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何もないところから数を作る

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2013-03-22

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何もないところから数を作る

  1. 1. 「とは何か?」を問う、AI時代の数学 @taketo1024 何もないところから数を作る
  2. 2. 今⽇のテーマ 「数とは何か」
  3. 3. 「万物の根源は数である」 ピタゴラス (BC 582〜496)
  4. 4. 「万物の根源は数である」 ⾃然数とその⽐ ピタゴラス (BC 582〜496)
  5. 5. 無理数などない ピタゴラス 死刑 ピタゴラス 先⽣、これ無理数ですけど… 弟⼦A 1 1 √2
  6. 6. ピタゴラス教団のシンボル 1 ⻩⾦⽐ φ 👈 これも無理数 ぐぬぬ…
  7. 7. ユークリッド (BC 300〜?) 『原論』の著者で「幾何学の⽗」。 「数」はやはり⾃然数のことになっている。
  8. 8. 古代ギリシャの滅亡と共にギリシャ数学は衰退。 イスラム世界に引き継がれ代数学が発展していく。 アル=フワーリズミー
 (9c.〜) 「アルゴリズム」の語源!
  9. 9. 代数⽅程式の解としての「無理数」 ' : 1 = 1 : ' 1 , '(' 1) = 1 , '2 ' 1 = 0 ' = 1 ± p 5 2
  10. 10. 13世紀頃、数学はヨーロッパに再輸⼊され復活。 16世紀にはアラビア数字や代数記号も導⼊され、 印刷技術の発展と共に再び急速に発展していく。 フランソワ・ヴィエト
 (1540〜1603)
  11. 11. 17世紀:科学⾰命 ニュートン、ライプニッツによって微積分学が発明される。 位置や速度など連続的に変化する量を扱う解析学が確⽴される。 アイザック・ニュートン (1642 〜 1727) G・ライプニッツ (1646 〜 1716)
  12. 12. 連続的に変化する量としての「実数」 t x
  13. 13. 18世紀もさらに物理学への応⽤として微積分学が発展 していくが、「無限⼩」「極限」などが曖昧なままで 変な結果が⾊々と出てきた。
  14. 14. 1X n=0 ( 1)n = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ... = 0 = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)... = 1 0 = 1
  15. 15. 「解析学に幾何学で要求するような完全な厳密さを与えよう」
  16. 16. コーシーとワイエルシュトラウスによって無限⼩や極限が定式化される! 19世紀:数学の基礎と抽象化 オーギュスタン=ルイ・コーシー (1789 〜 1857) カール・ワイエルシュトラス
 (1815 〜 1897)
  17. 17. 「幾何学で要求するような完全な厳密さ」 経験や直観によらず、定義・公理から出発し、 論理的な⼿続きのみによって理論を展開していく⽅法。 =
  18. 18. 数列や関数の極限を扱うためには、 そもそも「実数」とは何かを定式化しなければいけない!
  19. 19. 実数の公理 1. 四則演算(+, ­, ×, ÷)ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩(≦)が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
  20. 20. 実数の公理 👆 この「連続性」が有理数との決定的な違い!   しかしこの事実を定式化するのはとても難しい… 1. 四則演算(+, ­, ×, ÷)ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩(≦)が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
  21. 21. 「連続性」の定式化 • R の空でない有界な部分集合は上限を持つ。 • R の上に有界な単調増加数列は収束する。 • R の有界な数列は収束部分列を持つ。 • 中間値の定理、最⼤値の定理が成り⽴つ。 • … → 実は全部同値になる。これが「定理」ではなく「公理」。
  22. 22. 実数の公理 1. 四則演算(+, ­, ×, ÷)ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩(≦)が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。 → 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義して いけば、解析学は曖昧さや⽭盾なく作り上げていくことができる!
  23. 23. 「実無限」は不思議なことだらけ G. Cantor (1845 - 1918) 対⾓線論法によって #N < #R を⽰した。
  24. 24. 素朴な疑問:「実数」は「実在」するのか…?
