1. GUIDG.COM – PG. 1
4/1/2010 – ALGA-1: Revisão – Coordenadas: Polares, Cilíndricas e Esféricas.
* Desenvolvido a partir da Apostila de Álgebra 1 (DMAT, UDESC-CCT)
* Revisão de conteúdo sem formalidades, com exercícios resolvidos.
Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis,
pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos (uma calculadora cientifica
irá ajudar).
.
πf
ff
ff πf
ff
ff πf
ff
ff πf
ff
ff π=
θ 0
6 4 3 2 180º
ww
w
w
ww ww
w
w
ww
1f
ff pff
f2 f
fff
ff
ff pff
f3 f
fff
ff
ff
sen θ 0 1 0
2 2 2
ww
w
w
ww ww
w
w
ww
pff
f3 f
fff
ff
ff pff
f2 f
fff
ff
ff 1f
ff
cos θ 1 0 -1
2 2 2
Circunferência de raio 1, com centro em (0,0)
Coordenadas Polares.
Assim como o sistema cartesiano P(x,y) existem outros sistemas, um deles é o sistema polar, os
outros sistemas que estudaremos serão: as coordenadas cilíndricas e as esféricas.
Considere as figuras ao lado:
ρ: letra grega rô, θ: letra grega theta.
No sistema polar, localiza-se um ponto através:
1 - Da distância desse ponto até a origem e
chamamos de ρ.
2 – Pelo ângulo que essa reta forma com o eixo
polar. (fig.1)
Obs: a distância, é chamada de raio vetor.
E o ponto é apresentado na forma P(ρ, θ)
Os únicos cuidados são:
θ > 0 , e ρ > 0 então estará como na figura 1.
πf
Exemplo: (2, ff ff
).
4
Mas se θ < 0 , e ρ > 0 então estará como na
(fig.2)
3πf
ff
ff
ff
f
figura 2. Exemplo: (2, @ )
4

2. GUIDG.COM – PG. 2
Exemplos de representação de pontos com o sistema polar, (dica: refaça os exemplos!)
πf
ff
ff
d e
a) P 2 @ 2,
4
πf
b) P 3 @ 2, @ ff
ff
d e
4
Relação entre o sistema cartesiano e o sistema polar. Convertendo Coordenadas.
(1) Fazendo coincidir a origem do sistema polar (ρ, θ)
com à do sistema cartesiano (x,y) , a relação que se tem
para o primeiro quadrante (fig.3) é o triangulo retângulo,
então a partir disso vale as relações trigonométricas seno e
co-seno.
catetofopostof yf
fffffffffff f
ffffffffff f
ffffffffff f
fff fffff
sen θ = = [ y = ρ A senθ
hipotenusa ρ
cos θ = fffffffffffff f [
catetofadjacentef xf
ffffffffffff f
ffffffffffff f
fff fffffff
= x = ρ A cos θ (fig.3)
hipotenusa ρ
(2) Agora se elevarmos as duas ao quadrado e somarmos membro a membro temos:
X
y = ρ A senθ [ y2 = ρ 2 A sen2 θ
Zx = ρ A cos θ [ x2 = ρ 2 Acos 2 θ
Logo: y2 + x2 = ρ 2 Asen2 θ + ρ 2 A cos 2 θ
y2 + x2 = ρ 2 sen2 θ + cos 2 θ
b c
Ou:
Mas: sen2 θ + cos 2 θ = 1 (Relação fundamental)
Então: y2 + x2 = ρ 2
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
Ou: ρ = F q y2 + x2
Com essas relações, podemos converter coodernadas polares em cartesianas ou vice e versa.

3. GUIDG.COM – PG. 3
Coordenadas cilíndricas:
Agora que já conhecemos o sistema polar, basta adicionar o eixo z e pronto, passamos a ter o sistema
cilíndrico. Este se mostra muito útil quando precisamos determinar áreas e volumes quando a
superfície limite é de revolução.
No sistema cartesiano representamos um ponto
pelas coordenadas P(x,y,z). No cilíndrico por
P(ρ, θ, z), que são na verdade as coordenadas
polares (ρ, θ) mais a coordenada z do sistema
cartesiano (ver fig. ao lado).
O que ocorre em cilíndricas, é que escrevemos
as coordenadas polares (para um ponto
qualquer), e arrastamos o ponto no eixo z (do
sistema cartesiano), em qualquer sentido.
Curiosidade: Imagine que você tenha a coordenada ρ constante, se
variarmos θ em 360º, passamos a ter uma circunferência (de raio ρ )
, e por último arrastando a circunferência no eixo z, então geramos
uma superfície cilíndrica, e por isso o sistema tem esse nome.
Veja a figura ao lado, se você imaginou alguma coisa parecida,
então esta no caminho certo!
Convertendo coordenadas cilíndricas, relações de conversão:
A mesma relação é válida, mas agora Podemos obter θ, dividindo o primeiro pelo
adicionamos o z: segundo, lembrando da relação:
.
tgθ = ffff
X senθf
ffff
fff
fff
^y = ρ A senθ [ y2 = ρ 2 A sen2 θ .
cos θ
^
^
^x = ρ A cos θ [ x2 = ρ 2 A cos 2 θ .
Zz = z
^
yf ρffffff
ff fffffff
f ffffff
f ffffff
A senθ
=
^
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww
wwww x ρ A cos θ
Logo: ρ = F q y2 + x2 .
yf
fff
= tgθ
x
.
θ = arc tg ff
yf
f
f
Logo:
x

