Συνοπτική Θεωρία στο Έργο-Ενέργεια για Α΄ Λυκείου Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com

1. Συνοπτική
Θεωρία
Έργου-Ενέργειας
για Α΄ Λυκείου
Λάμπρος Αδάμ
www.lam-lab.com
adamlscp@gmail.com

2. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 1
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
Συνοπτική Θεωρία στο Έργο – Ενέργεια
Με μέθοδο εργασίας: «Ρωτάω-Αποδεικνύω-Συμπεραίνω»
1. Τι ορίζουμε ως έργο W σταθερής δύναμης F,
που μετατοπίζει το σώμα στο οποίο ασκείται
στη φορά της F κατά Δx;
xF
ό
έ
ύ
έ
W 
















2. Αν η σταθερή δύναμη F σχηματίζει
γωνία φ με τη μετατόπιση Δx, τι έργο
παράγει;
Έργο παράγει μόνο η συνιστώσα Fx που
μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της
στη διεύθυνση της μετατόπισης Δx.
  xFxFxFWWW xFFF yx
0
3. Η δύναμη η κάθετη στη μετατόπιση του σημείου
εφαρμογής της, τι έργο παράγει;
Η δύναμη που είναι κάθετη στη μετατόπιση, σχηματίζει
γωνία 90ο και με βάση τον ορισμό του έργου, θα είναι:
00900
 xFxFW 
Η δύναμη η κάθετη στην μετατόπιση δεν παράγει έργο,
που σημαίνει ότι δεν προκαλεί καμία ενεργειακή αλλαγή.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: Έτσι για δισεκατομμύρια χρόνια συνεχίζει η Γη το ΄΄κυκλικό΄΄ της ταξίδι
γύρω από τον Ήλιο, χωρίς καμία αλλαγή, αφού ο Ήλιος ασκεί στη Γη βαρυτική δύναμη
κάθετη στη μετατόπιση της.
Το ίδιο συμβαίνει και με τα άτομα που μας αποτελούν. Ο θετικός πυρήνας των ατόμων
ασκεί κάθετη δύναμη στην τροχιά των αρνητικών ηλεκτρονίων, έτσι δεν παράγεται έργο,
δεν συμβαίνει καμία αλλαγή ή αλλιώς δεν καταρρέουν-διαλύονται τα άτομα.
Μπορούμε λοιπόν να ισχυριστούμε ότι : χρωστάμε τη ζωή μας στο γεγονός ότι η δύναμη η
κάθετη στη μετατόπιση δεν παράγει έργο!

3. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 2
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
4. Το έργο είναι μονόμετρο ή διανυσματικό μέγεθος και τι μονάδα έχει;
Παρόλο που το έργο ορίζεται μέσω της δύναμης και της μετατόπισης, που είναι και τα δύο
διανυσματικά μεγέθη, το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος!
Μονάδα έργου στο S.I. είναι: 1Joule=έργο δύναμης 1Ν που μετατοπίζει το σημείο
εφαρμογής της κατά 1m στη διεύθυνσή της (1Joule=1Newton . 1m)
5. Μπορούμε να βρούμε το έργο μιας δύναμης από το
διάγραμμα Δύναμης-Μετατόπισης;
α) Αν μια σταθερή δύναμη F μετακινεί κατά x το σημείο
εφαρμογής της στη διεύθυνσή της, το έργο της είναι: w=F.x.
Μία τέτοια δύναμη σε άξονες, δύναμη-μετατόπιση,
παριστάνεται από μια ευθεία παράλληλη στον άξονα των
μετατοπίσεων. Τότε:
WF= F.x = (ΟΓ) (OA) = (Εμβαδόν δ/τος F-x)
β) Αν η δύναμη είναι μεταβλητού μέτρου και μετατοπίζει το
σημείο εφαρμογής της στη διεύθυνσή της, τότε:
Δηλαδή: το έργο μεταβλητής δύναμης ίδιας διεύθυνσης με τη μετατόπιση, είναι
αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του σχήματος του διαγράμματος F-x , που περικλείεται
από τη γραμμή που αποδίδει τη δύναμη και τον άξονα των μετατοπίσεων.
6. Ποια ενέργεια ονομάζουμε μεταφορική κινητική ενέργεια;
Όταν ένα σώμα μάζας m έχει ταχύτητα  , τότε το σώμα έχει κινητική ενέργεια Κ :
2
2
1
 mK
Παράδειγμα: Όταν ένα φορτηγό διπλασιάσει την ταχύτητά του, πόσο γίνεται η νέα
κινητική του ενέργεια;
μονόμετρο μέγεθος, μετρείται σε Joule
και δεν έχει ποτέ αρνητική τιμή

4. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 3
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
2
1
2
1
 mK
7. 1
22
2 44
2
1
)2(
2
1
  mmK
8.
7. Τι εκφράζει το έργο και τι το πρόσημό του;
Έστω ένα σώμα μετατοπίζεται από τη θέση ①, όπου ηρεμούσε (t=0), στη θέση ②, όπου
αποκτά ταχύτητα υ τη χρονική στιγμή t. Η μετατόπιση αυτή γίνεται με τις δυνάμεις του
σχήματος: F=κινητήρια δύναμη την οποία ασκεί ένας εργάτης, Τ=τριβή ολίσθησης,
Ν=κάθετος δύναμη στήριξης και mg=βάρος. Ποια είναι τα έργα των δυνάμεων και τι
σημαίνουν τα πρόσημά τους; Ποιες ενεργειακές μεταβολές συμβαίνουν;
0 xFWF : εκφράζει την ενέργεια που ο εργάτης ΔΙΝΕΙ στο
κιβώτιο (ΩΦΕΛΙΜΟ έργο για το κιβώτιο), σε βάρος
της χημικής ενέργειας του εργάτη.
01800
 xxTWT  : εκφράζει την ενέργεια που η τριβή
ΠΑΙΡΝΕΙ από το κιβώτιο (ΚΑΤΑΝΑΛΙΣΚΟΜΕΝΟ
έργο) και την οποία μετατρέπει σε θερμότητα.
0900
 xgmWmg
0900
 xNWN
Άρα το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας από το περιβάλλον στο σώμα (θετικό
έργο) ή από το σώμα στο περιβάλλον του (αρνητικό έργο). Ταυτόχρονα
συμβαίνει και αλλαγή στην μορφή ενέργειας (π.χ. από χημική σε κινητική ή από
κινητική σε θερμότητα).
Οι δυνάμεις mg και Ν ΔΕΝ ΑΝΤΑΛΛΑΣΟΥΝ
ενέργεια με το κιβώτιο
K2=4K1

5. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 4
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
8. Τι λέει το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.);
Φυσικό Φαινόμενο: αυτό που εκθέσαμε στο προηγούμενο ερώτημα (7).
Προσθέτοντας όλα τα έργα των δυνάμεων στο κιβώτιο παίρνουμε:
























έ
ή
ή
m
tamtaam
WxFxFWWWW FNmgTF
0
2
1
)(
2
1
2
1
)(
2
22
Εφαρμογή:
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα
μάζας m=0,1kg. Σε μια στιγμή δέχεται την
επίδραση οριζόντιας μεταβλητής δύναμης,
η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο
σχήμα.
a) Σε ποια θέση το σώμα θα έχει μέγιστη
ταχύτητα;
b) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του
σώματος.
c) Πόση η κινητική ενέργεια του σώματος
στη θέση x=10m.
ΛΥΣΗ
1η ιδέα θεωρίας: Το έργο μεταβλητής δύναμης υπολογίζεται από το εμβαδόν του
διαγράμματος F-x
2η ιδέα θεωρίας: Η κινητική ενέργεια (εμπεριέχει την ταχύτητα) συνδέεται με το έργο
μέσω του Θ.Μ.Κ.Ε.
3η ιδέα θεωρίας: Όταν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση, τότε δεν παράγει έργο.
Απόδειξη
Θ.Μ.Κ.Ε.

6. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 5
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
a) Φυσική Φυσικού Φαινομένου (Φ.Φ.Φ.) ή Ποιοτικά:
Το βάρος Β και η κάθετος δύναμη στήριξης Ν δεν παράγουν έργο, αφού είναι κάθετες στη
μετατόπιση του σώματος. Μόνο η F παράγει έργο, αφού μετατοπίζει το σώμα στη διεύθυνσή
της.
Η κινητική ενέργεια που αποκτά το σώμα, που ξεκινά από την ηρεμία, μέσω του Θ.Μ.Κ.Ε.
ισούται με το έργο της δύναμης F, το οποίο αριθμητικά ισούται με το εμβαδόν του
διαγράμματος του σχήματος.
Καθώς στο διάγραμμα μεταβαίνουμε από το x=0 έως x=8m το εμβαδόν του διαγράμματος
F-x ΑΥΞΑΝΕΙ ΔΙΑΡΚΩΣ, άρα η κινητική ενέργεια θα αυξάνει επίσης, έτσι αυξάνει και η
ταχύτητα του σώματος.
Μετά από τη θέση x=8m στο συνολικό έργο αρχίζει να προστίθεται ΑΡΝΗΤΙΚΟ
ΕΜΒΑΔΟΝ-ΕΡΓΟ, άρα η κινητική ενέργεια θα μειώνεται, έτσι θα μειώνεται και η ταχύτητα
του σώματος.
Αυτό σημαίνει ότι: τη μέγιστη κινητική ενέργεια (άρα και τη μέγιστη ταχύτητα) θα έχει
το σώμα στη θέση x=8m.
b) Ποσοτικά:
Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το σώμα από x=0 μέχρι x=8m, όπου υ=max.

sm
xmgxώ
ό
m
WWW
IS
NBFxmx
/40820
2
1
1,0
2
1
90900
2
1
max
2
max
..
0
0
0
02
max
0)8(














 





c) Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το σώμα από x=8m μέχρι x=10m

sm
ώ
ό
mm
WWW
IS
NBFmxmx
/4,37)810()10(
2
1
16001,0
2
1
1,0
2
1
00
2
1
2
1
2
..
2
max
2
8)10(














 





7. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 6
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
9. Τι είναι βαρυτική δυναμική ενέργεια U;
Στους Ολυμπιακούς αγώνες της Ατλάντα το 1996 ο
Πύρρος Δήμας κερδίζει το Χρυσό Μετάλλιο
σηκώνοντας M=210kg στο ζετέ!!
Αν υποθέσουμε ότι η ανύψωση του βάρους έγινε αργά
( υ≈0) από την επιφάνεια της Γης μέχρι το ύψος h πάνω
από το έδαφος, τότε το μέτρο της δύναμης που άσκησε
ο Πύρρος Δήμας είναι ίση με το μέτρο του βάρους
F=Mg. Ποιο είναι το έργο της F και τι εκφράζει;
Απάντηση: hgMhFWF 
10. Ποια σχέση συνδέει το έργο βάρους WB και τη βαρυτική δυναμική ενέργεια U;
Ένας μαθητής αφήνει από ύψος H μια ελαστική
μπάλα να πέσει στο δάπεδο. Τότε έχουμε:
)(
)(
hHgmhgmHgmUU
hHgmW
A
A
B




επειδή τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, ισχύει:


  UUW A
Και γενικά έχουμε:
!!
)(
ήόά
U
UU
UUW








Η ελάττωση
της Χημικής
Ενέργειας
του Πύρρου
Δήμα
Μέσω του έργου
WF=M.g.h
Μετατρέπεται
σε ΑΥΞΗΣΗ
ΤΗΣ
ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΔU=M.g.h
Αν
Uεδαφος=0
Η ΒΑΡΥΤΙΚΗ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ
ΣΩΜΑΤΟΣ σε
ύψος h είναι:
U=M.g.h

8. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 7
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
11. Πόσο είναι το έργο βάρους WB σε μια κλειστή διαδρομή;
Ας δούμε ένα πρόβλημα: Μια μικρή μπίλια εκτοξεύεται από το σημείο Α οριζοντίου επιπέδου με
αρκετά μεγάλη ταχύτητα υ, κατευθυνόμενη προς την ημικυκλική τροχιά που φαίνεται στο κατωτέρω
σχήμα. Φθάνοντας στο ανώτατο σημείο Γ εγκαταλείπει τη σιδηροτροχιά και τελικά προσκρούει στο
οριζόντιο επίπεδο, στο σημείο Δ, με ταχύτητα V. Αν δεν υπάρχουν τριβές, τότε να συγκριθούν τα
μέτρα των ταχυτήτων υ και V :
α. V > υ
β. V = υ
γ. V < υ
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
(Θεωρείστε αμελητέα την αντίσταση του
αέρα).
Απάντηση: Η διαδρομή που ακολουθεί η μπίλια είναι μια κλειστή διαδρομή, δηλαδή το
σημείο επιστροφής Δ και το σημείο εκτόξευσης Α ανήκουν στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο δηλαδή
έχουν την ίδια δυναμική ενέργεια βαρύτητας. Δηλαδή UA=UΔ.
Όμως στη ερώτηση (9) αποδείξαμε ότι το έργο του βάρους είναι:
0:
.
..








UUW
UUW
ήή 
Τέλος ας εφαρμόσουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για την μπίλια, που κάνει την κλειστή διαδρομή:
Α→Γ→Δ.
)(
2
1
2
1
0
22
)()(
:
)()(



έV
mVm
UUW ήή
B








Άρα σωστή είναι η (β)
Συμπέρασμα: Οι διατηρητικές ή συντηρητικές δυνάμεις (π.χ. βάρος, ηλεκτρική δύναμη,
δύναμη ελατηρίου) σε κλειστή διαδρομή δεν παράγει έργο και το αντίστροφο.
Προσοχή: Οι συντηρητικές δυνάμεις σε ανοιχτή διαδρομή παράγουν έργο, το οποίο είναι
ανεξάρτητο από τη διαδρομή και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση:

 

   UUW ήή
F ή


 0ήή
F ή
W 


9. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 8
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
12. Τι είναι Μηχανική Ενέργεια και πότε Διατηρείται;
═ +
Ας υποθέσουμε ότι κατά την κίνηση ενός σώματος η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι
το βάρος. Τότε εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για την μετακίνηση του σώματος από μια αρχική σε
μία τελική κατάσταση. Τότε έχουμε:
Κτελική –Καρχική=Wβάρους (1)
Όμως ισχύει: Wβάρους=Uαρχική-Uτελική (2)
Άρα από (1), (2) έχουμε: Κτελική –Καρχική= Uαρχική-Uτελική 
 Κτελική+Uτελική = Καρχική +Uαρχική 


 

  
Άρα: Η Μηχανική Ενέργεια ενός σώματος διατηρείται σταθερή όταν η μόνη δύναμη
που παράγει έργο πάνω στο σώμα είναι το βάρος.
Έτσι το βάρος λέγεται ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ (ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ) δύναμη, αφού όταν
μόνο αυτό παράγει έργο, τότε ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ η Μηχανική Ενέργεια του σώματος
13. Καλά, υπάρχει και Θεώρημα Μεταβολής της Μηχανική Ενέργεια; Έλεος!
Υπόθεση: Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται οι δυνάμεις το βάρος Β και μια μη συντηρητική
δύναμη F. Τότε αν εφαρμόσουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το σώμα, το οποίο μεταβαίνει από μια
αρχική θέση σε μια τελική θέση με τη δράση των F και Β, θα γράψουμε:
Κτελική –Καρχική=Wβάρους + WF (1)
Όμως ισχύει: Wβάρους=Uαρχική-Uτελική (2)
Άρα από (1), (2) έχουμε: Κτελική –Καρχική= Uαρχική-Uτελική + WF 
 Κτελική+Uτελική - ( Καρχική +Uαρχική ) = WF 
 
 
 

