B M C Дано : АВСД – рівнобічна трапеція;
ВК = 3 см; АК = 12 см.
Знайти : .
K P Розв'язання :
1) АВ = АК + КВ = 3 + 12 = 15 ( см ).
2) Так як в трапецію вписане коло, то
ВС + АД = АВ + СД = 30 ( см ).
3) За властивістю дотичних :
A F N D АК = АN ; BK = BM.
4) BF AD, AF = AN – FN = AK – BM
= 12 – 3 = 9 ( см ).
З прямокутного трикутника ABF BF = = = 12 ( cм2
).
5 ) = BF = 12 = 180 ( см2
).
VІІ. Підбиття підсумків уроку. Вчитель показує рисунки ( слайди ).
Завдання : знайти площу трапеції.
4 8
5 6
12
Рис. 1 рис.2
6 5
Рис.3 14 рис.4 3
VІІІ. Домашнє завдання :
1. § 18 підручника
2.
№ 808 № 834 № 840
Урок № 7
ТЕМА : Площа трикутника.
МЕТА УРОКУ : довести формулу для обчислення площі трикутника;
формувати вміння розв’язувати задачі з використанням отриманої формули.

ХІД УРОКУ
Консультанти перевіряють наявність домашнього завдання й з'ясовують,
розв'язання яких задач слід розглянути в класі.
Розв'язок задачі № 840 розглядається колективно за малюнком зробленим до
неї заздалегідь учителем.
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Учні пишуть математичний диктант і роблять самоперевірку, звірюючись з
відповідями на дошці ( слайді ), поданими вчителем.
Математичний диктант.
Варіант 1.
1. Закінчіть речення: «Площа трапеції дорівнює добутку півсуми …»
2. Знайдіть площу трапеції з основами 8 см і 6 см і висотою 5 см.
3. У трапеції середня лінія дорівнює 6 см, висота – 9 см. Знайдіть площу
трапеції.
4. Площа трапеції становить 40 см2
, її висота – 5 см. Якою є довжина
середньої лінії трапеції ?
5. Чи будуть рівновеликими квадрат зі стороною 6 см і трапеція, висота якої
дорівнює 9 см, а основи – 6 см і 2 см ?
6. Знайдіть сторону квадрата, що є рівновеликим трапеції, висота якої
дорівнює 7 см, а основа – 6 см.
7. Сторони прямокутника дорівнюють основам трапеції. Знайдіть периметр
прямокутника, якщо площа трапеції 20 см2
, а висота дорівнює 5 см.
8. У рівнобічній трапеції кут між бічною стороною й більшою основою
дорівнює 450
. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 16 см і
10 см.
9. У трапецію вписане коло радіусом 4 см. Бічні сторони трапеції
дорівнюють 12 см і 10 см. Знайдіть її площу.
Варіант 2.
1. Закінчіть речення : «Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії
на …»
2. Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 6 см і 10 см, а висота –
4 см.
3. Середня лінія трапеції дорівнює 3 см, а висота – 5 см. Знайдіть площу
трапеції.

4. Знайдіть середню лінію трапеції, висота якої дорівнює 6 см, а площа –
24 см2
.
5. Чи будуть рівновеликими прямокутник зі сторонами 8 см і 6 см і
трапеція, у якої середня лінія дорівнює 12 см, а висота – 4 см.
6. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює площі трапеції з
висотою 5 см і основами 2 см і 8 см.
7. Площа трапеції 30 см2
, її висота дорівнює 6 см. Знайдіть периметр
прямокутника, сусідні сторони якого дорівнюють основам трапеції.
8. У рівнобічній трапеції кут між бічною стороною й більшою основою
. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи 18 см і 10 см.
9. У трапецію вписане коло радіусом 3 см. Бічні сторони трапеції
дорівнюють 22 см і 10 см. Знайдіть її площу.
Відповіді :
№
завд.
Варіант 1 Варіант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
… її основ на висоту трапеції
35 см2
54 см2
8 см
Так ( їхні площі 36 см2
)
7 см ( = = 7 = 49 см2
)
16 см ( Р = 2(а + b)2
= 2 2 S/h )
39 см2
88 см2
( = 2r, сума її
бічних сторн дорівнює її основі )
… висоту трапеції
32 см2
15 см2
4 см
Так ( їхні площі 48 см2
)
5 см ( = = 5 = 25 cм2
)
20 см ( Р = 2 ( a + b )2
= 2 2 S/h )
56 см2
96 см2
( = 2r , сума її бічних
сторін дорівнює сумі її основ ).
ІV. Формулювання теми, мети і завдань уроку.
V. Вивчення нового матеріалу.
Завдання до класу записане на дошці.
1. Порівняти і
В С 2. За рисунком знайти
= …
2.
= = …
А а Д