  25. 25. 現実のことはひとまず忘れて、 実数を数学的に作ることを考えよう!
  26. 26. 実数 R
  27. 27. 実数 R 有理数 Q 整数 Z ⾃然数 N 構成 構成 構成
  28. 28. ⾃然数 N 構成 ?空集合
  29. 29. 「とは何か?」を問う、AI時代の数学 @taketo1024 何もないところから数を作る
  30. 30. 集合の復習 1. 集合(ものの集まり) A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { }
  31. 31. まず⾃然数を作るために、 「⾃然数とは何か」を定める必要がある。
  32. 32. ⾃然数の公理 1. 最初の数 0 ∈ N が存在する 2. 任意の a ∈ N にはその「次」 a+ が存在する 3. a+ = 0 なる a は存在しない(N は 0 から始まる) 4. a ≠ b ならば a+ ≠ b+ (a+ は単射) 5. N では数学的帰納法が成⽴する 以上を満たす集合 N を⾃然数系と呼ぶ
  33. 33. フォン・ノイマンによる⾃然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a} ジョン・フォン・ノイマン
 (1903〜1957)
  34. 34. • 0 = {} • 1 = 0+ = 0 ∪ {0} = {0} • 2 = 1+ = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} • 3 = 2+ = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
  35. 35. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
  36. 36. • 0 = {} • 1 = {0} = { {} } • 2 = {0, 1} = { {}, { {} } } • 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } } • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a ∪ {a}
  37. 37. → 難しい場合は、空集合を 猫 に置き換えて考えましょう。
  38. 38. • 0 = 🐱 • 1 = {0} = { 🐱 } • 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真 • 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } } • ... 1. 0 = 🐱 2. a+ = a ∪ {a} 空集合はただのプレースホルダー
  39. 39. ⾃然数系に順序と演算を⼊れて
 「計算のできる数」にしましょう!
  40. 40. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • … 集合として 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ … となっている。 ⊂ を ≦ とすれば⾃然数系には順序が⼊る。
  41. 41. • a + 0 = a • a + (b+) = (a + b)+ 和 a + b の定義 3 + 2 = (3 + 1)+ = ((3 + 0)+ )+ = (3+ )+ = 4+ = 5
  42. 42. 3 × 2 = (3 × 1) + 3 = ((3 × 0) + 3) + 3 = (0 + 3) + 3 = 3 + 3 = 6 積 a × b の定義 • a × 0 = 0 • a × (b+) = (a × b) + a
  43. 43. ⾃然数はアルゴリズムで作っていける! (万物の根源じゃなくても良い) ふざけたことを…
  44. 44. struct N: Equatable, Printable { private let val: [Any] private init(_ val: [Any]) { self.val = val } static var zero: N { return N([]) } } postfix operator + {} postfix func +(n: N) -> N { return N(n.val + [n.val]) } func +(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return n } else { return (n + m-)+ } } func *(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return N.zero } else { return (n * m-) + n } } http://qiita.com/taketo1024/items/2ab856d21bf9b9f30357 作ってみた
  45. 45. 何もないところから⾃然数が作れました!
