1.
● 次章以降繰り返し登場するテーマ
非古典性
● 量子力学と古典物理学の本質的相違を納得す
るためにBellの不等式について議論しよう
2.6 EPRとBellの不等式

2. Bellの不等式について論じる前に…
古典力学
● 対象物は、観測とは無関係に存在する
量子力学
● 観測しない粒子は、観測と無関係に存在する物
理的性質を持っていない
● 物理的性質は、システムを観測した結果生まれ
る
● 可能な測定結果の確率を規定するルールを与え
る

3. 多くの物理学者特にEinsteinは、自然界の新たら
しい見方を拒絶
→
EPR論文というもので、思考実験を
提案した。

4. EPRの議論(1)
彼らは、「実在の要素」と名づけたものに興味を持つ
→
如何なる実在の要素も完全な物理学理論で表現されなけ
ればならない
ゴール
● 量子力学に含まれてない実在の要素を指摘
→
量子力学が完全な物理学理論でないことを示す

5. EPRの議論(2)
方法
● 物理的性質に対する十分条件と主張するものを
実在の要素として導入する
＝
測定直前にその性質が持つ値を確実に予想でき
る

6. EPRの議論(3)
● 互いに遠く隔たったAliceとBobがqビットのもつれ
対を各々持っている
● Aliceは、 軸方向のスピン測定(=観測量 の
測定)を行う
● Aliceが測定で+1(-1)を得る
● Bobは同様の測定で、-1(+1)を得ると予想できる
⇒
EPRの基準によれば実在の要素
完全な物理理論によって表さなければならない
v
→
σ
→→
•v

7. EPRの議論(4)
しかし量子力学は、各々測定結果の確率をどう
計算すれば良いかを示すに過ぎない。
また、全ての単位ベクトル に対して、
を示すように意図された基本的要素を含んでい
ない。
EPRは、なので、量子力学は不完全だと主張した
しかし、自然は、EPRに勝った
v
→
σ
→→
•v

8. EPRが正しいかの検証に用いることができる実験
によるテストが提案された。
→
自然は量子力学に従っていることが実験的に確
かめられた

9. Bellの不等式を用いたEPRの検証(1)
自然の働きを我々の常識で解析する
→
量子力学的解析を行い、この結果が、
常識の解析と一致しない
ことを示す
→
実際に実験を行って、正しいのは、我々の常識か
自然の働きかを調べる

10. Bellの不等式を用いたEPRの検証(2)
Charlie
Alice
Bob
Charlieは、Aliceと
Bobに粒子を送る

11. Bellの不等式を用いたEPRの検証(3)
Alice
Alice(Bob)はどちらかの装
置で粒子を測定
ただし、予めどちらかの測
定をするか決めてなくて、
粒子を受け取ってからラン
ダムに決める
実験装置1実験装置1
実験装置2
※ 測定は、物理的性質PQとPRに関するものであり、
測定結果は、+1か-1のうち1つであるとする。

12. Bellの不等式を用いたEPRの検証(4)
Alice
Q=±1
R=±1
Q:性質PQに対する値
Bob
S=±1
T=±1
実験のタイミング
は、AliceとBobが同時に
行う。
→
Aliceが行う測定がBobの
測定を乱すことはない

13. Bellの不等式を用いたEPRの検証(5)
QS + RS + RT - QT = (Q + R)S + (R – Q)T = ± 2
という計算から、
( ) ( )( )∑ −++=−++ qtrtrsqstsrqpQTRTRSQSE ,,,
( )∑ ×≤ 2,,, tsrqp
2= (2.222)

14. Bellの不等式を用いたEPRの検証(6)
一方、
式(2.222)と(2.224)を比べると以下のBellの不等式が得られる。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑−++=−++
qrst qrst qrst qrst
qttsrqprttsrqprstsrqpqstsrqQTRTRSQSE ,,,,,,,,,,,,
( ) ( ) ( ) ( )QTERTERSEQSE −++= (2.224)
( ) ( ) ( ) ( ) 2≤−++ QTERTERSEQSE
(2.225)

15. Bellの不等式を用いたEPRの検証(7)
これまでの話に量子力学を持ち込もう

16. Bellの不等式を用いたEPRの検証(8)
Alice
Bob
Charlie
2
1001 −
=ϕ
第1qビット
第2qビット

17. Bellの不等式を用いたEPRの検証(9)
彼らは、以下の観測量の測定を行う
21
22
, XZ
SZQ −−
== (2.227)
21
22
, XZ
TXR −
== (2.228)

18. Bellの不等式を用いたEPRの検証(10)
前ページの観測量に対する平均値を量子力学の記
号<・>で書く
したがって、
2
1
2
1
2
1
2
1
;;; −==== QTRTRSQS (2.229)
22=−++ QTRTRSQS (2.230)

19. Bellの不等式を用いたEPRの検証(11)
(2.225)と(2.230)の結果が異なる。
→
実験は、(2.230)の結果を支持した。
→
これは何を意味するのか？

20. Bellの不等式を用いたEPRの検証(12)
式(2.225)の証明において疑わしい仮定
1.物理的性質PQ,PR,PS,PTが、観測とは独立に
存在する確定した値を持つという仮定（実在性）
2.Aliceが行う測定がBobの測定に影響しないとい
う仮定（局所性）
→
2つ合わせて局所実在性

21. 局所実在性は、自然の動きに関して直感的にもっと
もな仮定
→
しかし、量子論的には上記の仮定が間違っているこ
とを示す

22. Bellの不等式のこの話か
ら学ぶべきものは何か？

23. ● 物理学者にとって最も重要な教えは、
自然の動きに関して
物理学者が根強く
持っている常識的
直感が間違っている

24. ● 量子力学を直感的に良く理解しようとするならば、
我々の自然観から、
局所性と実在性のいずれか一方
または、両方
を取り除かねばならない。

25. ● 量子計算、量子情報の分野が、Bellの不等式か
ら学ぶもの
もつれを問題と結びつけることによって、
古典情報では想像できなかった新しい可能性の
世界を開くことができる
もつれが基本的に自然の新しリソースで、本質
的に古典的リソースを超えるもの