До конспекту учні записують :
де а – сторона трикутника,
= a , – висота, проведена до сторони а.
VІ. Закріплення нових знань і вмінь учнів.
Усні завдання( умови задач надано у вигляді готових рисунків на дошці ).
Задача 1. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторона дорівнює 2 дм, а
висота, проведена до цієї сторони, дорівнює 3 дм. Чи можна розв’язати цю
задачу, якщо її сформулювати так : знайдіть площу трикутника за його
стороною , що має довжину 2 дм, і висотою, довжина якої 3 дм ?
Задача 2. Чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, якщо його основа
8 см, а бічна сторона – 5 см ?
Задача 3. Знайдіть площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 2 см і
3 см, а кут між ними – 300
.
Задача 4. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його катети
дорівнюють a і b.
До конспекту учні записують
= де a ,b - катети
Письмові завдання.
Задача 5. Раніше було доведено, що сторони паралелограма обернено
пропорційні його висотам. Чи справджується це твердження для трикутника ?
Задача 6. У трикутнику дві сторони дорівнюють 2 см і 4 см. Висота трикутника
, проведена до меншої зі сторін, дорівнює 5 см. Знайдіть висоту, проведену до
більшої висоти.

Задача 7. Знайти площу ромба з діагоналями d1 і d2.
До конспекту учні записують
= d1 d2 , де d1 , d2 – діагоналі ромба
Задача 8. Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною а.До
конспекту учні записують
= , де а = b = с
Задача 9. Площа трикутника дорівнює S. Знайдіть площі трикутників, на які
поділяють даний трикутник його медіани .
= = S
MK = 2 : 1 ,
= 2 S6 , S6 = S : 3 = .
= , S5 = S4 = 2 S6 : 2 = S6 =
S.
Аналогічно : S3 = S2
=
S1 = S.
Зауваження. Використаний нами «метод площ» застосовувався стародавніми
математиками. Зокрема італійський вчений Джовані Чева ( 1648 – 1734 ) довів
за допомогою цього методу дуже корисну теорему, відому сьогодні як теорема
Чеви.
Для допитливих.

А Теорема Чеви. Нехай x, y, z – точки,які
y лежать відповідно на сторонах ВС, АС, і
АВ трикутника АВС. Для того щоб чевіани
z АХ, BY і CZ перетиналися в одній точці,
Н і Д, щоб
B = 1
x C
Задача 10. Знайти відношення площ двох подібних трикутників.
VІІ. Підбиття підсумку уроку.
Наприкінці уроку корисно ще раз повторити з учнями всі формули площ, які
було вивчено в ході уроку.
VІІІ. Домашнє завдання.
1. § 19
2.
№ 861
№ 863
№ 899

Урок №8
ТЕМА : Площа многокутників.
МЕТА УРОКУ : поглибити знання учнів з теми, що вивчається; формувати
вміння застосовувати отримані знання в ході розв’язування задач.
ТИП УРОКУ : удосконалення знань, формування вмінь і навичків учнів.
ХІД УРОКУ
За парти першого і другого рядів сідають учні високого і достатнього рівнів
знань, причому за одну парту сідають учні одного рівня, а за третій ряд – учні
середнього рівня.
Учні перевіряють правильність виконання домашнього завдання за
ксерокопіями карток із розв’язаннями, виданими на кожну парту.
ІІІ. Формування теми, мети і завдання уроку.
ІV. Актуалізація опорних знань.
На кожну парту видається набір формул і набір карток із зображеннями
геометричних фігур. Протягом 3 – 5 хвилин учні повинні для кожної
геометричної фігури знайти відповідну формулу для обчислення її площі.

V. Закріплення, засвоєння навичок і вмінь учнів.
Задачі, в яких вимагається визначити умови, при яких деяка величина
приймає найбільше або найменше значення, називаються задачами «на
екстремум» ( від латинського слова extremum – «крайній» ) або задачами «на
максимум і мінімум» ( від латинських maximum і minimum - відповідно
«найбільше» і «найменше»). Такі задачі часто зустрічаються в техніці , в
повсякденній практичній діяльності людей. Із всіх геометричних задач на
екстремум вважається самою простою і стародавньою : «Який із всіх
прямокутників заданого периметра має найбільшу площу ?» Розв'язок цієї
задачі був відомий ще математиками Стародавньої Греції. Він викладений в
книзі «Початок Евкліда».
Давайте спробуємо розв’язати таку задачу: Яка геометрична фігура з
однаковим периметром має найбільшу площу ? Проведем лабораторно –
дослідницьку роботу.
Клас розбивається на три групи по рядам. Кожна група вибирає один із
видів трикутників ( різносторонній, рівнобедрений, правильний ). Учні можуть
використати формулу Герона для знаходження площі трикутника, з якою
учитель ознайомлює їх ( без доведення ).
До конспекту.
S = ,
p =
Завдання 1 для кожної групи : знайти площу трикутника, якщо = 18 см.

