Cuadernillo de probabilidad

Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli
ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO
AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CUADERNILLO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
FECHA: 26/08/13, Primera versión
ELABORO
M. en C. FELIX ANTONIO SAUCEDO ESQUIVEL
REVISO
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS
Vo. Bo.
ING. MARIA DEL CARMEN RODRIGUEZ PASCUAL
JEFE DE DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

División de Ingeniería Electrónica Probabilidad y Estadística
i
Presentación
La asignatura “Probabilidad y Estadística” aporta al perfil del Ingeniero Electrónico las
competencias necesarias para Interpretar datos que permitan mejorar los procesos de
fabricación, investigación y diseño. Además obtendrá la habilidad para plantear y solucionar
problemas por medio de métodos estadísticos. La asignatura se encuentra ubicada al
principio de la carrera y es importante para materias como formulación y evaluación de
proyectos y administración y técnicas de mantenimiento. Además de que enseña como
razonar de manera lógica la toma decisiones en presencia de incertidumbre y variación.
El presente trabajo tiene como antecedente los cursos impartidos en el Tecnológico de
Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli para las carreras de Industrial, Contabilidad,
Electrónica e Informática y en la Universidad del Valle de México Campus Lomas Verdes para
Licenciaturas Ejecutivas.
Se sugiere al aspirante que trabaje arduamente en el desarrollo de las actividades de
aprendizaje, busque en otras fuentes de información, además del presente material, utilice
las plantillas de Excel, entre otros programas comerciales, busque la retroalimentación del
profesor y recuerda que para llegar a la meta necesitaras constancia y dedicación al 100% a
tus estudios de ingeniería.
Félix Antonio Saucedo Esquivel
Profesor de Tiempo Completo “A”

División de Ingeniería Electrónica Probabilidad y Estadística
Felix Antonio Saucedo Esquivel
Índice
Pág.
Presentación i
1. Estadística Descriptiva
1.1 Objeto de la estadística 1
1.2 Ramas de la estadística 2
1.3 Estadística en la investigación 2
1.4 Conceptos básicos 4
1.5 Organización y representación de datos 12
1.6 Distribución de frecuencias tabulares y gráficas 13
1.7 Medidas de tendencia central 20
1.8 Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis 22
1.9 Medidas de posición 26
Actividad de aprendizaje 1. Conceptos básicos 31
Actividad de aprendizaje 2. Número de intervalo óptimo 33
Actividad de aprendizaje 3. Medidas de tendencia central y de dispersión 35
Actividad de aprendizaje 4. Caso de estudio I 38
Actividad de aprendizaje 5. Caso de estudio II 39
Actividad de aprendizaje 6. Caso de estudio III 40
2. Probabilidad
2.1 Técnicas de conteo 41
2.2 Enfoques de Probabilidad 44
2.3 Axiomas de Probabilidad 45
Actividad de aprendizaje 7. Cuestionario 50
3. Distribuciones de Probabilidad
3.1 Distribución de Probabilidad Binomial 62
3.2 Distribución de Poisson 66
3.3 Distribución Normal 70
4. Estadística Inferencial
4.1 Inferencia Estadística 74
4.2 Muestreo Estadístico 77
4.3 Estimadores 80
4.4 Estimación por Intervalo 81
4.5 Errores tipo I y II 83
4.6 Contraste de hipótesis unilateral y bilateral 84
Actividad de aprendizaje 8. Inferencia estadística y muestreo estadístico 87
Actividad de aprendizaje 9. Estimación con intervalos de confianza 88
Actividad de aprendizaje 10. Prueba de Hipótesis 89
5. Regresión y Correlación
5.1 Diagrama de dispersión 90
5.2 Regresión lineal simple 90
5.3 Correlación 96
Actividad de aprendizaje 11. Regresión lineal y Correlación 98
Formato de evaluación de actividad de aprendizaje 101
6. Referencias Bibliográficas 102

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD I
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS TESCI 13 – 02.V1
1
CONTENIDO DE LA ESTADÍSTICA
Competencia: El estudiante determinará el contenido de la estadística dentro
del área de conocimiento de su profesión.
INTRODUCCIÓN
A medida que aumenta la complejidad de nuestro mundo, se hace cada vez
más difícil tomar decisiones inteligentes y bien documentadas. Con frecuencia
tales decisiones deben tomarse con mucho menos que un conocimiento
adecuado y experimentando una gran incertidumbre. Sin embargo, las
soluciones a estos problemas son esenciales para nuestro bienestar e incluso
para nuestra supervivencia final. Continuamente estamos recibiendo presiones
debido a problemas económicos como una inflación galopante, el sistema
tributario engorroso, etc. Todo nuestro tejido económico y social está
amenazado por la contaminación ambiental, la deuda pública onerosa, la tasa
de criminalidad que siempre va en aumento y las impredecibles tasas de
interés. Esta unidad aportara una visión general sobre lo que es la estadística y
como puede utilizarse.
1.1 OBJETO DE LA ESTADÍSTICA
La Estadística se ocupa de la recolección, agrupación, presentación, análisis e
interpretación de datos, por tanto, la estadística es un método científico que
pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.
El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una
población basada en la información contenida en una muestra. Inferir significa
predecir, suponer, asegurar. Es decir se pretende establecer inferencia acerca
de una población. Entendiendo a la población como un conjunto de
individuos, organismos o entes inanimados de los cuales queremos conocer
alguna o algunas características para que nos ayuden a tomar una decisión u
obtener alguna conclusión de suma importancia.
La Estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que
evolucionaron de forma independiente hasta confluir en el siglo XIX:
• el Cálculo de Probabilidades, que nació en el siglo XVII como la teoría
matemática de los juegos de azar,
• la “Estadística”, o ciencia del Estado, que estudia la descripción de datos, y
que tiene unas raíces más antiguas, de hecho, tan antiguas como la
humanidad (censos de población). La interacción de ambas líneas de
pensamiento da lugar a la ciencia que estudia cómo obtener conclusiones de
la investigación empírica mediante el uso de modelos matemáticos.

2
Resumiendo la Estadística actúa como disciplina puente entre los modelos
matemáticos y los fenómenos reales. Un modelo matemático es una
abstracción simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una
cierta discrepancia entre lo que se observa y lo previsto por el modelo. La
Estadística proporciona una metodología para evaluar y juzgar estas
discrepancias entre la realidad y la teoría.
1.2 RAMAS DE LA ESTADÍSTICA
La estadística es la ciencia que tiene que ver con la (1) recolección, (2)
organización, (3) presentación, (4) análisis, e (5) interpretación de datos. Las dos
principales ramas del análisis estadístico son:
 Estadística descriptiva, es el proceso de recolectar, agrupar y presentar
datos de una manera tal que describa fácil y rápidamente dichos datos.
 Estadística inferencial involucra la utilización de una muestra para sacar
alguna inferencia o conclusión sobre la población de la cual hace parte
la muestra.
1.3 ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN
Virtualmente cada área de la investigación científica seria puede beneficiarse
del análisis estadístico. Para quien formula las políticas económicas y para quien
asesora al presidente y otros funcionarios públicos sobre procedimientos
económicos apropiados, la estadística ha demostrado ser una herramienta
valiosa. Las decisiones sobre las tasas tributarias, los programas sociales, el gasto
de defensa y muchos otros asuntos pueden hacerse de manera inteligente tan
sólo con la ayuda del análisis estadístico. Los hombres y mujeres de negocios en
su eterna búsqueda de la rentabilidad, consideran que la estadística es
esencial en el proceso de toma de decisiones. Los esfuerzos en control de
calidad, minimización de costos, combinación de productos e inventarios, y
una gran cantidad de otros asuntos empresariales, pueden manejarse
efectivamente a través del uso de procedimientos estadísticos comprobados.
Para quienes están en el área de la investigación de mercados, la estadística es
de gran ayuda en el momento de determinar qué tan probable es que un
producto nuevo sea exitoso. La estadística también es muy útil para evaluar las
oportunidades de inversión por parte de asesores financieros. Los contadores,
los jefes de personal y los fabricantes encuentran oportunidades ilimitadas de
beneficiarse con el uso del análisis estadístico. Incluso un investigador en el
campo de la medicina, interesado en la efectividad de un nuevo
medicamento, considera la estadística una aliada imprescindible.

3
Recuerde su Jefe espera que usted haga dos cosas: (a) tomar decisiones y (b)
solucionar problemas; estos dos cometidos pueden lograrse a través de la
aplicación de procedimientos estadísticos.
1.3.1 La aplicación universal de la estadística
Los problemas complejos que enfrenta el mundo actual requieren soluciones
cuantitativas. Si usted no está en capacidad de aplicar la estadística y otros
métodos cuantitativos a muchos de los problemas comunes que sin duda se le
presentarán, estará en gran desventaja en el mercado laboral.
Casi todas las áreas del saber requieren del pensamiento estadístico. Las
disciplinas de estudios que dependen ampliamente del análisis estadístico,
incluyen –pero no se limitan a–, marketing, finanzas, economía e investigación
de operaciones. Los principios aprendidos en contabilidad y gerencia
administrativa también se basan en la preparación estadística.
Los analistas financieros y económicos con frecuencia se basan en sus
habilidades cuantitativas para proporcionar soluciones a problemas difíciles. La
compresión de los principios financieros y económicos permitirá aplicar las
técnicas estadísticas para hallar soluciones viables y tomar decisiones.
Bien sea que las aspiraciones profesionales tiendan hacia la industria privada, el
servicio público, el gobierno, a hacia otra fuente de retribución remunerada, la
experiencia académica será más completa si se adquiere una sólida formación
en fundamentos de análisis estadístico.
1.3.2 Gerencia de calidad total
A medida que la competencia mundial se intensifica, surge, de parte de los
negocios, un esfuerzo por promover la calidad de sus productos. Este esfuerzo,
conocido ampliamente como Gerencia de Calidad Total (Total Quality
Management, TQM), tiene como propósito central la promoción de las
cualidades del producto que el consumidor considera importantes. Tales
atributos van desde la ausencia de defectos hasta el servicio eficiente y la
respuesta rápida a las posibles quejas del consumidor. Hoy día, la mayoría de
los grandes negocios, así como también muchos negocios pequeños, tienen
departamentos de Control de Calidad (Quality Control, QC) cuya función es
recolectar datos sobre el desempeño y solucionar problemas de calidad. Así, la
TQM representa un área creciente de oportunidades para quienes tienen
conocimientos en estadística.
La TQM involucra el uso de equipos integrados conformados por ingenieros,
expertos en marketing, especialistas en diseño, estadísticos, y otros profesionales

