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1. Zipf 分布に従う乱数の生成方法
まるやま
2013/04/18
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2. Zipf 分布に従う乱数を発生させたい
そういう時もあるでしょ（あるんです）
Zipf 分布とは → ja.wikipedia
一番簡単な Zipf 分布を考える
1/k
f (k; N) = ∑N
i=1 1/i
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3. 調和級数の部分和
Zipf 分布の分母は、調和級数の部分和（要するに、調和数）
調和級数とは → ja.wikipedia
だから、対数とオイラーの定数で近似できる
オイラーの定数とは → ja.wikipedia
∑N 1
i=1 i ≒ log(N) + γ
オイラーの定数：γ = 0.5772156649 · · ·
Partial Sums of Harmonic Series (Harmonic Number) and its approximate value
10
9.5
9
8.5
8
7.5
グラフでは見分けがつか
7
6.5
Harmonic Number
6
ない程、近い
5.5 Harmonic Number
5 approximate value
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
x-th partial sum
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4. Zipf 分布の式を簡単に
Zipf 分布の式が結構簡単になる
1
f (k; N) = k(log(N)+γ)
グラフを描くのも楽チン
Zipf Distribution (N=10000) Zipf Distribution (N=10000, Enlargement)
1 0.4
0.9
0.35
0.8
0.3
0.7
0.25
0.6
PDF and CDF
PDF and CDF
PDF PDF
0.5 0.2
CDF CDF
0.4
0.15
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0 0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k k
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5. 一様乱数から Zipf 乱数へ
確率分布な乱数を作る時は、累積分布関数（CDF）を使う
前のスライドに載せていた確率密度関数（PDF）ではなくて
ジップ分布の累積密度関数だって、実は簡単
log(k)+γ
F (k; N) = log(N)+γ
何も言わずに前のスライドにはグラフを載せていたけど
累積密度関数の逆関数で、確率分布な乱数を作れる
G (x; N) = exp((log(N) + γ)x − γ)
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6. Lua で作ってみる
zipfr.lua
euGm = 0.5772156649
max = 1000
count = 1000000
harm = math.log(max)+euGm
math.randomseed(os.time())
hist = {}
for i = 1, max, 1 do hist[i] = 0 end
for i = 1, count, 1 do
x = math.ceil(math.exp((math.random()*harm)-euGm))
hist[x] = hist[x]+1
end
for i = 1, max, 1 do print(i, hist[i]/count, 1/i/harm) end
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7. 作ってみたら…
Zipf Distribution (N=1000)
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
probability
0.08
count
0.07 logical
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
あれ？なんか違う？
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8. 定義域と値域
一様乱数の入力 x = [0, 1) に対して、
出力 y = G (x; N) は y = [0, N) であって欲しい
しかし、G (0; N) = e −γ 、G (1; N) = N
だから１番目の値が小さかった！
値域の始まりを合わせるため、
G (x; N) = exp((log(N) + γ)x − γ) − e −γ とする
すると今度は値域の終わりが G (1; N) = N − e −γ とズレる
さらに値域の終わりを合わせるため、
G (x; N) = exp((log(N + e −γ ) + γ)x − γ) − e −γ とする
これで G (0; N) = 0、G (1; N) = N になった！
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9. Lua で再実装
zipfrand.lua
euGm = 0.5772156649
max = 1000
count = 1000000
base = math.exp(-euGm)
harm = math.log(max)+euGm
cond = math.log(max+base)+euGm
math.randomseed(os.time())
hist = {}
for i = 1, max, 1 do hist[i] = 0 end
for i = 1, count, 1 do
x = math.ceil(math.exp((math.random()*cond)-euGm)-base)
if (x == 0) then x = 1 end
hist[x] = hist[x]+1
end
for i = 1, max, 1 do print(i, hist[i]/count, 1/i/harm) end
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10. 結果…
Zipf Distribution (N=1000)
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
probability
0.08
count
0.07 logical
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
できた！
！
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