1. GUIDG.COM – PG. 1
5/11/2009 – ALGA-1: Resumo e dicas – Cônicas: Elipses
• Do Livro de Geometria Analítica – Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.
Uma brevíssima revisão de conteúdo, sem formalidades!
Definição, Teoria, Dicas, Completando Quadrados, Exercício resolvido Comentado e Ilustrado.
Elipse com centro em (0,0) Definição:
Elipse é o lugar geométrico, cuja soma das
distâncias de P(x,y) até seus fotos F1 e F2 é igual
a 2a (veja a figura ao lado).
Ou seja, mesmo que P mude de lugar, a distância
continua a mesma, por isso a elipse tem este
formato. Assim a elipse é o rastro deixado por P,
quando ele “caminhou” sem alterar seu modulo
|PF1 | + |PF2 | = 2a ou sua distância, em relação à F1 e F2.
Elementos:
F1 e F2 são os focos.
Distância focal, é a distância entre F1 e F2, e é
dado por 2c.
c é a distância de um dos focos até o Centro.
Centro C, é o ponto médio do segmento F1F2.
Eixo maior, é a distância 2a, Eixo menor é a distância 2b
Vértices são A1 e A2 (no eixo maior), e B1 e B2 (no eixo menor).
cf
Excentricidade é: e = f
ff
a
Em toda elipse vale a relação de Pitágoras, isto é: a² = b² + c²
A equação reduzida da elipse se obtém quando abrimos a definição substituindo valores genéricos,
isto é: P(x,y) um ponto qualquer da elipse, cujos focos são F(-c,0) e F(c,0).
Substituindo os valores na definição chega-se à:
2 2 2 2
xff yff
ff ff
ff ff
f f xff yff
ff ff
ff ff
f f
2
+ 2 =1 ou 2
+ 2 =1
a b b a
Equação reduzida da elipse com eixo maior em x ou y, com centro C(0,0).
Agora façamos algumas considerações: a e b podem variar como denominadores de x ou y.

2. GUIDG.COM – PG. 2
A dica é analisar a equação, e se a > b, e a estiver como denominador de x, então o eixo maior esta
no eixo dos x ou paralelo a este.
O mesmo se aplica se o contrario ocorrer, ou seja: se a > b, e a estiver como denominador de y,
então o eixo maior esta no eixo dos y ou paralelo a este.
A elipse com centro fora da origem:
Aplica-se translação de eixos, ou seja usa-se um
valor de x’ e y’. para fazer o centro sair da
origem e ir até o centro da elipse (que esta fora
da origem do sistema).
x’ = x – h
y’ = y - k
h e k, são as distâncias: horizontal e vertical do
centro da elipse à origem do sistema.
Então a equação reduzida, com centro fora da origem fica:
b c2
2 2 ` a2 yffffff
kfff
@ffff
x.ff y.ff
fff fff
ff fff
ff ff xffffff ffff
@h
fffffff fff fff
ffffff
ffffff fff
f
+ 2 =1 = + =1
a2 b a2 b
2
Veja que se o centro estiver na origem, então h = k = 0, e a equação volta à ser aquela obtida através
da definição.
Chama-se Equação geral da elipse, aquela que se obtém quando se expande a equação.
A Circunferência é um caso particular da elipse, isto se deve ao fato do eixo maior ser igual ao eixo
menor, assim quando os eixos forem iguais, dá-se o nome de raio, lembrando que o dobro do raio é
chamado de diâmetro.
Demonstração de exercício e aplicação de conceitos:
Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse, Esboçar o gráfico.
Pg. 243, exercício 27.
16x² + 9y² - 96x + 72y + 144 = 0
Solução:
A equação esta na forma geral (expandida), temos que passa-la para a forma reduzida a fim de
identificarmos o centro, e as medidas a e b para esboçar o gráfico.
Precisa-se usar um artifício conhecido como “técnica de completar quadrados”.
E consiste no seguinte, veja e interprete a demonstração:
16x² - 96x + 9y² + 72y + 144 = 0 (organizando os termos, primeiro em x e depois y)
16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 0 (fatorando)

3. GUIDG.COM – PG. 3
Agora como podemos expressar (x² - 6x) como (x - k)² ? , que é o formato da eq. reduzida.
Sabemos que (x - k)² = (x - k)(x - k) = x² - 2xk + k²
x menos k ao quadrado é igual: ao quadrado do primeiro (x), menos duas vezes o primeiro (x) vezes
o segundo (k), mais o quadrado do segundo (k), (Essa é a leitura do produto notável).
Então (x² - 6x) = (x - 3)² - 9
Pois: (x - 3)² - 9 = x² - 2x3 + 3² - 9 = x² + 6x
Completar quadrados é uma técnica simples, mas só se aprende fazendo vários exercícios!
O mesmo para (y² + 8y)
(y² + 8y) = (y + 4)² - 16
Pois: (y + 4)² - 16 = y² + 2y4 + 4² - 16 = y² + 8y
Agora substituímos os valores na equação:
16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 0
16[ (x - 3)² - 9 ] + 9[ (y + 4)² - 16] + 144 = 0
Ou: 16(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² - 144 + 144 = 0
16(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² = 0 (Somando 144 dos dois lados da igualdade, a eq. fica...)
16(x - 3)² + 9(y + 4)² = 144 (dividindo por 144 dos dois lados, a eq. fica...)
b c2
1f
ff 1f
ff
ff
ff
c2 ` a2 y+ 4
xffffff ffffff
fff3ff ffffff
@f
ffffff fffffff
ffffff ffffff
x@3 + + =1
b
y+ 4 =1
` a2
ou
9 16 9 16
Agora comparamos com a eq. reduzida e identificamos as medidas a e b.
Identificamos o centro:
x’ = x – h = x -(3) , logo h = 3
y’ = y – k = y -(-4) , logo k = -4
Assim o Centro C(3,-4)
Como 16 > 9, então de acordo com a teoria,
a² = 16, e b² = 9
Tirando a raiz, a = ± 4 , b = ± 3 , são esses
valores que darão as coordenadas dos vértices da
elipse.
Logo a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo
dos y. E já podemos esboçar (desenhar) o
gráfico. (figura ao lado)

4. GUIDG.COM – PG. 4
Sabemos, que a² = b² + c² , logo c² = a² - b² pois só temos as medias a² e b², e precisamos
descobrir c², para encontrar os focos.
w
w
w
w
ww
w
Logo c² = 16 - 9 , c = F p 7 . ww
w
w
w
w
Então os focos da elipse são: F(3, @ 4 F p7 )
w
w
w
w
ww
w
cf
f
ff pff
f7 f
fff
fff
ff
A excentricidade é o número e = , logo e =
a 4
b c b c b c b c
E os vértices são: V1 3, @ 8 , V 2 3,0 , V 3 0, @ 4 , V 4 6, @ 4