第27回R勉強会＠東京(#TokyoR)用のトーク資料。R言語を用いて乱数生成法の１つである逆変換方について解説。

1. 第27回R勉強会＠東京(#TokyoR)
で学ぶ『逆(変換|関数)法』
@teramonagi

2. 自己紹介
• @teramonagi
• 乱数を撒くお仕事
• C++・R・python・VBA・F#
• 数理物理・データ分析
季節の変わり目ですね。
ご自愛ください。
2

3. もくじ
• 乱数を撒くお仕事からの逆変換法
• 教科書的な逆変換法の説明
• Rで学ぶ逆変換法
• まとめ
3

4. 自己紹介
• @teramonagi
•乱数を撒くお仕事
• C++・R・python・VBA・F#
季節の変わり目ですね。
ご自愛ください。
4

5. 乱数を撒くお仕事
5

6. 乱数を撒くお仕事
6

7. 撒かれる乱数？
7

8. おじちゃん！
乱数はどこ
から仕入れ
てくるの？
8

9. 八百屋・・・？
9

10. 魚屋・・・？
10

11. 雑貨屋・・・？
11

12. 困ったわね…どこか
ら乱数を仕入れれ
ばいいのかしら…
12

13. 君らエンジニア
じゃろう？無けれ
ば作りなさい！
CEOのアドバイス
13

14. 乱数作り方、いろいろ
逆変換法 マルコフ連鎖
モンテカルロ法
合成法
棄却採択法
重畳法
14

15. （今回の）前提条件
[0,1]の一様乱数はある
||
メルセンヌ・ツイスター
||
runif() 15

16. [0,1]の一様乱数（runif）
60
40
count
20
0
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
16

17. 逆変換法とは
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
FX からの乱数 x
17

18. 逆変換法とは
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
1
変換 FX
正規 指数
分布 二項
分布
分布 x
18

19. 逆変換法とは
1. [0,1]区間の一様乱数 u を取得
1
2. x  FX u として x を計算 
3. x は累積分布関数 FXからの乱数
[0,1)の乱数 変換 FX からの乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 19

20. （例）逆変換法で指数分布
• 累積分布関数 FX x 1  e   x
• 累積分布関数の逆関数を計算
u : FX x   1  e  x
1 log1  u 
Xに
x
ついて解く

F 1
X u    1 log1  u 
20

21. （例）逆変換法で指数分布
1. rand.exponential <- function(lambda, u)
2. {
3. - 1.0/lambda * log(1-u)
4. }
5. #λ=0.5とした指数分布に従う10000個生成
6. x <- sapply(runif(10000), function(u)rand.exponential(0.5,u))
7. #plot
8. qplot(x, geom = "blank") +
9. geom_histogram(aes(y=..density..),fill="bisque",colour="black") +
10. stat_function(fun=dexp,color="red",size=1,arg=list(rate=0.5)) +
11. scale_x_continuous(limits = c(0, 10))
21

22. （例）逆変換法で指数分布
0.5
Rで作った頻度分布 VS 実際の密度関数
0.4
0.3
density
0.2
0.1
0.0
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
x
22

23. 何でこれでい
いんだろう？
23

24. もくじ
• 乱数を撒くお仕事からの逆変換法
• 教科書的な逆変換法の説明
• Rで学ぶ逆変換法
• まとめ
24

25. 計算機シミュレーションのための
確率分布乱数生成法
2.2.1 逆関数法(Inverse Transform method)
25

26. パターン認識と機械学習 下
11.1.1 標準的な分布
26

27. Rによるモンテカルロ法入門
2.1.2 逆変換
27

28. 自然科学の統計学
11.4.1 逆関数法
28

29. そんなテキストらによくある証明

Pr X  x   Pr FX U   x 
1
 PrU  FX x   FX x 
29

30. (昔の俺)お手上げ
30

31. Yahoo知恵袋にも仲間が！
31

32. もう少し直感的な
説明が欲しいわね
32

33. もくじ
• 乱数を撒くお仕事からの逆変換法
• 教科書的な逆変換法の説明
• Rで学ぶ逆変換法
• まとめ
33

34. お題
カジノにいるSEが作る
ルーレット(二択) 34

35. ルーレットの設定（当選確率）
50% 50%
あたり
はずれ
35

36. うちのカジノで使う
からさ～逆変換法
でちょいちょいっと
作ってよ！ちょい
ちょいっと！
36

37. ええと・・・「０～１」まで
の数値をあたり・はず
れ共に50%になるよう
に変換するにはどうし
たら・・・
37

38. 逆変換法的に考えて・・・
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
あたり：50%
はずれ：50%
x
38

39. 単純に考えて・・・
あたり はずれ
0.0 0.5 1.0
39

40. アルゴリズム的に考えて・・・
あたり if 0.0  u  0.5
,
結果  
はずれ, if 0.5  u  1.0
u～Uniform(0,1)
40