  46. 46. 作れた後は構成⽅法については忘れて、 公理通りの⾃然数として扱っていい。 (普通にコンピュータを使うときにビットについて考えないのと同じ) N0 1 2 3 4 5 6 7 …
  47. 47. 次、整数 Z を作ります。 ( Z はドイツ語の「数」を意味する Zahlen から)
  48. 48. N-N 0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 N を⼆つ 0 のところで貼り合わせて、 正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。
  49. 49. もっとカッコイイやり⽅: N 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 N
  50. 50. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり⽅: 7 6 5 4 3 2 1 x - y = 0 x - y = 1 x - y = 2 x - y = 3 x - y = 4 x - y = 5 x - y = 6 x - y = 7
  51. 51. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり⽅: 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7
  52. 52. もっとカッコイイやり⽅: 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1-2-3-4-5-6-7 「直線上に並ぶ点たち」をまとめて⼀つの整数とすればいい。 👈 (n, 0) が n ≧ 0 に対応 (0, n) が n ≦ 0 に対応 👉
  53. 53. こうすることで演算が簡単に定まる: 例) 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8) = (5, 8) = (0, 3) = -3 例)3 × (-2) = (3, 0) + (0, 2) = (3 × 0 + 0 × 2, 3 × 2 + 0 × 0) = (0, 6) = -6
  54. 54. Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ 直ぐな整数として扱っていい。 Z は +, ­, × で閉じた「環」になる。
  55. 55. 次、有理数 Q を作ります。 ( Q はイタリア語の「商」を意味する Quoziente から)
  56. 56. Z (分⺟) Z (分⼦)
  57. 57. Z (分⺟) Z (分⼦) 34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = … 2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = … 1/2 「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q
  58. 58. Z (分⺟) Z (分⼦) 点 (p, q) を p = 1 に射影したものが q/p と考えても良い。 Q (5, 4) 4/5 1
  59. 59. 演算は⼩学校で習った通りに定義する 例) 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5) = (10, 15) + (9, 15) 👈 通分 = (19, 15) = 19/15 例)3/4 × 2/7 = (3, 4) × (2, 7) = (3 × 2, 4 × 7) = (6, 28) = (3, 14) 👈 約分 = 3/14
  60. 60. Q は +, ­, ×, ÷ で閉じた「体」になる。 限りなく密に分布しているが、まだ無理数の⽳が空いている。 Q
  61. 61. ではいよいよ、実数 R を作りましょう!
  62. 62. Q に空いている無理数の⽳はどうやったら埋められるか? Q ⇡ep 2 0 1 2 3 4
  63. 63. Q の中で⽬標の無理数に近づいていく数列を考える。 例えばネイピア数 e は… Q e 0 1 2 3 4
  64. 64. ex = 1X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + ... e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... テイラー展開: より、 x = 1 として、 👈 有理数の無限和
  65. 65. e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... なので、有限部分和を取れば、 a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ... 👈 有理数の列
  66. 66. a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ... Q e 0 1 2 3 4 この数列は Q の中で e に近づいていくので、 この数列⾃体を e ってことにすればいい。
  67. 67. 近づき⽅は⾊々ありうるので、同じところに落ち着いて いく数列をまとめて、ひとつの実数ってことにする。 Q e 0 1 2 3 4
  68. 68. …?
  69. 69. 全ての無理数はこんな⾵に現わせるのか?
  70. 70. それは知らない。 ある数が「無理数かどうか」すら⼀般に判定できない。
  71. 71. それでもそういうものの「全て」を考え、 それが実数全体だということにする! (超越的構成)
  72. 72. 実数の公理 1. 四則演算(+, ­, ×, ÷)ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩(≦)が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。 そうすることで、我々が求めていた実数が得られる。 (「公理」が「定理」になる!)
  73. 73. 「デーデキント・カット」 Q の「切断」⼀つ⼀つを実数ということにする。 Q e 0 1 2 3 4 また別のやり⽅ 切断 リヒャルト・デーデキント
 (1831 〜 1916)
  74. 74. 実数の構成だけ他と本質的に違ってる。 なぜ?
  75. 75. 実数の公理 👆 当たり前だと思ってたこの性質がそれだけ特別だから! 1. 四則演算(+, ­, ×, ÷)ができる。 2. 実数同⼠で⼤⼩(≦)が⽐較できる。 3. 実数全体はつながっている。
  76. 76. ちなみに R から 複素数 C を作るのは簡単。 R×R に (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を⼊れるだけ。 R iR C z w zw
  77. 77. まとめ ∅ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた!
  78. 78. まとめ ∅ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた! 👆 これは?
  79. 79. 「空っぽの集合」は「実在」するのか?
  80. 80. 集合の公理(の⼀部) 1. 集合(ものの集まり) A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { } 👆 この公理は本当に正しいの?