4
que pueden contribuir a la satisfacción del cliente. La formación de estos
equipos, denominada Despliegue de la Función de la Calidad (Quality Function
Deployment, QFD), está diseñada para reconocer y agenciar las inquietudes de
los consumidores. Los especialistas actúan conjuntamente para promover la
calidad del producto y para que supla de manera efectiva las necesidades y
preferencias del consumidor.
Los círculos de control de calidad constan de un grupo pequeño de empleados
(generalmente entre 5 y 12) que se reúnen regularmente para solucionar
problemas relacionados con el trabajo. Con frecuencia se conforman tanto
con trabajadores en línea como con representantes de la gerencia; los
miembros de estos círculos de calidad son todos de la misma área de trabajo y
reciben capacitación formal en control estadístico de calidad y en planeación
de grupos. A través de discusiones abiertas y del análisis estadístico, los círculos
pueden lograr mejoras significativas en diversas áreas que van desde el
mejoramiento de la calidad, el diseño del producto, la productividad y los
métodos de producción, hasta la reducción de costos y seguridad.
Uno de los elementos más importantes del TQM es un conjunto de herramientas
y métodos estadísticos utilizados para promover el Control Estadístico de
Calidad (Statistical Quality Control, SQC). Tales herramientas ayudan a organizar
y analizar datos para efectos de solucionar problemas.
Hablando en términos generales, el SQC está diseñado para asegurar que los
productos cumplan con unas normas y especificaciones mínimas de
producción. Este objetivo con frecuencia se promueve a través del uso del
muestreo de aceptación, el cual es parte integral del SQC. El muestreo de
aceptación implica probar una muestra aleatoria de productos existentes para
determinar si se debe aceptar o rechazar todo el envío, o el lote. Esta decisión
se basa en parte de un nivel de calidad aceptable (Aceptable Quality Level,
AQL), o número máximo de defectos que una empresa está dispuesta a tolerar.
1.4 CONCEPTOS BÁSICOS
Toda rama de la investigación científica tiene su vocabulario propio y la
estadística no es la excepción, las definiciones y expresiones que siguen son
esenciales para la compresión de cómo se realizan las pruebas estadísticas.
1.4.1 Población y parámetros
Población: Es la recolección completa de todas las observaciones de interés
para el investigador. Una población puede ser finita o infinita.

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Población finita: Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas
y observaciones. Se pueden listar los elementos en algún orden y en
consecuencia contarlos uno a uno hasta alcanzar el último.
Población infinita: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y
observaciones que no pueden alcanzarse en el conteo. Hipotéticamente no
existe límite en cuanto al número de observaciones que cada uno de ellos
puede generar. Es conveniente referirse a una población infinita cuando se
habla de una población que no puede ser numerada en un periodo razonable.
Parámetro: Es una medida descriptiva de la población total de todas las
observaciones de interés para el investigador.
1.4.2 Muestras y estadísticos
Muestra: Es una parte representativa de la población que se selecciona para
ser estudiada ya que la población es demasiado grande como para analizarla
en su totalidad.
Estadístico: Elemento que describe una muestra y sirve como una estimación
del parámetro de la población correspondiente.
1.4.3 Variables
Variable: Es una característica de la población que se está analizando en un
estudio estadístico.
Tipos de variables:
 Cualitativas, categóricas (o alfanuméricas): Pueden tomar valores no
cuantificables numéricamente. Se denomina categoría a cada uno de
los valores que toma la variable.
 Nominales: si no existe ningún orden entre las categorías de la
variable. Ejemplos, el grupo sanguíneo (A ,B ,AB, O); el color de los
ojos (azules, verdes, marrones, negros).
 Binarias: aquéllas que sólo toman dos valores posibles (sí/no,
presencia/ausencia de cierto carácter), dentro de las nominales.
Ejemplo: el sexo, ser fumador, tener carné de conducir, ser
daltónico.
 Ordinales: cuando existe un cierto orden entre las categorías de la
variable. Ejemplo: el nivel de estudios (sin estudios, básicos, medios,
superiores), el grado de miopía (ausencia, bajo, medio, alto).

6
 Cuantitativas (o numéricas): Pueden tomar valores cuantificables
numéricamente.
 Discretas: si solamente toman valores aislados (generalmente enteros).
Suelen corresponder a conteos. Ejemplos, el número de hermanos, el
número de cafés/día, el número de multas/año.
 Continuas: potencialmente puede tomar cualquier valor numérico
dentro de un intervalo o de una unión de intervalos. Ejemplos, el
tiempo de reacción a un cierto medicamento, el peso de un individuo,
la longitud del caparazón de una tortuga.
1.4.4 Métodos de muestreo
Gran parte del trabajo de un estadístico se realiza con muestras. En la práctica
no va a ser posible estudiar todos los elementos de la población, por varias
razones:
 El estudio puede implicar la destrucción del elemento (estudio de la vida
media de una partida de bombillas, estudio de la tensión de rotura de
unos cables).
 Los elementos pueden existir conceptualmente, pero no en realidad
(población de piezas defectuosas que producirá una máquina en su vida
útil).
 Puede ser inviable económicamente (muy costoso) estudiar a toda la
población.
 El estudio llevaría tanto tiempo que sería impracticable e incluso las
propiedades de la población podrían variar con el tiempo.
Por tanto debe seleccionarse una muestra de la población, calcular el
estadístico de la muestra, y utilizarlo para estimar el parámetro correspondiente
de la población.
1.4.4.1 Muestreo aleatorio simple
Una muestra es aleatoria simple cuando:
1. cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser
escogido en forma individual,
2. las observaciones se realizan con reposición, de manera que la población
es idéntica en todas las extracciones.
Comentarios:
 La condición (1) asegura la representatividad.

7
 La condición (2) se impone por simplicidad: si el tamaño de la población
N es grande con respecto al tamaño muestral n, es prácticamente
indiferente realizar el muestreo con o sin reposición.
¿Cómo se realiza? Se utilizan las tablas de números aleatorios: se enumeran
los elementos de la población del 1 al N y se toman números aleatorios de
tantas cifras como tenga N. El valor del número aleatorio indicará el
elemento a seleccionar.
1.4.4.2 Muestreo Estratificado
Los elementos de la población se dividen en grupos homogéneos o estratos
según la característica más importante (por ejemplo, según el sexo, la edad, la
profesión, etc.). Para esto:
 se asigna un número de elementos a cada estrato,
 dentro de cada estrato se seleccionan los elementos por muestreo
aleatorio simple.
Si hay k estratos de tamaños k1 N,,N  , de manera que k1 NNN   , la
composición de la muestra será k1 nnn   , donde el número de elementos
se pueden determinar de dos formas distintas:
1. proporcionalmente al tamaño de cada estrato:
N
N
nn i
i  (I.1)
2. proporcionalmente a la variabilidad de cada estrato:

 k
1i
ii
ii
i
N
N
nn


(I.2)
donde σi es una medida de la variabilidad del estrato i-ésimo.

8
1.4.4.3 Muestreo por conglomerados
Hay situaciones en que ni el muestreo aleatorio simple ni el estratificado son
aplicables. En estos casos es habitual que los elementos de la población se
encuentren agrupados en conglomerados, de los cuales sí que se sabe cuántos
hay. (Por ejemplo, la población se distribuye en provincias, los habitantes de
una ciudad se distribuyen en barrios, etc.).
Si puede suponerse que cada conglomerado es una muestra representativa de
la población total respecto de la variable de estudio, podemos:
 seleccionar al azar algunos de estos conglomerados,
 dentro de cada conglomerado, analizar:
a) todos sus elementos,
b) una muestra aleatoria simple de sus elementos.
Inconveniente, si los conglomerados son heterogéneos entre ellos, puesto que
sólo se analizan algunos de ellos, la muestra final puede ser no representativa
de la población.
Las ideas de estratificación y conglomerado son opuestas:
 La estratificación funciona mejor cuánto mayor sean las diferencias entre
estratos, pero es necesario que los estratos sean homogéneos
internamente.
 Los conglomerados funcionan mejor cuánto menores sean las diferencias
entre ellos, pero deben ser muy heterogéneos internamente, es decir,
dentro de cada conglomerado debe estar incluida toda la variabilidad
de la población.
La regla general que se aplica a todos los procedimientos de muestreo es que
cualquier información previa tiene que utilizarse para subdividir la población y
asegurar una mayor representatividad de la muestra. Una vez que los grupos
homogéneos han sido definidos, la selección dentro de ellos debe realizarse por
muestreo aleatorio simple.
La exactitud de toda estimación es de enorme importancia. Esta exactitud
depende en gran parte de la forma como se tomó la muestra, y del cuidado
que se tenga para garantizar que la muestra proporcione una imagen
confiable de la población. Sin embargo, con mucha frecuencia se comprueba
que la muestra no es del todo representativa de la población y resultara un error
de muestreo.

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Existen dos causas posibles del error de muestreo. La primera fuente del error de
muestreo es el azar en el proceso del muestreo. Debido al factor azar en la
selección de elementos de la muestra, es posible seleccionar sin darse cuenta,
elementos que sean anormalmente grandes o inusualmente pequeños,
produciendo una subestimación del parámetro. En cualquiera de los dos casos,
ha ocurrido un error de muestreo.
Una forma más seria de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo muestral
ocurre cuando hay alguna tendencia a seleccionar determinados elementos
de muestra en lugar de otros. Si el proceso de muestreo se diseña de manera
incorrecta y tiende a promover la selección de demasiadas unidades con una
característica en especial, a expensas de las unidades que no tienen dicha
característica, se dice que la muestra está sesgada.
El sesgo, es el grado de asimetría que presenta un histograma o polígono de
frecuencias. Si el histograma está cargado a la izquierda, el sesgo tiene un valor
negativo. En cambio cuando esta más cargado a la derecha, el sesgo toma un
valor positivo. Si el sesgo adquiere un valor nulo, significa que el histograma es
simétrico.
1.4.5 Escalas de medida
Las variables pueden clasificarse con base en su escala de medida. La manera
en que se clasifican las variables afecta en gran parte la forma como se utilizan
en el análisis. Las variables pueden ser (1) nominales, (2) ordinales, (3) de
intervalo, o (4) de razón.
1.4.5.1 Mediciones en escala nominal
Una medida nominal se crea cuando se utilizan nombres para establecer
categorías dentro de las cuales las variables pueden registrarse exclusivamente.
Por ejemplo, el sexo puede clasificarse como “hombre” o “mujer”. Se podría
codificar también con un “1” o “2”, pero los números servirían tan sólo para
indicar las categorías y no tendría significado numérico. Es importante recordar
que una medida en escala nominal no indica ningún orden de preferencia, sino
que simplemente establece una disposición categórica en la cual se puede
ubicar cada observación.
Existen escalas nominales tanto para datos cuantitativos como cualitativos. Una
escala nominal para datos numéricos asigna números a las categorías para
distinguirlas.

