Rによるやさしい統計学第20章「検定力分析によるサンプルサイズの決定」
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R初心者向け講座「Rによるやさしい統計学第20章『検定力分析によるサンプルサイズの決定』」20140222 TokyoR #36
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- 1. Rによるやさしい統計学 第20章「検定力分析によるサンプル サイズの決定」 株式会社リクルートコミュニケーションズ データサイエンティスト 尾崎 隆 (Takashi J. OZAKI, Ph. D.) 2014/2/20 1
- 3. 注意点 肝心の僕が『Rによるやさしい統計学』2月になるまで読んだこと ありませんでした 今回の講師も @yokkuns から 「TJOさんサンプルサイズのブログ記事 書いてたってことは詳しいと思うのでお願い していいですよね？」 と頼まれて、一度断ったものの2回目に頼まれてさすがに断れな かったのでお引き受けした次第 よって内容は結構適当ですごめんなさい 2014/2/20 3
- 8. 端的に言えば 1.対立仮説が真である時に 2.帰無仮説が棄却される確率 = P([帰無仮説を棄却] | [対立仮説が真]) 2014/2/20 8
- 16. では、検定力とはどうやって決まる？ 1.有意水準 2.対立仮説のもとでの母集団に おける効果の大きさ 検定力 （効果量 effect size） 分析 3.サンプルサイズ 3つのバランスによって検定力は決まる 2つを固定することで残り1つの最適値を決めることもできる 2014/2/20 16
- 18. 検定力の大小で、検定の結果は変わってしまう 事後分析 既に結果の出た検定に対して「検定力が ○○だったから△△だった」というように原因 究明するためのもの 事前分析 （特に）「○○ぐらい検定力が欲しいので サンプルサイズを◇◇ぐらいにしたい」という ように、これから行う検定を最適化するため のもの 2014/2/20 18
- 20. モンテカルロ法の要領でやってみる 検定力とは 対立仮説が正しい時に有意な結果が得られる確率 でも、あるサンプルサイズのデータの検定力を知るにはどうしたら 良い？ 1回こっきり検定しても何も分からない そこで、シミュレーションしてみよう 意図的に、対立仮説が当てはまり、なおかつサンプルサイズの決 まった母集団を2つ用意する そこから標本をn回無作為に抽出して、毎回t検定する そのうち何回有意（ここではp < 0.05）だったかを見れば、検 定力の近似値が求まる！ 2014/2/20 20
- 21. とりあえずベタっとやってみる > tval<-numeric(length=10000) # t値を格納する変数 > count_sig<-0 # 有意な結果を返す検定の総回数 > for (i in 1:10000) { # 10000回のモンテカルロシミュレーション + # 母集団を以下の通りサンプルサイズn = 10で2つ定める + group1<-rnorm(n=10,mean=0,sd=1) # 平均0、標準偏差1 + group2<-rnorm(n=10,mean=0.5,sd=1) # 平均0.5、標準偏差1 + res<-t.test(group1,group2,var.equal=T) # 結果を一時格納 + tval[i]<-res[[1]] # t値そのものを格納する + count_sig<-count_sig+ifelse(res[[3]]<0.05,1,0) # 有意ならカウント +} > count_sig/10000 # 最終的に有意だった割合＝検定力は？ [1] 0.1849 # サンプルサイズ10の時の検定力は0.185ぐらい 2014/2/20 21
- 22. そこでt値の分布を見てみる > hist(tval,breaks=100,freq=F) # ヒストグラムを描く。縦軸はDensityに t分布っぽく見えるかも？ 2014/2/20 22
- 23. そこで帰無仮説に従う自由度18のt分布を重ねてみる > curve(dt(x,df=18),add=T,col=‘blue’,lwd=2) # curve関数とdf関数を使う あれ、重ならない？ 2014/2/20 23
- 25. 一旦こいつから棄却域を出してみる > qt(0.025,df=18) # 下側5%棄却域 [1] -2.100922 > qt(0.025,df=18,lower.tail=F) # 上側5%棄却域 [1] 2.100922 > length(tval[abs(tval)>qt(0.025,df=18,lower.tail=F)]) # 棄却域の値を出す [1] 1849 > count_sig [1] 1849 # 上の値と一致してますね！ 2014/2/20 25
- 26. ところで、非心t分布のパラメータの求め方 独立な2群のt検定では、検定統計量の標本分布の非心度δ は 1 2 1 1 n1 n2 なので、それぞれ代入すると非心度は 0.0 0.5 0.5 1.118 1 1 1 1.0 10 10 5 ※この辺の詳細は『サンプルサイズの決め方』参照のこと 2014/2/20 26
