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プログラマのための線形代数再入門
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2015/1/30 「プログラマのための数学勉強会」にて発表。 動画: https://www.youtube.com/watch?v=hyzotMaTtPg
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1.
プログラマのための線形代数 再 入門 ∼行列・線形変換・アフィン変換∼ @taketo1024 2015/01/30
第1回プログラマのための数学勉強会
2.
今日の内容 1. 行列の積 2. 線形変換とアフィン変換
3.
1. 行列の積
4.
行列の足し算 ✓ 3 5 4 10 ◆ + ✓ 3
4 5 8 ◆ = ✓ 3 + 3 5 + 4 4 + 5 10 + 8 ◆ = ✓ 6 9 9 18 ◆
5.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 5 · 4 4 · 5 10 · 8 ◆ = ✓ 9 20 20 80 ◆
6.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 5 · 4 4 · 5 10 · 8 ◆ = ✓ 9 20 20 80 ◆ こうだったら簡単だったのに…
7.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆ これが正しい計算規則です。
8.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
9.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
10.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
11.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
12.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
13.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
14.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
15.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
16.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
17.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
18.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆
19.
行列の掛け算 ✓ 3 5 4 10 ◆
✓ 3 4 5 8 ◆ = ✓ 3 · 3 + 5 · 5 3 · 4 + 5 · 8 4 · 3 + 10 · 5 4 · 4 + 10 · 8 ◆ = ✓ 34 52 62 96 ◆ ふぅ…
20.
正直、3 3以上の行列計算は 地獄です。 (僕は必ず計算を間違うので気が狂いそうになる)
21.
なぜこう定義する?
22.
もんだい • さの工場では車とトラックを製造しています。 • 車の製造には作業員3人、ロボット5台の稼働が必 要です。 •
トラックの製造には作業員4人、ロボット8台の稼 働が必要です。 • さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに 必要な作業員とロボットの稼働はいくらでしょう?
23.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
24.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人、 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
25.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人 ロボット:(2 5 + 3 8) = 34台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
26.
こたえ 車2台 : 2
(作業員:3人 + ロボット:5台) トラック3台 : 3 (作業員:4人 + ロボット:8台) +) 作業員:(2 3 + 3 4) = 18人 ロボット:(2 5 + 3 8) = 34台 こたえ 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
27.
行列の積で書き直すと…
28.
(ベクトルは縦に書かないの?は後で説明します) 車・トラック 作業員・ロボット 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 2 · 3 + 3 · 4 2 · 5 + 3 · 8 = 18 34 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台
29.
もんだい 2 • 作業員はサンドイッチを2個食べ、コーヒーを3杯 飲みます。 •
ロボットはサンドイッチ6個、コーヒー10杯を燃 料として動きます。 • さの工場で車を2台、トラックを3台製造するのに 必要なサンドイッチとコーヒーはいくらでしょう?
30.
こたえ SW COFFEE 作業員 2個/人
3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆
31.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 車・トラック 作業員・ロボット
32.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 車・トラック 作業員・ロボット 作業員・ロボット
33.
こたえ 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ = 18 34 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 SW COFFEE 作業員 2個/人 3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 こたえ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー作業員・ロボット
34.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394
35.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394先にこっちを計算すると…
36.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 3 · 2 + 5 · 6 3 · 3 + 5 · 10 4 · 2 + 8 · 6 4 · 3 + 8 · 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆
37.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 3 · 2 + 5 · 6 3 · 3 + 5 · 10 4 · 2 + 8 · 6 4 · 3 + 8 · 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆
38.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394
39.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394
40.
まとめて書けば: 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 18 34 ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 2 3 ✓ 36 59 56 92 ◆ = 2 · 36 + 3 · 56 2 · 59 + 3 · 92 = 240 394 同じ!
41.
18 34 つまりこういうこと ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 240 394
42.
18 34 つまりこういうこと ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 ✓ 36 59 56 92 ◆ 一発でいける! 240 394
43.