10
1.4.5.2 Medidas en escalas ordinales
Son las que clasifican las observaciones en categorías con un orden
significativo.
A diferencia de una medida en escala nominal, una medida en escala ordinal
si muestra un ordenamiento o secuencia de los datos. Es decir, que las
observaciones se clasifican con base en algunos criterios. Hay quien clasifica sus
productos como “buenos”, “mejores” y “los mejores”. Las encuestas de opinión
con frecuencia utilizan una medida en escala ordinal como “totalmente de
acuerdo”, “de acuerdo”, “sin opinión”, “en desacuerdo”, y “en total
desacuerdo”.
Al igual que con los datos nominales, los números pueden utilizarse para ordenar
los rangos. Y al igual que con los datos nominales, la magnitud de los números
no es importante; el rango depende sólo del orden de los valores. Por ejemplo
se pueden utilizar los rangos de “1”, “2” y “3”, o “1”, “3” y “12” para este asunto.
Las diferencias aritméticas entre valores carecen de sentido. Un producto con
rango “2” no es dos veces mejor que uno de rango “1”.
1.4.5.3 Medidas en escala de intervalo
Medidas en una escala numérica en la cual el valor de cero es arbitrario pero la
diferencia entre valores es importante. Los datos de intervalo son cuantitativos
por necesidad; una escala de intervalo no siempre tiene un punto cero.
En una escala de intervalo las variables se miden de manera numérica, y al
igual que los datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. Sin
embargo, a diferencia de los rangos ordinales, la diferencia entre los valores es
importante. Por eso, las operaciones aritméticas de suma y resta, son
significativas.
1.4.5.4 Medidas en escala de razón
Medidas numéricas en las cuales cero es un valor fijo en cualquier escala y la
diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de
razón, se puede determinar cuantas veces es mayor una medida que otra.
La escala de razón se basa en un sistema numérico en el cual el cero es
significativo. Por tanto las operaciones de multiplicación y división también
toman una interpretación racional. Una escala de razón se utiliza para medir
muchos tipos de datos que se encuentran en el análisis empresarial. Variables
tales como costos, rentabilidad y niveles de inventario se expresan como
medidas de razón. Por ejemplo, una firma con una participación en el mercado

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del 40% tiene dos veces más participación que una firma con una participación
en el mercado del 20%. Las medidas tales como peso, tiempo y distancia
también se miden en una escala de razón, ya que cero es significativo y un
artículo que pesa 100 libras tiene la mitad del peso de un artículo que pesa 200
libras.
Batería 1 de ejercicios:
1. Describa en sus propios términos la diferencia entre una población y una
muestra; entre un parámetro y un estadístico.
2. ¿Cuál es la diferencia entre una variable cuantitativa y una variable
cualitativa. Dé ejemplos.
3. Diferencie entre una variable continua y una variable discreta. Dé ejemplos
de cada una.
4. Seleccione una población cualquiera que sea de su interés. Identifique
variables cuantitativas y cualitativas de esa población que puedan
seleccionarse para ser estudiadas.
5. Analice si las siguientes variables son discretas o continuas:
a. Número de cursos que los estudiantes de su colegio están cursando
este semestre.
b. Número de pases atrapados por el beisbolista Tim brown, receptor de
los LA Raiders.
c. Peso de los compañeros de equipo de Tim Brown.
d. Peso del contenido de las cajas de cereal.
e. Número de libros que usted leyó el año pasado.
6. ¿En cuál escala de medida puede expresarse cada una de estas variables?
Explique sus respuestas.
a. Los estudiantes clasifican a su profesor de estadística sobre una escala de
“terrible”, “no tan malo”, “bueno”, “maravilloso” y “dios griego”.
b. Los estudiantes en una universidad están clasificados por profesión, tales
como marketing, administración y contaduría.
c. Los estudiantes están clasificados por cursos utilizando los valores 1, 2 , 3, 4
y 5.
d. Agrupar mediciones de líquidos en octavo, cuarto y galón.
e. Edades de los clientes.

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
COMPETENCIA: El estudiante aplicará las técnicas de estadística descriptiva a
un conjunto de datos mediante el uso de modelos tabulares y gráficos, con el
fin de describir dicho conjunto y utilizar dicha información en el proceso de
toma de decisiones.
Organización y representación de datos
Distribución de frecuencias tabulares y gráficas
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis
Medidas de posición
INTRODUCCIÓN
Casi todos los trabajos que se hacen en estadística comienzan con el proceso
de recolección de datos necesarios para formar con ellos un conjunto que se
utilizará en el estudio. Para propósitos generales, se adoptará la suposición
conveniente de que esta labor, con frecuencia tediosa, ya ha sido realizada y
que los datos están disponibles.
Esta recolección de datos originales revela muy poco por sí sola. Es
extremadamente difícil determinar el verdadero significado de un grupo de
números que simplemente se han registrado en un papel. Nuestra labor es
organizar y describir tales datos de manera concisa y significativa. Para
determinar su significancia, los datos se organizan de manera que, con un
simple vistazo, se pueda tener una idea de lo que pueden decirnos.
1.5 ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
Pueden utilizarse varias herramientas básicas para describir y resumir un
conjunto grande de datos. La manera más simple, pero quizás la más
significativa, es la serie ordenada. Una serie ordenada simplemente enumera
tales observaciones en orden ascendente o descendente. Está proporciona
alguna agrupación al conjunto de datos; por ejemplo, se puede ver de
inmediato los valores extremos. Sin embargo la utilidad de una serie ordenada
es limitada. Las herramientas que resultan de particular utilidad para organizar
los datos incluyen tablas de frecuencia que colocan los datos en clases
específicas y diversos gráficos que pueden proporcionar una representación
visual de los datos.
Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para
empresas de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.

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Supóngase que se desea analizar, ¿Cuál es el ingreso promedio de los
ejecutivos de marketing?, ¿Cuál sería el ingreso mínimo y máximo?, etc. Los
resultados obtenidos se muestran en el siguiente cuadro de datos:
58 76 89 45 67 34
64 76 34 65 45 39
79 74 56 71 85 87
74 38 69 79 61 71
69 62 56 38 69 79
71 54 31 69 62 39
65 79 47 46 77 66
55 75 62 57 77 36
73 72 64 69 51 50
40 50 74 61 69 73
La forma en la que se presentaron los datos dificulta la obtención de la
respuesta a tales interrogantes. Conviene, pues, organizar los datos de tal modo
que proporcionen información resumida y más clara sobre el proceso.
Los métodos estadísticos de organización de datos ofrecen para ello las
técnicas de agrupación de los mismos en intervalos o categorías de clases,
formando distribuciones de frecuencias. Cabe aclarar que a los intervalos se les
llama indistintamente intervalos de clase, clases, categorías de clase o
categorías.
1.6 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABULARES Y GRÁFICAS
Cuando se tiene un problema en donde la muestra contenga más de 30 datos
se emplea el método de datos agrupados para obtener el histograma y las
ojivas correspondientes. El procedimiento para organizar los datos en
distribuciones de frecuencias se describe a continuación:
1. La tabla de datos se ordena de menor a mayor.
2. Se determina la tabla de frecuencias, distribución de frecuencias simples, en
la cuál se determinan los siguientes valores:
a. Se obtiene el número de datos n,
b. Se obtiene el rango menorvalor-mayorvalorR  ,
c. Se obtiene el numero de intervalos, éste en la tabla de frecuencias
determina el numero de renglones y en el histograma determina el
numero de rectángulos o barras, el cuál está definido por la siguiente
ecuación:

14
 nlog32.3Ni  (I.3)
el resultado debe ser un numero entero por lo que si hay una fracción se
redondea el resultado.
d. Se determina el tamaño del intervalo por medio de:
i
i
N
R
T  (I.4)
en el histograma representa el ancho del rectángulo. El resultado se
trabaja con un solo decimal. Si el resultado del rango tiene decimales,
entonces se recorre el punto hasta hacerlo un número entero antes de
sacar el tamaño del intervalo.
Criterio para determinar el tamaño del intervalo:
d.1 No se aceptan resultados enteros
d.2 No se aceptan decimales entre 4.01.0 
d.3 Solo se aceptan decimales entre 9.05.0 
d.4 Si el resultado obtenido de aplicar la expresión I.4 cae en el caso
d.1 o d.2 entonces el numero de intervalos se disminuye una unidad,
1Ni  y se calcula el iT , si éste es rechazado, entonces ahora se
aumenta en una unidad el número de intervalos, 1Ni  y se calcula el
iT . Si no se acepta el resultado, entonces al número de intervalos
original se le restan o se le suman dos unidades y así sucesivamente
hasta que sea aceptado el resultado.
Cuando el resultado sea aceptado entonces queda definido el
número de intervalos; para sacar el tamaño de intervalos finalmente se
redondea el resultado aun número entero y se coloca el punto en su
posición original.
e. Intervalo de clase: este intervalo está formado por dos valores, los
cuales son la frontera inferior  if y la frontera superior  sf . La frontera
inferior empieza con el valor más pequeño y se le va sumando, suma a
suma, el valor del tamaño del intervalo. El total de valores en la
frontera inferior es igual al número de intervalos. La frontera superior
toma como primer valor el segundo valor de la frontera inferior
restándole una décima, centésima, milésima o entero según la unidad
a trabajar. También se irán sumando a los resultados el valor del
tamaño del intervalo.