  81. 81. B・ラッセル
 (1872〜1970) 集合論は破綻している
  82. 82. ラッセルのパラドックス 「全ての集合」の集合 U N Z RQ
  83. 83. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X ラッセルのパラドックス
  84. 84. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X B ⾃体も集合なので、 B ∈ U. U = A ∪ B より、 1) B ∈ A または、 2) B ∈ B のいずれか. ラッセルのパラドックス
  85. 85. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X 1) B ∈ A とすると、B ∈ B. すると B の定義より B ∈ B でなければいけない! → ⽭盾B? ラッセルのパラドックス
  86. 86. 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X 2) ⼀⽅ B ∈ B とすると、 B の定義より B ∈ B でなければいけない! → ⽭盾B? ラッセルのパラドックス
  87. 87. U は「全ての集合の集合」のはずなのに、 集合 B は U に⼊れない!? 「全ての集合」の集合 U = A ∪ B 「⾃分⾃⾝を要素に持つ集合」 の全体 A 「⾃分⾃⾝を要素に持たない集合」 の全体 B X 2 A ) X 2 X X 2 B ) X /2 X B…!? ラッセルのパラドックス
  88. 88. 集合の公理(の⼀部) 1. 集合(ものの集まり) A = {1, 2, 3} 2. 集合の要素 2 ∈ {1, 2, 3} 3. 集合の包含 {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} 4. 集合の合併 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 5. 集合の共通部分 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} 6. 空集合 ∅ = { } 「素朴集合論」は⽭盾している! 😱
  89. 89. → 公理論的集合論の確⽴ 👈 空集合の存在が公理として⼊ってる ⽭盾が起きないように「集合論」をガチガチに公理化した。
  90. 90. 公理論的集合論の元では、 空集合から実数を構成することができる…
  91. 91. … で結局「実数」は「実在」するのか?
  92. 92. 現代数学の⽴場:実在は問わない
  93. 93. 現代数学は形式的には A ⇒ B しか主張しない! A ) B ならば
  94. 94. 「数学は絶対的な真実の体系」などは嘘。 「何もないところから数を作った」も嘘。 全ては公理(仮定)の上で成り⽴つ話。
  95. 95. 素朴な疑問: • なぜそんなことにしてしまった? • 数学は現実離れしたファンタジーなのか? 数は万物の…
  96. 96. 条件を徹底的に明確にする代わりに、 公理を選び理論を創造する⾃由を得た。
  97. 97. ユークリッドの「平⾏線公準」を満たさない 「⾮ユークリッド幾何学」が19世紀に確⽴された。 例) ⾮ユークリッド幾何学
  98. 98. ⾮ユークリッド幾何学 (1829〜) ガウス ロバチェフスキー ボーヤイ リーマン幾何学 (1854〜) B・リーマン
 (1826〜1866)
  99. 99. ⼀般相対性理論 (1911〜) A・アインシュタイン
 (1879〜1955) リーマン幾何学 (1854〜) B・リーマン
 (1826〜1866)
  100. 100. 数学は⼈間の直観・経験から独⽴したことで ⾃由に理論の創造ができるようになり、 結果的に⾃然をより深く理解できるようになった!
  101. 101. まとめ • 集合論の元で、空集合から⾃然数を、さらに整 数・有理数・実数まで作ることができた。 • 公理はあらゆる理論の出発点。何を仮定するか は⾃由に決めていい。 • 数学は実在については問わない。にも関わらず (だからこそ?)現実を理解するのに役に⽴つ。
  102. 102. 伝えたかったこと • 数学は⾃由で創造的な学問。⽭盾には厳しいが 「タブー」はない! • 数学は古代以来の世界中の数学者たちのコラボ レーションの上で成り⽴っている(20世紀以降 は⽇本⼈も表舞台に登場する) • そして数学は今もなお発展を続けている!
  103. 103. Thanks! Twitter: @taketo1024
 Blog: http://taketo1024.hateblo.jp

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