1. Números racionais
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Sumário Página
Números racionais...................................................................................................................... 1
Conjunto dos números racionais (Q)................................................................................... 2
Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2
Alguns símbolos matemáticos............................................................................................. 3
A reta numérica racional ..................................................................................................... 3
Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 4
Número racional oposto ou simétrico ........................................................................................ 5
Comparação de dois números racionais ..................................................................................... 5
Operações com números racionais............................................................................................. 6
Adição algébrica de números racionais............................................................................... 6
Multiplicação e divisão de números racionais .................................................................... 7
Potenciação de números racionais ...................................................................................... 8
Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos...................... 8
Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9
Raiz quadrada exata de números racionais ....................................................................... 11
Expressões numéricas .............................................................................................................. 12
Estudo das médias .................................................................................................................... 13
Média aritmética e média aritmética ponderada ............................................................... 13
Referências bibliográficas ........................................................................................................ 14
2. 1
NÚMEROS RACIONAIS
Números racionais
Já estudamos que os números 40, –10, 1258 e –54 pertencem ao conjunto dos
números inteiros (Z).
1
E os números e 1,15, a que conjunto numérico pertencem?
10
1
Você já sabe que é uma fração. As frações representam razões entre números
10
inteiros. Essas razões chamadas de números racionais, pertencem ao conjunto
dos números racionais.
a
Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma ,
b
sendo a e b números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.
115
O número 1,15 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 1,15 = .
100
Os números 40, –10, 1258 e –54 também podem ser escritos na forma
fracionária:
40
• 40 =
1
10
• − 10 = −
1
1258
• 1258 =
1
54
• − 54 = −
1
Dizemos que esses números também são números racionais.
3. 2
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números
inteiros.
O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais
negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos
números racionais e é representado por Q.
Veja como o conjunto dos números racionais Q se relaciona com o conjunto dos
números naturais N e com o conjunto dos números inteiros Z:
• O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.
• Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q.
• N está contido em Z e Z está contido em Q. Indicamos: N ⊂ Z e Z ⊂ Q.
Outros subconjuntos de Q:
• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;
• Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;
• Q − é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;
• Q* é o conjunto dos números racionais e positivos;
+
• Q* é o conjunto dos números racionais negativos.
−
4. 3
Alguns símbolos matemáticos
= Igual
≠ Diferente
> Maior que
< Menor que
∈ Pertence
∉ Não pertence
⊂ Está contido
⊄ Não está contido
⊃ Contém
A reta numérica racional
Já estudamos que os números inteiros podem ser representados numa reta
numérica. O mesmo vai ocorrer com os números racionais.
Exemplos:
1
a) Representar na reta numérica o número racional .
3
1
Sabemos que o número está localizado entre os números 0 e +1. Então,
3
vamos dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considera uma dessas partes
a partir do ponto A, para a direita.
1 1
O ponto C chama-se imagem geométrica do número racional . O número é
3 3
chamado abscissa do ponto C.
5. 4
b) Representar na reta numérica o número racional − 0,7 .
7
Vamos considerar que − 0,7 = − (forma fracionária)
10
7
O número − está localizado entre os números − 1 e 0. Então, vamos dividir o
10
segmento AD , que vai de − 1 até 0, em 10 partes iguais:
O ponto E é a imagem geométrica do número racional − 0,7 . O número − 0,7 é
a abscissa do ponto E.
Módulo ou valor absoluto de um número racional
Conforme vimos no conjunto dos números inteiro, temos:
5 5
• O módulo ou valor absoluto do número + é
3 3
5 5
Indica-se: + =
3 3
3 3
• O módulo ou valor absoluto do número − é
7 7
3 3
Indica-se: − =
7 7
• O módulo ou valor absoluto do número − 2,63 é 2,63
Indica-se: − 2,63 = 2,63
6. 5
Número racional oposto ou simétrico
Quando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo são
chamados opostos ou simétricos.
Exemplos de números racionais opostos ou simétricos:
2 2
a) e−
3 3
b) − 3,5 e 3,5
c) 15 e − 15
Comparação de dois números racionais
10 12
Que número é maior, ou ? Você tem idéia de como verificar isso?
4 8
Veja dois modos de comparar esse números:
1º) Escrevendo-os na forma decimal:
10 12
= 10 : 4 = 2,5 = 12 : 8 = 1,5
4 8
10 12
Como 2,5 > 1,5, temos: >
4 8
2º) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador:
10 12 20 12
, = ,
4 8 8 8
20 12 10 12
Como > , pois 20 > 12, temos: >
8 8 4 8
Observação: Outro recurso para comparar dois números racionais é a reta
numérica. O maior é sempre o que se encontra à direita do outro na reta
numérica.