15
f. Marca de Clase: es el punto medio del intervalo de clase dado por
2
ff
.C.M si 
 (I.5)
g. Intervalos reales: estos se obtienen del intervalo de clase de la
siguiente forma
g.1 Si se trabajan enteros se resta a if cinco décimas (0.5) y se
suma a sf cinco décimas (0.5),
g.2 Si se trabajan décimas (ej. 20.3) se resta a if cinco centésimas
(0.05) y se suma a sf cinco centésimas (0.05), y
g.3 Si se trabajan centésimas (ej. 5.67) se resta a if cinco milésimas
(0.005) y se suma a sf cinco milésimas (0.005).
h. Frecuencia absoluta f : es el número de datos contenidos en
determinado intervalo, se obtiene de la tabla de datos ordenados.
i. Frecuencia absoluta relativa rf :
n
f
fr  (I.6)
j. Frecuencia acumulada af : suma acumulada de las frecuencias
absolutas de cada uno de los intervalos, la frecuencia acumulada
“menor que” suma primero del primer intervalo al último  y la
frecuencia acumulada “mayor que” suma del último intervalo al
primero  .
k. Frecuencia acumulada relativa arf :
n
f
f a
ar  (I.7)
La tabla I.1 muestra un resumen de las columnas que forman la tabla de
frecuencias derivada de los pasos antes mencionados. Cabe mencionar que fi1
se lee de la siguiente manera: frontera inferior de la clase 1(o límite inferior de la
clase 1), es decir el número indica la clase a la que pertenece el valor que será
colocado en esa casilla.

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS TESCI 13-02.V1
16
Tabla I.1. Bosquejo general de la tabla de frecuencias.
Clase
Límites de clase Marca de Clase Límites reales de clase
if sf .C.M iF sF
1
Vmf 1i 
235.1
34.78
7.56
34
.ej
001.0
01.0
1.0
1
ff 2i1s







 2
ff
.C.M 1s1i
1


34.78
7.56
34
.ej
005.0
05.0
5.0
fF 1i1i






34.78
7.56
34
.ej
005.0
05.0
5.0
fF 1s1s






2 i1i2i Tff  i1s2s Tff 
2
ff
.C.M 2s2i
2








005.0
05.0
5.0
fF 2i2i






005.0
05.0
5.0
fF 2s2s
3 i2i3i Tff  i2s3s Tff 
2
ff
.C.M 3s3i
3








005.0
05.0
5.0
fF 3i3i






005.0
05.0
5.0
fF 3s3s
     
iN
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
Frecuencia Acumulada
Menor que …
Menos de …
Mayor que …
… o más
Relativa
Menor que …
Relativa
Mayor que …
f  %fr af af  %far   %far 
1f
%100
n
f
f 1
1r  11a ff   3211a ffff
%100
n
f
f 1a
1ar  %100
n
f
f 1a
1ar 
2f
%100
n
f
f 2
2r  212a fff   322a fff %100
n
f
f 2a
2ar  %100
n
f
f 2a
2ar 
3f
%100
n
f
f 3
3r  3213a ffff   33a ff
%100
n
f
f 3a
3ar  %100
n
f
f 3a
3ar 
     

17
Los gráficos también son métodos útiles para describir conjunto de datos. Un
histograma coloca las clases de una distribución de frecuencia en el eje
horizontal y las frecuencias en el eje vertical. Su objetivo es revelar detalles y
patrones que no se pueden discernir fácilmente de los datos originales.
Aplicando la metodología antes mencionada (paso 1 y 2: de a hasta d.4) a los
datos no agrupados de ingresos de ejecutivos de marketing se obtienen los
siguientes valores para determinar el número de clases:
n 60
valor menor 31
valor mayor 89
R 58
Ni 5.90
Ti 9.67
De acuerdo a los resultados obtenidos, como el valor del tamaño de intervalo
resulto un decimal entre 0.5 y 0.9 el número de intervalos calculado se acepta y
se redondean las cantidades correspondientes, por tanto la tabla de
frecuencias constara de seis clases con un tamaño de intervalo de 10, como se
muestra en la tabla I.2.
En la tabla I.2 se ilustran los datos agrupados de la muestra de los ingresos de 60
ejecutivos de marketing en seis intervalos de clase donde: fi y fs es la frontera
inferior y superior, respectivamente, MC es la marca de clase, Fi y Fs es la
frontera real inferior y superior, respectivamente, f es la frecuencia y fr es la
frecuencia relativa, fa < y fa > es la frecuencia acumulada “menor que” y
“mayor que”, respectivamente y finalmente far es la frecuencia acumulada
relativa.
La tabla I.3 muestra la forma general de la tabla para construir el grafico de
histograma y polígono de frecuencias en la hoja de cálculo Excel, mientras que
la figura I.1 muestra el grafico obtenido de los datos de los ingresos de 60
ejecutivos de marketing mostrados en la tabla I.2.
Tabla I.2. Datos agrupados de los ingresos de 60 ejecutivos de marketing.
Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < fa > far < far >
1 31 40 35.5 30.5 40.5 9 15% 9 60 15% 100%
2 41 50 45.5 40.5 50.5 6 10% 15 51 25% 85%
3 51 60 55.5 50.5 60.5 7 12% 22 45 37% 75%
4 61 70 65.5 60.5 70.5 17 28% 39 38 65% 63%
5 71 80 75.5 70.5 80.5 18 30% 57 21 95% 35%
6 81 90 85.5 80.5 90.5 3 5% 60 3 100% 5%
60 100%

18
Tabla I.3 Datos utilizados para la construcción del Histograma y Polígono de Frecuencias
Clase iF sF f  %fr
0 0 iV 0 0
1 1iF 1sF 1f 1rf
2 2iF 2sF 2f 2rf
3 3iF 3sF 3f 3rf
  
0 Último valor del
limite real superior
fV 0 0
2
T
FV i
1ii 
2
T
superiorreallímitedelvalorúltimoV i
f 
Figura I.1 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por medio
de un Histograma y Polígono de frecuencias.
Con frecuencia se desea determinar el número de observaciones que son
“mayor que” o “menor que” alguna cantidad. Esto puede lograrse con una
distribución de frecuencia acumulada “más de o mayor que” o una distribución
de frecuencia acumulada “menos de o menor que”.
La tabla I.4 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la
construcción del grafico de ojivas: “mayor que” y “menor que” utilizando la
hoja de cálculo Excel, la figura I.2 muestra el grafico obtenido de los valores de
la tabla I.4. Por ejemplo, se puede leer que de la clase uno 9 ejecutivos gana
menos de $31,000 dólares y por otra parte 60 ejecutivos gana $31,000 dólares o
más.
Ingresos de ejecutivos de marketing para empresas en E.U.
0
9
6
7
17
18
3
0
15%
10%
28%
30%
5%
12%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
25.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 95.5
0 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5
Límites Reales (miles de dólares)
Frecuencia(ejecutivos)
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
FrecuenciaRelativa
Histograma Polígono

19
Una distribución de frecuencia relativa expresa las frecuencias dentro de una
clase como un porcentaje del número total de observaciones.
Tabla I.4 Datos utilizados para la construcción de las Ojivas: “mayor que” y “menor que”.
Limites
Frontera
de clase
reales
Frecuencia
Acumulada
Menor que …
Menos de …
Frecuencia
Acumulada
Mayor que …
… o más
Frecuencia
Acumulada
Relativa
Menor que …
af af  %far 
1iF 0
1af 0
1sF 1af 2af 1arf
2sF 2af
3af 2arf
3sF
3af  3arf
  0 
Figura I.2 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por
medio de Ojivas: “mayor que” y “menor que”.
La tabla I.5 ilustra los datos extraídos de la tabla de frecuencias para la
construcción del polígono de frecuencias suavizado por medio de la hoja de
cálculo Excel, cabe mencionar que en este grafico se puede observar como se
distribuyen los datos de la muestra y además en este se localizan las medidas
de tendencia central y medidas de dispersión, la figura I.3 muestra el grafico
obtenido de los datos de la tabla I.2.
Grafica de Frecuencias Acumuladas "OJIVAS"
0
9
15
22
39
57
6060
51
45
38
21
3
0
0%
15%
25%
37%
65%
95%
100%
0
10
20
30
40
50
60
70
30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5
Límites Reales (miles de dolares $)
Frecuenciaacumulada
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
(%)Frecuencia
acumuladarelativa
fa "menor que" fa "mayor que" far "menor que"

20
Tabla I.5 Datos utilizados para la construcción del polígono de frecuencias suavizado.
Clase iF sF f
0 0 iV 0
1 1iF 1sF 1f
2 2iF 2sF 2f
3 3iF 3sF 3f
   
0 Último valor del
limite real superior
fV 0
Figura I.3 Representación de los ingresos de ejecutivos de marketing en E.U. por
medio de un polígono de frecuencias suavizada.
1.7 Medidas de tendencia central
Los datos, al igual que los estudiantes, se congregan alrededor de sus puntos de
encuentro favoritos. Parece que los estudiantes acuden en masa a sitios tales
como partidos de fútbol, fraternidades, bares populares y otros sitios de reunión
y en raras ocasiones hasta la biblioteca. De igual forma, los números parecen
disfrutar de la compañía de otros números y están propensos a reunirse
alrededor de un punto central denominado medida de tendencia central o
más comúnmente, media. Una medida de tendencia ubica e identifica el
punto alrededor del cual se centran los datos.
Un conjunto de datos puede ser rápidamente descrito de manera sucinta con
un solo número.
Polígono de Frecuencias Suavizado
0
9
6
7
17
18
3
00
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
25.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 95.5
Límites Reales (Miles de Dolares $)
Frecuencia(Ejecutivos)

21
1.7.1 La media
La media toma en cuenta la frecuencia y los puntos medios de cada clase, la
siguiente expresión calcula la media de un conjunto de datos agrupados
n
MCf
x
iN
1i
ii

 (I.8)
donde
x es la media muestral,
if es la frecuencia de la i-ésima clase,
iMC es la marca de clase de la i-ésima clase,
iN es el número de intervalos, y
n es el número de datos.
1.7.2 La mediana
Primero debe hallarse la clase que contiene a la mediana, para esto se debe
cumplir el siguiente criterio
2
n
fa  (I.9)
Este criterio se debe verificar en cada clase empezando desde el primer
intervalo de clase hasta el último intervalo de clase. La clase que cumpla con la
condición se le llamará clase mediana. La expresión que calcula la posición
del valor que se encuentra a la mitad del conjunto de datos es la siguiente
i
aA
i T
f
f
2
n
Fx~ 













 (I.10)
donde
iF es la frontera inferior real de la clase que contiene a la mediana,
aAf es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene a la mediana,
f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, y
iT es el tamaño del intervalo.

