1. NÚMEROS PRIMOS:
Um número primo é um número natural com exatamente
dois divisores naturais distintos. Na tabela abaixo, temos
números primos identificados na cor LARANJA entre o número
LARANJA
zero ( 0 ) e o número cem (100 ):
NÚMEROS PRIMOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Figura 1: tabela dos números primos entre zero e cem.
Representação do CONJUNTO dos números primos entre zero (0) e
cem (100):
P={ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 }
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2. Decomposição em fatores primos 1
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto
de dois ou mais fatores
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de
fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número
natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de
fatores primos.
• Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no
exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor
divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente
obtido pelo menor divisor primo desse
quociente e assim sucessi
sucessivamente até
obter o quociente 1.
er
A figura 2 ao lado mostra a fatoração do
número 630. Figura 2: fatoração do número 630
:
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
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3. Máximo divisor comum de dois ou
mais números
Dados dois números inteiros a e b diferentes de zero, define-se o
máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide
simultaneamente a e b.
O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).
Exemplos:
1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.
Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos:
MDC(10,14) = 2.
2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)
Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30, 60
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.
Portanto o máximo divisor comum é igual a 2, ou seja:
MDC (4, 10, 14, 60) = 2
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4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
- Um número inteiro positivo P ¹ é denominado número primo, se e somente
se os seus divisores positivos são 1 e p. Sabe-se que o conjunto dos números
primos é um conjunto infinito.
- Todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto
num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o
Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.
Para melhor entendimento do que lhe foi apresentado, veja os exemplos
a seguir:
• 15 = 5.3
• 40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.23
• 120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.23.3
• 240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3
Na prática, usamos uma forma mais fácil de calcular, veja como
podemos fazer com o número 240:
240 2
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
A decomposição de um número em fatores primos é conhecida também
como fatoração, já que o número é decomposto em fatores de uma
multiplicação.
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5. O método de decomposição de um número num produto de fatores
primos sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números
inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).
Para calcularmos o MDC de 408 e 240,vamos decompor os dois
números:
• 408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17
• 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5
Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes:
MDC (408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24, que é o MDC procurado.
Portanto, MDC (408, 240) = 24.
O MDC acima poderia ser também determinado pelo método das
divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:
1 1 2 3
408 | 240 | 168 | 72 | 24
168 | 72| 24| 0
Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:
• 408:240 = 1 com resto 168
• 240:168 = 1 com resto 72
• 168:72 = 2 com resto 24
• 72:24 = 3 com resto zero.
Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.
Para fixar o aprendizado, vamos realizar os exercícios a seguir:
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6. Exercícios de fixação:
I. Responda as perguntas a seguir:
1. O que são números primos?
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_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
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2. Represente os números primos entre ZERO e CEM:
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. O que é a fatoração de um número natural?
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
4. O que é máximo divisor comum?
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____________________________________________________________
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5. O que diz o teorema fundamental da aritmética?
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7. II. Fatorar os números a seguir:
Cálculos:
1) 240 =
2) 450 =
3) 375 =
4) 981 =
5) 2250 =
6) 125 =
7) 136 =
III. Calcule o máximo divisor comum entre os números 408 e 240:
Cálculo:
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8. Bibliografia
CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre:
Editora Movimento, 1981.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.
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