Тут дуже важливо звернути увагу учнів, що трикутник існує, якщо сума двох
його сторін більша за довжину третьої сторони.
На дошці записуються результати розв’язків кожної групи. Наприклад :
І група ( різносторонній трикутник )
а = 3, b = 8, c = 7, S = = ;
a = 5, b = 7, c = 6, S = = ;
a = 4, b = 8, c = 6, S = = .
ІІ група ( рівнобедрений трикутник )
a = 5, b = 5, c = 8, S = =
a = 4, b = 7, c = 7, S = =
a = 2, b = 8, c = 8 , S = =
ІІІ група ( правильний трикутник )
a = b = c = 6, S = = 16
Із усіх наведених прикладів учні роблять висновок, що найбільшу площу має
правильний трикутник.
Завдання 2 : знайти площу прямокутника, якщо його Р = 18 см.
І група : a = 2, b = 7,
ІІ група : a = 4, b = 5,
ІІІ група : a = 4,5 b = 4,5
Учні при виконанні роботи самостійно порівнюють отримані результати кожної
групи і роблять висновок.
Учням пропонується порівняти площі правильного трикутника і квадрата і
зробити висновок.
Учні роблять висновок : найбільшу площу має правильний многокутник у
якого більше сторін.
А якщо у цього многокутника нескінчено багато сторін , то він буде схожий
на круг. Відповідно, найбільшу площу має круг. З формулою площі круга ви
ознайомитесь в 9 класі.

Геометричні задачі, в яких шукається фігура з екстремальними властивостями
серед інших фігур з однаковими периметрами, називаються
ізопериметричними. Такі задачі розглядав давньогрецький математик Зенодор
( ІІ –І ст.. до н.е.).
Наприклад , Зенодор стверджував , що :
1) Із всіх многокутників з однаковим периметром і однаковим числом сторін
найбільшу площу має правильний многокутник ;
2) Із двох правильних многокутників з однаковим периметром більшу
площу має той, у якого число кутів більше;
3) Із всіх плоских фігур з однаковим периметром найбільшу площу має
круг.
Строге доведення третього твердження Зенодора було доведено тільки в ХVІІІ
ст. знаменитим математиком Л. Ейлером. Ізопериметричні задачі відомі під
назвою «задачі Дідонії» за іменем легендарної засновниці міста Карфагена і
його першої цариці Фінікійська цариця Дідона спасаючись від свого брата,
тирана Пігмаліона. Вона відпливла із міста Тіра в 825 році до нашої ери. Після
довгого подорожування корабель приплив до берега Африки. Дідоні
сподобалася земля. Вона звернулася до місцевого предводителя ну мідійців
Ярбу з проханням продати шматок землі. Ярб потребував велику ціну за
шматок землі, який можна обмежити шкурою бика. Але Дідона не розгубилась і
погодилась. Вона розплатилась і відправилась міряти землю. Спочатку вона
розрізала шкуру так, що вийшов тонкий шкіряний ремінь. Ним вона оточила
солідний шматок землі, на якому було засновано велике місто Карфаген. Ярб
був розлючений, так як його ошукали, але він був чесною людиною і
дотримався слова. Так говорить легенда. Отже, Дідона розв’язала задачу : «Яку
найбільшу площу можна оточити мотузкою даної довжини ?» І цю задачу вона
розв’язала блискуче.
Наступні задачі учні виконують за рівнями. Під час розв'язання задач можна
звертатися за допомогою до вчителя. Завдання середнього рівня виконують
учні по черзі біля дошки з поясненнями.
1. Периметр квадрата дорівнює 36 см. Знайдіть його площу.
А 72 см2
Б 24 см2
В 16 см2
2. Знайдіть площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см.
А 48 см2
Б 24 см2
В 96 см2
3. Більша сторона паралелограма дорівнює 5 см., а висоти дорівнюють 2 см
і 2,5 см. Обчисліть другу сторону паралелограма.
А 4 см Б 8 см В 2 см
4. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть його
площу.