4. GUIDG.COM – PG. 4
Coordenadas Esféricas:
Visto o sistema polar e o cilíndrico, vamos para
o sistema esférico. Este pode parecer
complicado, mas veremos que é só aparência. A
diferença para o sistema polar é que ele se
encontra no espaço (assim como o cilíndrico).
Defini-se a posição do ponto pela sua distância
até a origem ρ (rô), mais duas coordenadas
angulares θ (theta) e φ (fi).
O ponto é apresentado na forma P(ρ, θ, φ), onde
ρ é o raio vetor, θ é a longitude, e φ é a co-
latitude.
Agora o que realmente importa : As relações de conversão entre os sistemas.
Esféricas em cartesianas: Cartesianas em esféricas:
wwwwwww
wwwwwww
wwwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
x = OR = ρ A senφ A cos θ
X
^
^
^ ρ = F q x2 + y2 + z2
y = RQ = ρ A senφ A senθ
.
θ = arc tg ff
^ z = QP = ρ A cos φ
^
^ yf
f
f
x
Z
.
zf
fff
φ = arc cos
ρ
.
Demonstração:
Dos triângulos da figura deduzimos:
Triângulo OPQ:
senφ = fffffffffff fff [
catetofopostof OQf
ffffffffff fff
ffffffffff ff
fff fffff
= ff OQ = ρ A senφ
hipotenusa ρ
cos φ = fffffffffffff fff [
catetofadjacentef QP f
ffffffffffff ff
ffffffffffff ff
fff fffffff
= ff QP = ρ A cos φ
hipotenusa ρ
Então: z = QP = ρ A cos φ
Agora o triângulo ORQ:
senθ = fffffffffff fff [
catetofopostof RQf
ffffffffff fff
ffffffffff ff
fff fffff
= ff RQ = OQA sen θ
hipotenusa OQ
Substituindo OQ: y = RQ = ρ A senφ A senθ
cos θ = fffffffffffff fff [
catetofadjacentef ORf
ffffffffffff fff
ffffffffffff ff
fff fffffff
= ff OR = OQA cos θ
hipotenusa OQ
Substituindo OQ: x = OR = ρ A senφ A cos θ

5. GUIDG.COM – PG. 5
Agora se elevarmos todas as relações ao quadrado e somarmos membro a membro, temos:
x2 = ρ 2 Asen2 φ A cos 2 θ
X
^
^
^
^
^
y2 = ρ 2 Asen2 φ A sen2 θ
Z z = ρ 2 A cos 2 φ
^
^ 2
^
x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ Acos 2 θ + ρ 2 A sen 2 φ A sen 2 θ + ρ 2 A cos 2 φ
Fatorando:
x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ cos 2 θ + A sen 2 θ + ρ 2 Acos 2 φ
b c
Relação fundamental:
x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 A sen2 φ + ρ 2 Acos 2 φ
Ou:
x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 sen2 φ + cos 2 φ
b c
Relação fundamental (de novo):
x2 + y 2 + z 2 = ρ 2
Ou: wwwwwww
wwwwwww
wwwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
wwwwww
ρ =F q x2 + y2 + z2
Agora se pegarmos as duas primeiras relações demonstradas anteriormente e dividirmos, obtemos:
xf ρfffffffffff
A senφ A cos θ
ff ffffffffffff
f ffffffffffff
f fffffffffff
=
y ρ A sen φ A sen θ
f ffθf
xf cosff
ff ffff
f ffff
fff senθf
ffff
ffff
fff
fff
= (invertendo e aplicando a relação: tgθ = )
y sen θ cos θ
tgθ = f
yf
ff
x
Assim:
θ = arc tg ff
yf
f
f
x
O mesmo para:
z = ρ A cos φ
Então:
zf
f
ff zf
fff
= cos φ [ φ = arc cos
ρ ρ