22
1.7.3 La moda
Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor
frecuencia, se hallará en la clase que tenga la frecuencia más alta, llamada la
clase modal. Para estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la
siguiente ecuación:
i
21
1
i TFxˆ 









(I.11)
donde:
iF es la frontera inferior real de la clase modal,
1 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos anterior,
2 es la diferencia de la frecuencia de la clase modal menos la siguiente, y
La media es la medida más común de tendencia central. Se presta para mayor
manipulación e interpretación algebraica. Desafortunadamente se ve
afectada por valores extremos o atípicos, y a diferencia de la mediana, puede
ser sesgada por las observaciones que están muy por encima o muy por debajo
de ésta. Debido a que la mediana no se ve afectada por valores extremos,
representa mejor el conjunto de observaciones. La moda también es menos
afectada por valores atípicos, sin embargo, si no hay moda, o si el conjunto de
datos es bimodal, su uso puede ser confuso.
Esto no implica que una medida sea necesariamente mejor que las otras. La
medida que se seleccione depende de la naturaleza de los datos o de la forma
como se utilicen los datos.
1.8 Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis
Para describir un conjunto de datos se ha observado que es de utilidad ubicar
el centro del conjunto de datos. Pero identificar una medida de tendencia
central rara vez es suficiente. Una descripción más completa del conjunto de
datos puede obtenerse si se mide que tan dispersos están los datos alrededor
de dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen las medidas de
dispersión, indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su media.

23
1.8.1 El rango
La medida de dispersión más simple y menos útil es el rango o recorrido. El
rango es simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja.
Su ventaja es que es fácil de calcular. Su desventaja es que considera sólo dos
de los cientos de observaciones que hay en un conjunto de datos.
1.8.2 Varianza y desviación estándar
La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión mucho más
útiles, proporcionan una medida más significativa sobre el punto hasta el cual
se dispersan las observaciones alrededor de su media.
Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, la varianza y la
desviación estándar muestral pueden calcularse respectivamente como
1n
n
MCf
MCf
s
2
iN
1i
ii
iN
1i
2
ii
2















(I.12)
ianzavars  (I.13)
donde
2
s es la varianza de la muestra,
s es la desviación estándar de la muestra, y
2
iMC es la marca de clase de la i-ésima clase elevada al cuadrado
1.8.3 Asimetría
1.8.3.1 La distribución normal y la regla empírica
La desviación estándar puede utilizarse para sacar ciertas conclusiones si el
conjunto de datos en cuestión está distribuido normalmente. Una distribución
normal es una distribución de datos continuos (no discreto) que produce una
curva simétrica en forma de campana, como la que se muestra en la figura I.4.
Se asume que se tiene un número grande de observaciones, si los datos están
distribuidos normalmente, una gráfica de la frecuencia con la cual ocurre cada

24
observación tomará la forma de la figura I.4. Las observaciones en cada
extremo ocurrirán relativamente de forma poco frecuente, pero las
observaciones que están más cerca de la mitad ocurrirán con una frecuencia
alta, por tanto se produce la curva simétrica en forma de campana. La
observación modal es la que ocurre con mayor frecuencia y por tanto está en
el pico de la distribución. En una distribución normal la media, mediana y la
moda son todas iguales.
Figura I.4 Distribución normal.
La regla empírica se ilustra gráficamente en la figura I.5, ésta específica que:
 68.3% de las observaciones están dentro de más o menos una desviación
estándar de la media ( s1xvmínimo  y s1xvmáximo  ),
 95.5% de las observaciones están dentro de más o menos dos
desviaciones estándar de la media ( s2xvmínimo  y s2xvmáximo  ), y
 99.7% de las observaciones están dentro de más o menos tres
desviaciones estándar de la media ( s3xvmínimo  y s3xvmáximo  ).
Es importante recordar que la regla empírica describe el área total bajo la
curva normal que se encuentra dentro de un rango dado.
Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana
se aplanará y se esparcirá. La kurtosis mide el grado de agudeza de una
distribución, está se clasifica como curva leptokurtica (delgada), curva
mesokurtica (intermedia) y curva platikurtica (aplanada).

25
Figura I.5 La distribución normal y la regla empírica.
1.8.3.2 Sesgo (medidas de asimetría)
No todas las distribuciones son normales, algunas están sesgadas a la izquierda
o a la derecha como se muestra en la figura I.6, en ambos casos, la moda por
es por definición la observación que ocurre con mayor frecuencia. Por tanto,
está en el pico de la distribución. Sin embargo, como se dijo anteriormente, por
su naturaleza la media se ve más afectada por las observaciones extremas. Por
tanto, es jalada en la dirección del sesgo, más de lo que está la mediana, la
cual está en algún sitio entre la media y la moda.
El sesgo es el grado de asimetría y puede medirse con el coeficiente de sesgo
de Pearson
s
xˆx
S 1k

 (I.14)
 
s
x~x3
S 2k

 (I.15)
Si 0SyS 2k1k  , los datos están sesgados a la izquierda (-), si 0SyS 2k1k  , los
datos están sesgados a la derecha (+); si 0SyS 2k1k  están distribuidos
normalmente.

26
Figura I.6. Distribuciones sesgadas.
1.8.3.3 Coeficiente de variación (dispersión relativa)
Cuando se consideran dos o más distribuciones que tienen medias
significativamente diferentes, o que están medidas en unidades diferentes, es
peligroso sacar conclusiones respecto a la dispersión sólo con base a la
desviación estándar, recuerde no se puede mezclar perros con gatos.
Por tanto, con frecuencia debemos considerar el coeficiente de variación
(C.V.), el cual sirve como medida relativa de dispersión. El coeficiente de
variación determina el grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a
su media por medio de la siguiente expresión
%100
x
s
.V.C  (I.16)
1.9 Medidas de posición
Aunque la varianza y la desviación estándar son las medidas de dispersión más
útiles en análisis estadístico, existen otras técnicas con las cuales puede medirse
la dispersión de un conjunto de datos. Estas medidas adicionales de dispersión
son los cuartiles, los deciles y los percentiles.
Cada conjunto de datos tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes
iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las
observaciones, y sobre el cual puede encontrarse el 75% restante. El segundo
cuartel es justo la mitad. La mitad de las observaciones están por debajo y la
mitad por encima. El tercer cuartel es el valor debajo del cual está el 75% de las
observaciones y encima del cual puede encontrarse el 25% restante.

27
Primero debe hallarse las clases que contienen al primer, segundo y tercer
cuartel, para esto se debe cumplir el siguiente criterio, respectivamente
 localización del primer cuartIl
4
n
fa  (I.17)
 localización del segundo cuartil
4
n2
fa  (I.18)
 localización del tercer cuartIl
4
n3
fa  (I.19)
Estas condiciones se deben verificar en cada clase empezando desde el primer
intervalo de clase hasta el último intervalo de clase. Las expresiones que
calculan la posición de cada cuartil son las siguientes
i
aA
i1 T
f
f
4
n
FQ 













 (I.20)
i
aA
i2 T
f
f
4
n2
FQ 













 (I.21)
i
aA
i3 T
f
f
4
n3
FQ 













 (I.22)
donde
iF es la frontera inferior real de la clase que contiene al cuartil,
aAf es la frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene al cuartil,
f es la frecuencia de la clase que contiene al cuartil, y
Una medida única de dispersión es el rango intercuartílico (R.I.). La mitad de las
observaciones se clasifican dentro de este rango. Consta del 50% de la mitad
de las observaciones y corta el 25% inferior y el 25% superior de los puntos de

28
datos. Como resultado, le R.I. proporciona una medida de dispersión que no
está muy influenciada por unas cuantas observaciones extremas.
13 QQ.I.R  (I.23)
Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los
percentiles en 100 partes. El primer decil es la observación debajo de la cual se
encuentra el 10% de las observaciones, mientras que el 90% restante se
encuentra encima de éste. El primer percentil es el valor debajo del cual se
encuentra el 1% de las observaciones, y el resto están encima de éste. Todo
conjunto de datos tiene 9 deciles y 99 percentiles.
Batería 2 de ejercicios:
1. Determinación del número de intervalos  iN y tamaño del intervalo iT .
Considere los siguientes datos:
a. 50n  y 52R 
b. 35n  y 820R 
c. 35n  y 01.82R 
d. 30n  y 1.90R 
e. 30n  y 194R 
1. Un conjunto de datos contiene 100 observaciones; la más grande es 315 y la
más pequeña es 56.
a. ¿Cuántas clases debería tener la tabla de frecuencias?
b. ¿Cuál es el intervalo de clase?
c. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?
2. En un estudio reciente sobre 500 graduados en administración de negocios,
el salario inicial más alto que se reportó fue de $27,500 dólares y el más bajo
fue de $19,900 dólares. Usted desea crear la tabla de frecuencias para
analizar y comparar estos datos con las ofertas de trabajo que usted ha
recibido.
d. ¿Cuántas clases pondrán en su tabla de frecuencia?
e. ¿Cuál es el intervalo de clase?
f. ¿Cuáles son los límites y puntos medios de cada clase?

