Vat Ly Dai Cuong

1. Chương I
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐiỂM

2. I. Những khái niệm mở đầu
- Chuyển động của một vật là sư chuyển dời vị trí
của vật đó đối với các vật khác trong không gian và
theo thời gian
- Vật hay hệ vật được qui ước đứng yên khi khảo sát
chuyển động của các vật khác gọi là hệ qui chiếu.
Chuyển động có tính tương đối phụ thuộc HQC.
- Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không
đáng kể so với những khoảng cách, những kích
thước mà ta đang khảo sát
- Một tập hợp chất điểm gọi là hệ chất điểm. Vật
rắn được xem là hệ chất điểm phân bố liên tục

3. II.Các phương pháp mô tả chuyển động. Quỹ đạo
Để xác định chuyển động của chất điểm, cần xác
định vị trí của nó trong hệ quy chiếu đã chọn ở
mọi thời điểm. Có 3 phương pháp để xác định vị
trí của chất điểm
1.Phương pháp vectơ: Gọi O là điểm gắn cố định
với hệ qui chiếu, vị trí của chất điểm M được xác
định bởi bán kính vectơ
O
M
OMr 

4. x
y
z
M
O
2. Phương pháp tọa độ:
Gắn vào điểm gốc O của bán kính
vectơ điểm gốc của một hệ trục tọa
độ Descartes Oxyz với các véctơ
đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là
thì:
Nên vị trí của M được xác định nhờ ba tọa độ x,y,z .
kji ,,
kzjyixr 

5. Phương trình quỹ đạo
Khi chất điểm chuyển động, (t) cũng như các tọa độ
x,y, z của nó thay đổi theo thời gian t:
M
các phương trình này gọi là phương trình chuyển
động của chất điểm trong hệ tọa độ Descartes, khử
tham số thời gian t ra khỏi các phương trình này ta
sẽ được phương trình quỹ đạo dưới dạng thông
thường, tức là dưới dạng hệ thức giữa các toa độ của
chất điểm.
f (x, y, z) = 0
r








)(
)(
)(
thz
tgy
tfx

6. 3. Phương pháp tự nhiên:
Ta lấy trên quỹ đạo một điểm cố định O làm gốc
và xem quỹ đạo như một trục tọa độ cong rồi quy
ước cho nó một chiều dương giống như đối với
trục tọa độ thông thường.
Khi đó vị trí của điểm M trên quỹ đạo được xác
định một cách duy nhất bởi tọa độ cong s bằng
khoảng cách từ điểm O tới điểm M theo cung quỹ
đạo và mang dấu tương ứng.
s = f (t) (1)
Phương trình (1) chính là phương trình biểu
diển quy luật chuyển động của chất điểm M trên
quỹ đạo

7. III. Vectơ vận tốc
1. Vectơ vận tốc trung bình
2. Vectơ vận tốc tức thời
t
r
vtb



dt
rd
t
r
v
t





lim0

8. Trong hệ tọa độ Descartes
( )r t xi yj zk  
   
; ;
x y z
x y z
dr dx dy dz
v i j k
dt dt dt dt
v i v j v k
dx dy dz
v v v
dt dt dt
   
  
  

   
  

9. Trong hệ tọa độ tự nhiên:
v là độ lớn của vectơ vận tốc
là vectơ đơn vị tiếp tuyến với quỹ đạo, có chiều
là chiều chuyển động của chất điểm.
Vectơ vận tốc đặc trưng cho phương chiều và độ
nhanh chậm của chuyển động.
v v
 


v
v

10. Vectơ gia tốc
Vectơ gia tốc trung bình
Vectơ gia tốc tức thời
t
v
atb



dt
vd
t
v
a
t





lim0

11. Trong hệ tọa độ Descartes
2
2
2
2
2
2
yx z
x y z
x
x
y
y
z
z
dvdv dvdv
a i j k a i a j a k
dt dt dt dt
dv d x
a
dt dt
dv d y
a
dt dt
dv d z
a
dt dt
      
 
 
 

      

12. 2. Gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến:
Hình a
2
.
dv dv d
a v
dt dt dt
d d ds d
v v v
dt ds dt ds


  
  
 
 
 
  
τ
dτ
τ’
dθ
τ
τ’
R
ds
dθ
O
Q Q’

13. Xét trường hợp giới hạn khi điểm Q’ trượt trên
quỹ đạo tiến đến điểm Q. Khi đó dây cung QQ’
tiến đến trùng với cung tròn QQ’ = ds của đường
tròn mật tiếp với quỹ đạo chất điểm tại điểm Q.
Gọi R là bán kính của vòng tròn mật tiếp. Từ
hình a ta có:
ds = dθ/R
Mặt khác khi đó dτ sẽ tiến tới vuông góc với τ tại
Q. Gọi n là vecto đơn vị vuông góc với tiếp tuyến
của quỹ đạo tại Q hướng về tâm O của đường
tròn mật tiếp nên:

14. Vậy:
1
d d n d n d n
d d
n n
d ds R
    
 

  
   
     
 
 
2
t n
dv v
a n a a
dt R
   
    
22
nt aaa 

15. Từ
Như vậy nếu:
* Chất điểm chuyển động nhanh dần.
* Chất điểm chuyển động chậm dần.
* Chất điểm chuyển động tròn đều.
2 2
( ) 2 2 .
dv
v v v va
dt
  
 
0. av
0. av
0. av

16. v

ta

a
na

v

ta

a

na

v
a
v
a
v
a
C Đ N D C Đ C D C Đ tròn đều

17. gọi là gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay
đổi độ lớn của vectơ vận tốc
* Có phương tiếp tuyến với quỹ đạo
* Cùng chiều với nếu chuyển đông nhanh dần,
ngược chiều với nếu chuyển động chậm dần
* Có giá trị (đạo hàm độ lớn của )
ta

dt
dv
at  v


18. gọi là gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự
thay đổi phương của vectơ vận tốc
* Có phương thẳng góc với tiếp tuyến quỹ đạo
* Có chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo
*Độ lớn ,R là bán kính của đường tròn
tiếp xúc với quỹ đạo tại điểm xét
đặc trưng cho sự thay đổi của gọi
là vectơ gia tốc toàn phần
na

2
n
v
a
R

t na a a 
  
v


19. V. Vận tốc góc, gia tốc góc.
1. Vectơ vận tốc góc được định nghĩa:
* Có phương nằm trên trục quay
* Có chiều là chiều tiến của nút chai khi xoay nó
theo chiều quay của chất điểm.
* Có giá trị
2. Vectơ gia tốc góc được định nghĩa:
* Có phương nằm trên trục quay
* Cùng chiều nếu chuyển động nhanh dần,
ngược chiều nếu chuyển động chậm dần
* Có giá trị


d
dt

 






d
dt

 

20. a
v
ω β
r
R
v
ω
β
r
R
v
ω
R
r

21. VI. Liên hệ giữa vận tốc và gia tốc thẳng với vận tốc
và gia tốc góc.
1.
2.
3.
v r v R   
  
  2
22


R
R
R
R
v
an 
t ta r a R   
  

22. VII. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc.
Xét hai hệ qui chiếu K và K’, K’ chuyển động
tịnh tiến đối với K với vận tốc
Theo phép cộng vectơ ta có:
ov

o
o
o
o
aaa
dt
vd
dt
vd
dt
vd
a
vvv
dt
rd
dt
rd
dt
rd
v
rrr





'
'
'
'
'
r’
ro
r

23. VIII. Một số dạng chuyển động cơ đặc biệt
1.Chuyển động thẳng: Khi quỹ đạo là đường thẳng
an = 0 ==> a = at
a) Chuyển động thẳng đều
at = 0 ==> v = const
o
ts
os
svts
vdtds
vdtds
dt
ds
v



 0

24. b) Chuyển động thẳng biến đổi đều
a = at = const
oo
t
o
v
ov
vatvatvv
adtdv

 
dt
dv
=a=a t

25.  
oo
oo
t
o
o
s
os
o
stvats
tvatss
dtvatds
vat
dt
ds





2
2
2
1
2
1

26. Hệ thức cần nhớ
* Chú ý : Nếu chuyển động thay đổi đều nhưng quỹ
đạo không phải là đường thẳng thì phải thay a
bằng at
 oo
s
os
v
ov
t
ssavv
adsvdv
ds
dv
v
dt
ds
ds
dv
dt
dv
aa




222

27. 2. Chuyển động tròn: Khi quỹ đạo là đường tròn
a) Chuyển động tròn đều: const 
o
t
oo
t
dtd
dt
d







 

28. b) Chuyển động tròn thay đổi đều
Hệ thức cần nhớ:
const 
0 0
2
( )
1
2
o
t
o
o o
t
o o
o o
d
d d t
d t
t t
d
t d t d t
d t
t t




  
     

    
   
  
     
     
   
 
 
)(222
oo  

29. 3. Chuyển động parabol
Khảo sát chuyển động của một chất điểm xuất
phát từ điểm O trong trọng trường với vận tốc
ban đầu hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α.
Giả sử gia tốc trọng trường coi như không đổi.
Giải
a) Quỹ đạo
Chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng
đứng chứa ; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ
đạo của chất điểm,hai trục tọa độ là Ox nằm
ngang, Oy thẳng đứng hướng lên.
ov


30. 0o
v t
v
o
o
d v
g a d v gdt
dt
d v gdt
v v gt
v gt v
   
 
  
  
 



   
 
  
  