- 27. そこで、非心t分布を重ねてやる（dt関数でいける） > hist(tval,breaks=100,freq=F) > curve(dt(x,df=18, ncp=-0.5*sqrt(5)),add=T,col=‘col’,lwd=3) # 引数ncpが非心度、無理数はできるだけ式の形で表す 2014/2/20 27
- 28. 詳細について学びたければ改めてこちらを 非心t分布に拠った サンプルサイズの計算方法が これでもかというくらい 解説されています。。。 ※今回はその話はざっくり 割愛します 2014/2/20 28
- 32. 先ほどの例をそのままやってみる（t検定の場合） > power.t.test(n=10,delta=0.5,sd=1,sig.level=0.05,power=NULL,strict=T) # n: サンプルサイズ, delta: 平均値の差, sd: 標準偏差 # sig.level: 有意水準, power: 検定力, strict: Trueだと厳密な両側検定 # 知りたい値をNULLにして空けておく Two-sample t test power calculation n = 10 delta = 0.5 sd = 1 sig.level = 0.05 power = 0.1850957 # ←モンテカルロ法の結果とほぼ同じ！ alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group 2014/2/20 32
- 33. 先ほどの例をそのままやってみる（t検定の場合） > power.t.test(n=10,delta=0.5,sd=1,sig.level=0.05,power=NULL,strict=F) # 両側検定の厳密性の指定を外してみた Two-sample t test power calculation n = 10 delta = 0.5 sd = 1 sig.level = 0.05 power = 0.1838375 # ←ちょっとずれた。。。 alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group 2014/2/20 33
- 35. 先ほどの例で検定力を0.8にしてみる（t検定の場合） > power.t.test(n=NULL,delta=0.5,sd=1,sig.level=0.05,power=0.8,strict=T) Two-sample t test power calculation n = 63.76561 # ←n = 64以上が良いという結論になった delta = 0.5 sd = 1 sig.level = 0.05 power = 0.8 alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group 2014/2/20 35
- 38. 引数は4つ、3つを固定して残り1つをNULLにして求める d, h, k, w, f, f2, r Cohenのeffect size （後で） n サンプルサイズ sig.level 有意水準 power 検定力 （大体0.8ぐらいに 固定するのが普通） 2014/2/20 38
- 39. Effect size（効果量）とは？ 端的に言えば「検定が有意な時にどれほどの効果が あるのか」を表すインデックス 例えば以下の2ケースを比べてみると： 鉛筆工場の製造ライン2つの鉛筆を比べたら、 p < 0.05で長さの平均値の差が0.1mm Effect sizeは小さい（意味のない有意差） ある睡眠薬による睡眠時間の延長量を比べたら、 p < 0.05で差が2時間 Effect sizeは大きい（普通のヒトの睡眠時 間を考えたら2時間増は意味がある） 2014/2/20 39
- 40. Effect sizeは検定力と併せて検討すべし 一般に、サンプルサイズを大きくしようとすればするほどコストがかかる Effect sizeが大きければサンプルサイズが小さくても有意になりやすいが、 その逆もまた然り 母集団にある程度のeffect sizeがあると仮定するなら、「確率0.8程度 の確かさ（＝検定力）で有意な結果が得られたらハッピー」と期待して サンプルサイズを小さめに決めるという手もある 実際のeffect sizeが小さかったらその分有意になりづらいのでOK 例えば、effect sizeが小さいうちは有意にならなくてもよくて、effect sizeが大きければ有意になるようにしたければ、そのようにサンプルサイズ を小さめに決めれば良い テキストの「新しく開発されたダイエット食品」の例 要は「何と何のトレードオフなら取れるか」でしかない 2014/2/20 40
