Secuencia Didáctica: Ecuaciones diofánticas-Congruencias.

Especialización docente de nivel superior en educación y TIC
Propuesta Educativa II
Profesora Licencia Teresa Fernández 1
Propuesta educativa II
Enseñar con TIC Matemática 2
Secuencia Didáctica:
Ecuaciones diofánticas y congruencias:
sus relaciones
Teresa Fernández Abril, 2014

Índice:
Propósitos y objetivos·····················································3
Propósitos de la secuencia:···········································3
Objetivos de la secuencia:············································4
Contenidos:································································ 4
Saberes previos necesarios:·············································· 4
En relación a la disciplina:··········································· 4
En relación a las TIC:················································ 5
Actividad 1:·································································5
Actividad 2:·································································7
Actividad 3:······························································· 11
Recursos:··································································15
Evaluación de la secuencia:·············································16
Fundamentación de la secuencia:······································18
Bibliografía:·······························································21

Curso: 3° Año profesorado de matemática.
Asignatura/Espacio curricular:MATEMÁTICAY SU ENSEÑANZA III
Propósitos y objetivos
La diferencia entre objetivos y propósitos, es fundamental tenerla en cuenta a la hora de
redactar los mismos.
Las diferencias consisten en:
Propósitos de la secuencia:
 Reconocer las ecuaciones diofánticas, para su posterior clasificación y resolución
algebraica.
 Resolver distintas congruencias módulo n, para llegar a aplicarla en diferentes
ejemplos, y en especial en los sistemas de numeración.
 Modelizar diferentes problemas utilizando las ecuaciones diofánticas.
 Conocer los criterios de divisibilidad para poder justificar cada procedimiento
utilizando congruencias

 Utilizar estrategias de resolución y formas de pensar propias de la matemática,
promoviendo el pensamiento numérico, algebraico e inductivo.
 Promover el trabajo colaborativo, en la realización de una puesta en común.
 Incentivar el uso de diversos software matemáticos, mostrando su utilidad en la
búsqueda de soluciones a distintas sitiuaciones problemáticas que involucran el uso
de diversas ecuaciones.
Objetivos de la secuencia:
Que los alumnos:
 Reconozcan las ecuaciones diofánticas
 Resuelvan las ecuaciones diofánticas.
 Manejen el concepto de congruencia aplicando las propiedades básicas de la misma
 Calculen el inverso de un número en Zn
 Deduzcan los criterios de divisibilidad a partir de resultados generales, utilizando la
congruencia módulo n
 Utilicen con comodidad la inclusión de las actividades y presentaciones en la
plataforma educativa del aula virtual.
Contenidos:
 Ecuaciones Diofánticas
 Congruencias
 Sistemas de numeración y criterios de divisibilidad
Saberes previos necesarios:
En relación a la disciplina:
 utilizar con precisión el algoritmo de la división entera
 reconocer relaciones de equivalencia y sus implicaciones

 conocer y manejar el principio de inducción completa
 Calcular el MCD de dos números utilizando el algoritmo de Euclides
En relación a las TIC:
 Saber buscar diversos contenidos en la web, para lograr una efectiva selección de los
contenidos.
 Manejar con soltura procesador de textos , pdf, presentaciones diversas, a fin de
mostrar su trabajo en forma pertinente.
 Utilización de diversos software específicos matemáticos ( por ejemplo Maple), para
la resolución de las diversas actividades.
 Utilización y manejo del aula virtual ( moodle) y de grupos googles, con el fin de
lograr una correcta comunicación.
Secuencia de actividades:
Clases alternadas presencial en ISFDT 39 y en el Aula virtual: Matemática y su
enseñanza III
Ubicación: www.edusindistancia.com.ar
Descripción: plataforma educativa construida en Moodle versión 2.5
Grupo Google: MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA
Actividad 1:
Trabajo de investigación sobre ecuaciones diofánticas. Clasificación
y utilización.
Momento de Apertura:
Esta actividad se ralizará en forma virtual, desde el aula de nuestro curso.
Los alumnos ingresarán con su usuario y contraseña, y dentro del aula se dirigirán a la
clase pertinente.

