プログラマのための線形代数再入門2 〜要件定義から学ぶ行列式と逆行列

プログラマのための線形代数再入門 2
∼要件定義から学ぶ行列式と逆行列∼
@taketo1024
2015/03/27 第2回プログラマのための数学勉強会

今回の目標
ただの計算地獄だった行列式と逆行列を
システム開発の文脈で説明し直し、
プログラマが納得して使えるようになること。

行列式 (determinant)
A =
✓
1 2
3 4
◆

A =
✓
1 2
3 4
◆
detA =
1 2
3 4
= 1 · 4 2 · 3

A =
✓
1 2
3 4
◆
detA =
1 2
3 4
= 1 · 4 2 · 3
+

A =
✓
1 2
3 4
◆
detA =
1 2
3 4
= 1 · 4 2 · 3
-

A =
✓
1 2
3 4
◆
detA =
1 2
3 4
= 1 · 4 2 · 3
= 2

A =
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A

A =
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
detA =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8
3 · 5 · 7 2 · 4 · 9 1 · 6 · 8

A =
0
@
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
A
detA =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8
3 · 5 · 7 2 · 4 · 9 1 · 6 · 8
= 0

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

= 1 · 6 · 11 · 16 1 · 6 · 12 · 15 + 1 · 7 · 12 · 14 1 · 7 · 10 · 16 + 1 · 8 · 11 · 14 1 · 8 · 10 · 15
+2 · 5 · 12 · 15 2 · 5 · 11 · 16 + 2 · 7 · 9 · 16 2 · 7 · 12 · 13 + 2 · 8 · 11 · 13 2 · 8 · 9 · 15
+3 · 5 · 10 · 16 3 · 5 · 12 · 14 + 3 · 6 · 12 · 13 3 · 6 · 9 · 16 + 3 · 8 · 9 · 14 3 · 8 · 10 · 13
+4 · 5 · 10 · 15 4 · 5 · 11 · 14 + 4 · 6 · 9 · 15 4 · 6 · 11 · 13 + 4 · 7 · 10 · 13 4 · 7 · 9 · 13
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
!?

人間がやるべき計算じゃない 
（コンピュータのある時代でよかった）

計算は機械がやればいいが、
これが何なのかは分かっておきたい。

プログラマの「理解」の３層構造
• 要件が分かる：何のためのものなのか
• 仕様が分かる：何を与えると何が返ってくるのか
• 実装が分かる：どのように動いているのか
プログラマはこの３つがってはじめて「分かった」と言える。

(復習) 行列は線形変換の定量表現
✓
x
y
◆
x
✓
1
0
◆
y
✓
0
1
◆
f
y
✓
bx
by
◆
x
✓
ax
ay
◆
f
✓
x
y
◆
=
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆

(復習) 等倍・偏倍変換
A =
✓
a 0
0 b
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆

(復習) 回転
A =
✓
cos✓ sin✓
sin✓ cos✓
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆

(復習) 反転
A =
✓
1 0
0 1
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆

(復習) 正射影
A =
✓
1 0
0 0
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
✓
1
0
◆

✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆ ✓
1
0
◆
f
変換の特徴を表す 1次元の量を考えたい
特に潰れるかどうかを
判別したい

潰れると元に戻せない！
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆
f
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
f 1
？
同じように潰れてしまう
復元できない！

行列式の「要件」
• n次元の線形変換は n次正方行列 (n2 個の数) で表される。
• 線形変換の特徴を 1次元の量によって表したい。
• 特に「潰れてしまう」かどうかを判別したい。
n次正方行列 A detAの行列式A （1次元の量）

変換後の面積と向きに注目！

✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆ ✓
1
0
◆
f
面積 ab 倍
面積同じ
面積同じ
面積 0

✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆ ✓
1
0
◆
f
表向き
表向き
裏向き
向きなし

✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆ ✓
1
0
◆
f
detA = ab
detA = 1
detA = -1
detA = 0

detA ＝「面積の倍率向き」
✓
x
y
◆
x
✓
1
0
◆
y
✓
0
1
◆
f
y
✓
bx
by
◆
x
✓
ax
ay
◆
f
✓
x
y
◆
=
✓
ax bx
ay by
◆ ✓
x
y
◆

3次元（さらに高次元）の場合、
det A = 体積の倍率向き
f
0
@
ax
ay
az
1
A
0
@
bx
by
bz
1
A
0
@
cx
cy
cz
1
A
右手系 → 左手系の場合 detA < 0

行列式の「仕様」
detA
> 0
= 0
< 0
… 向きを保ち、体積 detA 倍
… 潰れる
… 向きを変えて、体積 -detA 倍

「n2 次元 → 1次元」の関数を
一発で出すのは難しい

複雑なものは簡単なものの組み合わせに
（設計の基本！）

1) det E = 1
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
E =
✓
1 0
0 1
◆
id
detE = 1
1 0
0 1
= 1