41. R的に考えて・・・
1.#uは一様乱数(runifの結果)
2.example.1 <- function(u)
3.{
4. if(u < 0.5){
5. "あたり"
6. }
7. else{
8. "はずれ"
9. }
10.}
41

42. こんな感じでPLOTしてます
1. library(grid)
2. library(ggplot2)
3. sampling <- function(size, generator)
4. {
5. data.frame(table(sapply(runif(size), unction(u)generator(u)),dnn=c("Result")))
6. }
7. plot.bar <- function(x,colors)
8. {
9. ggplot() +
10. geom_bar(data=x, aes(x=Result, y=Freq,fill=Result),width=.8) +
11. theme(
12. legend.key.size=unit(2,"cm"),
13. legend.text =element_text(size=20),
14. legend.title=element_text(size=20),
15. axis.text.x =element_text(size=25),
16. axis.text.y =element_text(size=25),
17. axis.title.x=element_text(size=25),
18. axis.title.y=element_blank()
19. ) +
20. scale_fill_manual(values=colors)
21. }
22. plot.bar(sampling(10,example.1),c("#4F81BD","#C0504D"))
42

43. 徹夜でコーディング43

44. 10回回した結果
6
Result
4
あたり
2 はずれ
0
あたり はずれ
Result
44

45. 100回回した結果
40 Result
あたり
20
はずれ
0
あたり はずれ
Result
45

46. 1000回回した結果
500
400 Result
300 あたり
200
はずれ
100
0
あたり はずれ
Result
46

47. 大体50%ずつの確
率になってるね！
いいじゃないか！
儲けさせてもらっ
たよ！
47

48. 今月末は還元祭だ
から確率いじって
よ！逆変換法で
ちょいちょいだろ！
ちょいちょい！
48

49. ルーレットの設定（当選確率）
30%
あたり 70%
はずれ
49

50. ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、あたり
70%・はずれが30%に
なるように変換するに
はどうしたら・・・
50

51. 単純に考えて・・・
あたり はずれ
0.0 0.7 1.0
51

52. アルゴリズム的に考えて・・・
あたり if 0.0  u  0.7 
,
結果  
はずれ, if 0.7  u  1.0
u～Uniform(0,1)
52

53. R的に考えて・・・
1.example.2 <- function(u)
2.{
3. if(u < 0.7){
4. "あたり"
5. }
6. else{
7. "はずれ"
8. }
9.}
53

54. 徹夜でコーディング54

55. 1000回回した結果
600
Result
400 あたり
200 はずれ
0
あたり はずれ
Result
55

56. 大体あたり70%・
はずれ30%の確
率になってるね！
いいじゃないか！
56

57. プロジェクトの終了
57

58. 束の間の休息…
58

59. But…
更なる嵐の予感…
59

60. 新アトラクション導入！
くじ引き(三択) 60

61. 新しくくじ引き入れ
るからさ～逆変換
法でちょいちょ
いっと頼むわ！
ちょいちょいっと！
61

62. くじ引きの設定
33% 33%
青
赤
緑
33%
62

63. ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、青
33%・赤33% ・緑33%で
出るように変換するに
はどうしたら・・・
63

64. 逆変換法的に考えて・・・
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
青: 33%
赤：33%, 緑： 33%
x
64

65. 単純に考えて・・・
青 赤 緑
0.0 0.333… 0.666… 1.0
(1/3) (2/3) 65

66. アルゴリズム的に考えて・・・
 1
青 , if  0  u  
 3
1 2
くじ 赤 , if   u  
3 3
緑 , if  3  u  1
2 
 
u～Uniform(0,1) 66

67. R的に考えて・・・
1.example.3 <- function(u)
2.{
3. if(u < 1/3){
4. "青"
5. }else if((1/3 <= 13 u) & (u < 2/3)){
1
6. "赤" 3
7. }else if((2/3 <= u) & (u < 1.0)){
8. "緑"
9. }
10.}
67

68. 徹夜でコーディング68

69. 1000回回した結果
300 Result
青
200
赤
100
緑
0
青 赤 緑
Result
69

70. いいね！
70

71. もっと儲けたい
からさ～くじに
細工してくれ
る？なぁに逆変
換法でちょい
ちょいだろ？
71

72. くじ引きの設定
10%
青 70% 20%
赤
緑
72

73. ええと・・・「０～１」まで
の数値をから、青
10%・赤20%・緑70%で
出るように変換するに
はどうしたら・・・
73

74. 逆変換法的に考えて・・・
[0,1]の乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…) u
変換 1
FX
青: 10%
赤：20%, 緑： 70% x
74

75. 単純に考えて・・・
青 赤 緑
0 0.1 0.3 1.0
(10%) (30%) 75

76. アルゴリズム的に考えて・・・
青, if 0.0  u  0.1
くじ 赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 76