Ellos deberán realizar una investigación mediante el uso de diversos buscadores, sobre la
historia de las ecuaciones diofánticas, su origen y utilización, como así también la
clasificación de las mismas centrándose en las lineales.
Las consultas se harán mediante un foro abierto para tal motivo, que se llamará:
FORO: Actividad de investigación. Consultas
Momento de Desarrollo:
En el tiempo que ellos determinen, realizarán la investigación pedida, y una presentación
que muestre correctamente y claramente la consigna. Este trabajo deberá ser presentado
en el espacio del aula virtual, y una vez corregido por mí, será compartido en el espacio
específico del grupo Google, donde todos podrán comparar sus resultados de
investigación.
Momento de Cierre:
En el foro del aula virtual, luego de volcar cada uno sus reflexiones y/o críticas
“constructivas” sobre los demás trabajos, se procederá a la confección de un mural dentro
de Pintarest , Padle o Glogster, (el mismo será decidido en forma conjunta, mediante una
encuesta en el aula virtual) que resuma las investigaciones de todos, sobre las ecuaciones
diofánticas , de forma tal que el mismo resulte de significación y utilidad para todos.
Tiempo previsto de cada momento:
La carga horaria institucional de la cátedra es de 2 horas semanales, por eso el uso del
aula virtual. Los tiempos se expresarán en función de esa virtualidad y cuando
corresponda, respecto a la clase presencial.
Esta actividad tendrá un plazo de 7 días para su desarrollo investigativo y de formación
individual. La misma será programada en el calendario del aula.
Se le agregará 3 días más para la construcción grupal del mural interactivo. De idéntica
forma que la anterior, publicaré la entrega en el calendario virtual.
Posibles intervenciones:
Dado la virtualidad de dicha actividad las intervenciones serán las dadas en el foro
habilitado para ella.

En esta actividad, podrían surgir dudas referidas a la investigación propiamente dicha, ya
sea referida al material encontrado, las nomenclaturas utilizadas, y a la clasificación en
general.
Un alumno podría preguntar:
A: Profe, ¿la clasificación se refiere a los distintos grados de una ecuación?
D: Si, es correcto eso. Una de las clasificaciones podemos hacerla en cuanto a los grados
de las variables.
A: Pero, ¿debemos tener en cuenta también, por ejemplo, la clasificación en cuanto a la
forma?
D: Por supuesto! La pregunta que hice, es abierta, lo cual fue hecho adrede, para que
cada uno de ustedes elijan la forma de clasificación que prefieran.
D: Pero tengan especial atención en las lineales, pudiendo terminar la clasificación que
hagan, destacando el por qué nos centraremos en ellas.
Con respecto a la utilización del mural, las preguntas que pueden surgir son con respecto
al funcionamiento de cada uno de ellos. Pero esto será aclarado con los tutoriales
correspondientes, y en base a ellos será la elección que los alumnos hagan, al contestar la
encuesta formulada para tal fin.
Actividad 2:
Ecuaciones en congruencia y algoritmo de Euclides. Su relación.
Esta actividad se desarrollará en la clase presencial siguiente a la anterior que fue virtual.
Al llegar a la clase, se repartirán entre los alumnos fotocopia de la actividad, o el archivo
correspondiente, según la preferencia de cada uno. La misma consistirá en diversas
situaciones problemáticas , con dificultades increscendo, que impliquen:
 el uso del algoritmo d la división entera ,

 el algoritmo de Euclides para la obtención del MCD
 ecuaciones en congruencia. para su resolución.
Los alumnos trabajarán en grupos de 3, y se repasará en este momento, brevemente, los
temas mencionados.
Estrategia a utilizar: Durante la clase se desarrollarán los ejercicios propuestos.
Empezarán con la obtención del MCD, de números pequeños, presentados de a pares.
Luego de realizar las divisiones sucesivas, reescribirán cada una con el algoritmo de la
división entera. Y mediante un camino de retroceso, escribirán el MCD como una
combinación lineal de los números dados. Este contenido ya es conocido y aplicado por
los alumnos.
A continuación resolverán las ecuaciones simples, en módulo 10. Las mismas serán
similares al ejercicio anterior en tanto a los coeficientes, pero esta vez planteados en
forma de ecuación. Se les hará notar que trabajan en módulo 10, puesto que al ser nuestro
sistema decimal , al trabajar en él, lo que se hace es trabajar en congruencia de módulo 10.
Luego resolverán ecuaciones en otras bases de numeración (módulo n). Esto lo realizarán
ayudándose con algún software matemático de su preferencia.Se recomendará el uso de
Matlab, ya que es uno de los utilizados en otra oportunidad.
Esta resolución será en base al tanteo , tratando de que ellos obtengan de forma cercana la
resolución de cada una, hasta llegar a la correcta, ayudados con la utilización de las
conjeturas obtenidas.
Por esto es necesario el uso del software, ya que ayudará en la operatoria a realizar,
prestando entonces atención plena a la resolución de las ecuaciones en sí mismas, sin que
los cálculos los dispersen
Ejemplo del archivo o fotocopia para los alumnos:
1-Calcular el mcd ( 66, 550) utilizando el algoritmo de Euclides y expresarlo como
combinación lineal de ambos números.
2-Idem para:

a) 3 y 6
b) 2 y 7
c) 525 y 100.
d)30 y 12
3- Resuelvan
a) 3x=6 (módulo 10)
b) 2x= 7 (módulo 10)
c) 525x=100 (10)
d) 30x=12 (10)
4- Resuelvan
a)2x  -12 ( módulo 7)
b) 2x  -21 ( módulo8)
4.1 Las soluciones encontradas, son las únicas.
¿Esta afirmación es cierta? Refuten o justifiquen.
4.2 Completen con la respuesta correcta:
a) El inverso multiplicativo de 2, en módulo 7 es…..
b) El inverso multiplicativo de 2, en módulo 8 es….
Momento de Cierre:
Luego de que cada gupo haya realizado los ejercicios dados, se hará una puesta en común,
dando a conocer cada grupo sus resultados, tratando de llegar a una conclusión general
respecto de las soluciones en congruencia, inversos multiplicativos y mcd.
Si los alumnos no llegan a la conclusión, se copiará en el pizarrón los ejercicios más
significativos, y se les formularán diversos tipos de preguntas, que permitan esclarecer lo
que aún no han descubierto.
Preguntas a realizar:
En la siguiente ecuación
a) 3x=6 (módulo 10)
¿Cuál es el mcd entre el coeficiente de x y el módulo?

Y ese mcd, ¿se relaciona con el término independiente? O ¿ qué relaciones de
divisibilidad se encuentran?
¿ Cuál es esa relación?
¿Encontraron solución para esa ecuación?
Se procederá a formular y responder las mismas preguntas para cada una de las otras
ecuaciones.:
b) 2x= 7 (módulo 10)
c) 525x=100 (10)
d) 30x=12 (10)
¿ Sucede lo mismo?
En alguna ecuación,¿resultó no existir solución que la satisfaciera?
En la primera ecuación...al resolverla, y “despejar” el coeficiente 3, ¿ qué operación están
realizando realmente? ¿Qué es lo que buscamos con respecto al coeficiente 3?
Se continuará con este tipo de formulaciones hasta que los alumnos lleguen a las
siguientes conclusiones:
 Una ecuación en congruencia tiene solución si y solo sí el mcd del coeficiente de la
incógnita y el módulo dividen al término independiente.
 Una ecuación en congruencia diofántica tiene una solución particular, y otras
más en congruencia.
 Un número tendrá inverso multiplicado si el mcd entre él y el módulo n, es igual a
1.
.
Al tratarse de la clase presencial, se disponen de 2 horas reloj para la realización de la
misma.
La disposición horaria será:
Apertura: 20 minutos
Desarrollo: 50 bminutos
Cierre: 50 minutos