31.  
tvtgr
dtvtgrd
vtg
dt
rd
o
t
o
r
o




2
00
2
1

32. Chiếu xuống hai trục Ox, Oy ta được:
Vậy quỹ đạo của chất điểm là parabol có bề lõm
quay xuống
r






xtgx
v
g
y
tvgty
v
x
ttvx



2
22
0
0
2
0
0
cos2
).sin(
2
1
cos
).cos(

33. b) Tầm xa L
L = x khi y = 0
Vì t > 0 nên :
Vậy Lmax khi α = 450
0
1
sin 0
2
t gt v 
 
    
 
2 2
0 0
2 sin
2 sin .cos sin 2
ov
t
g
v v
L
g g

  
 
 

34. c) Độ cao cực đại:
Độ cao cực đại là đỉnh S của parabol. Tại đỉnh
của parabol nằm ngang nên vy = 0
0
0
2
max
2 2
0
max
sin
sin 0
sin sin1
sin .
2
sin
2
y
o o
o
v
v gt v t
g
v v
h g v
g g
v
h
g


 


    
 
   
 

v


35. d) Bán kính cong
* Tại gốc:
* Tại đỉnh:
n
n
a
v
R
R
v
a
22

2
0
0 ; .cos
cos
n
v
v v a g R
g


   
2 2
0
0
cos
cos ;x n
v
v v v a g R
g

    

36. α
v
vo
O
g
g
x
y
L
hmax
an
at

37. IX. Đơn vị và thứ nguyên của các đại lượng vật lý
1. Đơn vị vật lý: Muốn định nghĩa đơn vị của tất
cả các đại lượng vật lý người ta chỉ cần chọn
trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ bản , các đơn
vị khác suy ra được từ các đơn vị cơ bản gọi là
đơn vị dẫn xuất .
Đơn vị cơ bản : Hệ SI
- Độ dài mét (m)
- Khối lượng kilogam (kg)
- Thời gian giây (s)

38. 2. Thứ nguyên: Thứ nguyên của một đại lượng là
quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại
lượng đo vào các đơn vị cơ bản.
Ví dụ: thể tích của hình hộp chữ nhật, hình trụ
thẳng, hình cầu lần lượt là:
V = abc ; V = πR2h ; V = 4/3πR3
nếu không để ý đến các hệ số, ta thấy trong mọi
trường hợp thể tích = độ dài x độ dài x độ dài , ta
nói thứ nguyên của thể tích là (độ dài)3
ký hiệu:
   
3
thetich dodai

39. • Để cho cách viết đơn giản kí hiệu:
Vậy
   
   
   
àidod L
thoi gian T
khoiluong M



 
 
1
2
vantoc LT
giatoc LT





40. Bài 1: Một chất điểm chuyển động trên mặt
phẳng xOy với vận tốc . Lúc t = 0 chất
điểm ở gốc tọa độ O.
a) Tìm quỹ đạo của chất điểm.
b) Bán kính cong của quỹ đạo tại thời điểm t = 1s
2v i x j 
  

41. a) Ta có:
• Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường parabol
0 0
0 0
2
2
2 2 2
2 2
4
x t
x
y t
y
dx
v dx dt x t
dt
dy
v x t dy tdt
dt
x
y t
     
    
  
 
 

42. • b)
2 2 2
2
2 2 2
2
32
2 2
2 0 ; 2 2
2
4 4
2
1
4
1
2(1 ) 4 2
x x y y
y
x y
t
n t
n
v a v x t a
a a
v v v t
dv t
a
dt t
a a a
t
v
R t
a
      
  
   
 

  

   

43. • Bài 2: Hai hạt chuyển động trong trọng
trường đều với gia tốc g. Ban đầu hai
hạt ở cùng một điểm và có các vận tốc
v01= 3m/s, v02 = 4m/s đều nằm ngang
theo hai chiều ngược nhau. Xác định
khoảng cách giữa hai hạt tại thời điểm
các vectơ vận tốc của chúng vuông góc
nhau

44. Ta có:
tvtgr
tvtgr
vtgv
vtgv
o
o
o
o
2
2
2
1
2
1
22
11
2
1
;
2
1
;




O v10v20
r1r2

45. Khoảng cách giữa 2 hạt tại thời điểm t
Tại thời điểm 2 hạt vuông góc nhau
tvvrrd 020121 
  1 2 1 2
1 22 2
1 2
. 0 0
. 0
o o
o o
o o
v v gt v gt v
v v
g t v v t
g
    
    

     
m
g
vv
vvd o
oo 5,2)( 201
21 

46. Bài 3: Một bánh xe quay chậm dần
đều, sau một phút vận tốc của nó
giảm từ 300vòng/phút xuống
180vòng/phút. Tìm gia tốc góc của
bánh xe và số vòng mà bánh xe đã
quay được trong một phút ấy.

