Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9

1. Đăng ký học tại Hệ thống ToánIQ liên hệ: 0919 281 916
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM NGUYÊN TRONG CÁC
ĐỀ THI HSG TOÁN 9
Bài 1: Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm 2009 – 2010, ngày thứ hai
Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 – x2y2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Ta có: x2 + xy + y2 – x2y2 = 0
 4x2 + 4xy + 4y2 – 4x2y2 = 0
 4x2 + 8xy + 4y2 – (4x2y2 + 4xy + 1) + 1 = 0
 (2x + 2y)2 – (2xy + 1)2 = -1
 (2x + 2y – 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = -1
 [
{
2𝑥+2𝑦−2𝑥𝑦−1=1
2𝑥+2𝑦+2𝑥𝑦+1=−1
{
2𝑥+2𝑦−2𝑥𝑦−1=−1
2𝑥+2𝑦+2𝑥𝑦+1=1
Giải các HPT ta được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (0; 0), (1; -1), (-1; 1)
Bài 2: Đề thi khảo sát họn HSG năm 2009 – 2010
Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 2xy = 24y2 + 20
Hướng dẫn giải
Nhận thấy: 24y2 + 20 chẵn nên x2 + 2xy chẵn => x chẵn.
Đặt x = 2t (t ∈ 𝑍), khi đó ta có:
4t2 + 4ty = 24y2 + 20  t2 + ty – 6y2 – 5 = 0  t2 – 9y2 + ty + 3y2 = 5
 (t – 3y)(t + 3y) + y(t + 3y) = 5  (t + 3y)(2t + 3y) = 5
 {
𝑡 + 3𝑦 = 5
2𝑡 + 3𝑦 = 1
; {
𝑡 + 3𝑦 = −5
2𝑡 + 3𝑦 = −1
; {
𝑡 + 3𝑦 = 1
2𝑡 + 3𝑦 = 5
; {
𝑡 + 3𝑦 = −1
2𝑡 + 3𝑦 = −5
Giải các hệ phương trình này thấy vô nghiệm. Do đó, không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài.

2. Đăng ký học tại Hệ thống ToánIQ liên hệ: 0919 281 916
Bài 3: Đề chính thức chọn HSG năm 2009 – 2010
a/ Tìm đa thức P(x) đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: P(x) chia cho (x - 3) dư 5; P(x)
chia cho (x + 2) dư 3; P(x) chia cho (x2 – x – 6) được thương là x và còn dư.
b/ Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 – x – 14 – xy – 3y = 0
Hướng dẫn giải
a/ P(x) chia cho (x – 3) dư 5 nên: P(x) = (x - 3).Q(x) + 5, suy ra P(3) = 5.
Tương tự ta có: P(-2) = 3.
Lại có: P(x) = x(x2 – x - 6) + ax + b.
Do đó:
{
𝑃(3) = 5
𝑃(−2) = 3
↔ {3𝑎 + 𝑏 = 5
𝑏 − 2𝑎 = 3
↔ {
𝑎 =
2
5
𝑏 =
19
5
Vậy P(x) = x(x2 – x - 6) +
2
5
x +
19
5
= 𝑥3
− 𝑥2
−
28
5
𝑥 +
19
5
b/ x2 – x – 14 – xy – 3y = 0  y(x + 3) = x2 – x – 14.(1)
Nếu x = -3 thì (1) trở thành: 0 = 9 + 3 – 14  0 = -2 (vô lý)
Do đó (1)  𝑦 =
𝑥2
−𝑥−14
𝑥+3
= 𝑥 − 4 −
2
𝑥+3
.
Vậy để y nguyên thì (x + 3) phải là ước của 2. Vì vậy ta có:
x + 3 = 1 => x = -2 => y = -8
x + 3 = 2 => x = -1 => y = -6
x + 3 = -1 => x = -4 => y = -6
x + 3 = -2 => x = -5 => y = -8
Kết luận: Các cặp (x; y) là: (-2; -8), (-1; -6), (-4; -6), (-5, -8).

3. Đăng ký học tại Hệ thống ToánIQ liên hệ: 0919 281 916
Bài 4: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2010 – 2011
a/ Tìm các cặp (x; y) nguyên dương thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy
b/ Cho biểu thức 𝐴 =
𝑎3
24
+
𝑎2
8
+
𝑎
12
với a là số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ A nguyên.
Hướng dẫn giải
a/ Ta có: 6x + 5y + 18 = 2xy  2xy – 6x = 5y + 18  2x(y - 3) = 5y + 18.(1)
Nếu y = 3 thì (1) trở thành: 0 = 33 (vô lý).
Do đó, ta biến đổi (1) trở thành: 2x =
5𝑦+18
𝑦−3
=
5( 𝑦−3)+33
𝑦−3
= 5 +
33
𝑦−3
Do x nguyên nên 2x nguyên => y – 3 là ước của 33.
Ta xét các trường hợp sau:
y – 3 = 1 => y = 4 => 2x = 38 => x =19 (t/m)
y – 3 = 3 => y = 6 => 2x = 16 => x = 8 (t/m)
y – 3 = 11 => y = 14 => 2x = 8 => x = 4 (t/m)
y – 3 = 33 => y = 36 => 2x = 6 => x = 3 (t/m)
y – 3 = -1 => y = 2 => 2x = -28 => x = -14 < 0 (loại)
y – 3 = - 3 => y = 0 (loại)
y – 3 = - 11 => y = - 8 < 0 (loại)
y – 3 = -33 => y = - 30 (loại)
Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là: (19; 4), (8; 6), (4; 14), (3; 36)
b/ Do a chẵn nên đặt: a = 2k (k ∈ 𝑍).
Do đó: 𝐴 =
𝑎3
24
+
𝑎2
8
+
𝑎
12
=
8𝑘3
24
+
4𝑘2
8
+
2𝑘
12
=
𝑘3
3
+
𝑘2
2
+
𝑘
6
=
2𝑘3
+3𝑘2
+𝑘
6
=
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
6
Đến đây các em chứng minh: k(k + 1) ⋮ 2 → 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 2
Và chứng minh: 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 3

4. Đăng ký học tại Hệ thống ToánIQ liên hệ: 0919 281 916
Từ đó có được: 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 6 => A nguyên.
Bài 5: Đề chọn HSG tỉnh Phú Thọ 2008 -2009
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xyz = x + y + z.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
1
𝑥𝑦
+
1
𝑦𝑧
+
1
𝑧𝑥
= 1
Không làm mất tính tổng quát, giả sử: 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧. (*)
- Nếu 𝑧 ≥ 3 thì:
1
𝑥𝑦
+
1
𝑦𝑧
+
1
𝑧𝑥
≤
3
𝑧2 ≤
3
9
< 1 (loại)
- Nếu z = 2 thì phương trình đã cho trở thành: 2xy = x + y + 2 hay (2x - 1)(2y - 1) = 5.
Do (*) nên ta chỉ có trường hợp: 2x – 1 = 5 và 2y – 1 = 1, suy ra: x = 3 và y = 1.
- Nếu z = 1 phương trình đã cho trở thành: xy = x + y + 1 hay (x - 1)(y - 1) = 2
Do (*) nên chỉ có trường hợp: x – 1 = 2 và y – 1 = 1, suy ra: x = 3 và y = 2.
Vậy nghiệm (x; y; z) của phương trình là:
(1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1)