Posibles intervenciones :
Dado el carácter práctico de la clase, las intervenciones y / o interrogantes de los alumnos,
que pudieran darse, serían con respecto a la resolución y determinanción de generalidades
de cada ejercicio.
Por ejemplo, con respecto al algoritmo de Euclides y su relación, puede darse un diálogo
como el siguiente:
A: No logro terminar de desandar el camino para llegar a la combinación
lineal..desaparecieron los números de los que busco el mcd
D: Observá tu ejercicio, ¡realizaste alguna distributiva al reemplazar cada resto?
A- Si...en el terer paso....distribuí para simplificar los cálculos...
D: Por eso mismo “ desaparecieron los números”...en realidad los transformaste!!
En este tipo de algoritmos, no conviene aplicar la propiedad distributiva, simplemente
realizá los reemplazos y operá. Lo números , cuyo mcd buscás, deben ser parte de esa
expresión, en forma totalmente clara!!
A: Ya comprendí Profe, creí que debía utilizar las propiedades aritméticas, y eso fue lo
que hice.
Actividad 3:
Ecuaciones diofánticas lineales. Su resolución
Clase presencial de 2 horas cátedras.
Continuando con lo visto la clase anterior, y el estudio por parte de los alumnos durante la
semana de la teoría provista sobre resolución de ecuaciones diofánticas, se procederá a
entregarle a los alumnos, que estarán agrupados de a 3 ,una nueva fotocopia o archivo.
Ejemplo del archivo o fotocopia para los alumnos:
1- Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen solución:
a) 3x+14y= 40

b) 3x+14y=20
c) Comparen las ecuaciones a y b, ¿ en qué se diferencian?
¿Se pueden relacionar ? ¿ De qué manera?
d) Con lo descubierto en los puntos anteriores, resuelvan:
d1) 2x + 10 y=17 (10)
d2) 5x+6y= 8 (10)
d3) 221x=85 (340)
d4) 3x= 5 ( 4)
2- ¿Es posible llenar exactamente un depósito de 25 litros con recipientes de 6 y
8 litros.?
a. Resuelvan intuitivamente, ayudándose con el software preferido por uds.
a. Planteen luego una ecuación en congruencia con los datos del problema,
tomando como módulo a alguno de los coeficientes dados,
b. Tomando como módulo, el coeficiente de x, o el de y, ¿ se llega a lo mismo?
3- ¡Un extra!
Si todo número natural n puede escribirse de manera única en base 10 de la forma:
n = ak . 10k
+ ak-1 . 10k-1
+ ... + a1 . 10 + a0.b0
y 10  3 (módulo 7) ¿qué condición se debe cumplir para que n sea divisible por
7?
Luego de la entrega, realizaremos un mapa conceptual en el pizarrón, resumiendo los
conceptos más importantes de la teoría vista.
Los alumnos procederán luego a realizar el mismo, pero en sus netbooks, con el programa
Cmaps, o alguno similar que ellos hayan elegido.
Tiempo estimado: 20 minutos
Una vez realizado el mapa conceptual, se procederá a la resolución de los distintos
ejercicios.

A pesar de tener en su poder la teoría pertinente, se les pedirá a los alumnos que resuelvan
la primera ecuación utilizando el procedimiento de tanteo utilizado en la clase anterior,
con algunos de los software matemáticos provistos.
Tras obtener la solucion de esa manera, la resolverán aplicando la teoría provista, y
comparando lo obtenido con los distintos pasos efectuados anteriormente,
Estrategia utilizada:
Se les pedirá a los alumnos que resuelvan la ecuación 3x+14y=20 y generalicen el
resultado para Ax+By=C
Se les hará ver, que como la ecuación original es algo complicada de resolver, se
comenzará con una más sencilla , como ser 3x+14y=1
En este momento se hará la observación que 1 es el m.c.d.(3,14).
¿Qué relación existe entre el mcd y los números de los cuales es el mcd?
¿Cómo se puede escribir esa relación? ( dentidad de Bezout, expresar a 1 como
combinación lineal de 3 y 14) :
1= 3. 5 + 14. (-1)
En este momento, se le pide a los alumnos que retomen la ecuación original 3x+14 y =20 .
Se inicia el siguiente cuestionario:
¿ Qué sugieren para resolverla?
¿ Qué propiedades del álgebra de ecuaciones se pueden utilizar?
Las leyes de monotonía, ¿Qué enuncian?
Los alumnos deben observar que al multiplicar por 20 la ecuación resuelta, se obtiene la
respuesta solicitada:
20.(3x+14y) = 20 .1
20. 3 . 5 + 20 . 14 . (-1) = 20
3. 100 + 14 .(-20) = 20
Por lo tanto x= 100, y= -20 son solución de 3x+14 y = 20
Se continua con el cuestionario iniciado en el párrafo anterior, para contestar lo pedido en
el archivo entregado al comienzo de la clase:
¿Es esta solución la única, o hay más soluciones? La respuesta es que hay más soluciones;
de hecho hay infinitas soluciones más, lo que nos lleva a la generalización.