2) det(b, a) = -det(a, b)
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
A =
✓
0 1
1 0
◆
裏向き
f
det(b, a) = det(a, b)
0 1
1 0
=
1 0
0 1
= 1

det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b),
det(k・a, b) = k・det(a, b)
✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
f
3) det(ka, b) = k · det(a, b)
A =
✓
2 0
0 1
◆
✓
0
1
◆
✓
2
0
◆
2 0
0 1
= 2 ·
1 0
0 1
= 2
det(a1 + a2, b) = det(a1, b) + det(a2, b)

実はこれが行列式の全て！
detE = 1
det(ka, b) = k · det(a, b)
1)
2)
3)
(交代性)
(多重線形性)

1) ∼ 3) から導かれる便利な性質
4)
5)
det(a, a) = 0
det(a kb, b) = det(a, b)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
3)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
3)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
= 0 = 0
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
4)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
= 4
1 0
0 1
+ 2 · 3
0 1
1 0
3)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
= 4
1 0
0 1
+ 2 · 3
0 1
1 0
= 4
1 0
0 1
2 · 3
1 0
0 1
2)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
= 4
1 0
0 1
+ 2 · 3
0 1
1 0
= 4
1 0
0 1
2 · 3
1 0
0 1
= 1 = 11)

1 2
3 4
=
1 2
0 4
+
0 2
3 4
=
1 2
0 0
+
1 0
0 4
+
0 2
3 0
+
0 0
3 4
= 4
1 0
0 1
+ 2 · 3
0 1
1 0
= 4
1 0
0 1
2 · 3
1 0
0 1 = 2

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 1 · 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+2 · 4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 2 · 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+3 · 4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 3 · 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 1 · 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+2 · 4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 2 · 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+3 · 4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 3 · 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0
= 1
= 1
= 1
= 1
= 1
= 1

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 1 · 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+2 · 4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 2 · 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+3 · 4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 3 · 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0
= 1 · 5 · 9 1 · 6 · 8
+2 · 6 · 7 2 · 4 · 9
+3 · 4 · 8 3 · 5 · 7 = 0

行列式計算のアルゴリズム
1. 各行から列が重複しないように成分を取り出して掛ける
2. 残った 0, 1 だけの行列式を計算する（偶数回の交代で単
位行列になる場合 1、奇数回の場合 -1）
3. これらの取り出し方の全パターンを足し合わせる

アルゴリズムを数式にすると…
detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .

detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .
A の i 行から取り出した成分

detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .
各行に渡る成分の積

detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .
残った 0, 1 だけの行列式

detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .
並べ替えの全パターンの総和

detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)
. . .
. . .
. . .
=
X
2Sn
Y
i
ai, (i)sgn( )
並べ替えの「符号」
（偶数回: 1, 奇数回: -1）

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 1 · 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+2 · 4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 2 · 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+3 · 4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 3 · 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0
detA =
X
2Sn
Y
i
ai, (i)sgn( )
同じ式に見えるかな？

これが行列式の「定義」として
数学の本に出てくる

理解すべき原理はこっち：
detE = 1
1)
2)
3)
(交代性)
(多重線形性)

出発点はシンプルな方が良い

宿題: 行列と行列式を好きな言語で
実装してみましょう

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1
0
@5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A
+2
0
@4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1
A
+3
0
@4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1
A

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1
✓
5 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 8
0 1
1 0
◆
2
✓
4 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 7
0 1
1 0
◆
+3
✓
4 · 8
1 0
0 1
+ 5 · 7
0 1
1 0
◆

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1
✓
5 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 8
0 1
1 0
◆
2
✓
4 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 7
0 1
1 0
◆
+3
✓
4 · 8
1 0
0 1
+ 5 · 7
0 1
1 0
◆
= 1
5 6
8 9
2
4 6
7 9
+ 3
4 5
7 8

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1
✓
5 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 8
0 1
1 0
◆
2
✓
4 · 9
1 0
0 1
+ 6 · 7
0 1
1 0
◆
+3
✓
4 · 8
1 0
0 1
+ 5 · 7
0 1
1 0
◆
= 1
5 6
8 9
2
4 6
7 9
+ 3
4 5
7 8 … 第1行で展開