47. • a)
2
0
0
0
1560
106
6100
;10300
s
rad
s
rad
phút
vòng
s
rad
phút
vòng
t
t














48. Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút
)(480
60.1060
152
1
2
1
2
0
2
rad
tt













)(240
2
vòngN 



49. Bài 4: Thả rơi tự do một vật từ độ cao
19,6m.Tìm:
a) Quãng đường mà vật rơi được trong
0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi.
b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m
đầu và 1m cuối của độ cao h

50. Chọn gốc tọa độ là vị trí thả vật, gốc thời gian là
lúc thả vật, chiều dương hướng xuống. Ta có
a) Quãng đường vật rơi được trong 0,1s đầu tiên
là:
Thời gian để vật rơi hết quãng đường h là:
Quãng đường vật rơi trong khoảng thời gian 0,1s
cuối của thời gian rơi:
21
2
y gt
2
1
1
.9,8.0,1 0,049
2
h m 
s
g
h
t 2
8,9
6,19.22

2 2
2
1
( 0,1) 19, 6 4, 9.(1, 99) 1, 9
2
h h g t m     

51. b) Thời gian vật rơi 1m đầu
Thời gian để vật rơi 18,6m
Thời gian để vật rơi 1m cuối:
t = 2 - 1,95 = 0,05 s
2 2
0,45
9,8
y
t s
g
  
2 2.18,6
1,95
9,8
y
t s
g
  

52. Bài 5: Một hạt rời gốc tọa độ với vận
tốc đầu m/s và gia tốc
. Tìm vận tốc của hạt khi nó đạt tọa
độ x lớn nhất.
3ov i
 
2
0,5 /a i j m s  
  

53. • Ta có:
xmax khi :
0 0
0 (3 ) 0,5
v t
v
dv
a dv adt
dt
v at v t i j
  
     
 



  
    
0 0 3
1,5
x
dx
v t
dt
v j
    
  
 

54. • Bài 6: Một hòn đá được ném theo
phương nằm ngang với vận tốc vo =
15m/s. Tính gia tốc tiếp tuyến và
gia tốc pháp tuyến sau lúc ném 1s.

55. Ta có:
2 2 2
0 0
2
2
2 2 2
0
2 2 2 2 2
5,36 /
8,20 /
t
n t t
v gt v v g t v
dv g t
a m s
dt g t v
a a a g a m s
    
  

    
   vo
g

56. • Bài 7: Một chất điểm đang quay
xung quanh một trục cố định với
gia tốc góc β =bt, trong đó b =2.10-2
rad/s3. Hỏi trong khoảng thời gia
bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển
động, vectơ gia tốc toàn phần của
chất điểm làm một góc θ0 = 600 với
vectơ vận tốc của nó.

57. Ta có:
2
2
2
0 0
1
3
3
;
;
1
2
4 7
4
t n
n
t
t
a R a R
a
tg
a
d
bt d btdt bt
dt
bt tg
tg t s
b

 




  


 
 
     
 
     
 
 
O v
at
an
a

58. • Bài 8: Một người đứng dưới đất thấy
hạt mưa rơi thẳng đứng, với tốc độ
10m/s. Hỏi người lái xe trên đường
ngang với tốc độ sẽ thấy hạt
mưa rơi với tốc độ v, lệch khỏi phương
thẳng đứng góc bằng bao nhiêu?
10 3 /m s


59. Gọi là vận tốc hạt mưa đối với đất
là vận tốc của xe đối với đất
là vận tốc hạt mưa đối với xe
Ta có:
1v

2v

12v

1 12 2
2 2
12 1 2
2
1
20 /
3 60o
v v v
v v v m s
v
tg
v
 
 
   
   
  
v2
v1v12
α

60. Một chiếc thuyền bơi từ bến A đến B ở
cùng một bên bờ sông, với vận tốc so với
nước là v1 = 3 km/h. Cùng lúc ấy một
cano chạy từ bến B theo hướng đến bến
A với vận tốc đối với nước là v2 = 10
km/h. Trong thời gian thuyền đi từ A đến
B thì cano kịp đi được 4 lần khoảng cách
đó và về đến B cùng lúc với thuyền. Xác
định hướng và tốc độ của nước sông

61. Giả sử nước sông chảy từ A đến B và gọi khoảng
cách AB là s, vận tốc của dòng nước là vo . Theo
đầu bài ta có:
Loại nghiệm vo = -39,5km/h. Vậy vo = -0,5 km/h.
Dấu trừ chứng tỏ dòng nước chảy từ B đến A.
1 2 2
2
2
40 20 0
39,5 / ;
0,5 / ;
o o o
o o
o
o
s s s
v v v v v v
v v
v km h
v km h
 
  
   
   
 
 
 