Para lograr que los alumnos lleguen a esto, se les sugerirá que busquen por tanteo otras
soluciones a la ecuación planteada. Esto, siempre con el software preferido, como ya se
dijo, para evitar perder lo realmente importante de este proceso que es la generalización.
Entre todos, debatírán la posibilidad de una fórmula general para encontrar las soluciones
de las ecuaciones dadas, yendo de lo particular a lo general.
Es decir llegarán a dar la solución particular de cada ecuación y luego deberán expresarla
en su forma general , que es la solución particular más el coeficiente de cada variable por
un parámetro.
Esto se hará de la siguiente manera:
Se le pedirá a los alumnos que consideren dos valores cualesquiera que pueden ser
soluciones, por ejemplo :
3x+14y= 20
3a + 14 b= 20
Y que resten ambas ecuaciones, quedándoles:
3( x-a) + 14 ( y -b) = 0
Se les recordará el concepto de ecuación homogénea, y se los guiará para llegar a
3 u + 14 v = 0
En este momento seguirán trabajando en grupo, logrando obtener la solución de esa
ecuación homogénea:
3u=-14v y m.c.d.(3,14)=1, por lo cual se puede decir v=3m y u=14n
Por lo tanto m=-n
Si llamamos t a este valor común, obtenemos que la solución de la ecuación homogénea
es
v=3t,u=-14t.
Al hallar las soluciones u y v, al sumárselas a los valores encontrados previamente,
obtendrán todas las soluciones:
x=100-14t
y=-20+3t
Momento de Cierre:
En este momento, se realiza la institucionalización de lo visto, enunciando el siguiente
teorema :

La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución sí y sólo sí d|c, donde
d = M.C.D.(a, b).
Si x0 e y0 es una solución particular de esta ecuación, entonces, todas las otras
soluciones están dadas por:
para t entero arbitrario.
A continuación se terminarán de resolver los ejercicios de la copia entregada. Y se les
pedirá a los alumnos que inventen situaciones problemáticas que involucren a las
ecuaciones dadas , teniendo en cuenta la realidad de los enunciados.
Una vez realizado eso, verificarán si encontradas las soluciones a cada caso, las mismas
son las únicas o no, teniendo en cuenta el contexto en el cual se desarrolla el enunciado
planteado.
Para la resolución estimo 50 minutos reloj, dejando para los otros 50 minutos reloj la
realización de los enunciados y comprobación de soluciones.
Quedará para la próxima clase virtual la deducción teórica de las fórmulas. Esto lo
realizarán con el seguimiento de un foro creado para tal actividad, en el cual desarrollaré
una serie de consignas para guiarlos.
Recursos:
 Guías de actividades preparadas por el docente.
 Guía teórica preparada por el docente.
 Aula virtual
 Software amtemáticos: matlabe, maxima, wmaxima, derive

 Ofimatica: Procesador de texto, convertidor a pdf
 Archivos digitales
 Tutoriales murales interactivos
 Libros de Teoría de números digitalizados,
 Internet
 Buscadores
Evaluación de la secuencia:
La Matemática permite que los estudiantes se enfrenten a situaciones problemáticas,
vinculadas o no a un contexto real, con una actitud crítica. Por ello se debe propiciar que
nuestros estudiantes tengan un interés permanente por desarrollar sus capacidades
matemáticas para que les sean de utilidad en su vida presente y futura. Esto significa que
se debe enseñar a usar la Matemática en función del desarrollo de las capacidades:
razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Este
progreso está ligado a la evaluación de los aprendizajes, ya que ésta debe verse como un
proceso educativo donde los estudiantes aprenden de sus aciertos y errores. La evaluación
recoge información pertinente sobre los logros, avances y dificultades que presentan los
estudiantes en el desarrollo de sus aprendizajes.
Dicha información sirve para tomar decisiones de mejoramiento y recuperación
pedagógica.La evaluación proporciona información permanente que permite ajustar o
regular los procesos educativos que tienen lugar en las aulas.
En el caso del docente, la evaluación sirve para mejorar e ir adaptando su enseñanza a las
necesidades de quienes aprenden; en el caso de los estudiantes, para que sean
conscientesde los aspectos a superar y las potencialidades que pueden desarrollar.
La evaluación de los aprendizajes, que debemos adoptar , es la que se caracteriza por ser
integral, continua, sistemática, participativa yflexible.
En esta secuencia didáctica, la evaluación, se enmarca dentro de la evaluación formativa
o procesual. La misma, según Rotger (1990), requiere de un flujo continuo de
información en relación con cada alumno, y de esa manera es posible tener conciencia

