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n=0
( 1)n
= 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ...
= (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ...
= 0
= 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)...
= 1
0 = 1
22. 実数の公理
1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。
2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。
3. 実数全体はつながっている。
→ 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義して
いけば、解析学は曖昧さや⽭盾なく作り上げていくことができる！
30. 集合の復習
1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3}
2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3}
3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
6. 空集合 ∅ = { }
32. ⾃然数の公理
1. 最初の数 0 ∈ N が存在する
2. 任意の a ∈ N にはその「次」 a+ が存在する
3. a+ = 0 なる a は存在しない（N は 0 から始まる）
4. a ≠ b ならば a+ ≠ b+ （a+ は単射）
5. N では数学的帰納法が成⽴する
以上を満たす集合 N を⾃然数系と呼ぶ
34. • 0 = {}
• 1 = 0+ = 0 ∪ {0} = {0}
• 2 = 1+ = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}
• 3 = 2+ = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a ∪ {a}
35. • 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a ∪ {a}
36. • 0 = {}
• 1 = {0} = { {} }
• 2 = {0, 1} = { {}, { {} } }
• 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } }
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a ∪ {a}
38. • 0 = 🐱
• 1 = {0} = { 🐱 }
• 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真
• 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } }
• ...
1. 0 = 🐱
2. a+ = a ∪ {a}
空集合はただのプレースホルダー
40. • 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• …
集合として 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ … となっている。
⊂ を ≦ とすれば⾃然数系には順序が⼊る。
41. • a + 0 = a
• a + (b+) = (a + b)+
和 a + b の定義
3 + 2 = (3 + 1)+
= ((3 + 0)+ )+
= (3+ )+
= 4+
= 5
42. 3 × 2 = (3 × 1) + 3
= ((3 × 0) + 3) + 3
= (0 + 3) + 3
= 3 + 3
= 6
積 a × b の定義
• a × 0 = 0
• a × (b+) = (a × b) + a
44. struct N: Equatable, Printable {
private let val: [Any]
private init(_ val: [Any]) {
self.val = val
}
static var zero: N {
return N([])
}
}
postfix operator + {}
postfix func +(n: N) -> N {
return N(n.val + [n.val])
}
func +(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return n
} else {
return (n + m-)+
}
}
func *(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return N.zero
} else {
return (n * m-) + n
}
}
http://qiita.com/taketo1024/items/2ab856d21bf9b9f30357
作ってみた
48. N-N
0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
N を⼆つ 0 のところで貼り合わせて、
正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。
50. 0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり⽅：
7
6
5
4
3
2
1
x - y = 0
x - y = 1
x - y = 2
x - y = 3
x - y = 4
x - y = 5
x - y = 6
x - y = 7
51. 0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり⽅：
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7
52. もっとカッコイイやり⽅：
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1-2-3-4-5-6-7
「直線上に並ぶ点たち」をまとめて⼀つの整数とすればいい。
👈 (n, 0) が n ≧ 0 に対応
(0, n) が n ≦ 0 に対応 👉
53. こうすることで演算が簡単に定まる：
例） 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8)
= (5, 8)
= (0, 3)
= -3
例）3 × (-2) = (3, 0) + (0, 2)
= (3 × 0 + 0 × 2, 3 × 2 + 0 × 0)
= (0, 6)
= -6
54. Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ
直ぐな整数として扱っていい。
Z は ＋, , × で閉じた「環」になる。
57. Z (分⺟)
Z (分⼦)
34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = …
2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = …
1/2
「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q
59. 演算は⼩学校で習った通りに定義する
例） 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5)
= (10, 15) + (9, 15) 👈 通分
= (19, 15)
= 19/15
例）3/4 × 2/7 = (3, 4) × (2, 7)
= (3 × 2, 4 × 7)
= (6, 28)
= (3, 14) 👈 約分
= 3/14
60. Q は ＋, , ×, ÷ で閉じた「体」になる。
限りなく密に分布しているが、まだ無理数の⽳が空いている。
Q
64. ex
=
1X
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ ...
e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
テイラー展開：
より、 x = 1 として、
👈 有理数の無限和
65. e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
なので、有限部分和を取れば、
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...
👈 有理数の列
66. a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...
Q
e
0 1 2 3 4
この数列は Q の中で e に近づいていくので、
この数列⾃体を e ってことにすればいい。
72. 実数の公理
1. 四則演算（＋, , ×, ÷）ができる。
2. 実数同⼠で⼤⼩（≦）が⽐較できる。
3. 実数全体はつながっている。
そうすることで、我々が求めていた実数が得られる。
（「公理」が「定理」になる！）
76. ちなみに
R から 複素数 C を作るのは簡単。
R×R に (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を⼊れるだけ。
R
iR C
z
w
zw
77. まとめ
∅ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！
78. まとめ
∅ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！
👆 これは？
80. 集合の公理（の⼀部）
1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3}
2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3}
3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
6. 空集合 ∅ = { }
👆 この公理は本当に正しいの？
83. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B
「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」
の全体 A
「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」
の全体 B
X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X
ラッセルのパラドックス
84. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B
「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」
の全体 A
「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」
の全体 B
X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X
B ⾃体も集合なので、 B ∈ U.
U = A ∪ B より、
1) B ∈ A または、
2) B ∈ B
のいずれか.
ラッセルのパラドックス
85. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B
「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」
の全体 A
「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」
の全体 B
X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X
1) B ∈ A とすると、B ∈ B.
すると B の定義より B ∈ B
でなければいけない！
→ ⽭盾B?
ラッセルのパラドックス
86. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B
「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」
の全体 A
「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」
の全体 B
X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X
2) ⼀⽅ B ∈ B とすると、
B の定義より B ∈ B
でなければいけない！
→ ⽭盾B?
ラッセルのパラドックス
87. U は「全ての集合の集合」のはずなのに、
集合 B は U に⼊れない！？
「全ての集合」の集合 U = A ∪ B
「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」
の全体 A
「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」
の全体 B
X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X
B…!?
ラッセルのパラドックス
88. 集合の公理（の⼀部）
1. 集合（ものの集まり） A = {1, 2, 3}
2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3}
3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
6. 空集合 ∅ = { }
「素朴集合論」は⽭盾している！ 😱