29
3. Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para
empresas de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.
58 76 89 45 67 34
64 76 34 65 45 39
79 74 56 71 85 87
74 38 69 79 61 71
69 62 56 38 69 79
71 54 31 69 62 39
65 79 47 46 77 66
55 75 62 57 77 36
73 72 64 69 51 50
40 50 74 61 69 73
g. Construya una tabla de frecuencia para los datos. Tenga mucho
cuidado en la selección de sus intervalos de clase. Muestre las
frecuencias acumulativas y relativas para cada clase. ¿Qué
conclusión puede sacar de la tabla?
h. Presente y explique una distribución de frecuencia acumulada “más
que” y una distribución “menor de”.
4. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores
corporaciones de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de
la edición del 24 de Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de
frecuencias.
EDADES Frecuencias
50 54 8
55 59 13
60 64 15
65 69 10
70 74 3
75 79 1
5. La misma edición de la revista Forbes también proporcionó datos sobre los
salarios en miles de dólares. Resulto la siguiente tabla de frecuencias:
Salario (en miles de dólares) Frecuencias
90 439 9
440 789 11
790 1139 10
1140 1489 8
1490 1839 4
1840 2189 3
2190 2540 5

30
a. Calcule e interprete la media, mediana y la moda.
b. Calcule e interprete la varianza y la desviación estándar.
c. Construya el histograma y polígono de frecuencias.
d. Construya las ojivas.
e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus
resultados
(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.
f. ¿Los salarios están tan dispersos como las edades del problema
anterior.
6. The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato
de trabajo local respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores.
La gerencia argumentaba que a los empleados les tomaba más de 20
minutos terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85 empleados,
arrojando los resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia
está en lo correcto?
Clase
(número de minutos)
Frecuencia
(número de empleados)
5 6 2
7 8 8
9 10 10
11 12 15
13 14 17
15 16 14
17 18 7
19 20 9
21 23 3
a. Calcule la media, mediana y la moda.
b. Calcule la varianza y la desviación estándar.
e. Construya el polígono de frecuencias suavizado e indique sus
resultados
(media, mediana, moda, sesgo, C.V. y C.A.) en éste.

31
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Calificación:
Completa los espacios en blanco:
1. La ________________ ________________ se ocupa de la __________________, __________________,
_________________, ________________ e ________________ de datos, por tanto, la estadística es un método
científico que pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.
2. La Estadística actúa como disciplina puente entre los _______________ _______________ y los
_________________ __________________. Un ______________ _________________ es una abstracción
simplificada de una realidad más compleja y siempre existirá una cierta discrepancia entre lo que se
observa y lo previsto por el modelo.
3. La __________________________ es la recolección completa de todas las observaciones de interés para
el investigador. Ésta puede ser ____________________ o _________________.
4. El ____________________ es una medida ___________________ de la población total de todas las
____________________ de interés para el investigador.
5. La _____________________ es una parte representativa de la __________________ que se selecciona para
ser _______________________ ya que la población es demasiado ________________ como para analizarla
en su totalidad.
6. El ______________________ es el elemento que describe una _______________ y sirve como una estimación
del parámetro de la población correspondiente.
Completa el siguiente cuadro sinóptico:
Variable
Es una ________________________
de la población que se está
analizando en un estudio
estadístico
Pueden tomar
valores no
cuantificables
numéricamente
.
Pueden tomar valores
cuantificables
numéricamente.
Grupo sanguíneo (A, B, AB, O+)
Color de ojos (azul, negros, etc.)
Sólo toma dos valores posibles
Cuando existe un cierto orden
entre las categorías, por ejemplo:
(bajo, medio, alto)
Enteros: numero de hermanos,
número de multas/año.
Reales: peso de un individuo,
tiempo de reacción a un
medicamento.

32
Busca la palabra que complete la oración en la sopa de letras:
7. Las variables pueden clasificarse con base en su escala de ________________.
8. Una medida en escala _________________ se crea cuando se utilizan ________________ para establecer
categorías dentro de las cuales las _________________ pueden registrarse exclusivamente. Es importante
recordar que ésta no indica ningún orden de preferencia, sino que simplemente establece una
disposición ______________________ en la cual se puede ubicar cada observación.
9. Una medida en escala ________________, son las que ______________ las observaciones en categorías
con un orden significativo. Hay quien clasifica sus productos como “buenos”, “mejores” y “los mejores”.
10. En una escala de _______________ las variables se miden de manera ______________, y al igual que los
datos ordinales, llevan inherente un rango u ordenamiento. El valor de ______________ es arbitrario pero
la diferencia entre valores es importante.
11. En una escala de ________________, las medidas son numéricas, el cero es un valor _____________ en
cualquier escala y la diferencia entre valores es importante. Con datos medidos en una escala de
_________________, se puede determinar cuántas veces es mayor una medida que otra.
M I N A L S C A T E G O R I C A I V B J O T I P
E W W E O C V Q R M K J Y N U M E R I D F G K O
D D S D R R R U G J N L U I N T E R V J K L O L
I X A O R D D I N A L L E S D F K G H J K O P L
D A D O A E R I I R T O P J H G F D A S R T Y M
A G F C Q D F P N S T Ñ L I N T E R V A L O J T
A V I O E C V R U A A S D F O A N O M I K A K G
S O V R T V C E O A L T G M M X R A Z B E B L V
D U G D R S D W P X C A O N B G O N S I D F T A
F O N O O D R E C C V Y S B R A Z O N N C C M R
G C U M B R I A E V B K P H E M O N O O V D N I
J I M F T S B M R A Z I N D S C H A N K T E O A
K E E C Y P R N O M I N A L P A L A B R G A F B
L A R J K Ñ F R T M N J H H G B N M Y U I O Q L
I F I J O S Y E R P C R T Y U D I O S H E F A E
U Q C S E R O Y U O L T Y S H K M N H J S G E S
Y V A Y U D Y A N O A M I N A L E R T Y F H I P
T D X R A S O O N C L A S C L A S I F I C A N P

33
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2. Número de intervalos Óptimo
Calificación:
Las edades de 50 integrantes de un programa de servicio social del gobierno son:
38 51 56 62 66 68 73 77 82 88
42 51 56 64 66 68 74 78 83 91
44 54 60 65 66 69 74 79 83 92
47 55 60 65 67 70 75 80 84 98
51 55 61 65 68 71 76 82 87 99
Use estos datos para construir la tabla de frecuencias con 7 y 13 intervalos iguales.
Suponga que el director de servicios sociales desea saber la proporción de participantes en el
programa que tienen entre 45 y 50 años de edad. ¿a partir de cuál distribución de frecuencias
relativas, de 7 o de 13 intervalos, puede estimar mejor la respuesta?
Valor menor =
Valor mayor =
Rango =
Caso 1: Ni = 7
Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 =
𝑅
𝑁 𝑖
Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q
1
2
3
4
5
6
7

34
Caso 2: Ni = 13
Tamaño del intervalo 𝑇𝑖 =
𝑅
𝑁 𝑖
Clase fi fs M.C. Fi Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
%
LÍMITES REALES
Ojivas (Frecuencias acumuladas relativas)

35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3. Medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados
Calificación:
1. Las edades de cincuenta de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas en la edición de la revista Forbes de
la edición del 24 de Mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.
clase fi fs M.C. Fi Fs f fr fa < fa> far< far> f*MC f*MC2
1 50 54 8
2 55 59 10
3 60 64 15
4 65 69 9
5 70 74 7
6 75 79 1
Medidas de tendencia central:
n
MCf
x
iN
1i
ii

 i
aA
i T
f
f
2
n
Fx~ 














2
n
fa 
i
21
1
i TFxˆ 










36
Medidas de dispersión, asimetría y kurtosis:
1n
n
MCf
MCf
s
2
iN
1i
ii
iN
1i
2
ii
2















s1xvmínimo 
s1xvmáximo 
s2xvmínimo 
s2xvmáximo 
ianzavars  s3xvmínimo 
s3xvmáximo 
%100
x
s
.V.C 
s
xˆx
S 1k


 
s
x~x3
S 2k


Medidas de posición:
4
n
fa 
i
aA
i1 T
f
f
4
n
FQ 














4
n2
fa 
i
aA
i2 T
f
f
4
n2
FQ 














4
n3
fa 
i
aA
i3 T
f
f
4
n3
FQ 















37
clase Fi Fs f %fr
1
2
3
4
5
6
FR fa < fa > far < far >
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5
%DEEJECUTIVOS
NUMERODEEJECUTIVOS
EDAD (AÑOS)
OJIVAS
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
%DEDIRECTIVOS
NUMERODEDIRECTIVOS
EDAD (AÑOS)
EDADES DE LOS DIRECTIVOS DE LAS MEJORES CORPORACIONES EN E.U.
49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.544.5

38
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4. Caso de estudio I
Calificación:
The Wall Street Journal describió una disputa entre la gerencia y el sindicato de trabajo local
respecto a la eficiencia y productividad de los trabajadores. La gerencia argumentaba que a
los empleados les tomaba más de 20 minutos terminar cierto trabajo. Si se mide el tiempo de 85
empleados, arrojando los resultados tabulados, con base en esta muestra, ¿la gerencia está en
lo correcto?
Clase
(número de minutos)
Frecuencia
(número de empleados)
5 6 2
7 8 8
9 10 10
11 12 15
13 14 17
15 16 14
17 18 7
19 20 9
21 22 3
Conclusiones

39
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5. Caso de estudio II
Calificación:
Los siguientes datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas (en miles
de dólares), correspondientes al período que finalizó en marzo de 2004, enviados al contralor
del poblado Fair Lake por los 50 negocios establecidos en dicha localidad:
10.3 11.1 9.6 9.0 14.5
13.0 6.7 11.0 8.4 10.3
13.0 11.2 7.3 5.3 12.5
8.0 11.8 8.7 10.6 9.5
11.1 10.2 11.1 9.9 9.8
11.6 15.1 12.5 6.5 7.5
10.0 12.9 9.2 10.0 12.8
12.5 9.3 10.4 12.7 10.5
9.3 11.5 10.7 11.6 7.8
10.5 7.6 10.1 8.9 8.6
a. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de esta población.
b. ¿Qué proporción de estos negocios tienen declaraciones trimestrales de impuestos
sobre ventas dentro de ±1, ±2 o ±3 desviaciones estándar de la media?
c. Compare y encuentre las diferencias entre sus hallazgos con lo que cabría esperar
de acuerdo con la regla empírica. ¿le sorprenden los resultados obtenidos en b)?
Conclusiones:

40
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. Caso de estudio III
Calificación:
Virginia Suboleski es una supervisora de mantenimiento de aeronaves. Una entrega reciente de
pernos por parte de un nuevo proveedor llamó la atención de uno de los empleados. Suboleski
envió 25 de esos pernos a un laboratorio de pruebas para determinar la fuerza necesaria para
romperlos. A continuación presentamos los resultados en miles de libras de fuerza:
147.8 137.4 125.2 141.1 145.7
119.9 133.3 142.3 138.7 125.7
142.0 130.8 129.8 141.2 134.9
125.0 128.9 142.0 118.6 133.0
151.1 125.7 126.3 140.9 138.2
Conclusiones:

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD II
41
PROBABILIDAD
Competencia: Conocer y aplicar los axiomas y teoremas de probabilidad en la
solución de problemas.
INTRODUCCIÓN
Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro, en algún
momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto tendrá que
hacerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por ejemplo, los
inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una acción en
particular, con base en sus expectativas sobre rendimientos futuros. Los
empresarios al decidir comercializar un producto enfrentan la incertidumbre
sobre la posibilidad de éxito. En cada caso, como sucede con la mayoría de los
asuntos comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la información
pertinente.
Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones incrementa enormemente la probabilidad de que se tomen
decisiones más inteligentes y bien informadas. El propósito de esta unidad es
ilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de
ocurrencia de eventos futuros.
2.1 TÉCNICAS DE CONTEO
En este tema se presentarán cuatro métodos, combinaciones, permutaciones,
escogencia múltiple y multiplicación, para determinar sin enumeración directa el
número de resultados posibles de un experimento particular o el número de
elementos de un conjunto particular.
2.1.1 Principio fundamental del conteo
Si un evento puede realizarse de 1n maneras diferentes, y si, continuando el
procedimiento, un segundo evento puede realizarse de 2n maneras diferentes, y
si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de 3n maneras
diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los
eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:
321 nnn  (II.1)
Ejemplo 2.1 Supongamos que una placa de automóvil consta de dos letras
distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero.
¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?

42
Solución: La primer letra puede colocarse de 26 maneras diferentes
(supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras
diferentes (puesto que la letra grabada en la primer posición no puede
escogerse como segunda letra), para el primer dígito, para el primer dígito
hay nueve números, es decir nueve maneras, y para cada uno de los otros
dos dígitos 10 maneras. Por lo tanto pueden grabarse
000585101092526 , ; por tanto se podrían formar 585,000 placas
diferentes.
2.1.2 Permutaciones
Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados de
un conjunto de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una permutación
de los n objetos tomados r a la vez se define como
 !rn
!n
Prn

 (II.2)
Donde n! se lee “n factorial” y significa el producto de todos los números de 1 a
n. Por tanto 120123455 ! . Por definición 10 ! .
Ejemplo 2.1 Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden
formarse con las letras: a, b, c, d, e, f.
Solución: Representemos las palabras de tres letras por tres cajas:
Ahora la primera letra puede escogerse de seis formas diferentes; en
seguida, la segunda letra se puede escoger de cinco formas diferentes; y
después de esto, la última letra se puede escoger de cuatro formas
diferentes. Escribamos cada número en su correspondiente caja como
sigue:
Aplicando la expresión II.2 se tiene:
 
120
6
720
36
6
36 


!
!
P

43
Por tanto se pueden formar 120 posibles palabras de tres letras sin
repetición.
2.1.3 Escogencia Múltiple
Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se
relacionan con la escogencia de una bola tomada de una urna que contiene n
bolas (o una carta de una baraja o una persona de una población). Cuando
escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta escogencia
como una prueba ordenada de tamaño r. Se consideran dos casos:
1. Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la
urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras
diferentes para escoger cada bola, según el principio fundamental del
conteo hay
r
vecesr
nnnnn      (II.3)
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.
2. Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de
escoger la siguiente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. O
sea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución es simplemente
una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente hay
 !rn
!n
Prn

 (II.4)
pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un
grupo de n objetos.
Ejemplo 2.2 ¿De cuantas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de
una baraja de 52 cartas, (1) con sustitución, (2) sin sustitución?
Solución: (1) si cada carta se regresa al naipe antes de escoger la siguiente,
entonces cada carta puede escogerse de 52 maneras diferentes. Entonces
hay 60814052525252 3
, pruebas ordenadas diferentes de tamaño
tres con sustitución. (2) Por otra parte si no hay sustitución, entonces la
primera carta puede escogerse de 52 maneras diferentes, la segunda
carta tiene 51 maneras diferentes y la última carta tiene 50 maneras
diferentes, por tanto hay 600132352 ,P  pruebas ordenadas diferentes de
tamaño tres sin sustitución.

44
2.1.4 Combinaciones
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de
estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r
elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n
objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
 !rn!r
!n
Crn

 (II.5)
Ejemplo 2.3 Considere que dados 10 productos, ¿cuántos subconjuntos de tres
productos podrían empacarse juntos y ofrecerse a los clientes? Si se considera
que el orden en el cual se ofrecen los tres productos no influirá en los clientes.
Solución: El número de combinaciones de 10 elementos tomados 3 a la vez es
120310 C . Por tanto hay 120 paquetes de tres artículos que se pueden ofrece a
los clientes.
2.2 ENFOQUES DE PROBABILIDAD
La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La
probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1. Entre
mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asignada
estará más próxima a 1, mientras que la probabilidad de una imposibilidad es 0,
ésta se expresa como:
  10  EP (II.6)
El proceso que produce un evento es denominado experimento. Un experimento
es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio
muestral representado por:
 nx,,x,xS 21 (II.7)
La teoría de la probabilidad ocupa un lugar importante en muchos asuntos de
negocios. Las pólizas de seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad,
las cuales a su vez se basan en probabilidades de muerte en edades específicas.
Otras tasas de seguros tales como seguro de bienes raíces y de automóviles se
determinan de manera similar. La probabilidad también juega un papel
importante en la estimación del número de unidades defectuosas en un proceso
de fabricación, la probabilidad de recibir pagos sobre cuentas por cobrar y las
ventas potenciales de un nuevo producto.

45
Existen sólo tres formas generalmente aceptadas para enfocar: (1) modelo de
frecuencia relativa (o a posteriori), (2) modelo subjetivo y (3) modelo clásico (o a
priori).
El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado
empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el
pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base
en estos datos históricos. La probabilidad de un evento con base al modelo de
frecuencia relativa se determina mediante:
 
nesobservaciodetotalNúmero
pasadoeleneventoelocurridohaquevecesdeNúmero
EP  (II.8)
El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento con
base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas
una conjetura hecha sobre cierta base. El modelo subjetivo se utiliza cuando se
desea asignar probabilidad a un evento que nunca ha ocurrido. Por ejemplo la
probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de México, debido
a que no hay datos sobre los cuales confiar, deben analizar las opiniones y
creencias para obtener una estimación subjetiva.
De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se
relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La
probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:
 
resultadosposiblesdetotalNúmero
eventounocurrirpuedequelasenformasdeNúmero
EP  (II.9)
2.3 Axiomas de Probabilidad
2.3.1 Uniones, intersecciones y relaciones entre eventos
Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Se asume que se han
identificado dos conjuntos A y B. Cada uno contiene numerosos elementos. Un
diagrama de Venn es una herramienta útil para mostrar la relación entre
conjuntos.
Intersección entre A y B  BA : es el conjunto de todos los elementos que están
tanto en A como en B. Los eventos A y B se les denomina eventos no disyuntos.
La figura 2.1(a) muestra el correspondiente diagrama de Venn.
Unión de A y B  BA : es el conjunto de todos los elementos que están en A o en
B. La figura 2.1(b) muestra el diagrama de Venn de la unión de dos eventos.

46
Figura II.1 Diagrama de Venn: (a) A intersección B y (b) A unión B
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno
prohíbe la ocurrencia del otro.
Los eventos son independientes, si la ocurrencia de uno no tiene nada que ver
con la ocurrencia del otro.
Cuando se saca de un conjunto finito, dos eventos son independientes si y sólo si
se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza antes
de sacar el segundo elemento, los dos eventos son dependientes.
2.3.2 Tablas de contingencia y tablas de probabilidad
Una tabla de contingencia permite examinar o comparar dos variables. De los
500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados como miembros de
personal administrativo, 290 como trabajadores de línea y 40 son auxiliares. La
tabla compara el género de los trabajadores y la clasificación que tienen éstos.
Tabla II.1 Tabla de contingencia para King Dynamics
Clasificación de los empleados
Género Administrativo Línea Auxiliar Total
Hombres 120 150 30 300
Mujeres 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
Una tabla de probabilidad puede crearse dividiendo cada una de las entradas
de la tabla anterior entre el total, 500 trabajadores. Los resultados se ven en la
tabla.

47
Tabla II.2 Tabla de probabilidad para King Dynamics
Clasificación de los empleados
Género Administrativo  S Línea  L Auxiliar  A Total
Hombres  H 240500
120
. 300500
150
. 060500
30
. 600500
300
.
Mujeres  M 100500
50
. 280500
140
. 020500
10
. 400500
200
.
Total 340500
170
. 580500
290
. 080500
40
. 001500
500
.
Los valores en las márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales. Por
ejemplo, la probabilidad de seleccionar un trabajador de línea de manera
aleatoria es
  580.LP 
y la probabilidad de seleccionar un hombre es
  600.MP 
Las probabilidades conjuntas en las celdas de la estructura principal de la tabla
muestran la probabilidad de la intersección entre dos eventos. Por ejemplo, la
probabilidad de seleccionar un trabajador que sea parte del personal
administrativo y que sea hombre, es
  240.SHP 
Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las probabilidades
conjuntas correspondientes. Por tanto
        600060300240 ....AHPLHPSHPHP 
2.3.3 Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que el evento B ya ocurrió.
Se denota como  B|AP y se lee la “probabilidad de A dado B”. La formula
general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:
   
 BP
BAP
B|AP

 (II.10)
Para ilustrar la aplicación de la expresión III.10, retomemos la tabla de
probabilidades de King Dynamics, se puede observar que la probabilidad de que
un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es
  600.HP 

48
sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea
hombre dado que es un miembro del personal administrativo  S|HP se puede
hallar así
   