sobre las fallas del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto dará al docente la posibilidad
del diagnóstico permanente de la situación, basado en:
 La integración social
 El desarrollo de las actitudes
 Las destrezas específicas para cada actividad trabajada.
Todo esto redundará en la retroalimentación del proceso aprendizaje-enseñanza.
Por todo lo expresado, decidí que la evaluación de cada una de las actividades sea en
forma de lista de cotejo, obteniendo una calificación final cualitativa de cada uno de mis
alumnos.
El instrumento elegido brinda :
 Objetividad, ya que está bien claro y sucinto lo que se evalúa,
 Discriminación , en tanto los alumnos aprobaron o no la consigna
 Confiabilidad: ya que el resultado que se obtiene es el volcado en cada actividad.
 Validez: por la claridad del como, cunado, como y porqué evaluamos.
Parafraseando a Flores Samaniego y Gómez Reyes, este instrumento de evaluación
elegido me permitirá obtener toda la información pertinente a apartir de las respuestas y
actividades de mis alumnos.
Los indicadores a tener en cuenta son:
 Muy pertinente: cumplió con el 100% de lo planteado en la lista.
 Pertinente: cumplió con el 70 % de lo planteado.
 Poco pertinente: cumplió con el 40 % de la lista.
 No pertinente: no llegó a ncumplir con el 40 % de lo pautado.
En cada actividad se realizará una lista de cotejo como la siguiente, teniendo en cuenta
para su confección lo desarrollado en cada actividad.
Los alumnos estarán enterados de esta forma de evaluación, ya que en el aula virtual se
publicó una entrada con los objetivos a cumplir , la forma de evaluación, su instrumento y
sus indicadores.
A modo de ejemplo, adjunto la lista correspondiente a la Actividad 1

Evaluación de la actividad 1
Se tendrá en cuenta la siguiente lista de cotejo:
Fundamentación de la secuencia:
“...en el ámbito de la aritmética la construcción de nuevos objetos matemáticos como “la
congruencia” que en tanto relación de equivalencia defnida en Z permite establecer
importantes relaciones entre las ecuaciones algebraicas y la divisibilidad. En otras
palabras la noción de congruencia es emergente de un cambio en el pensamiento
matemático, más allá de las nuevas técnicas y resultados teóricos que también se logran
ACTIVIDAD 1 Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3
Participación en foros
Búsquedas efectuadas
Redacción al realizar la entrega.
Y ortografía.
Creatividad en los trabajos
realizados
Participación en el grupo Google
Hizo una clasificación pertinente
Consideró lo pedido en la
consigna
Cumplió con las formas
solicitadas
Cumplió con los tiempos
estipulados
Publicó en uno de los murales
sugeridos
Realizacion de la presentación
con un programa específico

crear y demostrar en este ámbito de la Matemática, transformándose en uno de los
objetos esenciales en los que se basa el proceso de algebrización de la Aritmética. Es
indudable que esto justifca sin ambigüedad la necesidad de su incorporación como otro
de los elementos que ayudan a transitar, al futuro profesor de Matemática, el camino de
la comprensión de la ciencia que debe enseñar.”
Comienzo mi fundamentación del por qué ecuaciones diofánticas, congruencias,
divisibilidad de mi secuencia didáctica, transcribiendo un párrafo de Proyecto de mejora
para la formación inicial .., por que en él se expresa lo que siento y pienso con respecto a
estos temas.
Desde siempre sentí debilidad por la Teoría de números, a tal punto que mi Tesis de
licenciatura versa sobre ella. En los Institutos de formación docente, en los profesorados
de matemática, este tema casi no se da. Solamente algo de congruencia, y muy por arriba.
Por eso decidí incorporarlo a mi cátedra de Matemática y su enseñanza.
Las ecuaciones diofánticas lineales , pueden considerarse como el eslabón faltante entre
aritmética y álgebra: aritméticas por ser diofánticas y algebraicas por ser ecuaciones. Por
otro lado, el estudio de este objeto da cuenta de las relaciones entre los conocimientos
conceptuales, semiolinguisticos e instrumentales y las reglas que legitiman la actividad
matemática, especialmente las formas de validación, lo que puede asociarse a diferentes
momentos del proceso educativo en el nivel superior. Como así mismo, su estudio nos
deja ver el paso de la aritmética al álgebra , como una continuidad, y en todo caso como
rupturas parciales, y no una gran grieta epistemológica, ya que en ellas es necesario el
uso del álgebra en los momentos en que la aritmética resulta insuficiente, como
herramienta de prueba y de resolución, como productora de conocimientos sobre lo
numérico.
Las TICS , por su parte, son en la actualidad una de las herramientas importantes en la
enseñanza y estas tienen características muy esenciales dentro de la educación:
 Aprendizaje continuo, por parte del alumno y del profesor, pues éste tendrá que estar
actualizado para planificar con éxito las tareas docentes que realizarán los
estudiantes.