SW COFFEE 作業員 2個/人
3杯/人 ロボット 6個/台 10杯/台 作業員 ロボット 車 3人/台 5人/台 トラック 4台/台 8台/台 = SW COFFEE 車 36個/台 59杯/台 トラック 56個/台 92杯/台 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = ✓ 36 59 56 92 ◆ 行列の掛け算は、対応表の合成になっていた! 打ち消しあう
44.
もんだい 3 • では車を52台、トラックを95台製造するのに必要 なサンドイッチとコーヒーは?
45.
こたえ 18 34 240
394 ✓ 3 5 4 8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … …
46.
18 34 こたえ ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … ✓ 36 59 56 92 ◆ 一発でいきましょう 240 394…
47.
18 34 こたえ ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ 車・トラック 作業員・ロボット サンドイッチ・コーヒー 52 95 … ✓ 36 59 56 92 ◆ 7192 11808 こたえ
48.
行列の積は変換の合成と対応する形で 定義されていた! x y x
y A x y AB A B AB あらかじめ積を計算しておけば、中間をすっ飛ばせる!
49.
ちなみに数学ではベクトルを縦に書き、 行列を左から掛けることが多い A B ✓ x y ◆ A ✓ x y ◆ BA ✓ x y ◆ BA 順序に注意! と書く場合はこっちの方が分かりやすいf(~x)
= A~x
50.
「転置」を取れば同じ計算になる 2 3 ✓ 3 5 4
8 ◆ ✓ 2 3 6 10 ◆ = 240 394 ✓ 2 6 3 10 ◆ ✓ 3 4 5 8 ◆ ✓ 2 3 ◆ = ✓ 240 394 ◆ 左から作用 右から作用 … DirectX 系 … OpenGL 系
51.
以後、変換について話すので後者の スタイルで書きます。 (DirectX 系の人は脳内転置お願いします)
52.
2. 線形変換とアフィン変換
53.
線形変換 ベクトルの線形性(平行と比率)の保たれる変換 f
54.
線形変換 … 和をバラせる … 実数倍をバラせる ( f(~x
+ ~y) = f(~x) + f(~y) f(a · ~x) = a · f(~x)
55.
✓ 1 0 ◆ , ✓ 0 1 ◆ の行き先だけで決まる!線形変換は f ✓ 1 0 ◆ = ✓ ax ay ◆ , f ✓ 0 1 ◆ = ✓ bx by ◆ とすれば、 f ✓ x y ◆ = f(x
· ✓ 1 0 ◆ + y · ✓ 0 1 ◆ ) = x · f ✓ 1 0 ◆ + y · f ✓ 0 1 ◆ = x · ✓ ax ay ◆ + y · ✓ bx by ◆ ✓ x y ◆ x ✓ 1 0 ◆ y ✓ 0 1 ◆ f ✓ x y ◆ = x ✓ ax ay ◆ + y ✓ bx by ◆ x ✓ ax ay ◆ y ✓ bx by ◆ f
56.
その結果は行列とベクトルの積で書ける! x ✓ ax ay ◆ y ✓ bx by ◆ f ✓ x y ◆ = x ✓ ax ay ◆ + y ✓ bx by ◆ = ✓ ax
bx ay by ◆ ✓ x y ◆ f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆
57.
つまり線形変換は の行き先を並べた行列で表現できる! ✓ 1 0 ◆ , ✓ 0 1 ◆ f f ✓ x y ◆ = ✓ ax bx ay
by ◆ ✓ x y ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ ✓ ax ay ◆ ✓ bx by ◆ … f の行列表示f
58.
同様に3次元ベクトルの線形変換は、 3次行列との積で書ける f 0 @ x y z 1 A = x 0 @ ax ay az 1 A
+ y 0 @ bx by bz 1 A + z 0 @ cx cy cz 1 A = 0 @ ax bx cx ay by cy az bz cz 1 A 0 @ x y z 1 A f 0 @ ax ay az 1 A 0 @ bx by bz 1 A 0 @ cx cy cz 1 A
59.
