第5回プログラマのための数学勉強会 発表資料 関連： 地球儀を作る動画 https://www.youtube.com/watch?v=XsdxgSxdgak THETAの写真を印刷する動画 https://www.youtube.com/watch?v=xVx1ROoZcGM 球面プリント http://print-sphere.jp 切り絵オンデマンド http://kirie.xyz

1. 円柱、円錐以外の、
展開図の描ける曲面
第5回 プログラマのための数学勉強会
2015/11/21
落合雄介(@taro_x)
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2. 本スライドの内容
• 展開図の作れる曲面「可展面」とは？
• 円柱、円錐以外の可展面の例
• 可展面による非可展面の近似
• 展開図を印刷してみた
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3. 曲面には2種類ある
• 展開図が作れる曲面：可展面
• 展開図が作れない曲面
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球面
円錐面円柱面

4. 曲面が可展面であるための条件は？
1. 紙の性質として、一方向に曲げたら、別の方向に
は同時に曲げられない
 曲面上の任意の点に対し、その点を含む曲面上の
直線が存在する
• 言い換えると、「直線で構成される曲面」ということ
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青い矢印の方向に曲
げたとき、赤い線が、
この曲面の上に乗る
直線になる。

5. もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面？ → No!
※「直線で構成される曲面」を、「線織面」という
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円柱面や円錐面は良い

6. もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面？ → No!
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棒を真ん中で束ねたものをねじった曲面
→これはダメ

7. もう一つの条件
• 各棒の中心同士は
近いが、端同士が
離れてしまっている。
紙は伸び縮みしないので
このような曲面は作れない。
• 可展面であるための
もう一つの条件とは、
「隣り合う直線」が、
ねじれの位置にないこと
• 「任意の点における
ガウス曲率がゼロの曲面」とも言える
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8. 円柱、円錐以外の可展面
• 線織面を構成する直線が、
1. 全て平行 → 柱面
2. 1点で交わる → 錐面
3. ある曲線の接線の集まり → 接線曲面
• 全ての可展面は、これらのどれか、
またはそれらの組み合わせである
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9. 接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面
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10. 接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面
円柱に巻きつけた紐を、
引っ張りながら
ほどいていくときに
掃く曲面。
これは展開図を
作ることができる。
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11. 作ってみた
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12. 作ってみた
• 上から見ると、
インボリュート曲線が
現れる
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13. 曲面部分の展開図は？
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• 実はこれも、インボリュート曲線と円の一部で
囲まれた図形になる。
元のつるまき線が、
仰角αで半径1の円柱上に
巻きついているとき、
R
β
Rβ
R=
1
cos α2
β= 2π cos α

14. 展開図
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15. つるまき線の接線曲面 その２
• 円柱に巻きついた紐を、
「下から」ほどいていったときに掃く曲面と、
「上から」ほどいていったときに掃く曲面を、
組み合わせたものを作ることもできる。
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16. つるまき線の接線曲面 その２
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17. 展開図
• 何枚も切って
つなげる
中心の円と外側の円の
半径の比率と、
どの位置で
合わせるかが重要
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18. 可展面の応用
• 可展面を応用して、何かを作ってみよう
 紙で作ることができるので、
材料の調達も作成も簡単なはず！
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19. 可展面を作る
• 空間内に2つの曲線があったとき、
それらを両方含むような可展面を
作れる場合がある
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20. 可展面を作る
• 両方の曲線に接する平面との接点同士を
結んだ直線の集まりで曲面を構成すると、
可展面になる。 (接平面包絡面)
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21. 球面の可展面による近似
• 球面上に、らせん状の曲線を引く
• この曲線を通る可展面を計算する
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22. これはつまり、
りんごの皮むきの厳密な計算
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23. 計算した可展面と展開図
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24. 世界地図を印刷してみた
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25. 地球儀ができた！
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26. のりやテープが要らないよう、一工夫
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出っ張りを作って、
互い違いにひっかける。
形を工夫した結果、
5分程度で組み立てら
れるようになった！！

27. りんごの皮むき風近似球面展開図
のメリット
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• 少ないパーツで、
比較的球に近い立体を
作ることができる
• 印刷が容易
せっかくなので、
地球儀以外も
印刷してみよう

28. Google Street View のような、
全方向の写真を球面に印刷
Photo by Takehiko YOSHIDA
https://theta360.com/s/Xhl 28

29. RICOH THETA
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• シャッターを押すと、両側についた魚眼レンズが同時
に撮影して、画像を貼り合せてくれる

30. Panono
• 36個のカメラを搭載したボール型カメラ
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31. 正距円筒図法（Equirectangular）
の画像を変換するサイトを作った！
• 全天球パノラマ画像を扱う際の標準的な形式
• 大体この形式で画像をエクスポートできる
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http://print-sphere.com
にアップロード
販売も
してるよ！

32. 可展面を楽しもう！
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33. おまけ
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34. 球面以外も作れる
• またそのうち機会があれば発表します
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35. おまけ
その２
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36. 切り絵もやってます
http://kirie.xyz
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