 Las TIC no solo pueden ser objeto de estudio sino que éstas deben pasar a ser
herramienta indispensable para el alumno, tienen que ser integradas al entorno
educativo.
 Garantiza el desarrollo de una enseñanza significativa y facilita de antemano una
educación integral.
 Dinamiza el papel del profesor y del alumno, este último, de sujeto pasivo dentro del
proceso pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como
función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean
utilizadas en el proceso.
El trabajo colaborativo, favorece la integración social , da confianza a la productividad
individual ,incentiva a nuevas investigaciones, tiene efectos en el rendimiento académico,
disminuye la dependencia de los alumnos con su profesor y aumenta la responsabilidad
de los estudiantes por su propio aprendizaje.
Para Johnson, Johnson y Holubec ( 1993 ) , el profesor tiene un papel de seis partes en el
aprendizaje cooperativo:
1. Especificar los objetivos de la clase
2. Tomar decisiones previas acerca de los grupos de aprendizaje, arreglo del salón y la
distribución del material de estudio dentro del grupo.
3. Explicar la estructura de la tarea y de la meta a los estudiantes
4. Iniciar la clase de trabajo colaborativo,
5. Monitorear la efectividad de los grupos, interviniendo siempre que sea necesario
6. Evaluar los logros de los estudiantes, ayudarlos en la discusión sobre su trabajo
grupal
Para terminar con mi fundamentación, es de esperar que con la secuencia planteada , los
alumnos logren en gran medida cumplir con los objetivos específicos de aprendizaje
planteados en la Propuesta para la mejora del INFOD, en el núcleo de lo numérico y lo
aritmético:

i. Favorecer la detección de regularidades que facilite tanto la construcción de un
término general de una sucesión, la determinación de una propiedad de los números
enteros, como hacer más plausible el planteo de distintas conjeturas en el campo de lo
numérico y aritmético.
ii. Reconocer criterios que determinan una relación entre números y expresarlos a
través de una generalización.
iii. Reconocer la importancia de la división entera para expresar números en diferentes
sistemas posicionales.
iv. Resignifcar los conocimientos numéricos y aritméticos en términos de objetos de
enseñanza, comprendiendo cómo se originaron, la naturaleza de los problemas que
resuelven y las relaciones entre los mismos y con otras disciplinas.
v. Confrontar y comunicar con claridad procesos y argumentaciones, utilizando
diferentes marcos de representación y el lenguaje adecuado.
vi. Poner a funcionar los procesos recurrentes y “la recurrencia” como método general
de resolución de un problema, expresando la solución del mismo mediante una
versión más sencilla y al proceso de reducción en forma de algoritmo recurrente.
vii. Reconocer la divisibilidad como un campo fértil que permite transitar uno de los
caminos de iniciación al álgebra.
Bibliografía:
Barberá, Gregori, Elena. (2002). Evaluación escrita del aprendizaje: la evaluación como
escenario educativo (I parte). Revista de Teoría y Didáctica de las Ciencias Sociales,
enero-diciembre, 247-270.
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Flores Samaniego, Á. y Gómez Reyes, A. (2009). Aprender Matemática Haciendo
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Nicoletti, J.A. ( 2008 ) Estrategias de evaluación . En Formación docente: estrategias
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