1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 · 5 · 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ 1 · 6 · 8
1 0 0
0 0 1
0 1 0
+2 · 4 · 9
0 1 0
1 0 0
0 0 1
+ 2 · 6 · 7
0 1 0
0 0 1
1 0 0
+3 · 4 · 8
0 0 1
1 0 0
0 1 0
+ 3 · 5 · 7
0 0 1
0 1 0
1 0 0
くくり出し方を変えれば、任意の行・列で展開できる
= 2
4 6
7 9
+ 5
1 3
7 9
8
1 3
4 6

n次行列式は (n-1) 次行列式の和に展開できる
→ 再帰呼び出しでも実装できる（宿題）

✓
1
0
◆
✓
0
1
◆
✓
a
0
◆
✓
0
b
◆
✓
cos ✓
sin ✓
◆
✓
sin ✓
cos ✓
◆
✓
0
1
◆
✓
1
0
◆ ✓
1
0
◆
f
逆行列：逆変換に対応する行列
f 1
A 1
=
✓
cos( ✓) sin( ✓)
sin( ✓) cos( ✓)
◆
A 1
=
✓
1/a 0
0 1/b
◆
A 1
=
✓
1 0
0 1
◆
逆変換なし！

A =
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
@
x
y
z
1
A
0
@
x + 2y + z
x z
2x + y 2z
1
A
A 1
det A 0 であれば、逆行列 A-1 は取れるはず。
A 1
A = E AA 1
= E

やってみましょう。
（トリッキーなことをします）

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
第1行で展開

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1
2行目を1行目にコピペ

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1 = 0

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1 = 0
同じ行が並んでいるので
計算するまでもなく 0

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1
2 1 2
1 0 1
2 1 2
= 2
0 1
1 2
1
1 1
2 2
2
1 0
2 1
= 0
= 03行目を1行目にコピペ

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1
2 1 2
1 0 1
2 1 2
= 2
0 1
1 2
1
1 1
2 2
2
1 0
2 1
= 0
= 0

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1
2 1 2
1 0 1
2 1 2
= 2
0 1
1 2
1
1 1
2 2
2
1 0
2 1
= 0
= 0
Aの要素が並んでいる…

1 2 3
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
2
1 1
2 2
+ 3
1 0
2 1 = 4
1 0 1
1 0 1
2 1 2
= 1
0 1
1 2
0
1 1
2 2
1
1 0
2 1
2 1 2
1 0 1
2 1 2
= 2
0 1
1 2
1
1 1
2 2
2
1 0
2 1
= 0
= 0
縦には同じ行列式…これは…！

ドーン！
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
1 1
2 2
1 0
2 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
4
0
0
1
A

同じことを第2行、第3行でもやる。

ドドーン！
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 3
1 2
1 3
2 2
1 2
2 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
0
4
0
1
A
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 3
0 1
1 3
1 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
0
0
4
1
A

全部合わせて…
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
1 1
2 2
1 0
2 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
4
0
0
1
A
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 3
1 2
1 3
2 2
1 2
2 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
0
4
0
1
A
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
2 3
0 1
1 3
1 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
0
0
4
1
A

Enter the Matrix…
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
2 3
0 1
2 3
0 1
1 1
2 2
1 3
2 2
1 3
1 1
1 0
2 1
1 2
2 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
4 0 0
0 4 0
0 0 4
1
A

両辺 detA = 4 で割れば…
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
2 3
0 1
2 3
0 1
1 1
2 2
1 3
2 2
1 3
1 1
1 0
2 1
1 2
2 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
4 0 0
0 4 0
0 0 4
1
A
detA = 4

できあがり！
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A ·
1
detA
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
2 3
0 1
2 3
0 1
1 1
2 2
1 3
2 2
1 3
1 1
1 0
2 1
1 2
2 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
= A 1 =
1
4
0
@
1 7 1
0 8 4
1 3 2
1
A

n次行列の場合も全く同じ
（宿題ってことで）

高次元の計算にはもっと効率的な方法がある
• 余因子行列による方法 … O(n3)
• 掃き出し法 … O(n2)
• LU分解 … O(n2)
• …

まとめ
• 行列式は線形変換の特徴を表す1次元の量
• detA 0 のとき、逆変換が作れる
• 計算は機械に任せよう（仕組みが分かってれば良い）

行列式の原理：
detE = 1
1)
2)
3)
(交代性)
(多重線形性)

線形変換は多変数の変換のうち最も単純なもの。
ホントは逆変換が一発で求められること自体ありがたい。

プログラマのための線形代数再入門 3
∼基底変換、固有値、そしてその先∼
次回予告：

Thanks!
Twitter: @taketo1024 
Blog: http://taketo1024.hateblo.jp
0
@
1 2 3
1 0 1
2 1 2
1
A ·
1
detA
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0 1
1 2
2 3
0 1
2 3
0 1
1 1
2 2
1 3
2 2
1 3
1 1
1 0
2 1
1 2
2 1
1 2
1 0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A

プログラマのための線形代数再入門2 〜要件定義から学ぶ行列式と逆行列

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