線形変換の合成は行列の積に対応する ✓ x y ◆ f ✓ x y ◆ = A ✓ x y ◆ g ✓ f ✓ x y ◆◆ = BA ✓ x y ◆ f
g g f : f と g の合成f g 左から作用
60.
行列は線形変換の定量表現!
61.
線形変換にはどんなものが ある?
62.
等倍・偏倍変換 A = ✓ a 0 0
b ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ a 0 ◆ ✓ 0 b ◆
63.
回転 A = ✓ cos✓ sin✓ sin✓
cos✓ ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ cos ✓ sin ✓ ◆ ✓ sin ✓ cos ✓ ◆
64.
反転 A = ✓ 1 0 0
1 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 0 1 ◆ ✓ 1 0 ◆
65.
正射影 A = ✓ 1 0 0
0 ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ 1 0 ◆
66.
平行移動…? ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ f ✓ p q ◆
67.
とならない変換は線形でない! f ✓ 0 0 ◆ = ✓ 0 0 ◆ f ✓ 0 0 ◆ = f( ✓ 0 0 ◆ + ✓ 0 0 ◆ ) =
2f ✓ 0 0 ◆ f より、 でなければいけない。 f ✓ 0 0 ◆ = ✓ 0 0 ◆ ✓ p q ◆
68.
えー、使えねぇ…
69.
そんなことない!
70.
xy 平面は xyz
空間の z=1 に浮いていると見る ✓ x y ◆ ✓ 1 0 ◆ ✓ 0 1 ◆ 0 @ 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A
71.
xy平面の線形変換は、 z=1上で行われていると見る 0 @ ax bx 0 ay
by 0 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A = 0 @ ✓ ax bx ay by ◆ ✓ x y ◆ 1 1 A z=1 のまま の線形変換 ✓ x y ◆
72.
一方、こういう3次行列を考えれば、 z=1 上の点の平行移動が表現できる! 0 @ 1 0
p 0 1 q 0 0 1 1 A 0 @ x y 1 1 A = 0 @ x + p y + q 1 1 A z=1 は固定されたまま! ✓ p q ◆ 平行移動
73.
真横から見ると分かる! x, y x,
y z z z=1 z=1 0 @ 1 0 0 1 A , 0 @ 0 1 0 1 A 0 @ 0 0 1 1 A 0 @ 1 0 0 1 A , 0 @ 0 1 0 1 A 0 @ p q 1 1 A : 不変 z=1ではxy平面の平行移動! 空間全体は線形変換 0 @ 1 0 p 0 1 q 0 0 1 1 A
74.
平面上の平行移動は線形ではないが、 空間内に埋め込めば線形変換として表現できる!
75.
線形変換と平行移動を組み合わせたものを 「アフィン変換」という 0 @ 1 0 p 0
1 q 0 0 1 1 A 0 @ ax bx 0 ay by 0 0 0 1 1 A アフィン変換も一つ上の次元から見れば、 ただの線形変換! 線形変換 平行移動
76.
同様に xyz 空間も
4次元 xyzw 空間 において、 w=1 上に浮いてると考えれば、 xyz空間 w 0 B B @ 0 0 0 1 1 C C A x, y, z
77.
4次行列によって3次元空間の 線形変換・平行移動を表現できる! 0 B B @ ax bx cx
0 ay by cy 0 az bz cz 0 0 0 0 1 1 C C A 線形変換 0 B B @ 1 0 0 p 0 1 0 q 0 0 1 r 0 0 0 1 1 C C A 平行移動
78.
これに加えて、 「射影変換」も一つ上の次元の行列で表現できる (需要があればまた次回)
79.
3Dレンダリングの座標変換は、 全て4次元行列の積で表現できる! オブジェクト座標 ワールド座標 スクリーン座標
80.
まとめ 1. 行列は線形変換の定量表現 2. 行列の積は変換の合成に対応 3.
次数をあげれば平行移動も射影も表現できる
81.
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