- 41. Cohen’s dなど「Cohenのeffect size」とは？ Jacob Cohenが“Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences” (1988)で提唱したeffect sizeの小・中・大の基準 関数名 Cohen’s 小 中 大 pwr.2p.test h 0.2 0.5 0.8 pwr.2p2n.test h 0.2 0.5 0.8 pwr.anova.test f 0.1 0.25 0.4 pwr.chisq.test w 0.1 0.3 0.5 pwr.f2.test f2 0.02 0.15 0.35 pwr.norm.test d 0.2 0.5 0.8 pwr.p.test h 0.2 0.5 0.8 pwr.r.test r 0.1 0.3 0.5 pwr.t.test d 0.2 0.5 0.8 pwr.t2n.test d 0.2 0.5 0.8 2014/2/20 41
- 42. t検定のサンプルサイズを求める > pwr.t.test(n=NULL,d=0.5,sig.level=0.05,power=0.8) # Cohen’s d = 0.5（中）で固定 Two-sample t test power calculation n = 63.76561 # n = 64が必要ということ d = 0.5 sig.level = 0.05 power = 0.8 alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group 2014/2/20 42
- 43. t検定のサンプルサイズを求める > pwr.t.test(n=NULL,d=0.8,sig.level=0.05,power=0.8) # Cohen’s d = 0.8（大）に上げてみた Two-sample t test power calculation n = 25.52457 # n = 26と、小さいサンプルサイズに d = 0.8 sig.level = 0.05 power = 0.8 alternative = two.sided NOTE: n is number in *each* group 2014/2/20 43
- 44. cohen.ES関数でeffect sizeを呼び出す 実はcohen.ES関数で、Cohenが提唱した小・中・大 それぞれのeffect sizeの値を呼び出すことができる > cohen.ES(test=“t”,size=“medium”) # t検定の「中」 Conventional effect size from Cohen (1982) test = t size = medium effect.size = 0.5 > cohen.ES(test=“anov”,size=“large”) # ANOVAの「大」 Conventional effect size from Cohen (1982) test = anov size = large effect.size = 0.4 2014/2/20 44
- 45. ややこしい例(1): ANOVA > pwr.anova.test(n=NULL,f=0.25,k=5,sig.level=0.05,power=0.8) Balanced one-way analysis of variance power calculation k = 5 # 群の数 n = 39.1534 # 群ごとのサンプルサイズ f = 0.25 sig.level = 0.05 power = 0.8 NOTE: n is number in each group 2014/2/20 45
- 46. ややこしい例(2): 一般化線形モデル > pwr.f2.test(u=4,v=NULL,f2=0.35,sig.level=0.05,power=0.8) # 一般化線形モデルについては与える引数が独特 # u: 説明変数側の自由度, v: 目的変数側の自由度 Multiple regression power calculation u = 4 # 「説明変数の自由度を」4に固定 v = 34.14884 # 「目的変数の自由度が」35以上 f2 = 0.35 sig.level = 0.05 power = 0.8 2014/2/20 46
- 48. Stack Overflowに出ていたやり方（2群のt検定） > set.seed(45) # 単に再現性を出すため > x <- rnorm(10, 10, 1) > y <- rnorm(10, 5, 5) > > cohens_d <- function(x, y) { + lx <- length(x)- 1 + ly <- length(y)- 1 + md <- abs(mean(x) - mean(y)) # 平均値の差 + csd <- lx * var(x) + ly * var(y) + csd <- csd/(lx + ly) + csd <- sqrt(csd) # Common error varianceはこれで出せる + + cd <- md/csd # これでCohen’s dが求まる +} > res <- cohens_d(x, y) > res [1] 0.5199662 # 0.5はCohen’s dとしては結構デカい方 2014/2/20 48