7. 6
Operações com números racionais
Adição algébrica de números racionais
Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas
algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado do
outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:
17 5 17 5 1 ⋅ 17 − 4 ⋅ 5 17 − 20 3 1
+ − = − = = =− =−
24 6 24 6 24 24 24 8
4 1
Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 0,3 − + − 1,8 :
5 2
4 1
0,3 − + − 1,8 =
5 2
3 4 1 18
− + − =
10 5 2 10
3 − 8 + 5 − 18
=
10
18 9
− =−
10 5
Observação: As propriedades da adição com números inteiros também são
válidas para a adição com números racionais. São elas: Fechamento,
Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.
8. 7
Multiplicação e divisão de números racionais
Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador.
Exemplos:
8 4 8 ⋅ 4 32
a) ⋅ = =
3 3 3⋅3 9
5 4 − 5⋅4 20 10
b) − ⋅ = =− =−
2 3 2⋅3 6 3
Observação: As propriedades da multiplicação com números inteiros também
são válidas para a multiplicação com números racionais. São elas: Fechamento,
Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicação em relação à adição
algébrica e Elemento neutro.
Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda.
Exemplos:
8 4 82 31 2 ⋅1 2
/ /
a) : = 1 ⋅ 1 = = =2
3 3 3 4 1 ⋅1 1
/ /
5
−
5 4 − 5⋅ 4 20 10
b) 2 = − ⋅ = =− =−
3 2 3 2⋅3 6 3
4
9. 8
Potenciação de números racionais
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos:
2
4 4 2 16
a) = 2 =
3 3 9
3
2 23 8
b) − = − 3 = −
3 3 27
Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos
A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros
positivos é a mesma das potências com números inteiros.
• Sempre que o expoente de uma potência for par, o resultado será um número
positivo.
• Sempre que o expoente de uma potência for ímpar, o resultado terá o mesmo
sinal da base.
• Se um número racional a é diferente de zero, a 0 = 1 .
• Para todo número racional a tem-se: a1 = a .
Exemplos:
2
2 4
a) =
7 49
0
2
b) − = 1
3
1
8 8
c) =
45 45
10. 9
Observação: As propriedades da potenciação com números inteiros também são
válidas quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes
são números inteiros. São elas: Produto de potências de mesma base, Quociente
de potências de mesma base, Potência de uma potência e Potência de um
produto ou de um quociente.
Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos
Qual o valor de 3−1 ? E de 3−2 ?
Para saber observe a seqüência em que o expoente diminui de 1 em 1 e as
potências são divididas por 3:
11. 10
1
−1 1 1 1
• 3 = 1: 3 = = 1 =
3 3 3
2
−2 1 1 1 1 1 1
• 3 = :3 = ⋅ = = 2 =
3 3 3 9 3 3
Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos:
n
−n 1 1 1
a = n = , em que n é um número natural e é o inverso de a.
a a a
−n n
a 1 1 bn bn b
Observação: = n
= n =1⋅ n = n =
b a a a a a
b bn
Exemplos:
1 1 −2 2
a) 7 −2
= 2= 2 3 9
49 c) − = − =
7 3 2 4
−1 −3 3
1 1 1 5 7 2 8
d) (− 3,5)
−3
b) = = = 1⋅ = 5 = − = − = −
5 1
1 1 1 2 7 343
5
5
12. 11
Raiz quadrada exata de números racionais
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional,
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.
Exemplos:
25 52 5
a) = 2 =
64 8 8
144 12 2 12 6
b) 1,44 = = = =
100 10 2 10 5
c) 1024 = 210 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32
Fatoração completa
1024 2
515 2
256 2
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
81 32 ⋅ 32 3⋅3 9
d) = == =
121 112 11 11
Fatoração completa
81 3 121 11
27 3 11 11
9 3 1
3 3
1
14. 13
Estudo das médias
Média aritmética e média aritmética ponderada
As notas de um aluno, em matemática, no 2º Bimestre foram:
1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova
5,0 8,0 5,0
Nessas condições, qual seria a média do aluno no bimestre?
Para responder a esta questão, devemos considerar dois casos:
1º Caso: O professor não atribuiu pesos diferentes para as notas.
Neste caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas e
dividindo-se o resultado por 3, ou seja:
5,0 + 8,0 + 5,0 18,0
= = 6,0
3 3
A média do aluno é 6,0.
Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0.
A média aritmética de n números representa a soma de todos os números
dividida por n.
2º Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota.
1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova
5,0 (peso 3) 8,0 (peso 2) 5,0 (peso 5)
15. 14
Neste caso, a média do aluno é calculada assim:
(3 ⋅ 5,0) + (2 ⋅ 8,0) + (5 ⋅ 5,0) = 15,0 + 16,0 + 25,0 = 56,0 = 5,6
3+ 2+5 10 10
A média do aluno é 5,6.
Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aos
quais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.
Através dos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras
estabelecidas para seu cálculo.
Referências bibliográficas
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora
FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.