 
710
340
240
.
.
.
SP
SHP
S|HP 


2.3.4 Las dos reglas de la probabilidad
Para calcular la probabilidad de eventos más complejos utilizaremos la regla de
la multiplicación y la regla de la adición. Cada una se utiliza para propósitos
específicos.
2.3.4.1 Regla de la multiplicación
El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad del
evento conjunto  BAP  . Es decir, que para encontrar la probabilidad de A y B,
simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades. El procedimiento
exacto depende de si A y B son dependientes o independientes.
Los eventos A y B son independientes si    B|APAP  . Es decir, la probabilidad de
A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son
independientes, si    A|BPBP 
Para eventos independientes la probabilidad de dos eventos se vuelve:
     BPAPBAP  (II.11)
Si los eventos son dependientes, entonces, por definición, se debe considerar el
primer evento al determinar la probabilidad del segundo. Es decir, la
probabilidad del evento B depende de la condición que A ya haya ocurrido. Se
necesita del principio de probabilidad condicional. La probabilidad de los
eventos conjuntos A y B:
     A|BPAPBAP  (II.12)
Retornando a la tabla de probabilidad para King Dynamics, tabla II.2, se observa
que la probabilidad marginal de la segunda fila muestra claramente que
  40.MP 
sin considerar si el trabajador es miembro administrativo, línea o auxiliar. Sin
embargo, la probabilidad conjunta de que sea mujer y miembro de línea
  280.LMP 
También se puede calcular esta probabilidad utilizando la expresión II.12

49
     M|LPMPLMP 
el último término es probabilidad condicional, la cual se determinó anteriormente
como
   
 
70
40
280
.
.
.
MP
MLP
M|LP 


entonces
      2807040 ...M|LPMPLMP 
Aunque el uso de una tabla II.2 puede simplificar el cálculo de probabilidad,
existen ejemplos en los cuales es muy difícil la creación de una tabla, por lo tanto
se requiere el uso de las fórmulas.
2.3.4.2 Regla de la adición
La regla de la adición se utiliza para determinar la probabilidad del evento A o B,
  BAP  .
La probabilidad de que ocurra el evento A o B para eventos que no son
mutuamente excluyentes, si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo, se determina
por medio de la siguiente expresión:
       BAPBPAPBAP  (II.13)
En el ejemplo de King Dynamics, la probabilidad de que un empleado sea
trabajador hombre o un trabajador de línea es:
        7028058040 ....LMPLPMPLMP 
La probabilidad del evento A o del evento B cuando los eventos son mutuamente
excluyentes se determina por:
     BPAPBAP  (II.14)
De la tabla II.2 de King Dynamics, los eventos de que un empleado sea trabajador
hombre o un trabajador mujer son mutuamente excluyentes.

50
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 7. CUESTIONARIO
Calificación:
1. Utiliza la palabra, algunas se repiten, o enunciado que complete el espacio en blanco:
 acción
 cero
 conjunto
 enfoque clásico
 evento
 experimento
 frecuencia
relativa
 probabilidad
 resultado
 resultados
 subjetivo
 uno
 datos
 empíricamente
 enfoque
 frecuencia
 muestral
 número de formas en las que
puede ocurrir un evento
 número de veces que ha
ocurrido el evento en el pasado
 número total de observaciones
 número total de posibles
resultados
 pasado
 afecta
 condiconal
 dependientes
 excluyentes
 independientes
 nada
 no
 ocurran
 ocurrencia
 otro
Históricamente se han desarrollado tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad y
determinar valores de probabilidad:
 __________________________________________
 __________________________________________
 __________________________________________
La _________________ es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La ______________ de un
evento es medida por valores comprendidos entre ____ y _____.
El proceso que produce un ____________ es denominado ____________. Un experimento es toda
_________ bien definida que conlleva a un ____________ único bien definido.

51
El _____________ de todos los posibles ______________ para un _____________ es el espacio
___________ representado por:  1 2, , , ns x x x
El ____________ de ____________ relativa utiliza datos que se han observado ______________, registra
la frecuencia con que ha ocurrido algún _____________ en el _____________ y estima la
probabilidad de que el ________________ ocurra nuevamente con base en estos ____________
históricos. La probabilidad de un evento con base al modelo de _________________ relativa se
determina mediante:
( )P E 
De los tres métodos para medir la probabilidad, el modelo clásico es el que se relaciona con
mayor frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clásica de un evento E se
determina mediante:
( )P E 
Se dice que dos o más eventos son mutuamente _________________ si la _________________ de uno
prohíbe la ocurrencia del _________________. Esto es, si no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Dos o más eventos son ___________ excluyentes cuando es posible que _________________ al
mismo tiempo.
Los eventos son _________________, si la ocurrencia de uno _____ tiene _________________ que ver
con la _________________ del otro. Dos eventos son _________________ cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de un evento _________________ a la probabilidad de _________________ del otro
evento.

52
Cuando dos eventos son dependientes, se emplea el concepto de probabilidad
_________________ para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La
expresión  |P B A indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido
el evento A. La formula general para calcular la probabilidad condicional, es la siguiente:
 
 
 
|
P
P
P


Probabilidad de eventos
2. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuál de los enfoques de la probabilidad
(el clásico, el de frecuencias relativas o el subjetivo) sería más útil para determinar el valor de
probabilidad requerido.
a. La probabilidad de que haya un golpe de estado el próximo año.
______________________________
b. La probabilidad de obtener ya sea un 1 o un 6 en un solo lanzamiento de un dado de seis
caras. _________________________________
c. La probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida entre las que visitan una
gran tienda departamental realice una compra en esa tienda.
_________________________________________
3. Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 azules. Si se saca una canica de la bolsa al azar, ¿cuál
es la probabilidad de sacar una canica azul?
4. Se escoge aleatoriamente una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personas que visten
de rojo y 4 personas que visten de azul.

53
5. Se escoge una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7 amarillas
y 5 blancas.
6. Determine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientes situaciones.
a. La probabilidad de accidentes industriales en una industria en particular en un plazo
anual. Una muestra aleatoria de 10 empresas, las cuales emplean a un total de 8000
personas, reportó la ocurrencia de 400 accidentes industriales durante un periodo reciente
de 12 meses.
b. La probabilidad de acertar a un número ganador en un juego de ruleta. Los números de
la rueda incluyen un 0, 00 y del 1 al 36.
c. La probabilidad de que un establecimiento de franquicia de comida rápida sea
financieramente exitoso. El probable inversionista obtiene datos de otras unidades del
sistema de franquicias, estudia el desarrollo de la zona residencial en la que estará
ubicado el establecimiento y considera el volumen de ventas requerido para garantizar
el éxito financiero con base en la inversión de capital requerida y los costos operativos. En
general, el inversionista juzga que hay un 80% de posibilidades de que el establecimiento
sea financieramente exitoso y 20% de que no lo sea.
7. La siguiente tabla muestra el número de computadoras vendidas diariamente por una tienda
minorista
Número de
computadoras
vendidas
Número de días Probabilidad
0 12
1 43
2 18
3 20
4 25

54
Determine la probabilidad de que el número de computadoras que se vendan el día de hoy sea:
a. 2
b. Menos de 3
c. Más de 1
d. Por lo menos 1
8. Un importador de cristal irlandés de Nueva York recibe envíos de cajas de tres artículos. La
siguiente tabla muestra los datos para las últimas 100 cajas indicaron el número de artículos
dañados que había en cada caja.
Número de defectos Número de cajas Probabilidad
0 40 
1 27 
2 21 
3 12 
Determine la probabilidad de que el número de artículos defectuosos sea:
a. 2
b. Menos de 3
c. Más de 1
d. Ninguno

55
Probabilidad con técnicas de conteo
Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto de r objetos tomados de un conjunto
de n objetos entonces se trata de permutaciones. Una permutación de los n objetos tomados r
a la vez se define como
 
!
!
n r
n
P
n r
9. Calcula las permutaciones para los siguientes valores de n y r:
6 3
4 2
10 4
n r
n r
n r
 
 
 
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos
tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras,
una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
 
!
! !
n r
n
C
r n r
10. Calcula las combinaciones para los siguientes valores de n y r:
6 3
4 2
10 4
n r
n r
n r
 
 
 

56
11. Un caso reciente en la corte del condado de Madison, Kentucky, sobre las prácticas de
contratación de una compañía de teléfonos local. La compañía planeó contratar 3 nuevos
empleados. Había 8 candidatos para los cargos, 6 de los cuales eran hombres. Los 3 que
fueron contratados eran hombres. Un cargo por discriminación de sexo se impuso contra la
compañía. ¿Cómo decidiría usted?
12. Diez unidades de producción se seleccionan de una línea de producción. Tres de estas 10 son
defectuosas. Si deben sacar 5 de las 10, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosas?
13. Un representante de ventas debe visitar seis ciudades durante un viaje.
a. Si en la zona geográfica por visitar hay 10 ciudades, ¿cuántas diferentes agrupaciones de
seis ciudades susceptibles de ser visitadas por el representante de ventas hay?
b. Supongamos que en la zona geográfica que visitará el representante de ventas hay 10
ciudades y, además, que la secuencia en la que serán programadas las visitas a la seis
ciudades elegidas también es de importancia. ¿Cuántas secuencias son posibles para las
seis ciudades asignadas?
14. De las ciudades mencionadas en el problema anterior, supongamos que seis de ellas son en
realidad mercados primarios del producto en cuestión mientras que las otras cuatro son
mercados secundarios. Si el vendedor elige aleatoriamente las seis ciudades por visitar, ¿cuál
es la probabilidad de que:
a. Cuatro de ellas sean mercados primarios y dos mercados secundarios
b. Las seis resulten ser mercados primarios

57
15. Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera
serán sentados juntos en un banquete. Determine la probabilidad de que el grupo de tres
directivos elegido a partir de los cinco incluya a:
a. Un directivo en particular
b. Dos directivos en particular
c. Tres directivos en particular
Tablas de probabilidades conjuntas
16. La revista Forbes (febrero de 1997) clasificó las 120 ciudades de estados unidos de acuerdo
con la calidad de vida, con base en parte del porcentaje de empleados que tenían título
universitario. Los resultados se ven en la siguiente tabla de contingencia parcial, en donde A
es menos del 15% con título universitario, B es del 15 al 20% con título universitario y C es más
del 20% con título universitario. Realice una tabla de probabilidad y responda las preguntas
que se presentan en la siguiente tabla.
Tabla 1. Clasificación de la revista Forbes para las 120 ciudades de EU
Calidad de vida
Porcentaje
con título
universitario
Pobre (P) Bueno (G) Excelente (E) Total
A 10 20 40
B 20
C 10 20
Total 20 60

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