77. R的に考えて・・・
1.example.4 <- function(u)
2.{
3. if(u < 0.1){
4. "青"
5. }else if((0.1 <= 13 u) & (u < 0.3)){
1
6. "赤" 3
7. }else if((0.3 <= u) & (u < 1.0)){
8. "緑"
9. }
10.}
77

78. 徹夜でコーディング78

79. 1000回回した結果
600 Result
青
400
赤
200 緑
0
青 赤 緑
Result
79

80. 儲かりすぎて笑い
が止まらないよ！
ハハハッハ！！
80

81. あのちょいちょい野郎
がいる限り僕のデスマ
は止まらない・・・なん
とか先回りしないと！
81

82. アルゴリズム的に考えて・・・
青, if 0.0  u  0.1
くじ 赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 82

83. 赤, if 0.1  u  0.3
83

84. 0.1や0.3って
数字はどこか
ら来たのかし
ら・・・
84

85. 赤, if 0.1  u  0.3
85

86. 青が出る確率(10%)＋
赤が出る確率(20%)
赤, if 0.1  u  0.3
青が出る確率(10%)
86

87. アルゴリズム的に考えて・・・
青, if 0.0  u  0.1
くじ 赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 87

88. 緑, if 0.3  u  1.0
88

89. 青が出る確率(10%)＋
赤が出る確率(20%)＋
緑が出る確率(70%)
青が出る確率(10%)＋
赤が出る確率(20%)
緑, if 0.3  u  1.0
89

90. 何か法則性が
ありそうだな…
90

91. アルゴリズム的に考えて・・・
青, if 0.0  u  0.1
くじ 赤, if 0.1  u  0.3
緑, if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 91

92. 結果を文字式へ
x1 , if 0.0  u  0.1
X x2 , if 0.1  u  0.3
x3 , if 0.3  u  1.0
u～Uniform(0,1) 92

93. 確率を文字式へ
x1 , if 0  u  Px1 
X x2 , if Px1   u  Px1   Px2 
x3 , if Px1   Px2   u  Px1   Px2   Px3 
u～Uniform(0,1) 93

94. x1 , if 0  u  Px1 
x2 , if Px1   u  Px1   Px2 
x3 , if Px1   Px2   u  Px1   Px2   Px3 
94

95. 和の記号（Σ）を使って書く
 
x 0 1
, if   Pxi   u   Pxi 
1  i1 i 1 
x 
2  i1
1 2

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
 
x 2 3
, if   Pxi   u   Pxi 
3  i1 i 1 
95

96. 和の記号（Σ）を使って書く
 
x 0 1
, if   Pxi   u   Pxi 
1  i1 i 1 
x 
2  i1
1 2
, if   Pxi   u   Pxi 
i 1


x  2 3
, if   pi  u   pi 
自分の番号(2)から1引いた数値
3  i1 i 1


(1)と同じ番号(2)で和をとる
96

97. 素晴らしい洞察力！
でわ、これを一般化
してみよう！
97

98. 題材
くじ引き(N択) 98

99. x1
くじ引きの設定
x2
x3 x4
x5 x6
x7 x8
x9 x10
x11 x12
x13 x14
x15 x16
x17 x18
x19 x20
x21 x22
x23 x24
x25 x26
x27 …
x_N-1 xN
99

100. 単純に考えて・・・
x1 x2 x3 x4 x5 x6 xN 1 xN
・・・
・・・
0 1.0
100

101. N択くじの2番目結果は？
x 
21
2  i1
2

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
自分の番号から1引いた数値と
同じ番号で和をとる
101

102. N択くじのn番目結果は？
x 
n 1
n  i1
n

, if   Pxi   u   Pxi 
i 1 
自分の番号から1引いた数値と
同じ番号で和をとる
102

103. Nを∞にすると・・・
離散 連続
xn x
P x  px dx
 

104. Nを∞にすると・・・
x 
n  i1
n 1
i 1
n

, if   Pxi   u   Pxi 

 
x x

 
x
, if   px'dx'  u   px'dx' 



104

105. FX x   px'dx'  u
x
1
両辺に F X かける
x  F u  1
X 105

106. 逆変換法とは（再掲）
1. [0,1]区間の一様乱数 u を取得
1
2. x  FX u として x を計算 
3. x は累積分布関数 FXからの乱数
[0,1)の乱数 変換 FX からの乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 106

107. 逆変換法とは（再掲）
1. [0,1]区間の一様乱数 u を取得
1
2. x  FX u として x を計算 
3. x は累積分布関数 FXからの乱数
[0,1)の乱数 変換 FX からの乱数
(例：0.1153…, 0.892…, 0.722…)
1
u FX
x 107

108. ぎゃ、逆変換法
じゃねーか！
108

109. Congratulation!!!
109

110. まとめ
二択・三択の練習問題
一般化
N択のくじ引き
N→∞
逆変換法 110