  FW
Άρα: Αφού τη Μηχανική Ενέργεια δεν τη μεταβάλλει το Βάρος (συντηρητική δύναμη), η
Μεταβολή της Μηχανικής Ενέργειας θα οφείλεται ΜΟΝΟ στα έργα των ΜΗ
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ δυνάμεων, δηλαδή όλων των άλλων δυνάμεων πλην του
Βάρους.
Μηχανική
Ενέργεια
ΕΜΗΧ
Κινητική
Ενέργεια
Κ
Δυναμική
Ενέργεια
U

10. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 9
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
14. Τι λέμε Ισχύ στη Φυσική; Έχει σχέση με τους ρυθμούς μεταβολής ενέργειας; Τι
διαφορά υπάρχει μεταξύ μέσης και στιγμιαίας ισχύος;
Ας δούμε καλύτερα μια άσκηση, να έχει και αριθμούς!
Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο έδαφος (θέση ①), όπου
δεχόμαστε μηδενική τη δυναμική του ενέργεια. Σε μια στιγμή
t0=0, ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη
F=24Ν, μέχρι τη στιγμή t1=3s (θέση ②). Δίνεται g=10m/s2.
Να βρεθούν:
i) από τη στιγμή t0=0 (θέση ①) μέχρι τη στιγμή t1=3s (θέση ②)
 η μέση ισχύς της δύναμης F
 η μέση ισχύς του βάρους Β
 ο μέσος ρυθμός αύξησης της βαρυτικής δυναμικής
ενέργειας
 ο μέσος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
ii) τη στιγμή t1=3s (θέση ②)
 η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F
 η στιγμιαία ισχύς του βάρους Β
 o στιγμιαίος ρυθμός αύξησης της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
 o στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
Απάντηση
Με βάση το 2ο Νόμο του Νεύτωνα, το σώμα επιταχύνεται ανεβαίνοντας με επιτάχυνση:

22
s
m
m
mgF
m
F
a 





Τη χρονική στιγμή t1=3s το σώμα θα έχει ανεβεί σε ύψος h1 από το έδαφος και θα έχει
στιγμιαία ταχύτητα υ1:
 
s
ms
s
m
t
ms
s
m
tah
632
932
2
1
2
1
211
2
2
2
11



Σημείωση: Για το μέσο ρυθμό μεταβολής θα χρησιμοποιείται το σύμβολο
t
...


όπου Δt= t1-t0 =3s-0s=
=3s=μεγάλος χρόνος, ενώ για το στιγμιαίο ρυθμό θα χρησιμοποιείται το σύμβολο
dt
d...
, όπου
dt→0 γύρω από τη χρονική στιγμή t1=3s

11. Συνοπτική Θεωρία Έργου-Ενέργειας για Α΄ Λυκείου 10
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
ΜΕΣΗ ΙΣΧΥΣ P
ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
από t0=0 έως t1=3s
ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΙΣΧΥΣ P
ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
τη χρονική στιγμή t1=3s
H μέση ισχύς της δύναμης F είναι:
W
s
J
ss
mN
tt
hF
t
W
P F
F
7272
03
924
01
1











H στιγμιαία ισχύς της δύναμης F είναι:
Ws
s
m
N
taFF
dt
dyF
dt
dW
P F
F
1443224 2



 
H μέση ισχύς του βάρους B=mg είναι:
W
s
J
ss
mN
tt
hB
t
W
P B
B
6060
03
920
180
01
0
1












H στιγμιαία ισχύς του βάρους B=mg είναι:
Ws
s
m
Ntagm
gm
dt
dyB
dt
dW
P B
B
1203220
180
2
0



 

Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής
δυναμικής ενέργειας είναι:
s
J
ss
mN
tt
hgm
tt
UU
t
U tt
60
03
920
0
01
1
01
)()( 01













Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής
δυναμικής ενέργειας είναι:
s
J
s
s
m
Ntagm
gm
dt
dyB
dt
dW
dt
dU B
1203220
180
2
0





 

Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της
κινητικής ενέργειας
s
J
ss
s
m
kg
tt
m
tt
KK
t
K tt
12
03
)6(2
2
1
0
2
1
2
01
2
01
)()( 01














Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της κινητικής
ενέργειας
s
J
s
s
m
kg
tamtaam
F
dt
dyF
dt
dW
dt
dK F
243)2(2 2
2
2
....




 