А см2
Б 9 см2
В 4 см2
5. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 10 см. Знайдіть його
площу.
А 90 см2
Б 45 см2
В 30 см2
6. У трикутнику АМВ < АМВ = 900
, МВ = 4 см, < В = 450
. Знайдіть площу
трикутника АМВ.
А 4 см2
Б 8 см2
В 16 см2
7. Площа прямокутника становить 48 см2
, одна з його сторін дорівнює 6 см.
Знайдіть периметр прямокутника.
А 30 см Б 56 см В 28 см
8. Площа трапеції становить 48 дм2
, висота дорівнює 6 дм, а одна з основ – 4
дм. Знайдіть другу основу трапеції.
А 6 дм Б 8 дм В 12 дм
Завдання достатнього та високого рівнів.
Варіант 1.
1. (Д) Менша основа і менша бічна сторона прямокутної трапеції
дорівнюють а см, а один з кутів – 450
. Знайдіть площу трапеції.
2. (В) Довести, що площа описаного чотирикутника дорівнює добутку його
півпериметра на радіус вписаного в нього кола : S = pr.
Варіант 2.
1. (Д) Менша основа прямокутної трапеції дорівнює а см, а гострий кут –
300
. Знайдіть площу трапеції, якщо менша діагональ утворює з основою
кут 600
.
2. (В) Довести, що для довільного трикутника, площа якого S, зі сторонами
a,b,c , півпериметром р і радіусом вписаного кола r , виконується
співвідношення
S = pr ,
Учні, які виконують завдання достатнього і високого рівнів, можуть працювати
в парах. Розв'язки цих задач розглядаються біля дошки.
Домашнє завдання.
1. Повторити вивчені формули для обчислення площ плоских фігур.
2. Розв'язати задачі.

Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника з
гіпотенузою с .
У ромбі діагоналі відносяться як 1 : 2, а площа ромба дорівнює 36 см2
.
Знайдіть сторону і висоту ромба.
Теорема Вариньйона: Середини сторін чотирикутника є вершинами
паралелограма, площа якого дорівнює половині площі чотирикутника.
Урок №9
ТЕМА : Многокутники. Площі многокутників.
МЕТА УРОКУ : узагальнити й систематизувати знання, вміння й навички
учнів з теми; розвивати навички самоконтролю.
ТИП УРОКУ : узагальнення та систематизація знань, умінь і навичок.
ХІД УРОКУ
Учні об’єднуються в групи, кожна з яких складається з учнів з різним рівнем
підготовки. У групах вибираються консультанти.

Учитель перед уроком перевіряє виконання домашнього завдання у
консультантів. На уроці консультанти перевіряють його виконання в своїх
групах.
ІІІ. Формування теми, мети і завдань уроку.
ІV. Актуалізація опорних знань учнів.
Проводиться у формі бліц – інтерв’ю . Група, що дала найбільшу кількість
правильних відповідей, заробляє бонус – 1 бал. У задачах учням пропонується
тільки намітити хід розв’язування за рисунками, зробленими заздалегідь на
дошці.
Запитання бліц – інтерв’ю.
1. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами а і b .
2. Знайдіть сторону квадрата, площа якого становить S .
3. Знайдіть площу паралелограма, в якому висота завдовжки h опущена на
сторону, що дорівнює a .
4. Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють a і
b.
5. Знайдіть площу трикутника за висотою, що дорівнює a , проведеної до
сторони завдовжки d.
6. Знайдіть висоту прямокутного трикутника , проведену до гіпотенузи
завдовжки c , якщо катети трикутника дорівнюють a і b.
7. Площа прямокутного трикутника S. Його висота, проведена до
гіпотенузи, дорівнює h. Чому дорівнює радіус, описаного навколо цього
трикутника кола ?
8. Діагоналі ромба дорівнюють d1 і d2 . Знайдіть його площу, сторону,
висоту.
9. У рівнобічній трапеції відомі всі сторони. Як знайти її висоту, площу,
радіус описаного кола ?
10.У певному многокутнику всі сторони й кути рівні. Визначте кількість
сторін многокутника, якщо його внутрішній кут у двічі більший за
зовнішній.
V. Узагальнення набутих навичок і вмінь учнів.
Усім групам даються однакові різнорівневі завдання. Консультант групи
організовує роботу всіх членів групи так, щоб кожний виконав певну частину
роботи. Група вважається готовою до презентації розв’язань задач біля дошки
за умови, що будь – який член групи може провести презентацію. Група, що
виконала завдання раніше відведеного часу, розв’язує додаткову задачу, за
правильне розв'язання якої група одержує бонус – 2 бали додатково.
Завдання групам.

1. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів якого
.
2. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його діагональ на відрізки
15 см і 20 см. Знайдіть площу прямокутника.
3. Більша основа і більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнюють
а см, а один з кутів – 600
4. Пряма, паралельна основі трикутника, ділить його на трикутник і
чотирикутник, площі яких відносяться як 25 : 24. Знайдіть периметр
меншого трикутника, якщо периметр більшого дорівнює 21 см.
Додаткова задача.
Виразіть площу шестикутника , у якого рівні всі кути й всі сторони, через
радіус вписаного в нього кола.
VІ. Релаксація.
Без знань про площу многокутників неможливо уявити розвиток архітектури і
дизайнерське мистецтво. Дякуючи точним розрахункам площ створюються
шедеври, такі як у соборах має місце вислів видатного французького
архітектора Ле Корбюз'є : «Человеку , сведущему в геометрии и работающему с
нею, становятся доступнь … все те вь сшие наслаждения, которь е назь ваются
наслаждениями математического порядка … Я думаю, что никогда до
настоящего времени мь не жили в такой геометрический период. Стоит
поразмь слить о прошлом, вспомнить то, что бь ло ранее, и мь будем
ошеломлень видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой,
истинной, в наших глазах. Всё вокруг – геометрия. Никогда мь не видели
так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, вь
полнень х так отчётливо, с такой тщательностью и так суверенно.»

Бліц –кросворд.
Учитель читає запитання, групи заповнюють кросворд, підготовлений для
кожної групи.
По горизонталі :
2 . Множина точок площини, рівно-
Віддалених від однієї точки
( коло ).
3 . Трикутники, у яких відповідні
сторони пропорційні й відповід-
ні кути рівні ( подібні ).
5 . Чотирикутник, у якому тільки
дві сторони паралельні
( трапеція )
По вертикалі :
1 . Паралелограм, у якого всі
сторони рівні ( ромб ). 3 . Ключове слово нашої останньої теми (площа ).
4 . Сторона прямокутного трикутника ( катет).
VІІ. Підбиття підсумків уроку.
1. Консультанти груп і вчитель оцінюють роботу групи в цілому й
кожного учня окремо.
2. Кожний учень піднімає кольоровий квадрат : зелений – задоволений
своєю роботою на уроці, жовтий – не дуже задоволений, червоний – не
задоволений. Учитель з'ясовує причини, через які учень не досяг

бажаних результатів, визначає, що потрібно виправити, на що звернути
увагу під час підготовки до контрольної роботи.
VІІІ. Домашнє завдання.
Повторити пройдений теоретичний матеріал.
1. Розв'язати задачі :
Через вершину трикутника проведіть пряму так, щоб вона розбила
його на два трикутника, площі яких відносяться як :
1) 2 : 1 ; 2) 2 : 3.
На сторонах рівностороннього трикутника поза ним побудовані
квадрати. Вершини квадратів послідовно сполучені. Знайдіть площу
отриманого шестикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 2 см.
Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на
відрізки, один із яких на 2 см менший за інший. Знайдіть площу трикутника,
якщо гіпотенуза й другий катет відносяться як 5 : 4.

ТЕМА УРОКУ : Контрольна робота.
МЕТА УРОКУ : перевірити рівень знань учнів з теми, вміння застосовувати
отримані знання при розв’язуванні задач.
ТИП УРОКУ : контроль і корекція знань, умінь і навичок.
ХІД УРОКУ
ІІ. Контрольна робота.
Варіант 1.
10
. Чому дорівнює сума кутів опуклого восьмикутника ?
20
. Основи трапеції дорівнюють 8 см і 4 см, а її висота – 3 см. Знайдіть
площу трапеції.
30
. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, а бічна сторона – 17
см. Знайдіть площу трикутника.
4•
. Кут між висотами паралелограма , проведеними з вершини тупого кута,
. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють
8 см і 14 см.
5•
. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 50 см, а різниця
діагоналей – 20 см.
6••
. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника поділяє катет на
відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника.
Варіант 2.
10
. Чому дорівнює сума кутів опуклого семикутника ?

20
. Знайдіть площу паралелограма, сторона якого дорівнює 12 см, а висота,
проведена до неї – 7 см.
30
. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого
дорівнює 15 см, а висота, проведена до основи – 9 см.
4•
. Радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, дорівнює 4 см, а гострий
кут трапеції – 300
5•
. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 20 см, а одна з
діагоналей на 8 см більша за другу.
6••
. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу
на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть площу трикутника.
ІІІ. Домашнє завдання.
Як домашню контрольну роботу виконати протилежний варіант контрольної
роботи.

Многокутник і його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Многокутник і його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники

Similar to Многокутник і його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники (20)

More from sveta7940

More from sveta7940 (20)

Многокутник і його елементи. Опуклі й неопуклі многокутники